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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{mars 2009}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Nouvelle--Calédonie~\decofourright\\[4pt]  mars 2009}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

%Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm. On considère les points A et B d' affixes respectives $z_{\text{A}} = 1$ et $z_{\text{B}} = 3 + 4\text{i}$.

%Soit C et D les points d'affixes respectives $z_{\text{C}} = 2\sqrt{3} + \text{i}(- 2 - \sqrt{3})$ et $z_{\text{D}} =  -2\sqrt{3} + \text{i}( -2 + \sqrt{3})$.

%L' objet de l'exercice est de proposer une construction géométrique des points D et C.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que l'image du point B par la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$ est le point D.
		L'écriture complexe de cette rotation est $z'-z_\text{A}= \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}} (z-z_\text{A})$. 
		
		Pour $z=z_\text{B}$, on obtient donc :
		
		$$z'=1+\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}(3+4\text{i}-1) = 1+\left(-\dfrac{1}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)(2+4\text{i})= \ldots =z_\text{D}.$$
		
		L'image du point B est bien le point D.
	\item %En déduire que les points B et D sont sur un cercle $\mathcal{C}$ de centre A dont on déterminera le rayon.
	Comme A est le centre d'une rotation qui transforme B en D, B et D sont sur un même cercle de centre A ; le rayon est AB.
	
	AB $= |2+4\text{i}| = \sqrt{2^2+4^2}=2 \sqrt{5}$.
	\end{enumerate} 
\item %Soit F, l'image du point A par l'homothétie de centre B et de rapport $\dfrac{3}{2}$. 
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que l'affixe $z_{\text{F}}$ du point F est $-2\text{i}$. 
		L'écriture complexe de cette homothétie est $z'-z_\text{B}=\dfrac{3}{2} \left(z- z_\text{B}\right)$. 
		
		Pour $z=z_\text{A}$, on obtient donc : $z_\text{F} = 3 + 4\text{i} +\dfrac{3}{2} (1 - 3 - 4\text{i}) = -2\text{i}$.
	\item  %Montrer que le point F est le milieu du segment [CD]. 
	Calculons l'affixe du milieu de [CD] : $\dfrac{z_\text{C}+z_\text{D}}{2}= \cdots = -2\text{i}$, on trouve bien $z_\text{F}$ !
	\item  %Montrer que $\dfrac{z_{\text{C}} - z_{\text{F}}}{z_{\text{A}} - z_{\text{F}}} = - \text{i}\sqrt{3}$. En déduire la forme exponentielle de $\dfrac{z_{\text{C}} - z_{\text{F}}}{z_{\text{A}} - z_{\text{F}}}$. 
$\dfrac{z_{\text{C}} - z_{\text{F}}}{z_{\text{A}} - z_{\text{F}}} =\dfrac{2\sqrt{3}+\text{i}(-2-\sqrt{3})+2\text{i}}{1+2\text{i}}=\dfrac{2 \sqrt{3}-\text{i} \sqrt{3}}{1+2\text{i}}=\sqrt{3} \dfrac{(2 - \text{i})(1 - 2\text{i})}{5}=\sqrt{3} \dfrac{-5\text{i}}{5}=-\text{i} \sqrt{3}$.

En écrivant les modules et arguments, on obtient donc la forme exponentielle : 	

$$\dfrac{z_{\text{C}} - z_{\text{F}}}{z_{\text{A}} - z_{\text{F}}} =\sqrt{3} \text{e}^{-\frac{\pi}{2}}.$$

%Déduire des questions précédentes que la droite (AF) est la médiatrice du segment [CD].
Mais $\text{arg} \left( \dfrac{z_{\text{C}} - z_{\text{F}}}{z_{\text{A}} - z_{\text{F}}}\right ) = (\vect{\text{FA}}, \vect{\text{FC}})=-\dfrac{\pi}{2} \quad [2\pi]$.

Les droites (FA) et (FC) sont donc orthogonales en F ; comme on a déjà vu que F est le milieu de [DC], (AF) est bien la médiatrice de [DC].
	\end{enumerate} 
\item %Proposer un programme de construction pour les points D et C à partir des points A, B et F et réaliser la figure.
D'après la question 1. :
\begin{itemize}
	\item D appartient au cercle de centre A qui passe par B (1. b.).
	\item $(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}}) = \dfrac{2 \pi}{3}$ : D appartient à la perpendiculaire à (AB) passant par F (voir la définition de $F$). 
\end{itemize}
Choisir pour D celui des deux points d'intersection de la droite et du cercle pour lequel l'angle est le bon !

