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%\def\psvlabel#1{\nombre{$#1$}}
%Sujet aimablement communiqué par Clotilde Rouchon
%Tapuscrit : Denis Vergès 
% Corrigé : François Hache

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\setlength\paperwidth{210mm}
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\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%%%%   Commandes perso FH
\newcommand{\ds}{\displaystyle}%   displaystyle
\newcommand{\cg}{\texttt{]}}% crochet gauche
\newcommand{\cd}{\texttt{[}}% crochet droit
\newcommand{\pg}{\geqslant}%      plus grand ou égal
\newcommand{\pp}{\leqslant}%      plus petit ou égal
\newcommand{\ssi}{\Leftrightarrow}% équivalent
\newcommand*{\point}[4]{
\psdots(#1,#2)
\uput[#3](#1,#2){#4}
}
% permet de placer un point et de marquer son nom en même temps
% abscisse ordonnée emplacement et nom

\usepackage[body={15cm,24cm}]{geometry}
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\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat ES},
pdftitle = {Nouvelle-Calédonie 2 mars 2015 - Corrigé},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH
}  

\renewcommand{\d}{\,\text{d}} % le d de différentiation
\newcommand{\e}{\,\text{e}}%    le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\text{\,i}}%  le i des complexes



\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie - Corrigé}}
\rfoot{\small 2 mars 2015}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\
2 mars 2015} \end{center}

%\vspace{0,5cm}
%\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle \cd{}1,5~;~6\cg{} par:
$f(x) = (25x - 32)\e^{- x}$

%On a utilisé un logiciel pour déterminer, sur l'intervalle [1,5~;~6], sa fonction dérivée $f'$ et sa fonction dérivée seconde $f''$.

On note $C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan.

%On a obtenu les résultats suivants qui pourront être utilisés sans justification dans tout l'exercice.

On donne $f'(x) =  (57 - 25x)\e^{- x}$ et $f''(x) = (25x - 82)\e^{- x}$.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [1,5~;~6].
On sait que $f'(x) =  (57 - 25x)\e^{- x}$ et que $\e^{-x}>0$ pour tout $x$; donc $f'(x)$ est du signe de $57-25x$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 1,5  & \hspace*{\esp} & \frac{57}{25}\rule[-6pt]{0pt}{0pt} & \hspace*{\esp} & 6 \\ 
\hline
f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
% & &  &   \Rnode{max}{B}  &  &   \\  
%f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
% & \Rnode{min1}{A} &   &  &  &   \Rnode{min2}{C} \rule{0pt}{\hauteur}    
% \ncline{->}{min1}{max} 
% \ncline{->}{max}{min2} 
% \\ 
%\hline
\end{array} $
}
\end{center}
		
		
		\item %En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [1,5~;~6] (Les valeurs seront, si nécessaire, arrondies au centième).
$f(1,5)=5,5\e^{-1,5}\approx 1,23$; $f\left (\frac{57}{25}\right )=25\e^{-\frac{57}{25}} \approx 2,56$ et $f(6)=118\e^{-6}\approx 0,29$

D'où le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle \cd{}1,5\,;\,6\cg{}:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 1,5  & \hspace*{\esp} & \frac{57}{25}\rule[-6pt]{0pt}{0pt} & \hspace*{\esp} & 6 \\ 
\hline
f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{2,56}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{1,23} &   &  &  &   \Rnode{min2}{0,29} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}

	\end{enumerate}
\item% Montrer que, sur l'intervalle [1,5~;~6], la courbe $C$ admet un unique point d'inflexion dont on précisera l'abscisse.
Un point d'inflexion est un point où la courbe représentant la fonction traverse sa tangente; la courbe admet un point d'inflexion au point d'abscisse $x_0$ si et seulement si la dérivée seconde de la fonction s'annule et change de signe en $x_0$.

On sait que $f''(x)=(25x-82)\e^{-x}$.
Pour tout $x$, $\e^{-x}>0$ donc $f''(x)$ est du signe de $25x-82$ qui s'annule et change de signe pour $x=\dfrac{82}{25}$.

Sur l'intervalle $\cd{}1,5\,;\,6\cg$, la courbe $C$ admet donc un unique point d'inflexion d'abscisse $\dfrac{82}{25}$.

