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%%%Sujet aimablement fourni par Nathalie Leroy
%%% Tapuscrit Denis Vergès
%%% Corrigé : François Hache
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%   Commandes perso FH
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\renewcommand{\d}{\,\text{d}\,} % le d de différentiation
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\begin{document}
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\lhead{\small Baccalauréat S}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{14 novembre 2013}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S  Nouvelle-Calédonie~14/11/2013}~\decofourright}

\vspace{0,2cm}

\textbf{\Large Corrigé}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points} %\part{Exercice 1}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $f$ la fonction dérivable, définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par 
$f(x) = \text{e}^x + \dfrac{1}{x}$.
 
\begin{enumerate}
\item \textbf{Étude d'une fonction auxiliaire} 
	\begin{enumerate}
		\item Soit la fonction $g$ dérivable, définie sur 
		$[0~;~ +\infty[$ par $g(x) = x^2\text{e}^x - 1$.
		 
%Étudier le sens de variation de la fonction $g$. 

Pour tout réel $x$ de $[0~;~+\infty[$:
$g'\(x\) = 2x \e^x + x^2\text{e}^x \geqslant 0$ sur $]0~;~ +\infty[$ (car tous les termes sont positifs.

La fonction $g$ est strictement croissante sur $[0~;~ +\infty[$ (car la dérivée ne s'annule qu'en $0$).

		\item %Démontrer qu'il existe un unique réel $a$ appartenant à $[0~;~ +\infty[$ tel que $g(a) = 0$.
$g\(0\)=-1<0$ et $g\(1\)=\e - 1 >0$. Dressons le tableau de variations de $g$:

\begin{center}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
$\begin{array}{|c|*7{c}|}
\hline
x & 0 & \hspace*{1cm}   & \Rnode{A}{a} & \hspace*{1cm} & \Rnode{un}{1} & \hspace*{2cm}  &   +\infty  \rule[-8pt]{0pt}{22pt}\\ 
%\hline
%f'\(x\) &    & \pmb{-}  & \vline\hspace{-2.7pt}0    & \pmb{+} &   \rule[-6pt]{0pt}{18pt} \\ 
\hline
 &  &  &    &  &      & & \Rnode{plusinf}{} \\ %\rule{0pt}{12pt} 
g\(x\)   &   &   &  &    &  & & \\ 
 & \Rnode{moins1}{-1} &   &  & & &  &    
 \ncline{->}{moins1}{plusinf}
 %\ncline{->}{moins5}{plusinf}
 \rput(-5,0.35){\fcolorbox{white}{white}{\Rnode{zero}{0}}}
 \rput(-3.1,0.55){\fcolorbox{white}{white}{\Rnode{E}{\e -- 1}}}
 \ncline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt]{zero}{A}
  \ncline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt]{un}{E}
   \\ 
\hline
 
\end{array} $	
\end{center}	


D'après ce tableau de variations, l'équation $g\(x\)=0$ admet une solution unique dans l'intervalle $[0\,; 1]$; on appelle $a$ cette solution.
		 
%Démontrer que $a$ appartient à l'intervalle [0,703~;~0,704[. 

$g\(0,703\) \approx -0,0018 <0$ et $g\(0,704\) \approx 0,002  >0$ donc
$a \in [0,703\,; 0,704]$.

		\item %Déterminer le signe de $g(x)$ sur $[0~;~ +\infty[$.
\begin{tabular}[t]{@{}ll}
D'après le tableau de variations de $g$: & \textbullet\ $g\(x\)<0$ sur $[0\,; a[$\\
 & \textbullet\ $g\(x\)>0$ sur $]a \,; +\infty[$
\end{tabular}		
		
		
	\end{enumerate} 
\item \textbf{Étude de la fonction } {\boldmath $f$} 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+ \infty$. 
\ \\[-22pt]

$\left. 
\begin{array}{r}
\limit{x}{0} \e^x=1\\[8pt]
\limit{x}{0 \atop x>0} \dfrac{1}{x}= +\infty
\end{array}
\right\rbrace  
\Longrightarrow
\limit{x}{0 \atop x>0} \e^x + \dfrac{1}{x}=+\infty
\Longrightarrow 
\limit{x}{0 \atop x>0} f\(x\)=+\infty$		

\medskip

$\left. 
\begin{array}{r}
\limit{x}{+\infty} \e^x=+\infty\\
\limit{x}{+\infty} \dfrac{1}{x}=0
\end{array}
\right\rbrace  
\Longrightarrow
\limit{x}{+\infty} \e^x + \dfrac{1}{x}=+\infty
\Longrightarrow 
\limit{x}{+\infty} f\(x\)=+\infty$		
		
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.
		 
