\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} 
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{lscape}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pst-all,pst-func}
% Tapuscrit et corrigé : François Hache
% Relecture : Arié Yallouz
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\DecimalMathComma
\usepackage{colortbl}
\usepackage{multicol}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat ES/L Nouvelle Calédonie - Corrigé},
pdftitle = {mars 2019},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}    
\usepackage[np]{numprint}
\newcommand{\e}{\,\text{e\,}}%%%               le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d}%%%              le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}%%%           le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé de baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}}
\rfoot{\small mars 2019}
\pagestyle{fancy}
\label{NlleCaledonie}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
%\textbf{Durée : 3 heures }
%
%\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Terminale ES/L~\decofourright\\[6pt]
Nouvelle Calédonie -- mars 2019}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Des professeurs d'éducation physique et sportive proposent à leurs élèves de terminale un cycle de demi-fond qui consiste à courir 3 fois 500 mètres.
Le temps cumulé obtenu à l'issue d'un cycle définit une note de performance notée sur 14 points.
Le barème est différent entre les garçons et les filles.
4 classes sont regroupées et $40\,\%$ des élèves sont des filles.
$60\,\%$ des filles obtiennent une note de performance supérieure ou égale à 7 sur 14.

%\smallskip
%
%\emph{Les parties \emph{A}, \emph{B} et \emph{C} sont indépendantes.}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

On choisit un élève au hasard parmi les 120 élèves.

\begin{list}{\textbullet}{On note:}
\item $F$ l'évènement: \og L'élève est une fille \fg{};
\item $G$ l'évènement: \og L'élève est un garçon \fg{};
\item $M$ l'évènement: \og La note de performance est supérieure ou égale à 7 sur 14\fg{}. 
\end{list}

%\emph{Pour tout évènement $E$, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$ et $P(E)$ sa probabilité. Pour tout évènement $F$ de probabilité non nulle, on note $P_{F}(E)$ la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé.}

\begin{enumerate}
\item On construit un arbre de probabilités correspondant à cette situation.

\begin{center}
\bigskip
  \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}}
 {
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$F$}\naput{$0,40$}}
 	  { 
 		  \TR{$M$}\naput{$0,60$}
 		  \TR{$\overline{M}$}\nbput{\blue $1-0,60=0,40$}	   
 	  }
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$G$}\nbput{\blue $1-0,40=0,60$}}
 	  {
 		  \TR{$M$}\naput{}
          \TR{$\overline{M}$}\nbput{} 
     }
}
\bigskip
\end{center}

\item $P(F\cap M) = P(F)\times P_{F}(M) = 0,40 \times 0,60 = 0,24$.
\item On donne $P(M)=0,64$.%, déterminer $P(G\cap M)$ puis en déduire $P_{G}(M)$, arrondie au millième.

D'après la formule des probabilités totales:
$P(M) = P(F\cap M) + P(G\cap M)$

On en déduit:
$P(G\cap M) = P(M) - P(F\cap M) = 0,64 - 0,24 = 0,4$.

On a donc 
$P_{G}(M) = \dfrac{P(G\cap M)}{P(G)} = \dfrac{0,4}{0,6} \approx 0,667$.

\item Sachant qu'une personne interrogée a obtenu une note de performance supérieure ou égale à 7 points sur 14, la probabilité que ce soit une fille est
$P_{M}(F)=\dfrac{P(F\cap M)}{P(M)} = \dfrac{0,24}{0,64} = 0,375$.

\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

On considère un groupe de 70 filles d'un autre établissement.
On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de filles de ce groupe ayant une note de performance supérieure ou égale à 7 sur 14.
Les notes obtenues sont indépendantes les unes des autres.
On admet que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=70$ et $p=0,6$.