\item Dans cette question, on s'intéresse à l'équation $f(x) = 1$.
	\begin{enumerate}
		\item% Justifier que l'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [4~;~5].
On complète le tableau de variation de la fonction $f$:


\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 1,5  & \hspace*{\esp} & \frac{57}{25}\rule[-6pt]{0pt}{0pt} & \hspace*{\esp} & 6 \\ 
%\hline
%f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{2,56}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{1,23} &   &  &  &   \Rnode{min2}{0,29} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
\rput*(-2,0.87){\Rnode{un}{\red 1}}
\rput(-2,2.4){\Rnode{alpha}{\red \alpha}}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{un}
 \\ 
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

D'après le tableau de variation de $f$, on peut dire que l'équation $f(x)=1$ admet  une solution unique $\alpha$ sur l'intervalle $\cd{}1,5\,;\,6\cg$ et que $\alpha$ apprtient à l'intervalle $\left[ \frac{57}{25}\rule{0pt}{12pt}\,;\,6 \right]$.

Or $f(4) \approx 1,25 >1$ et $f(5) \approx 0,63 <1$, donc $4 < \alpha < 5$.

L'équation $f(x)=1$ admet donc une solution unique $\alpha$ sur l'intervalle $\cd{}4\,;\,5\cg$.

		\item On a écrit l'algorithme suivant permettant de déterminer une valeur approchée de la solution de l'équation $f(x) = 1$ sur l'intervalle \cd{}4~;~5\cg:
		
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\textbf{Initialisation}\\
$a$ prend la valeur 4\\
$b$ prend la valeur 5\\
\textbf{Traitement}\\
Tant que $b - a > 0,1$ faire\\
\hspace{1cm}$y$ prend la valeur $f\left(\frac{a + b}{2}\right)$.\\
\hspace{1cm}Si $y > 1$ alors\\
\hspace{2cm}$a$ prend la valeur $\frac{a + b}{2}\rule[-7pt]{0pt}{0pt}$\\
\hspace{1cm}Sinon $b$ prend la valeur $\frac{a + b}{2}$\\
Fin de Tant que\\
\textbf{Sortie}\\
Afficher $\frac{a + b}{2}\rule[-7pt]{0pt}{0pt}$\\\hline 
\end{tabular}

\end{center}

\medskip

\emph{Il s'agit d'une recherche de valeurs approchées de solutions d'équation par dichotomie.}

\medskip

%Exécuter l'algorithme précédent en complétant le tableau donné en annexe.

On exécute l'algorithme et on complète le tableau:

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.5}
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&$\dfrac{a+b}{2}\rule{0pt}{20pt}$&\footnotesize $y$ à $10^{-3}$ près&$a$& $b$& $b-a$& Sortie\\ \hline
Initialisation&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad}& 4& 5& 1&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad} \\ \hline
1\up{re} boucle \og  Tant que \fg& 4,5& 0,894&4& 4,5& 0,5&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad}\\ \hline
2\up{e} boucle \og  Tant que \fg& \textcolor{red}{4,25}&  \textcolor{red}{1,059} & \textcolor{red}{4,25} & \textcolor{red}{4,5} & \textcolor{red}{0,25} & \textcolor{red}{Non} \\ \hline
3\up{e} boucle \og  Tant que \fg&\textcolor{red}{4,375}&\textcolor{red}{0,974}&\textcolor{red}{4,25}&\textcolor{red}{4,375}&\textcolor{red}{0,125}& \textcolor{red}{Non} \\ \hline
4\up{e} boucle \og  Tant que \fg&\textcolor{red}{4,3125}&\textcolor{red}{1,016}&\textcolor{red}{4,3125}&\textcolor{red}{4,375}&\textcolor{red}{0,0625}& \textcolor{red}{Oui} \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item %Donner une valeur approchée de $\alpha$ au dixième.
D'après les calculs précédents:\\ 
$f(4,3125)\approx 1,016>1$ et $f(4,375)\approx 0,974<1$ donc $4,3125 < \alpha < 4,375$.\\
On peut donc dire que $4,3$ est une valeur approchée de $\alpha$ au dixième.		