%Démontrer que pour tout réel strictement positif $x,\: f'(x) =  \dfrac{g(x)}{x^2}$. 

$f(x) = \text{e}^x + \dfrac{1}{x} \Longrightarrow f'\(x\)=\e^x -\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{x^2\e^x-1}{x^2}=\dfrac{g\(x\)}{x^2}$

		\item %En déduire le sens de variation de la fonction $f$ et dresser son tableau de variation sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. 
Pour tout $x$ de $]0~;~ +\infty[$, $x^2>0$ donc $f'\(x\)$ est du signe de $g\(x\)$. 	

On dresse le tableau de variation de $f$:


\begin{center}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
$\begin{array}{|c|*6{c}|}
\hline
x & 0 & & \hspace*{1cm} & a & \hspace*{1cm} & +\infty \rule[-8pt]{0pt}{22pt}\\ 
\hline
g\(x\) &  -1 & & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \rule[-6pt]{0pt}{18pt} \\ 
\hline
f'\(x\) &  \vline\;\vline &  & \pmb{-}  & \vline\hspace{-2.7pt}0    & \pmb{+} &   \rule[-6pt]{0pt}{18pt} \\ 
\hline
 & \vline\;\vline & \Rnode{inf1}{+\infty} &  &    &  &   \Rnode{inf2}{+\infty} \\ %\rule{0pt}{12pt} 
f\(x\) &    \vline\;\vline & &   &  &    &  \\ 
 & \vline\;\vline &   &  & \Rnode{A}{f\(a\)} & &    
 \ncline{->}{inf1}{A} \ncline{->}{A}{inf2} \\ 
\hline
 
\end{array} $	
\end{center}	
	
		
		\item %Démontrer que la fonction $f$ admet pour minimum le nombre réel 
D'après son tableau de variation, la fonction $f$ admet le nombre $f\(a\)$ comme minimum sur son intervalle de définition.

$f\(a\)=\e^a+\dfrac{1}{a}$.
Or $a$ est la solution de l'équation $g\(x\)=0$ donc\\
$g\(a\)=0 \iff a^2\e^a-1=0 \iff a^2\e^a=1 \iff \e^a = \dfrac{1}{a^2}$.

On en déduit que $f\(a\)=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{a}$ et on a donc démontré que la fonction $f$ admettait pour minimum sur $]0~;~ +\infty[$ le nombre réel $m=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{a}$.		
		
		\item %Justifier que $3,43 < m < 3,45$.

%$m=\dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{a}=\dfrac{a+1}{a^2} = \dfrac{1}{a^2}\(a+1\)$

On a successivement(en valeurs approchées):

\begin{multicols}{2}
\renewcommand{\columnseprule}{0.5pt}

$\begin{array}{r @{\ <\ } c @{\ <\ } l}
0,703 & a & 0,704\\[5pt]
0,4942 & a^2 & 0,4957 \\[5pt]
\dfrac{1}{0,4957} & \dfrac{1}{a^2} & \dfrac{1}{0,4942}\\[10pt]
2,017 & \dfrac{1}{a^2} & 2,024
\end{array}$

\columnbreak

$\begin{array}{r @{\ <\ } c @{\ <\ } l}
0,703 & a & 0,704\\[5pt]
\dfrac{1}{0,704} & \dfrac{1}{a} & \dfrac{1}{0,703} \\[10pt]
1,420 & \dfrac{1}{a} & 1,423
\end{array}$

\end{multicols}		
		
donc par somme: $2,017 + 1,420 < \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{a} < 2,024 + 1,423 $ et donc:

$3,43 < m < 3,45$
		
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
%\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} %\part{Exercice 2}

\textbf{Commun à tous les candidats}



\medskip

Soient deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies par $u_{0} = 2$ et $v_{0} = 10$ et pour tout $n \in \N$ par
  		 
$u_{n+1} = \dfrac{2u_{n} + v_{n}}{3}	\quad \text{et}\quad	 v_{n+1} = 	\dfrac{u_{n} + 3v_{n}}{4}$