La probabilité   qu'exactement 30 filles obtiennent une note de performance supérieure ou égale à 7 est 
$P(X=30) = \ds\binom{70}{30}\times 0,6^{30} \times \left (1-0,6\right )^{70 - 30}$
dont l'arrondi au dix-millième est égal à \np{0,0015}.

\begin{flushleft}
\textbf{Partie C}
\end{flushleft}

Cette épreuve permet de développer sa VMA (vitesse maximale aérobie) qui correspond à une vitesse de course rapide. L'unité de mesure de la VMA est le km/h.
On choisit un élève au hasard parmi les 120 élèves.
On admet que la VMA d'un élève pris au hasard est modélisée par une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu=11,8$ et d'écart type $\sigma = 1,2$.

\begin{enumerate}
\item La probabilité qu'un élève de terminale de ce lycée ait une VMA comprise entre 10 et 13~km/h est
$P(10 \leqslant Y \leqslant 13) \approx 0,775$ (calculatrice).

\item La valeur arrondie au dixième de $\alpha$ tel que $P(Y\leqslant \alpha) = 0,8$ est $12,8$ (calculatrice).
%Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

On peut interpréter ce résultat en disant que le pourcentage d'élèves ayant une VMA inférieure ou égale à $12,8$~km/h est de $80\,\%$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
%\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. \\
%Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponse est exacte.\\
%Une réponse exacte rapporte $0,75$ point, une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.\\
%Aucune justification n'est demandée.}
% 
% \textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre de la réponse choisie.}

\medskip

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction continue et dérivable sur $]0~;\,+\infty[$ définie par $f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}$.

La valeur exacte de $f'(\text{e})$ est:

\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item \fbox{$0$}
\item $\dfrac{1}{\e}$
\item $1$
\item $\e^{2}$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}| p{0.93\linewidth}}
$f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}$ donc $f'(x)=\dfrac{\frac{1}{x}\times x - \ln(x)\times 1}{x^{2}}
= \dfrac{1-\ln(x)}{x^2}$\\[7pt]
$f'(\e)=\dfrac{1-\ln(\e)}{\e^{2}}=\dfrac{1-1}{\e^{2}}=0$
\end{tabular}

\medskip

\item Entre janvier 2005 et décembre 2012, le prix hors taxe du tarif réglementé du gaz a augmenté de $80\,\%$.

Quel est le taux annuel d'augmentation du prix du gaz sur la même période arrondi à $0,01\,\%$?

\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $10\,\%$
\item \fbox{$7,62\,\%$}
\item $6,75\,\%$
\item $8,76\,\%$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}| p{0.93\linewidth}}
Augmenter de $80\,\%$, c'est multiplier par $1,8$.

Il y a 8 années entre  janvier 2005 et décembre 2012, donc on cherche le taux $t$ tel que $(1+t)^8 = 1,8$.

On a donc $1+t=1,8^{\frac{1}{8}}$ donc $1+t \approx \np{1,0762}$ qui correspond à une augmentation annuelle de $7,62\,\%$.
\end{tabular}

\medskip

\item Soit $(u_n)$ la suite géométrique de raison $q=1,05$ et de premier terme $u_1=3$.

La valeur exacte de $S=u_1+u_2+u_3+\cdots+u_{49}$ est égale à:

\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $S=\dfrac{1-1,05^{49}}{1-1,05}$
\item $S=3\times \dfrac{1+1,05^{49}}{1+1,05}$

\columnbreak

\item $S=595,280$
\item \fbox{$S=3\times \dfrac{1-1,05^{49}}{1-1,05}$}
\end{enumerate}
\end{multicols}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}| p{0.93\linewidth}}
On applique la formule
$S = \text{premier terme} \times \dfrac{1- \text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}}$
\end{tabular}

\medskip

\item Lors du passage en caisse dans un supermarché, on considère que le temps d'attente d'un client, exprimé en minute, suit la loi uniforme sur l'intervalle $[0~;\,12]$.

Quelle est la probabilité que le temps d'attente d'un client soit compris entre 2 et 5 minutes?

\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item \fbox{$\dfrac{1}{4}$}
\item $\dfrac{7}{12}$
\item $\dfrac{1}{12}$
\item $\dfrac{1}{3}$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}}| p{0.93\linewidth}}
Si la variable aléatoire qui donne le temps d'attente s'appelle $T$, on a:\\
$P\left (T \in \left [2~;\,5\strut\right ] \right ) = \dfrac{5-2}{12-0} = \dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$.
\end{tabular}

\end{enumerate}

%\newpage

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

%\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier.\\
%Une réponse exacte justifiée rapporte 1 point, une réponse fausse, non justifiée ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item  Lors d'une élection, un candidat sollicite un institut de sondage pour qu'il détermine un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ de la proportion des intentions de vote en sa faveur.