\emph{Le solveur d'une calculatrice donne $4,336$ comme valeur approchée de $\alpha$.}		
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}

%\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%Une entreprise est spécialisée dans la distribution de pommes et la fabrication de jus de
%pomme.
%
%Elle s'approvisionne en pommes auprès de différents producteurs régionaux.
%
%L'entreprise dispose d'une machine destinée à tester la conformité des pommes ; celles que la
%machine accepte seront vendues sans transformation ; les autres serviront à produire du jus de
%pomme en bouteille.
%Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

%\bigskip
%
%\textbf{Partie A : sélection des pommes}
%
%\medskip

\subsubsection*{Partie A: sélection des pommes}

%Une étude a montré que 86\,\% des pommes fournies par les différents producteurs sont
%conformes,
%Les tests étant réalisés très rapidement, la machine commet quelques erreurs :
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item 3\,\% des pommes effectivement conformes sont rejetées à tort par la machine ;
%\item 2\,\% des pommes non conformes sont acceptées à tort par la machine.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%On prélève au hasard dans le stock de l'entreprise une pomme qui va être testée par la
%machine.
%
%On note les évènements suivants :
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item $C$ : \og La pomme prélevée est conforme \fg{} ;
%\item $T$ : \og La pomme est acceptée par la machine \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%$\overline{C}$  et $\overline{T}$ sont respectivement les évènements contraires des évènements $C$ et $T$.
%
%Pour répondre aux questions suivantes, on pourra représenter la situation à l'aide d'un arbre
%pondéré.


On peut représenter la situation décrite dans le texte par un arbre pondéré:

\bigskip

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,levelsep=3cm]{\TR{}}
{
	\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$C$}\taput{\small 0,86}}
	  { 
		  \TR{$T$}\taput{\small\red$1-0,03=0,97$}
		  \TR{$\overline{T}$}\tbput{\small 0,03}	   
	  }
	\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$\overline C$}\tbput{\small \red $1-0,86=0,14$}}
	  {
		  \TR{$T$}\taput{\small 0,02}
		  \TR{$\overline{T}$}\tbput{\small\red $1-0,02=0,98$}
	  }
}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}

\item% Déterminer la probabilité que la pomme prélevée soit conforme et soit acceptée par la machine.
L'événement \og{}la pomme prélevée est conforme et est acceptée par la machine\fg{} correspond à l'événement $C \cap T$.

D'après l'arbre pondéré: 
$P\left (C \cap T\right ) = P(C)\times P_C(T)= 0,86\times 0,97 = \np{0,8342}$

\item% Montrer que $P(T)$, la probabilité de $T$, est égale à $0,837$.
D'après la formule des probabilités totales:\\
$P(T)= P\left (C \cap T\right ) + P\left (C \cap \overline T \right ) = 0,86\times 0,97 + 0,14\times 0,02 = \np{0,8342}+ \np{0,0028} = 0,837$

\item Une pomme prélevée est acceptée par la machine.
L'événement \og{}la pomme est conforme sachant qu'elle est acceptée par la machine\fg{} est l'événement $P_T(C)$.

$P_T(C) = \dfrac{P(C \cap T)}{P(T)}=\dfrac{\np{0,8342}}{0,837} \approx 0,997$

\end{enumerate}

%\bigskip
%
%\textbf{Partie B : contrôle d'un fournisseur}
%
%\medskip

\subsubsection*{Partie B : contrôle d'un fournisseur}

%L'entreprise a un doute sur la qualité des pommes fournies par l'un de ses fournisseurs, et elle
%envisage de s'en séparer.
%
%Elle procède donc à un contrôle en prélevant, au hasard, un échantillon de $80$~pommes et en
%vérifiant manuellement la conformité de chaque pomme.

On formule l'hypothèse que $86$\,\% des pommes de ce fournisseur sont conformes donc $p=0,86$.

%\medskip

\begin{enumerate}

\item%  Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence de pommes conformes contenues dans un lot de $80$~pommes. (\emph{les bornes de l'intervalle seront arrondies au millième}).

Pour une proportion $p$ et un échantillon de taille $n$, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% est:

{\centering $\left[ p- 1,96 \dfrac{\ds \sqrt{p\left(1-p\right)}}{\ds \sqrt{n}}\:;\: p + 1,96\dfrac{\ds \sqrt{p\left(1-p\right)}}{\ds\sqrt{n}} \right]$\par} 		

Donc l'intervalle de fluctuation asymptotique $I$ au seuil de $95\,\%$ de la fréquence des pommes conformes dans un échantillon de taille 80 est:

\smallskip

{\centering $I = \left[ 0,86- 1,96 \dfrac{\ds \sqrt{0,86\left(1-0,86\right)}}{\ds \sqrt{80}}\:;\: 0,86 + 1,96\dfrac{\ds \sqrt{0,86\left(1-0,86\right)}}{\ds\sqrt{80}} \right] \approx \cd{} 0,783\,;\, 0,937\cg$\par} 	

\item  L'entreprise a constaté que seulement $65$~pommes de l'échantillon étaient conformes.