Enfin, C est le symétrique de D par rapport à F (ou l'autre point d'intersection).
%\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l 'évaluation.} 
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\newrgbcolor{ccqqcc}{0.8 0 0.8}
\newrgbcolor{ffqqtt}{1 0 0.2}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=x,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.06,-4.2)(6,4.8)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4.06,-4.2)(6,4.8)
\pscircle[linecolor=ccqqcc](1,0){4.47}
\psplot{-4.06}{6}{(--4-4*x)/-2}
\psplot[linecolor=ccqqcc]{-4.06}{6}{(-8-2*x)/4}
\psdots[linecolor=blue](1,0)
\rput[bl](1.24,0.08){\blue{$A$}}
\psdots[linecolor=blue](3,4)
\rput[bl](3.16,4.02){\blue{$B$}}
\psdots[linecolor=blue](0,-2)
\rput[bl](0.32,-1.94){\blue{$F$}}
\psdots[linecolor=ccqqcc](-3.46,-0.27)
\rput[bl](-3.78,-0.66){\ccqqcc{$D$}}
\psdots[linecolor=ffqqtt](3.46,-3.73)
\rput[bl](3.32,-3.58){\ffqqtt{$C$}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

%\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

%L'espace est rapporté au repère orthonormal \Oijk. On considère les points: 

%\[\text{A}(4 ~;~ 0 ~;~ 0), \quad \text{B}(0 ~;~ 2 ~;~ 0),\quad  \text{C}(0~;~0~;~3)\quad \text{et E}\left(\dfrac{2}{3}~ ;~- \dfrac{2}{3}~;~ \dfrac{1}{9}\right)\] 

%On se propose de déterminer de deux façons la distance $\delta_{\text{E}}$ du point E au plan (ABC). 

%\medskip


%\textbf{RAPPEL :}  Soit ($\mathcal{P}$) un plan d'équation $ax+by+cz+d = 0$ où $a,~b,~ c$ et $d$ sont des nombre réels avec, $a,~ b$ et $c$ non tous nuls et $M$ un point de coordonnées $\left(x_{M}~;~ y_{M}~  ;~z_{M}\right)$ la distance $\delta_{\text{M}}$ du point $M$ au plan ($\mathcal{P}$) est égale à :

%\[\dfrac{\left|ax_{M} + by_{M} +cz_{M} + d 
%\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que les points A, B et C déterminent bien un plan.
		Les trois points A, B et C sont deux à deux distincts, $\vect{AB}(-4, 2, 0)$ et $\vect{AC}(-4, 0, 3)$ ne sont pas colinéaires $\left(\dfrac{-4}{-4}\neq \dfrac{0}{3}\right)$. A, B et C déterminent donc bien un plan.
	\item %Soit $\vect{n}$ le vecteur de coordonnées (3 ; 6 ; 4). 
		
%Montrer que $\vect{n}$ est un vecteur normal au plan (ABC). 
On montre que $\vect{n}$ est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan (ABC). Nous choisissons bien entendu les deux vecteurs du 1a.

$\vect{n}{}\cdot{}\vect{AB}=-12+12=0$ et $\vect{n}{}\cdot{}\vect{AC} = 0$. $\vect{n}$ est bien normal à (ABC).
	\item %Montrer qu'une équation du plan (ABC) est : $3x+ 6y + 4z - 12 = 0$.
	Comme $\vect{n}$ est normal à (ABC), une équation cartésienne de (ABC) est de la forme $3x+ 6y + 4z + d = 0$.
	