\medskip

 
\textbf{PARTIE A} %\section{partie A}

 
%On considère l'algorithme suivant :

\begin{multicols}{2}
{\small
\begin{tabular}{|l l|}
\hline 
\textbf{Variables :}& 	$N$ est un entier\\ 
&$U, V, W$ sont des réels\\ 
&$K$ est un entier \\
\textbf{Début :}& Affecter $0$ à $K$\\ 
&Affecter 2 à $U$ \\
&Affecter 10 à $V$\\ 
&Saisir $N$\\ 
&Tant que $K < N$\\
&\begin{tabular}{l|l}
\hspace{0,3cm} & Affecter $K + 1$ à $K$ \\
\hspace{0,3cm} & Affecter $U$ à $W$ \\ 
\hspace{0,3cm} & Affecter $\dfrac{2U+V}{3}$ à $U$ \rule[-10pt]{0pt}{28pt} \\
\hspace{0,3cm} & Affecter $\dfrac{W+3V}{4}$ à $V$ \\[5pt]  
\end{tabular}\\
&Fin tant que\\ 
&Afficher $U$ \\
&Afficher $V$\\ 
\textbf{Fin}&\\ 
\hline
\end{tabular}
}

\columnbreak
 
\vspace*{1.2cm} 
 
\begin{center}
\'Etat des variables: 

\vspace*{0.5cm} 
 
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
\begin{tabular}{|*4{c|}}
\hline  
$K$& $W$&$U$&$V$\\ \hline 
0& --- & 2 & 10\\ \hline 
1& 2 & $14/3$ & 8\\ \hline
2& $14/3$ & $52/9$ & $43/6$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\end{multicols}

\textbf{PARTIE  B} %\section{partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} - u_{n+1} = \dfrac{5}{12} \left(v_{n} - u_{n}\right)$. 
Pour tout entier naturel $n$,

$v_{n+1}-u_{n+1} = \dfrac{u_n+3v_n}{4}-\dfrac{2u_n+v_n}{3} = \dfrac{3\(u_n+3v_n\)}{12} - \dfrac{4\(2u_n+v_n\)}{12}\\[8pt]
\phantom{v_{n+1}-u_{n+1}} =\dfrac{3u_n+9v_n-8u_n-4v_n}{12} = \dfrac{5v_n-5u_n}{12} = \dfrac{5}{12}\(v_n-u_n\)$
		
		\item Pour tout entier naturel $n$ on pose $w_{n} = v_{n} - u_{n}$.
		 
%Montrer que pour tout entier naturel $n,\: w_{n} = 8 \left(\dfrac{5}{12} \right)^n$.
D'après la question précédente, on peut dire que la suite $\(w_n\)$ est géométrique de raison $\dfrac{5}{12}$ et de premier terme $w_0=v_0-u_0=10-2=8$.

D'après le cours (forme explicite d'une suite géométrique) on peut dire que, pour tout entier naturel $n$, $w_n=8\(\dfrac{5}{12}\)^n$.

	\end{enumerate} 

\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante et que la suite $\left(v_{n}\right)$ est décroissante. 

$u_{n+1}-u_n = \dfrac{2u_n+v_n}{3}-\dfrac{3u_n}{3}= \dfrac{2u_n+v_n-3u_n}{3}=\dfrac{v_n-u_n}{3}=\dfrac{w_n}{3}$

On a vu que, pour tout $n$, $w_n=8\(\dfrac{5}{12}\)^n$; on peut en déduire que pour tout $n$, $w_n>0$ et donc que, pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n>0$.

Donc la suite $\(u_n\)$ est croissante.

\smallskip

$v_{n+1}-v_n=\dfrac{u_n+3v_n}{4}-\dfrac{4v_n}{4}= \dfrac{u_n+3v_n-4v_n}{4} =\dfrac{u_n-v_n}{4}=\dfrac{-w_n}{4}$

Et comme $w_n>0$, on peut dire que $v_{n+1}-v_n<0$ pour tout $n$.

Donc la suite $\(v_n\)$ est décroissante.

		\item %Déduire des résultats des questions 1. b. et 2. a. que pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n} \leqslant 10$ et $v_{n} \geqslant 2$. 
On a vu que, pour tout $n$, $w_n>0$; donc, pour tout $n$, $v_n-u_n>0$ c'est-à-dire $v_n>u_n$.

La suite $\(v_n\)$ est décroissante donc, pour tout $n$, $v_n \pp v_0 \iff v_n \pp 10$.