La fréquence observée de pommes conformes est donc $f=\dfrac{65}{80\rule[-5pt]{0pt}{0pt}} = \np{0,8125}$.

Cette fréquence appartient à l'intervalle $I$ donc il n'y a pas lieu, au vu de l'échantillon étudié, de remettre en cause l'hypothèse selon laquelle 86\,\% des pommes sont conformes.

%Quelle décision est-elle amenée à prendre ?

\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
%
%\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle \cd{}0,5~;~5\cg{} par:
$g(x)= \dfrac{2 \ln (x) + 1}{x}\rule[-5pt]{0pt}{0pt}$.

On note $g'$ sa fonction dérivée et $\Gamma$ sa courbe représentative dans le repère ci-dessous.

Soit B le point de $\Gamma$ d'abscisse 1; la droite (OB) est tangente en B à la courbe $\Gamma$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Déterminer les coordonnées exactes du point A, point d'intersection de la courbe $\Gamma$ avec l'axe des abscisses.
Le point A d'intersection de la courbe $\Gamma$ avec l'axe des abscisses a pour ordonnée 0; son abscisse est solution de l'équation $g(x)=0$.
On résout sur \cd{}0,5\,;\,5\cg{} l'équation $g(x)=0$:

$g(x)=0 \iff \dfrac{2 \ln(x)+1}{x}=0 \iff 2\ln(x)+1=0 \iff \ln(x)=-\dfrac{1}{2} \iff x=\e^{-\frac{1}{2}}$

De plus $\e^{-\frac{1}{2}} \in \cd{}0,5\,;\,5\cg{}$.
Les coordonnées de A sont donc $\left (\e^{-\frac{1}{2}}\,;\,0\right )$.

\item  

	\begin{enumerate}

		\item% Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle [0,5~;~5], on a $g'(x) = \dfrac{1 -2\ln (x)}{x^2}$.
On calcule la dérivée de la fonction $g$ sur \cd{}0,5\,;\,5\cg{}:

$g'(x)=\dfrac{\dfrac{2}{x}\times x - \left (2\ln(x)+1\right )\times 1 }{x^2}= \dfrac{2-2\ln(x)-1}{x^2}=\dfrac{1-2\ln(x)}{x^2}$		
		
		\item% Étudier Je signe de $g'(x)$ sur l'intervalle [0,5~;~5].
Sur \cd{}0,5\,;\,5\cg{} $x^2>0$ donc $g'(x)$ est du signe de $1-2\ln(x)$:

$1-2\ln(x)>0 \iff \dfrac{1}{2} > \ln(x) \iff \e^{\frac{1}{2}} > x$
donc 

$g'(x)>0$ sur $\left [ 0,5\,;\, \e^{\frac{1}{2}}\right[$, 
$g'\left (\e^{\frac{1}{2}}\right )=0$ et
$g'(x)< 0$ sur $\left ] \e^{\frac{1}{2}}\,;\, 5\right]$

		\item% En déduire les variations de $g$ sur l'intervalle [0,5~;~5].
On peut en déduire les variations de la fonction $g$ sur $\cd{} 0,5\,;\, 5\cg{}$:
\begin{list}{\textbullet}{}

\item la fonction $g$ est strictement croissante  sur $\left [ 0,5\,;\, \e^{\frac{1}{2}}\right]$,

\item elle admet un maximum en $x=\e^{\frac{1}{2}}$ et

\item elle est strictement décroissante sur $\left [ \e^{\frac{1}{2}}\,;\,5\right]$

\end{list}

	\end{enumerate}
\item% Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\Gamma$ au point B d'abscisse 1.
Il est dit dans le texte que la droite (OB) est tangente en B à la courbe $\Gamma$; la droite (OB) passe par le point O et le point B d'abscisse 1 et d'ordonnée $g(1)=1$. Donc son équation est $y=x$.

La tangente à la courbe $\Gamma$ en B a pour équation $y=x$.


\item  
	\begin{enumerate}
		\item On note $\mathcal{D}$ le domaine défini par l'axe des abscisses, la courbe $\Gamma$ et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$. 
	