	Comme, de plus, A appartient au plan, ses coordonnées doivent vérifier l'équation précédente : $12 + d = 0$. D'où le résultat.
	\item %Déduire des questions précédentes la distance $\delta_{\text{E}}$. 
	On applique la formule rappelée plus haut : 
	
	$\delta_{\text{E}} = \dfrac{\left|2 - 4 + \dfrac{4}{9} - 12 \right|}{\sqrt{3^2+6^2+4^2}} = \dfrac{122}{9 \sqrt{61}}= \dfrac{2 \sqrt{61}}{9}$
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que la droite $(\mathcal{D})$ de représentation paramétrique: 
%$ \left\{\begin{array}{l c r}
%x &=& 1 +t\\
%y &=& 2t\\ 
%z&=&\dfrac{5}{9}+\dfrac{4}{3}t\\
%\end{array}\right. \quad \text{o\`u}~ t \in \R,$ 
%est perpendiculaire au plan (ABC) et passe par le point E. 
$\vect{u}$ le vecteur de coordonnées (1 ; 2 ; 4/3) est directeur de $(\mathcal{D})$ et $\vect{n}$ est normal à (ABC).

Or, on vérifie aisément ($\dfrac{3}{1} = \dfrac{6}{2} = \dfrac{4}{\dfrac{4}{3}}$) que $\vect{u}$ et $\vect{n}$ sont colinéaires, donc $(\mathcal{D})$ est orthogonale à (ABC).

De plus, si $t = \dfrac{-1}{3}$ dans la représentation paramétrique de $(\mathcal{D})$, on retrouve les coordonnées de E, donc $(\mathcal{D})$ passe par E.

	\item %Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal G du point E sur le plan (ABC). 
	D'après la question précédente, le projeté orthogonal de E sur (ABC) est le point d'intersection de $(\mathcal{D})$ et (ABC).
	
	Notons $(x,~ y,~ z)$ les coordonnées de G.
	
$ \left\{\begin{array}{l c r}
x &=& 1 +t\\
y &=& 2t\\ 
z&=&\dfrac{5}{9}+\dfrac{4}{3}t\\
3x + 6y + 4z - 12 &=& 0\\
\end{array}\right. \Longleftrightarrow$

$\left\{\begin{array}{l c r}
x &=& 1 +t\\
y &=& 2t\\ 
z&=&\frac{5}{9}+\frac{4}{3}t\\
3(1+t) + 12t + 4 \left(\frac{5}{9}+\frac{4}{3}\right) t - 12 &=& 0\\
\end{array}\right. \Longleftrightarrow 
 \left\{\begin{array}{l c r}
x &=& \frac{4}{3}\\
y &=& \frac{2}{3}\\ 
z&=& 1\\
t &=& \frac{1}{3}\\
\end{array}\right. $

G a pour coordonnées $\left( \dfrac{4}{3}~;~\dfrac{2}{3}~;~1 \right)$.
	
	\item %Retrouver à partir des coordonnées des points E et G la distance $\delta_{\text{E}}$.
$\delta_{\text{E}} = GE= \sqrt{\dfrac{4}{9}+ \dfrac{16}{9} + \dfrac{64}{81}} = \sqrt{\dfrac{244}{81}} = \dfrac{2 \sqrt{61}}{9}$. 
Ouf ! On retrouve la même valeur que dans le 1. b. !	
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}

%\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

%\textbf{Commun à tous les candidats}

%Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre plusieurs cibles.

%La probabilité que la première cible soit atteinte est $\dfrac{1}{2}$. 

%Lorsqu'une cible est atteinte, la probabilité que la suivante le soit est $\dfrac{3}{4}$.

%Lorsqu'une cible n'est pas atteinte, la probabilité que la suivante soit atteinte est $\dfrac{1}{2}$.

%On note, pour tout entier naturel $n$ non nul :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] $A_{n}$ l'évènement : « la $n$-ième cible est atteinte ». 
%\item[$\bullet~$] $\overline{A_{n}}$ l'évènement : « la $n$-ième cible n'est pas atteinte. 
%\item[$\bullet~$] $a_{n}$ la probabilité de l'évènement $A_{n}$ 
%\item[$\bullet~$] $b_{n}$ la probabilité de l'évènement $\overline{A_{n}}$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item %Donner $a_{1}$ et $b_{1}$.
$a_{1}= \dfrac{1}{2}$ et $b_{1} = 1 - a_1 = \dfrac{1}{2}$

\begin{center}\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
	\pstree{\Tdot~[tnpos=a]{A$_{1}$}\ncput*{$0,5$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{A$_{2}$}\ncput*{$0,75$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{\text{A}}_{2}$}\ncput*{$0,25$}
		}
	\pstree{\Tdot~[tnpos=b]{$\overline{\text{A}}_{1}$}\ncput*{$0,5$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{A$_{2}$}\ncput*{$0,5$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{\text{A}}_{2}$}\ncput*{$0,5$}
		}
}
\end{center}