Pour tout entier naturel $n$,
$\left. 
\begin{array}{r}
v_n >u_n\\
v_n \pp 10
\end{array}
\right\rbrace 
\Longrightarrow
u_n \pp 10$.

\smallskip

La suite $\(u_n\)$ est croissante donc pour tout $n$, $u_n \pg u_0 \iff u_n \pg 2$.

Pour tout entier naturel $n$,
$\left. 
\begin{array}{r}
v_n >u_n\\
u_n \pg 2
\end{array}
\right\rbrace 
\Longrightarrow
v_n \pg 2$.
		
		\item %En déduire que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont convergentes.
La suite $\(u_n\)$ est croissante majorée par 10 donc, d'après le théorème de la convergence monotone, la suite $\(u_n\)$ est convergente vers un réel $\ell_u$.

La suite $\(v_n\)$ est décroissante minorée par 2 donc, d'après ce même théorème, la suite $\(v_n\)$ est convergente vers un réel $\ell_v$.
				
	\end{enumerate} 
	
\item %Montrer que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ ont la même limite.

La suite $\(w_n\)$, définie par $w_n=v_n-u_n$, est convergente comme différence de deux suites convergentes, et sa limite est égale à $\ell_v - \ell_u$.

Or la suite $\(w_n\)$ est géométrique de raison $\dfrac{5}{12}$ et $-1 < \dfrac{5}{12} < 1$; donc on peut dire que la suite $\(w_n\)$ est convergente vers 0.

La limite d'une suite est unique donc $\ell_v - \ell_u = 0$ et donc $\ell_v=\ell_u$; les suites $\(u_n\)$ et $\(v_n\)$ ont donc la même limite qu'on appelle $\ell$.
 
\item %Montrer que la suite $\left(t_{n}\right)$ définie par $t_{n} = 3u_{n} + 4v_{n}$ est constante. 
$t_{n+1}=3u_{n+1}+4v_{n+1} = 3\times\dfrac{2u_n+v_n}{3}+4\times\dfrac{u_n+3v_n}{4}=2u_n+v_n+u_n+3v_n \\[5pt]
\phantom{t_{n+1}} = 3u_n+4v_n=t_n$
donc la suite $\(t_n\)$ est constante.

$t_0=3u_0+4v_0= 3\times 2+4\times 10=6+40=46$

Comme la suite $\(t_n\)$ est constante, pour tout $n$, $t_n=t_0=46$; la suite $\(t_n\)$ est donc convergente vers 46.

Les suites $\(u_n\)$ et $\(v_n\)$ sont toutes les deux convergentes vers $\ell$ donc la suite $\(t_n\)$ définie par $t_n=3u_n+4v_n$ est convergente vers $3\ell + 4\ell = 7\ell$.

La limite d'une suite est unique donc $7\ell = 46 \iff \ell= \dfrac{46}{7}$.

La limite  commune des suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ est donc $\dfrac{46}{7}$. 


\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}%   \part{Exercice 3}


\textbf{Commun à tous les candidats}



%\medskip
% 
%\emph{Tous les résultats numériques devront être donnés sous forme décimale et arrondis au dix-millième} 
%
%\medskip
%
%Une usine fabrique des billes sphériques dont le diamètre est exprimé en millimètres.
% 
%Une bille est dite hors norme lorsque son diamètre est inférieur à 9~mm ou supérieur à 11~mm.
%
%\bigskip
 
\textbf{Partie A}% \section{partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %On appelle $X$ la variable aléatoire qui à chaque bille choisie au hasard dans la production associe son diamètre exprimé en mm.
 
%On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance $10$ et d'écart-type $0,4$. 

%Montrer qu'une valeur approchée à \np{0,0001} près de la probabilité qu'une bille soit hors norme est \np{0,0124}. On pourra utiliser la table de valeurs donnée en annexe. 

Une bille est dans la norme si son diamètre est entre 9 et 11~mm; donc la probabilité qu'une bille soit dans la norme est 

$P\(9 \pp X \pp 11\) = P\(X\pp 11\) - P\(X\pp 9\)$.

La probabilité que la bille soit hors norme est donc:

$1-\(P\(X\pp 11\) - P\(X\pp 9\)\) = 1-\(\np{0,99379034}-\np{0,00620967}\) = 1-\np{0,98758067}=\np{0,01241933}$; donc une valeur approchée à \np{0,0001} de la probabilité qu'une bille soit hors norme est \np{0,0124}.