%Par lecture graphique, encadrer par deux entiers l'aire de $\mathcal{D}$, exprimée en unités d'aire.

\begin{center}
\psset{unit=1.75cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-1)(5.5,2.25)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=cyan,gridwidth=0.2pt](-0.5,-1)(5.5,2.25)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.99)(5.5,2.25)
\psframe[fillcolor=red!40,fillstyle=solid](1,0)(3,1.5)
\psframe[fillcolor=red!20,fillstyle=solid](1,0)(3,1.5)
\psline[linestyle=dashed](1,1.5)(0,1.5) \uput[l](0,1.5){$1,5$}
\def\g{x ln 2 mul 1 add x div}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{3}{\g}
\psline(3,0)(1,0)(1,1)}
\rput*(2,0.5){$\mathcal{D}$}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.3}{5}{\g}
\psdots(0.607,0)(1,1)\uput[ul](0.607,0){A}\uput[ul](1,1){B}
\rput(3.5,1.2){$\Gamma$}
\psline[linestyle=dashed](0,1)(3,1) 
\end{pspicture*}
\end{center}


Par lecture graphique, on peut voir que l'aire du domaine $\mathcal{D}$ est comprise entre 2 et 3 unités d'aire.

		\item Soit $G$ la fonction définie sur l'intervalle \cd{}0,5~;~5\cg{} par 
		$G(x) = \ln (x) \left [\ln (x) + 1\right ]$.

%Montrer que $G$ est une primitive de $g$ sur l'intervalle [0,5~;~5].

$G'(x)=\dfrac{1}{x}\left [\ln (x) + 1\right ] + \ln(x)\times \dfrac{1}{x} =
\dfrac{2\ln(x)+1}{x}=g(x)$ donc $G$ est une primitive de $g$ sur \cd{}0,5\,;\,5\cg.

		\item% Déterminer l'aire de $\mathcal{D}$ exprimée en unités d'aire.
La fonction $g$ est dérivable et strictement positive sur \cd{}1\,;\,3\cg{} donc l'aire du domaine $\mathcal D$ est égale à

$\ds\int_1^3 g(t) \d t = G(3)-G(1)= \ln(3)\left (\ln(3)+1\right ) -\ln(1)\left (\ln(1)+2\right )= \ln(3)^2+\ln(3)$ unités d'aire.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
%
%\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Dans une grande entreprise, les commerciaux ont le choix de services de téléphonie mobile
exclusivement entre deux opérateurs concurrents : A et B.

%On s'intéresse aux parts de marché de ces deux opérateurs chez les commerciaux de cette
%entreprise.
%
%Chaque commercial dispose d'un seul abonnement chez l'un ou l'autre des opérateurs : A et B.
%
%Les abonnements sont souscrits pour une période d'un an, à partir du 1\up{er} janvier.
%
%Une statistique, menée sur les choix des commerciaux, a révélé que :
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] parmi les abonnés de l'opérateur A, 18\,\% d'entre eux, en fin d'année, changent d'opérateur ;
%\item[$\bullet~~$] parmi les abonnés de l'opérateur B, 22\,\% d'entre eux, en fin d'année, changent d'opérateur.
%\end{itemize} 
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%On admet que les mouvements d'abonnés d'un opérateur à l'autre se poursuivront dans ces
%proportions dans les années à venir.
% 
%De plus on sait qu'au 1\up{er} janvier 2014, 40\,\% des commerciaux avaient souscrit un abonnement chez A et 60\,\% chez B.
% 
%On note, pour tout entier naturel $n$ :
% 
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$]$u_n$ la proportion de commerciaux disposant d'un abonnement chez A au 1\up{er} janvier de l'année $2014 + n$ :
%\item[$\bullet~~$]$v_n$ la proportion de commerciaux disposant d'un abonnement chez B au 1\up{er} janvier de l'année $2014 + n$.
%\end{itemize} 
%\setlength\parindent{0mm}
%
%On a donc $u_0 = 0,4$ et $v_0 = 0,6$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item% Justifier que $u_{n+1} = 0,82u_n + 0,22v_n$ et que $u_n + v_n = 1$.
On sait que 18\,\% des abonnés à l'opérateur A changent d'abonnement en fin d'année, donc il en reste 82\,\%.

On sait que 22\,\% des abonnés de l'opérateur B  passent chez A l'année suivante.

Donc le nombre $u_{n+1}$ d'abonnés à l'opérateur A l'année $n+1$ est constitué des 82\,\% des abonnés de l'opérateur A l'année $n$, ce qui fait $0,82u_n$, et des 22\,\% d'abonnés de l'opérateur B qui passent chez A, ce qui fait $0,22v_n$.

Donc $u_{n+1}=0,82u_n+0,22v_n$ 

De plus, comme les commerciaux sont abonnés exclusivement chez les opérateurs A et B on peut dire que $u_n+v_n=1$.