\medskip

\textbf{Affirmation 1}: Afin que cet intervalle ait une amplitude inférieure ou égale à $0,02$, l'institut de sondage doit interroger au minimum \np{10000} personnes. 

\medskip

Un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ est donné par $\left [ f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;\,f+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right ]$, où $f$ est la fréquence des intentions de vote dans un échantillon de taille $n$. L'amplitude de cet intervalle est $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.
Cette amplitude est inférieure ou égale à $0,02$ si et seulement si

$\dfrac{2}{\sqrt{n}} \leqslant 0,02 \iff \dfrac{2}{0,02} \leqslant \sqrt{n} \iff 100 \leqslant \sqrt{n}
\iff \np{10000} \leqslant n$

\medskip

\textbf{Affirmation 1 vraie}

\medskip

\item On considère une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale de moyenne 6.

On donne ci-dessous la courbe qui représente la densité $f$ associée à la variable aléatoire $X$.
La partie grisée vaut $0,95$ unité d'aire.

\medskip

\begin{center}
\scalebox{0.6}
{
\psset{xunit=0.5cm,yunit=50cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-3,-0.015)(15,0.15)

\pscustom[fillstyle=solid,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, fillcolor=lightgray]
{
\psGauss[linewidth=0pt,mue=6,sigma=3]{0}{12}
\psplot{12}{0}{0}
\closepath 
}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=0.02](0,0)(-3,-0.015)(15,0.15)
\psGauss[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,mue=6,sigma=3]{-4}{17}
{\psset{linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=gray}
\multido{\n=0+0.02}{8}{\psline(-3,\n)(16,\n)}
\multido{\n=-2+2}{9}{\psline(\n,-0.3)(\n,0.16)}
}
\end{pspicture*}
}%%% fin de scalebox
\end{center}

\medskip

\textbf{Affirmation 2}: L'écart type de $X$ est égal à 6.

\medskip

D'après le graphique: $P(0 \leqslant X \leqslant 12)=0,95$ autrement dit 
$P(6 - 2\times 3 \leqslant X \leqslant 6+2\times 3)=0,95$.

On sait que $P(\mu-2\sigma \leqslant X \leqslant \mu+2\sigma)\approx 0,95$ et que $\mu=6$, donc on peut en déduire que $\sigma \approx 3$.

\medskip

\textbf{Affirmation 2 fausse}


\end{enumerate}


%\vspace{0,5cm}
\newpage

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi l'enseignement de  spécialité et candidats de L}

\medskip

Une colonie de vacances héberge des enfants dans des tentes de 10 places chacune. Pendant l'été 2017, 160 enfants ont participé à cette colonie.
À la suite d'une étude prévisionnelle, on estime que, chaque année, $80\,\%$ des enfants déjà inscrits se réinscrivent l'année suivante et 50 nouveaux enfants les rejoignent.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item% Donner une estimation du nombre d'enfants inscrits à l'été 2018.
Il y a 160 inscrits en 2017. On en garde $80\,\%$ donc on en garde $160\times \dfrac{80}{100}=128$.

Comme il y a 50 nouveaux, cela  fait $128+50=178$ inscrits pour 2018.

\item %Donner le nombre minimal de tentes nécessaire pour loger l'ensemble des inscrits pendant l'été 2018.
Pour loger 178 enfants dans des tentes de 10 places, il faut 18 tentes.

\end{enumerate}
\item Soit $(u_n)$ la suite numérique qui modélise le nombre d'inscrits lors de l'année $2017+n$. Ainsi $u_0=160$.

%Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel $n$, on a: $u_{n+1} = 0,8 u_n + 50$.
Prendre $80\,\%$, c'est multiplier par $0,8$.

Comme il y a 50 nouveaux chaque année, on passe du nombre d'inscrits l'année $n$ à l'année $n+1$ en multipliant par $0,8$ puis en ajoutant 50; donc, pour tout $n$, $u_{n+1}=0,8u_n+50$.