\item %On met en place un contrôle de production tel que 98\,\% des billes hors norme sont écartés et 99\,\% des billes correctes sont conservées.
 
%On choisit une bille au hasard dans la production. On note $N$ l'évènement : \og la bille choisie est aux normes \fg, $A$ l'évènement : \og la bille choisie est acceptée à l'issue du contrôle \fg. 

	\begin{enumerate}

		\item On construit un arbre pondéré qui réunit les données de l'énoncé:

\begin{center}
\psset{treemode=R,nodesep=0mm,levelsep=40mm}% treesep=15mm
\pstree{\Tdot}
	   {
	   \pstree{\Tdot~[tnpos=a]{$N$}\taput{\np{0,9876}}}
	          {
	          \Tdot~[tnpos=a]{$A$}\taput{0,99}
	          \Tdot~[tnpos=b]{$\overline A$}\tbput{0,01}
	          } 
	   \pstree{\Tdot~[tnpos=b]{$\overline N$}\tbput{\np{0,0124}}}
	          {
	          \Tdot~[tnpos=a]{$A$}\taput{0,02}
	          \Tdot~[tnpos=b]{$\overline A$}\tbput{0,98}
	          }
	   }
\end{center}



		\item %Calculer la probabilité de l'évènement $A$. 
D'après la formule des probabilités totales:

$P\(A\)=P\(N \cap A\) + P\(\overline N \cap A\) = P\(N\)\times P_N\(A\) + P\(\overline N\) \times P_{\overline N}\(A\)\\
\phantom{P\(A\)}= \np{0,9876} \times 0,99 + \np{0,0124} \times 0,02 = \np{0,977724} + \np{0,000248} = \np{0,977972}\\
\phantom{P\(A\)} \approx \np{0,9780}$		

La probabilité de $A$ est $\np{0,9780}$ (arrondie au dix-millième).		
		
		\item %Quelle est la probabilité pour qu'une bille acceptée soit hors norme ?
On cherche: $P_A\(\overline N\) = \dfrac{P\(A \cap \overline N\)}{P\(A\)} = \dfrac{\np{0,000248}}{\np{0,977972}} \approx \np{0,0003}$

La probabilité qu'une bille acceptée soit hors norme est \np{0,0003} (arrondie au dix-millième).		

	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}% \section{partie B}

%\medskip
%
%Ce contrôle de production se révélant trop coûteux pour l'entreprise, il est abandonné : dorénavant, toutes les billes produites sont donc conservées, et elles sont conditionnées par sacs de 100 billes. 
%
%On considère que la probabilité qu'une bille soit hors norme est de \np{0,0124}.
% 
%On admettra que prendre au hasard un sac de $100$~billes revient à effectuer un tirage avec remise de $100$~billes dans l'ensemble des billes fabriquées.
% 
%On appelle $Y$ la variable aléatoire qui à tout sac de $100$~billes associe le nombre de billes hors norme de ce sac.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $Y$ ? 

La probabilité qu'une bille soit hors norme est \np{0,0124} : on admet que prendre au hasard un sac de 100 billes revient à effectuer un tirage avec remise de 100 billes dans l'ensemble des billes fabriquées.

Donc la variable aléatoire $Y$ qui, à tout sac de 100 billes, associe le nombre de billes hors norme, suit une loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p= \np{0,0124}$.
%$\mathcal B\(100\,; 0,0124\)$

\item %Quels sont l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire $Y$ ? 

L'espérance mathématique et l'écart type d'une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ sont respectivement
$np$ et $\sqrt{\,np\(1 - p\)\;}$.

Donc $E\(Y\)= np =100 \times \np{0,0124} =1,24$ 

et $\sigma\(Y\)= \sqrt{\,np\(1-p\)\;} = \sqrt{\,100\times \np{0,0124} \times \np{0,9876} \vphantom{\large \text 1}\;} \approx \np{1,1066}$.

\item La probabilité pour qu'un sac de $100$~billes contienne exactement deux billes hors norme est $P\(Y = 2\)$.

$P\(Y=2\)=\displaystyle \binom{n}{2}\,p^2\(1-p\)^{n-2} = \binom{100}{2}\times \np{0,0124}^2\times \np{0,9876}^{\;98} =$

$ 50 \times 99 \times \np{0,0124}^2\times \np{0,9876}^{\;98}\approx \np{0,224076} \approx \np{0,2241}$.