\item% En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} =  0,6u_n + 0,22$.
$\left.
\begin{array}{@{} l}
u_{n+1} = 0,82u_n + 0,22v_n\\
u_n + v_n = 1
\end{array}
\right\rbrace 
\Rightarrow
u_{n+1} = 0,82u_n + 0,22\left (1-u_n\right )=0,82u_n +0,22 -0,22u_n = 0,6u_n+0,22$

\item On considère la suite $\left(w_n \right)$ définie pour tout $n$ par $w_n = u_n - 0,55$; donc $u_n=w_n+0,55$.

	\begin{enumerate}

		\item% Montrer que $\left(w_n \right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
Pour tout $n$: 
$\begin{array}[t]{l !{=} l !{=} l}
w_{n+1} & u_{n+1}-0,55 & 0,6u_n+0,22 - 0,55\\
 & 0,6 \left (w_n+0,55\right )-0,33 & 0,6 w_n +0,33-0,33\\
 & \multicolumn{2}{l}{0,6 w_n}
\end{array}$

$w_0= u_0 -0,55 = 0,4-0,55 = -0,15$; on peut donc dire que

la suite $(w_n)$ est une suite géométrique de premier terme $w_0=-0,15$ et de raison $q=0,6$.

		\item% En déduire l'expression de $w_n$ en fonction de $n$.		
La suite $(w_n)$ est une suite géométrique de premier terme $w_0=-0,15$ et de raison $q=0,6$ donc, pour tout $n$: $w_n=w_0\times q^n = -0,15\times (0,6)^n$.

		\item% Montrer que pour tout entier naturel $n,\: u_n = 0,55 - 0,15 \times  (0,6)^n$.
Pour tout $n$, $u_n=w_n+0,55$ et $w_n = -0,15\times (0,6)^n$, donc  $u_n=0,55-0,15\times (0,6)^n$.


	\end{enumerate}

\item% Conjecturer la limite de la suite $\left(u_n \right)$. Comment interpréter ce résultat sur l'évolution des parts de marché dans les années futures ?

En calculant $u_{10}\approx 0,549$, $u_{20}\approx 0,54999$ et $u_{30}\approx 0,54999997$, on peut conjecturer que la suite $(u_n)$ a pour limite $0,55$.

\emph{C'est un résultat du cours: une suite géométrique ayant une raison $q$ telle que $0 \pp q < 1$, a pour limite 0. Donc la suite $(w_n)$ a pour limite 0 et donc la suite $(u_n)$ a pour limite 0,55.} 

Le terme $u_n$ désigne la proportion de commerciaux qui disposent d'un abonnement chez l'opérateur A; cette proportion va donc tendre vers 55\,\%.

\end{enumerate}
	
%\vspace{0,5cm}
%
%\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Une société est spécialisée dans la vente en ligne de produits de haute technologie sur internet.

%\bigskip
%
%\textbf{Partie A}
%
%\medskip

\subsubsection*{Partie A}

%La société réalise tout au long de l'année des journées promotionnelles pour attirer ses clients
%sur son site internet. Elle leur envoie un courrier électronique annonçant chaque journée de
%promotion.
%
%Parmi les clients, 5\,\% d'entre eux ont visité le site internet de la société lors de la première journée de promotion.
%
%Une étude portant sur le comportement des clients auxquels la société a envoyé ce type de
%message a mis en évidence que :
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] trois clients sur cinq ayant visité le site internet lors d'une journée promotionnelle, le visitent à nouveau lors de 1a journée promotionnelle suivante ;
%\item[$\bullet~~$] un client sur cinq n'ayant pas visité le site internet lors d'une journée promotionnelle, le visite lors de la journée promotionnelle suivante.
%\end{itemize} 
%\setlength\parindent{0mm}
%
%On choisit. au hasard, un client ayant reçu le message annonçant la première journée
%promotionnelle.
%
%On formule l'hypothèse que les comportements des clients observés lors de l'étude n'évoluent
%pas d'une journée promotionnelle à la suivante.
%
%Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note l'état probabiliste ainsi défini par la matrice ligne $P_n = \begin{pmatrix}x_n& y_n\end{pmatrix}$, où $x_n$ désigne la probabilité que le client, pris au hasard, visite le site internet de la société lors de la $n$-ième journée de promotion.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item% Pour une journée promotionnelle donnée, on note $V$, l'évènement \og le client a visité le site internet lors de la journée promotionnelle \fg.

