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% Tapuscrit : Laurent Bretonnière & Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S  }
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{mars 2007}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\mars 2007 (spécialité)}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour tout cet exercice, l'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \emph{Question de cours}

Établir l'équation cartésienne d'un plan dont on connaît un vecteur normal $\vect{n}(a,~b,~c)$ et un point $M_{0}\left(x_{0},~y_{0},~z_{0}\right)$.

$a(x- x_{0}) + b(y - y_{0}) + c(z - z_{0}) = 0$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Considérons par exemple les vecteurs $\vect{\text{AB}}\left(\begin{array}{c}-4\\-1\\7\\
\end{array}\right)$ et $\vect{\text{BC}}\left(\begin{array}{c}5\\5\\-5\\
\end{array}\right)$. Ces vecteurs ne sont manifestement pas colinéaires. Les trois points distincts A, B et C définissent un plan $\mathcal{P}.$
		\item  A$~ \in \mathcal{P} \iff  2\times 1 - 2 + (-3) + 3 =  0$ : Vrai.
		
B$~ \in \mathcal{P} \iff  2\times (-3) - 1 + 4 + 3 =  0$ : Vrai.

C$~ \in \mathcal{P} \iff  2\times 2 - 6 + (-1) + 3 =  0$ : Vrai.

L'équation du plan (ABC) est bien :

\[ M(x~;~y~;~z) \in (\text{ABC}) \iff 2x - y + z + 3 = 0.\]

		\item  I$(-5~;~9~;~4)$. On a vu à la question de cours que les coordonnées d'un vecteur normal au plan (ABC) est le vecteur $\vect{u}\left(\begin{array}{c}2\\-1\\1\\
\end{array}\right)$. Ce vecteur est un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$. En traduisant l'égalité vectorielle \\$\vect{\text{I}M} = \alpha \vect{u}$ avec $\alpha \in \R$, on obtient le système :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
 x - (-5)& =& 2\alpha\\
 y - 9&=&-\alpha\\
 z - 4 &=&\alpha\\
 \end{array}\right. \iff  \left\{\begin{array}{l c r}
 x &=& -5 + 2\alpha\\
 y &=& 9 - \alpha\\
 z &=& 4 + \alpha
  \end{array}\right.  \alpha \in \R\]
		\item  Les coordonnées du point J, intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan (ABC) vérifient le système précédent et l'équation du plan (ABC). On a donc :

\[\left\{\begin{array}{l c r}
 x &=& -5 + 2\alpha\\
 y &=& 9 - \alpha\\
 z &=& 4 + \alpha\\
 2x - y + z + 3 &=& 0
 \end{array}\right.  \Rightarrow 2(- 5 + 2\alpha) - (9 - \alpha) +  4 + \alpha + 3 = 0 \] 
$\iff 6\alpha - 12 = 0 \iff \alpha = 2$.
 
Les coordonnées du point J sont donc $(-1~;~7~;~6)$.
		\item  La distance du point I au plan (ABC) est IJ puisque $\mathcal{D}$ est perpendiculaire au plan (ABC). Or IJ$^2 = (- 1 + 5)^2 + 7 - 9)^2 + (6 - 4)^2 = 16 + 4 + 4 = 24$. Donc IJ$ = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
		
On peut vérifier que $d(\text{I},~\mathcal{P}) = \dfrac{\left|2 \times (-5) - 9 + 4\right|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 +1^2}} = \dfrac{12}{\sqrt{6}} = \dfrac{12\sqrt{6}}{6} = 2\sqrt{6}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{A.}

\medskip
 
\textbf{Question 1}  La probabilité de tirer trois boules noires est : $\left(\dfrac{4}{8} \right)^3 = \left(\dfrac{1}{2} \right)^3$

\textbf{Question 2} : On a $p_{XXX}(RRR) = \dfrac{\left(\dfrac{1}{8} \right)^3}{\left(\dfrac{3}{8} \right)^3 + \left(\dfrac{4}{8} \right)^3 + \left(\dfrac{1}{8} \right)^3} = \dfrac{1}{27 + 64 + 1} = \dfrac{1}{92}$.