\item %Quelle est la probabilité pour qu'un sac de $100$~billes contienne au plus une bille hors norme ? 
Un sac de billes contient au plus une bille hors norme est l'événement $\(Y \pp 1\)$.

$\displaystyle P\(Y \pp 1\) = P\(Y =0\) + P\(Y = 1\)\\[5pt]
\phantom{P\(Y \pp 1\)} =  \binom{100}{0}\times 0,0124^0\times \np{0,9876}^{\;100} +  \binom{100}{1}\times \np{0,0124}^1\times \np{0,9876}^{\;99}\\[5pt]
\phantom{P\(Y \pp 1\)} \approx \np{0,2871} + \np{0,3605} \approx \np{0,64768} \approx \np{0,6477}$.

\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points} %\part{Exercice 4 non spé}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

On note $\C$ l'ensemble des nombres complexes.

%\medskip
 
%Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

%\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item %\textbf{Proposition} : Pour tout entier naturel $n :\: (1 + \text{i})^{4n} = (- 4)^n$.

$\(1+ \i\)^{4n}=\(\(1+\i\)^4\)^n$ et $\(1+\i\)^4 = \(\(1+\i\)^2\)^2$

$\(1+\i\)^2 = 1 + 2\i + \i^2 = 1 + 2\i - 1 = 2\i$; donc $\(1+\i\)^4 = \(2\i\)^2 = 4\i^2 = -4$

Donc $\(1+\i\)^{4n}=\(-4\)^n$; \textbf{la proposition est vraie.}

 
\item %Soit (E) l'équation $(z - 4)\left(z^2 - 4z + 8\right) = 0$ où $z$ désigne un nombre complexe.
 
%\textbf{Proposition} : Les points dont les affixes sont les solutions, dans $\C$, de (E) sont les sommets d'un triangle d'aire 8. 

On cherche les solutions de l'équation (E): $(z - 4)\left(z^2 - 4z + 8\right) = 0$.\\
Il y a $z=4$ qui annule $z-4$.

Pour $z^2 - 4z + 8 = 0$: $\Delta = \(-4\)^2 - 4\times 1 \times 8 = 16-32=-16<0$

L'équation admet deux solutions complexes conjuguées:\\
$z_1=\dfrac{-\(-4\)+\i \sqrt{16}}{2}=\dfrac{4+4\i}{2}=2+2\i$ et $z_2=2-2\i$

L'équation (E) admet pour solutions $\left\{\, 4,\ 2+2\i,\ 2-2\i \rule{0pt}{10pt} \right\}$.

Représentons les points dont les affixes sont solutions de (E):

\begin{multicols}{2}

\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,,arrowsize=3pt 3,dotsize=3pt 0}
\begin{pspicture}(-1,-3)(5,3)
\psgrid[griddots=8, subgriddiv=1,gridlabels=0,gridcolor=gray]
\psaxes[labels=none,ticks=none](0,0)(-1,-3)(5,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,arrowsize=2pt 2]{->}(0,0)(1,1)
\uput[-90](0.5,0){$\vec{u}$}
\uput[180](0,0.5){$\vec{v}$}
\pspolygon[showpoints=true](4,0)(2,2)(2,-2)
\uput[225](0,0){O}
\uput[ur](4,0){A}
\uput[ul](2,2){B}
\uput[dl](2,-2){C}
\uput[ul](2,0){H}
\psdots(2,0)
\end{pspicture}
\end{center}
 
\columnbreak

Le triangle ABC est isocèle en A car les points B et C sont symétriques par rapport à l'axe $\(\text O\,, \vect u\)$ et A appartient à cet axe; donc le milieu H de [BC] est aussi le pied de la hauteur issue de A dans le triangle.

H a pour affixe 2 donc AH=2; de plus $\text{BC}=|2+2\i-2+2\i|=|4\i|=4$.

\smallskip

L'aire de ce triangle vaut donc:

$\dfrac{\text{BC}\times \text{AH}}{2}=\dfrac{4\times 2}{2}=4$ 
 
\end{multicols} 
 
\textbf{La proposition est fausse.} 
 
\item %\textbf{Proposition} : Pour tout nombre réel $\alpha,\: 1 + \text{e}^{2\i\alpha} = 2\text{e}^{\text{i}\alpha} \cos(\alpha)$. 

Soit $\alpha$ un nombre réel quelconque; on sait que $1=\cos^2\alpha+\sin^2\alpha$.