On représente la situation décrite dans le texte par un graphe probabiliste de sommets $V$ et $\overline{V}$:

\hfill
\begin{pspicture}(-2,-1)(3,1.2)
\Rnode{V}{$V$} \hskip 4cm \Rnode{Vbar}{$\overline V$}% définition des sommets
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%       différents paramètres
\ncarc{->}{V}{Vbar} \Aput{0,4}%                    arc pondéré partant de V
\ncarc{->}{Vbar}{V} \Aput{0,2}%                    arc pondéré arrivant à V
\nccircle[angleA=90]{->}{V}{4mm}   \Bput{0,6}%     boucle autour de V
\nccircle[angleA=-90]{<-}{Vbar}{.4cm} \Bput{0,8}%  boucle autour de V barre
\end{pspicture}
\hfill\null

\item% Écrire la matrice de transition $M$ de ce graphe en prenant les sommets $V$ et $\overline{V}$ dans cet ordre.
D'après le texte on peut dire que
$\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} l}
x_{n+1} & 0,6 x_{n} + 0,2 y_{n}\\
y_{n+1} & 0,4 x_{n} + 0,8 y_{n}
\end{array}
\right.$

ce qui équivaut à:
$\begin{pmatrix}
x_{n+1} & y_{n+1}
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
x_{n} & y_{n}
\end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix}
0,6 & 0,4 \\ 0,2 & 0,8
\end{pmatrix}$

La matrice de transition est donc
$M=
\begin{pmatrix}
0,6 & 0,4 \\ 0,2 & 0,8
\end{pmatrix}$

\item% En remarquant que $P_1 = \begin{pmatrix}0,05& 0,95\end{pmatrix}$, déterminer $P_2$. Interpréter ce résultat.
$P_1 = \begin{pmatrix}0,05& 0,95\end{pmatrix}$ donc

$P_2=P_1 \times M = 
\begin{pmatrix}0,05& 0,95\end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix} 0,6& 0,4 \\ 0,2 & 0,8\end{pmatrix} \\
\phantom{P_2} = \begin{pmatrix} 0,05\times 0,6 + 0,95\times 0,2  & 
0,05\times 0,4 + 0,95\times 0,8 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0,22 & 0,78
\end{pmatrix}$


\item On admet que le taux de visites se stabilise à long terme.% Montrer que $\begin{pmatrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{pmatrix}$ est un état stable de ce système.

Soit $S$ la matrice $\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{2}{3}\end{pmatrix}$;
elle peut correspondre à un état du système car $\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}=1$.

$S\times M = 
\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{2}{3}\end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix} 0,6& 0,4 \\ 0,2 & 0,8\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} \dfrac{1}{3} \times 0,6 + \dfrac{2}{3} \times 0,2 &
\dfrac{1}{3} \times 0,4 + \dfrac{2}{3} \times 0,8 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\dfrac{0,6}{3}+\dfrac{0,4}{3} & \dfrac{0,4}{3} + \dfrac{1,6}{3}
\end{pmatrix}\\
\phantom{S\times M} =
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3}
\end{pmatrix}$

Donc 
$\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3}
\end{pmatrix}$
est un état stable du système.

\end{enumerate}

%\bigskip
%
%\textbf{Partie B}
%
%\medskip

\subsubsection*{Partie B}

%Le réseau informatique de cette société est constitué d'un ensemble de routeurs interconnectés
%à l'aide de fibres optiques haut débit. Le graphe qui suit schématise l'architecture de ce réseau.
%Les sommets représentent les routeurs et les arêtes représentent les fibres optiques.
%
%On a fait figurer les durées de transfert des données (en millisecondes) d'un routeur à un autre
%sur les fibres optiques du réseau de la société.

%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item% Chaque année la société doit vérifier l'état physique de la fibre optique installée sur son réseau. Un robot inspecte toute la longueur de la fibre optique afin de s'assurer qu'elle ne présente pas de détérioration apparente.