\textbf{B.}

\medskip
 
\textbf{Question 3} : $f$ est une densité de probabilité sur l'intervalle [0 ; 1] si

$\displaystyle\int_{0}^1 (x + m)\:\text{d}x = \left[ \dfrac{(x + m)^2}{2} \right]_{0}^1 = \dfrac{(1 + m)^2}{2} - \dfrac{m^2}{2} = 1 \iff 2m + 1 = 2 \iff 2m = 1 \iff m = \dfrac{1}{2}$.

\textbf{C.}

\medskip
 
\textbf{Question 4} : On a $\displaystyle\int_{5}^{+ \infty} 0,2 \text{e}^{-0,2x}\:\text{d}x = \left[ - \text{e}^{-0,2x} \right]_{5}^{+ \infty} = \text{e}^{-1} = \dfrac{1}{\text{e}}.$

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Si  $a =  0,~an + b = b$, donc  toutes les lettres seront codées par la même lettre correspondant au reste de la division de $b$ par 26.
\item  Si $a = 13$.

A correspond à $0$, donc $an + b = b$. A est codée par la lettre qui correspond au reste de la division de $b$ par 26.

C correspond à $2$,~donc $an + b = 26 \times 2 + b \equiv b \quad \mod 26$. Donc C est codé de la même fa\c{c}on que A. 
\item  \emph{Dans toute la suite de l'exercice}, on prend $a = 5$ et $b = 2$.
	\begin{enumerate}
		\item Si : $\left\{\begin{array}{l c l}
5n + 2 & \equiv& r \quad \mod 26\\
5p + 2 &\equiv & r \quad \mod 26\\
\end{array}\right. $, alors par différence 

$5(n - p) \equiv 0 \quad \mod 26 \Rightarrow n - p \equiv 0 \quad \mod 26$ (car 5 est premier avec 26), donc finalement $n \equiv  p \quad \mod 26$. Or $m$ et $p$ sont inférieurs à $26$. Conclusion $n = p$. 
		\item 	On a la suite :
		
A $\to 0 \to 2 \to $ C

M $\to 12 \to 10 \to $ K

I $ \to 8 \to 16 \to $ Q.

AMI est codé \og CKQ \fg.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item D'après le tableau E correspond à $4$. Donc la lettre codée E correspond à un nombre $n$ tel que $5n + 2 \equiv 4 \quad 26 \iff 5n - 2 \equiv 0 \quad \mod 26 \iff 5n - 2 = 26y,~\text{avec} y \in \Z \iff 5n - 2 = 26y,~y \in \Z$.
		\item  On considère l'équation $5x - 26y = 2$, avec $x$ et $y$ entiers relatifs.
		\begin{enumerate}
			\item  Solution particulière de l'équation $5x - 26y = 2$. On a 
			
$26 = 5 \times 5 + 1 \iff 26 \times 1 - 5 \times 5 = 1 \iff 2 \times 26 - 10 \times 5 = 2 \iff 5 \times (- 10) - 26 \times (-2) = 2$. On a donc une solution : le couple $(-10~;~-2)$.
			\item   On a le système :
			
$\left\{\begin{array}{l c l}
5x - 26y&=&2\\
5 \times (- 10) - 26 \times (-2) &=& 2\\
\end{array}\right.$, d'où par différence :