$1+\e^{2\i\alpha} = 1+\(\e^{\i\alpha}\)^2 = 1+ \(\cos\alpha +\i\sin\alpha\)^2 =
1+\cos^2\alpha +2\i\sin\alpha\cos\alpha + \i^2 \sin^2\alpha\\
\phantom{1+\e^{2\i\alpha}}\!\!\!=\cos^2\alpha + \sin^2\alpha + \cos^2\alpha  +2\i\sin\alpha\cos\alpha - \sin^2\alpha =
2\cos^2\alpha +2\i\sin\alpha\cos\alpha\\
\phantom{1+\e^{2\i\alpha}}\!\!\!= 2\(\cos\alpha + \i\sin\alpha\)\cos\alpha =
2 \e^{\i\alpha}\cos\alpha$

\textbf{La proposition est vraie.}

\item %Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} = \dfrac{1}{2}(1 + \text{i})$ et $M_{n}$ le point d'affixe $\left(z_{\text{A}}\right)^n$ où $n$ désigne un entier  naturel supérieur ou égal à $2$.
 
%\textbf{Proposition}: si $n - 1$ est divisible par 4, alors les points O, A et $M_{n}$ sont alignés. 

Le nombre complexe $z_{\text A}$ a pour argument $\dfrac{\pi}{4}$ donc le nombre complexe $\(z_{\text A}\)^n$ a pour argument $n\dfrac{\pi}{4}$ (argument d'un produit).

\begin{multicols}{2}

Les points O, A et $M_n$ sont alignés si et seulement si l'argument de l'affixe de $M_n$ est $\dfrac{\pi}{4}$ ou $\pi+ \dfrac{\pi}{4}$ à $2\pi$ près.

\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm,,arrowsize=2pt 3,dotsize=3pt 0}
\begin{pspicture*}(-2,-1.5)(3,2.5)
\psgrid[griddots=8, subgriddiv=2,gridlabels=0,gridcolor=gray]
\psaxes[labels=none,ticks=none](0,0)(-2,-1.5)(3,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,arrowsize=2pt 2]{->}(0,0)(1,1)
\uput[-90](0.5,0){$\vec{u}$}
\uput[180](0,0.5){$\vec{v}$}
\uput[225](0,0){O}
\uput[u](0.5,0.5){A}
\psdots(0.5,0.5)
\psline(-3,-3)(3,3)
\psarc{->}(0,0){1.5}{0}{45} \uput[ur](1.5;22.5){$\frac{\pi}{4}$}
\psarc{->}(0,0){1}{0}{225} \uput[ul](1;112.5){$\pi+\frac{\pi}{4}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{multicols}

On suppose que $n-1$ est divisible par 4; le nombre $n-1$ peut alors s'écrire $4k$ avec $k$ entier et donc $n$ s'écrit $4k+1$. 

L'argument de l'affixe de $M_n$ qui est $n\dfrac{\pi}{4}$ peut s'écrire $\(4k+1\)\dfrac{\pi}{4} = k\pi+\dfrac{\pi}{4}$ 
qui est bien équivalent à $\dfrac{\pi}{4}$ ou $\pi+\dfrac{\pi}{4}$ à $2\pi$ près;\\ donc si $n-1$ est divisible par 4, alors les points O, A et $M_n$ sont alignés.

\textbf{La proposition est vraie.}

\item %Soit j le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{2\pi}{3}$. 

Le nombre j a pour module 1 et argument $\dfrac{2\pi}{3}$ donc $\text j^2$ a pour module $1^2=1$ et pour argument $2\times \dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{4\pi}{3}$.

On a: $\text j = \cos \dfrac{2\pi}{3} + \i \sin \dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt 3}{2}$ (propriétés du cercle trigonométrique).

Et: $\text j^2 = \cos \dfrac{4\pi}{3} + \i \sin \dfrac{4\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt 3}{2}$.

Donc $1+ \text j +\text j^2=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt 3}{2} -\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt 3}{2}=0$.

\textbf{La proposition est vraie.}

%\textbf{Proposition} : $1 + \text{j} + \text{j}^2 = 0$. 

Une solution plus élégante consiste à écrire le nombre j sous la forme $\e^{\i\frac{2\pi}{3}}$ pour prouver que $\text j^3=1$. Ensuite on développe $\(1+\text j + \text j^2\)\(1-\text j\)$ en $1 - \text j^3$ qui donne donc 0.
Et comme j n'est pas égal à 1, le facteur $1- \text j$ n'est pas nul, mais comme le produit $\(1+\text j + \text j^2\)\(1-\text j\)$ est nul, c'est le facteur $1+\text j + \text j^2$ qui est nul.