%Peut-il parcourir l'ensemble du réseau en suivant les fibres optiques et en empruntant chaque fibre optique une et une seule fois ? Justifier la réponse.
%
%\begin{figure}
%\centering
%\begin{pspicture}(10,6)
%\psset{arrowsize=2.5pt 3} \psset{arcangle=0}
%\cnodeput(0,3){A}{A} \cnodeput(2.5,6){B}{B} 
%\cnodeput(2.5,3){C}{C} \cnodeput(2.5,0){D}{D}
%\cnodeput(5,4.5){E}{E} \cnodeput(5,1.5){F}{F}
%\cnodeput(7.5,6){G}{G} \cnodeput(7.5,0){H}{H}
%\cnodeput(10,3){I}{I}
%\ncarc{A}{B} \ncput*{30} \ncarc{A}{C} \ncput*{30} \ncarc{A}{D} \ncput*{20}
%\ncarc{A}{F} \ncput*{50}
%\ncarc{B}{C} \ncput*{20}\ncarc{B}{E} \ncput*{10}
%\ncarc{C}{E} \ncput*{40}\ncarc{C}{F} \ncput*{40}
%\ncarc{D}{F} \ncput*{40} 
%\ncarc{E}{F} \ncput*{30}\ncarc{E}{G} \ncput*{40}
%\ncarc{F}{G} \ncput*{10}\ncarc{F}{H} \ncput*{30} \ncarc{G}{H} \ncput*{30} 
%\ncarc{G}{I} \ncput*{10} \ncarc{H}{I} \ncput*{40} 
%\end{pspicture}
%\end{figure}

On veut parcourir le réseau proposé dans cette partie en empruntant chaque arête une et une seule fois; autrement dit on cherche une chaîne eulérienne dans ce graphe.

On note les degrés de chaque sommet:

\begin{center}
\begin{tabular}{|*9{c|}}
\hline
A & \red B & C & D & E & F & G & \red H & I \\
\hline
4 & \red 3 & 4 & 2 & 4 & 6 & 4 & \red 3 & 2 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Il y a exactement deux sommets de degrés impairs dans ce graphe, B et H, donc on peut réaliser des parcours empruntant chaque fibre optique une fois et une seule, partant du routeur B pour se terminer au routeur H, ou partant du routeur H pour se terminer au routeur B.

%Si un tel parcours est possible, préciser par quel(s) routeur(s) du réseau le robot doit commencer son inspection.

\item% Un ordinateur, relié au routeur A envoie un paquet de données à un ordinateur relié au routeur I.

%Le paquet de données a mis $70$~ms pour transiter du routeur A au routeur I. Ce paquet de données a-t-il emprunté le chemin le plus rapide sur le réseau ? Justifier la réponse.

On va chercher, au moyen de l'algorithme de Dijkstra le parcours le plus court reliant A à I:


\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\small
\newcommand{\sur}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{\bf #1}}
\begin{tabular}{|*{10}{c|}}
\hline 
\bf A  &  \bf B  &  \bf C  &  \bf D  &  \bf E   &   \bf F   &   \bf G   &   \bf H   &   \bf I    &{\scriptsize On garde} \\ 
\hline 
0 & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ &  A \\
\hline
$\phantom{30 (A)}$ & 30 (A) & 30 (A) & \sur{20 (A)} & $\infty$ & 50 (A) & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ &  D \\
\hline
 & \sur{30 (A)} & 30 (A) &  & $\infty$ & 50 (A) & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ &   \\[-3pt]
 &  &  &  &  & \sout{60 (B)} &  &  &  & B  \\
\hline
 &  & \sur{30 (A)} &  & 40 (B) & 50 (A) & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ &   \\[-3pt]
 &  & \sout{50 (B)} &  &  &  &  &  &  & C  \\
\hline
 &  &  &  & \sur{40 (B)} & 50 (A) & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ &   \\[-3pt]
 &  &  &  & \sout{70 (C)} & \sout{70 (C)} &  &  &  & E  \\
\hline
 &  &  &  &  & \sur{50 (A)} & 80 (E) & $\infty$ & $\infty$ &   \\[-3pt]
 &  &  &  &  & \sout{80 (E)} &  &  &  & F  \\
\hline
 &  &  &  &  &  & \sout{80 (E)} & 80 (F) & $\infty$ &   \\[-3pt]
 &  &  &  &  &  & \sur{60 (F)}  &        &          & G  \\
\hline
 &  &  &  &  &  &  & 80 (F)        & \sur{70 (G)} &   \\[-3pt]
 &  &  &  &  &  &  & \sout{90 (G)} &              & I  \\
\hline
\end{tabular} }
\end{center} 

\medskip

Le chemin le plus court pour relier A à I est:
A $\stackrel{50}{\longrightarrow}$ 
F $\stackrel{10}{\longrightarrow}$
G $\stackrel{10}{\longrightarrow}$ I

Donc le paquet de données qui a mis 70~ms pour transiter du routeur A au routeur I a emprunté le chemin le plus rapide.
\end{enumerate}
\end{document}