$5(x + 10) - 26(y + 2) = 0 \iff 5(x + 10) = 26(y + 2)$. 5 et 26 étant premiers entre eux, il en résulte d'après le théorème de Gauss qu'il existe $k \in \Z$ tel que $x + 10 = 26k$, d'où en substituant dans la dernière égalité : $y + 2 = 5k$. On obtient donc : les couples solutions sont les couples $(x~;~y)$ tels que $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&26k - 10\\
y&=& 5k - 2\\
\end{array}\right.$
			\item   $0 \leqslant x \leqslant  25 \iff 0 \leqslant 26k - 10 \leqslant  25 \iff 10 \leqslant 26k \leqslant 35 \Rightarrow k = 1$. Finalement $x = 16$ et $y = 3$. Le seul couple solution est $(16~;~3)$.
		\end{enumerate}
	\item  La lettre  codée E correspond à $x= n = 16$. D'après le tableau c'est Q.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{A. 1.}] $u_{n+1} - u_{n} = \displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n+2} \dfrac{1}{k}-\sum_{k=n}^{2n} \dfrac{1}{k}=-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{2n+1}+\dfrac{1}{2n+2}=\cdots=\dfrac{-3n - 2}{n(2n+2)(2n+1)}$.
\item[\textbf{A. 2.}] $n\in\N^*$ donc $-3n-2<0$ et $n(2n+2)(2n+1)>0$ donc $u_{n+1} - u_{n}<0$ donc la suite $\left(u_{n}\right)$ est strictement décroissante.
\item[\textbf{A. 3.}] Pour tout entier $n \geqslant 1$, $u_n= \displaystyle\sum_{k=n}^{2n} \dfrac{1}{k}>0$ : la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante et minorée par $0$ donc elle est convergente par théorème.
\item[\textbf{B. 1. a.}] Soit $n$ dans $\N^*$ : $0<n\leqslant x \leqslant n+1$ donc $\dfrac{1}{n+1}\leqslant\dfrac{1}{x}\leqslant\dfrac{1}{n}$. Les fonctions sont continues sur $[n~;~n+1]$ et $n\leqslant n+1$ donc par croissance de l'intégrale,

$\displaystyle\int_{n}^{n+1}\dfrac{1}{n+1}\:\text{d}x\leqslant \displaystyle\int_{n}^{n+1}\dfrac{1}{x}\:\text{d}x\leqslant \displaystyle\int_{n}^{n+1}\dfrac{1}{n}\:\text{d}x$ d'où $\dfrac{1}{n+1}\leqslant \displaystyle\int_{n}^{n+1}\dfrac{1}{x}\:\text{d}x \leqslant\dfrac{1}{n}$.
\item[\textbf{B. 1. b.}]
$\displaystyle\int_{n}^{n+1}\dfrac{1}{x}\:\text{d}x=\left[\ln(x)\right]_{n}^{n+1}=\ln(n+1)-\ln(n)=\ln\left(\dfrac{n+1}{n}\right)$.

$\dfrac{1}{n} - f(n)=\dfrac{1}{n} - \left( \dfrac{1}{n} + \ln \left(\dfrac{n}{n+1}\right)\right)=-\ln\left(\dfrac{n}{n+1}\right)=\ln\left(\dfrac{n+1}{n}\right)$.

On a donc bien l'égalité : $\displaystyle\int_{n}^{n+1}\dfrac{1}{x}\:\text{d}x = \dfrac{1}{n} - f(n)$.
\item[\textbf{B. 1. c.}]  Par suite, $\dfrac{1}{n+1}\leqslant\dfrac{1}{n} - f(n)\leqslant\dfrac{1}{n}$ donc $\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n}\leqslant -f(n)\leqslant 0$
donc en multipliant pas $-1$, on obtient $0 \leqslant f(n) \leqslant \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$ donc finalement 

$0 \leqslant f(n) \leqslant \dfrac{1}{n(n+1)}$.
\item[\textbf{B. 2. a.}]
On écrit l'égalité $0 \leqslant f(k) \leqslant \dfrac{1}{k(k+1)}$ pour $k=n$;~ $k=n+1$;~ \ldots;~ $k=2n$ :

\medskip

\begin{tabular}{ccccc}
$0$ & $\leqslant$ & $f(n)$ & $\leqslant$ & $\dfrac{1}{n(n+1)}$\\
$0$ & $\leqslant$ & $f(n+1)$ & $\leqslant$ & $\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}$\\
$0$ & $\leqslant$ & $\ldots$ &  $\leqslant$ & $\ldots$\\
$0$ & $\leqslant$ & $f(2n)$ & $\leqslant$ & $\dfrac{1}{2n(2n+1)}$\\
\end{tabular}

En sommant, on obtient $0 \leqslant f(n) + f(n+1) + \cdots +f(2n) \leqslant \displaystyle\sum_{k=n}^{2n}\dfrac{1}{k(k+1)}$
et donc $0 \leqslant f(n) + f(n+1) + \cdots +f(2n) \leqslant S_{n}$.
\item[\textbf{B. 2. b.}] Soit $x$ dans $\R\backslash\{-1;0\}$. On a
$\dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{x+1}=\dfrac{a(x+1)+bx}{x(x+1)}=\dfrac{(a+b)x+a}{x(x+1)}$.