\item Voici la copie d'écran d'une feuille de tableur utilisée pour déterminer les valeurs des termes de la suite.

\begin{center}
\newcommand{\ca}{\centering\arraybackslash}
\begin{tabular}{| >{\cellcolor{lightgray}}c|c| *6{>{\ca}p{1cm}|}}
\hline
\rowcolor{lightgray} &A & B & C & D  & E & F & G\\
\hline
1 & indice $n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4  & 5\\
\hline
2 & valeur de $u(n)$ &  160 &   &  & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item La  formule que l'on peut saisir dans la cellule \texttt{C2} pour obtenir, par recopie vers la droite, le nombre d'inscrits l'année $2017+n$ est \fbox{\texttt{= 0.8*B2 + 50}}.

\item On complète ce tableau en arrondissant chacune des valeurs à l'entier:

\begin{center}
\newcommand{\ca}{\centering\arraybackslash}
\begin{tabular}{| >{\cellcolor{lightgray}}c|c| *6{>{\ca}p{1cm}|}}
\hline
\rowcolor{lightgray} &A & B & C & D  & E & F & G\\
\hline
1 & indice $n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4  & 5\\
\hline
2 & valeur de $u(n)$ &  160 & \textcolor{blue}{178}  & \textcolor{blue}{192}  & \textcolor{blue}{204} & \textcolor{blue}{213} & \textcolor{blue}{221} \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item $2021=2017+4$ donc une estimation du nombre d'inscrits en 2021 est $u_4=213$.
\end{enumerate}

\item Soit $(v_n)$ la suite numérique dont le terme général est défini par $v_n=u_n-250$ pour tout $n\in\N$. Donc on a: $u_n=v_n+250$.
\begin{enumerate}
\item %Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0,8$ et préciser son terme initial.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $v_{n+1} = u_{n+1} -250 = 0,8 u_n +50 - 250 = 0,8\left (v_n+250 \right ) -200
= 0,8 v_n + 200 - 200 = 0,8 v_n$
\item $v_0 = u_0 - 250 = 160 - 250 = -90$
\end{list}

Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q=0,8$ et de terme initial $v_0=-90$.

\item %Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
On déduit de la question précédente que, pour tout $n$, $v_n=v_0\times q^n = -90\times 0,8^n$.

\item% Montrer que, pour tout $n\in\N$, $u_n=250 - 90\times 0,9^n$.
$v_n = -90\times 0,8^n$ et $u_n=v_n+250$ donc, pour tout $n$, $u_n=250-90\times 0,8^n$.

\item% Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0,8$ et $0<0,8<1$ donc la suite $(v_n)$ a pour limite 0. Comme $u_n=v_n+250$, on en déduit que la suite $(u_n)$ a pour limite 250.

Cela veut dire que si le modèle est correct, le nombre d'inscrits va tendre vers 250.
%Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

\end{enumerate}

\item En 2017, la colonie comptait 22 tentes donc pouvait loger 220 enfants.

Il faudra construire une nouvelle tente quand le nombre d'enfants dépassera 220.

Afin de déterminer à partir de quelle année il sera nécessaire de construire une nouvelle tente, on propose un algorithme.



\begin{enumerate}
\item On complète l'algorithme proposé:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$U \leftarrow 160$\\
$N \leftarrow 0$\\
Tant que \textcolor{blue}{$U \leqslant 220$} faire \hspace*{1cm}\\
\hspace*{1cm} $U\leftarrow 0,8\, U + 50$\\
\hspace*{1cm} $N \leftarrow \textcolor{blue}{N+1}$\\
Fin tant que\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item %Quelle est la valeur de $N$ obtenue après exécution de cet algorithme?
On a calculé dans le tableau $u_5=221>220$ donc la valeur de $N$ après exécution de cet algorithme est 5.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\newpage
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $[-2~;\,6]$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}$ est donnée ci-dessous.

Le point A de coordonnées $(0~;\,3)$ est l'unique point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}$ sur l'intervalle  $[-2~;\,6]$.

La droite $T$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A.