\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points} %\part{Exercice 4 spé}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}
 
\begin{enumerate}
\item %Trouver tous les entiers $x$ de $E$ tels que $g(x) = x$ c'est-à-dire invariants par $g$.
On cherche tous les entiers $x$ de $E$ tels que $g\(x\)=x$:

$g\(x\)=x \iff 4x+3 \equiv x \pmod{27} \iff 3x\equiv -3 \pmod{27}$

ce qui veut dire que $3x$ s'écrit $-3+27k$ où $k\in \Z$.

$\begin{array}[b]{@{} r c @{\ \pp \ } c @{\ \pp \ } c}
x \in E \iff &  0 & x & 26\\
 & 0 &	 3x &	 81\\
\text{ or } 3x=-3+27k \text{ donc} & 0 & -3+27k & 81\\
 & 3 & 27k & 84\\%[2pt]
 & \dfrac{3}{27} & k & \dfrac{84}{27}
\end{array}$
Or $k$ est entier donc $k \in \left\{\rule{0pt}{9pt} \,1\,,\, 2\,,\, 3\, \right\}$.

Pour $k=1$, $3x=-3+27=24$ donc $x=8$;

pour $k=2$, $3x=-3+54=51$ donc $x=17$;

pour $k=3$, $3x=-3+81=78$ donc $x=26$.

Les éléments de $E$ invariants par $g$ sont 8, 17 et 26.


Les caractères invariants dans ce codage sont les caractères correspondant à 8,17 et 26 donc ce sont les caractères $i$, $r$ et $\star$.


\item %Démontrer que, pour tout entier naturel $x$ appartenant à $E$ et tout entier naturel $y$ appartenant à $E$, si $y \equiv 4x + 3$  modulo 27 alors $x \equiv 7y + 6$ modulo 27.
 
Soient $x$ et $y$ deux éléments de $E$ tels que $y \equiv 4x+3 \pmod{27}$.

$y \equiv 4x+3 \pmod{27} \iff 7y \equiv 28x+21 \pmod{27}$; \\
or $21 \equiv -6 \pmod{27}$ et $28 \equiv 1 \pmod{27}$ donc $28x \equiv x \pmod{27}$

$7y \equiv 28x+21 \pmod{27} \iff 7y \equiv x-6 \pmod{27} \iff 7y+6 \equiv x \pmod{27} \\
\phantom{7y \equiv 28x+21 \pmod{27}} \iff x \equiv 7y+6 \pmod{27}$  

On suppose qu'il existe deux caractères $x$ et $x'$ de $E$ qui se codent par le même caractère  $y$ de $E$.

On a donc $x \equiv 7y+6 \pmod{27}$ et $x' \equiv 7y+6 \pmod{27}$ ce qui entraîne $x \equiv x' \pmod{27}$ donc on peut écrire $x=x'+27k$ où $k\in \Z$. 

Or $0\pp x\pp 26$ et $0\pp x'\pp 26$ donc $k=0$ et $x=x'$. 
 
Deux caractères distincts ne sont pas codés par un même caractère, donc deux caractères distincts sont codés par deux caractères distincts. 


\item %Proposer une méthode de décodage. 
Une méthode de décodage suit le même principe que la méthode de codage, en remplaçant la fonction $g$ par la fonction $f$ qui, à chaque élément $y$ de $E$, associe le reste de la division euclidienne de $7y+6$ par 27.

\item %Décoder le mot \og $vfv$ \fg. 
%$v$ correspond au nombre 21; $7\times 21 + 6 = 147 + 6=153$. \\
%Or $153=27 \times 5+18$ donc 18 est le reste de la division de 153 par 27. \\
%Le nombre 18 correspond à la lettre $s$.

On sait que la lettre $s$ se code en la lettre $v$, donc la lettre $v$ se décode en  $s$.

La lettre $f$ correspond au nombre $y=5$; $7y+6=7\times 5 + 6 = 35 + 6=41$. \\
Or $41=27\times 1+14$ donc 14 est le reste de la division de 41 par 27. \\
Le nombre 14 correspond à la lettre $o$.

Donc $v\,f \,v$ se décode en $s\,o\,s$.
\end{enumerate}
\end{document}