Pour que $\dfrac{1}{x(x+1)}$ soit égale à $\dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{x+1}$, il suffit de prendre $a$ et $b$ de sorte que $a+b=0$ et $a=1$, d'où $a=1$ et $b=-1$. Finalement, $\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x+1}$.
\item[\textbf{B. 2. c.}]
On écrit l'égalité $\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x+1}$ pour $x=n$;~ $x=n+1$;~ \ldots;~ $x=2n$ :

\medskip

\begin{tabular}{ccc}
$\dfrac{1}{n(n+1)}$ & $=$ & $\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}$\\
$\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}$ & $=$ & $\dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{n+2}$\\
$\ldots$ & $=$ & $\ldots$\\
$\dfrac{1}{2n(2n+1)}$ & $=$ & $\dfrac{1}{2n} - \dfrac{1}{2n+1}$\\
\end{tabular}

Par télescopage, on obtient $S_{n} = \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2n+1} = \dfrac{2n+1-n}{n(2n+1)} = \dfrac{n+1}{n(2n+1)}$.
\item[\textbf{B. 2. d.}]
Par suite, on a $0 \leqslant \displaystyle\sum_{k=n}^{2n} f(k)\leqslant S_{n}$ avec $\lim 0 = 0$ et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} S_{n}=\lim_{n \to + \infty} \dfrac{n}{2n^2}=\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{2n} = 0$
d'après la règle opératoire. Le théorème des gendarmes s'applique et on peut conclure que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \sum_{k=n}^{2n} f(k)=0$.
\item[\textbf{B. 2. e.}]
On écrit l'égalité $f(x)=\dfrac{1}{x} + \ln \left(\dfrac{x}{x+1}\right)$ pour $x=n$;~ $x=n+1$;~ \ldots;~ $x=2n$ :

\medskip

\begin{tabular}{ccccc}
$f(n)$ & $=$ & $\dfrac{1}{n} + \ln \left(\dfrac{n}{n+1}\right)$ & $=$ & $\dfrac{1}{n} + \ln(n)-\ln(n+1)$\\
$f(n+1)$ & $=$ & $\dfrac{1}{n+1} + \ln \left(\dfrac{n+1}{n+2}\right)$ & $=$ & $\dfrac{1}{n+1} + \ln(n+1)-\ln(n+2)$\\
$\ldots$ & $=$ & $\ldots$\\
$f(2n)$ & $=$ & $\dfrac{1}{2n} + \ln \left(\dfrac{2n}{2n+1}\right)$ & $=$ & $\dfrac{1}{2n} + \ln(2n)-\ln(2n+1)$\\
\end{tabular}

Par télescopage : $\displaystyle\sum_{k=n}^{2n} f(k)=u_n+\ln(n)-\ln(2n+1)=u_n-\left(\ln(2n+1)-\ln(n)\right)$
et finalement on a bien  $f(n) + f(n+1) + \cdots + f(2n) = u_{n} - \ln\left(2+\dfrac{1}{n}\right)$.
\item[\textbf{B. 2. f.}] On en déduit $u_n= \displaystyle\sum_{k=n}^{2n} f(k)+\ln\left(2+\dfrac{1}{n}\right)$. Or, $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \sum_{k=n}^{2n} f(k)=0$
et 

$\displaystyle\lim \left(2+\dfrac{1}{n}\right)=2$ donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \ln\left(2+\dfrac{1}{n}\right)=\ln(2)$ par continuité de $\ln$ en $2$ donc 

$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n=\ln(2)$.
\end{enumerate}
\end{document}