La courbe $\mathcal{C}$ admet une tangente horizontale au point B d'abscisse $-1$.
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{flushright}
\scalebox{0.7}{
\psset{unit=0.9cm,arrowsize=3pt 3}
\def\xmin {-2.5}   \def\xmax {6.5}
\def\ymin {-2.3}   \def\ymax {6.5}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray](0,0)(-3,-3)(7,7)
{\psset{linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=gray}
\multido{\i=-2+1}{9}{\psline(-3,\i)(7,\i) \psline(\i,-3)(\i,7)}
}
\psaxes[ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)%[$x$,110][$y$,-10] 
\def\f{x 2 add 2.7183 x neg exp mul 1 add}                           % définition de la fonction
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
{
\psplot{-1}{0}{\f} 
\psplot{0}{-1}{0}
\closepath % indispensable !
}
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue]{-2}{6}{\f}
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue]{-3}{6}{x neg 3 add}
\uput[ur](4,1.11){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[dl](4,-1){\blue $T$}
\uput{8pt}[dl](0,0){$0$}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.5](-1,3.7183)(0,3)
\uput[d](-1,3.7183){B} \uput[ur](0,3){A}
\psframe[hatchcolor=blue,fillstyle=vlines](-1,0)(0,3)
\psframe[hatchcolor=red,fillstyle=hlines](-1,0)(0,4)
\end{pspicture*}
}%%% fin du scalebox
\end{flushright}
\end{minipage}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

%En utilisant le graphique, répondre aux questions suivantes:

\begin{enumerate}
\item $\text A \in \mathcal{C}$ donc$f(0)=3$.
\item $f'(0)=-1$, donc la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A a pour équation $y=-x+3$.
\item D'après les variations de la fonction $f$,  $f'>0$ sur $[-2~;\,-1[$ et $f'<0$ sur $]-1~;\,6]$..
\item $f$ est concave sur $[-2~;\,0[$ et convexe sur $]0~;\, 6]$.
\item $I=\ds\int_{-1}^{0} f(x) \d x$ est égale à l'aire de la portion de plan comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les deux droites d'équations $x=-1$ et $x=0$, donc $3 < I < 4$.
\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

La fonction $f$ est définie par $f(x)=(x+2)\e^{-x}+1$ pour tout $x \in [-2~;\,6]$.
\begin{enumerate}
\item $f(6)=(6+2)\e^{-6}+1 = 8\e^{-6}+1 \approx 1,02$% puis en donner la valeur arrondie au centième.
\item Pour tout $x \in [-2~;\,6]$, $f'(x)=1\times \e^{-x} + (x+2)\times (-1)\e^{-x} +0 = (1-x-2)\e^{-x}=(-x-1)\e^{-x}$.

\item% Étudier le signe de $f'$ sur $[-2~;\,6]$ puis donner le tableau des variations de $f$ sur $[-2~;\,6]$.
Pour tout $x$, $\e^{-x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $-x-1$ donc s'annule et change de signe pour $x=-1$.

$f(-2) = (-2+2)\e^{2}+1=1$; $f(-1)=(-1+2)\e^{1}+1=\e+1\approx 3,72$

On établit le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[-2~;\,6]$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & -2  & \esp & -1 & \esp\esp & 6 \\ 
\hline
-x-1 &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{\e+1}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{1} &   &  &  &   \Rnode{min2}{8\e^{-6}+1} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}

\item Un logiciel de calcul formel donne l'information suivante:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
$\begin{array}{|lr|}
\hline
\texttt{Dériver } \left ( (-x-3)\e^{-x}\strut\right ) & \\
\hline
& (x+2)\e^{-x}\\
\hline
\end{array}$
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Déterminer une primitive de $f$ sur $[-2~;\,6]$.
Soit $F$ la fonction définie sur $[-2~;\,6]$ par $F(x)=(-x-3)\e^{-x} +x$.

D'après le logiciel de calcul formel, $F'(x) = (x+2)\e^{-x}+1=f(x)$ donc la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $[-2~;\,6]$.

\item La valeur moyenne de $f$ sur $[-1~;\,0]$ est $V=\dfrac{1}{0-(-1)}\ds\int_{-1}^{0} f(x) \d x = I$.

D'après le cours: $I=F(0)-F(-1) = \left ( -3\e^{0} + 0\right ) - \left (-2\e^{1} +(-1) \right ) = 2\e - 2 \approx 3,4$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}