%Calculer $a_{2}$ et $b_{2}$. On pourra utiliser un arbre pondéré. 
Avec la formule des probabilités totales : 
$p(\text{A}_2) = p(\text{A}_2 \cap \text{A}_1) + p(\text{A}_2 \cap \overline{\text{A}_1})$ donc $a_2 = a_1 \times \dfrac{3}{4} + b_1 \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{8}$ et $b_2 = 1 - a_2 = \dfrac{3}{8}$

\item  %Montrer que, pour tout $n \in \N,~ n \geqslantslant 1 : a_{n+1}  = \dfrac{3}{4} a_{n} +\dfrac{1}{2}b_{n}$, 

%puis : $a_{n+1}  = \dfrac{1}{4} a_{n} +\dfrac{1}{2}$
On refait un arbre et on utilise encore la formule des probabilités totales :

\begin{center}\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
	\pstree{\Tdot~[tnpos=a]{A$_{n}$}\ncput*{$a_n$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{A$_{n+1}$}\ncput*{$0,75$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{\text{A}}_{n+1}$}\ncput*{$0,25$}
		}
	\pstree{\Tdot~[tnpos=b]{$\overline{\text{A}}_{n}$}\ncput*{$b_n$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{A$_{n+1}$}\ncput*{$0,5$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{\text{A}}_{n+1}$}\ncput*{$0,5$}
		}
}
\end{center}

$a_{n+1} = p(\text{A}_{n+1}) = p(\text{A}_{n+1} \cap \text{A}_n) + p(\text{A}_{n+1} \cap \overline{\text{A}_n}) = \dfrac{3}{4} a_n + \dfrac{1}{2} b_n = \dfrac{3}{4} a_n + \dfrac{1}{2} (1 - a_n) = \dfrac{1}{4} a_n + \dfrac{1}{2}$

\item  Soit $\left(U_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ non nul, par $U_{n} = a_{n} - \dfrac{2}{3}$. 

	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la suite $\left(U_{n}\right)$ est une suite géométrique. 
		$U_{n+1} = a_{n+1} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{4} a_n + \dfrac{1}{2}- \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{4} a_n - \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{4} U_n$. 
		
		Par définition, $(U_n)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{4}$ et de premier terme $U_{1} = - \dfrac{1}{6}$. 
	\item  %En déduire l'expression de $U_{n}$ en fonction de $n$, puis l'expression de $a_{n}$ en fonction de $n$. 
	On en déduit $U_{n} = - \dfrac{1}{6} \left(\dfrac{1}{4} \right) ^{n-1}$ puis $a_n = \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{6} \left(\dfrac{1}{4} \right) ^{n-1}$ .
	\item  %Déterminer la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$.
	$\left(\dfrac{1}{4} \right) ^{n-1}$ est le terme général d'une suite géométrique dont la raison est strictement comprise entre $-1$ et $1$, elle converge donc vers 0. On en déduit que $(a_n)$ converge vers $\dfrac{2}{3}$.
	\item  %Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que : $a_{n} \geqslantslant  \np{0,6665}$.
$a_{n} \geqslant  \np{0,6665} \Longleftrightarrow \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{6} \left(\dfrac{1}{4} \right) ^{n-1} \geqslant  \np{0,6665} \Longleftrightarrow 6 \left(\dfrac{2}{3} - 0,6665 \right) \geqslant \left(\dfrac{1}{4} \right) ^{n-1} \Longleftrightarrow \ln \left(6 \left(\dfrac{2}{3} - 0,6665 \right)\right) \geqslant (n-1) \ln  \left(\dfrac{1}{4} \right)$	

On obtient finalement  : $n \geqslant 1 + \dfrac{\ln (4 - 6 \times 0,6665)}{\ln \frac{1}{4}} \geqslant 5,98$.

Le plus petit entier naturel $n$ tel que : $a_{n} \geqslant  \np{0,6665}$ est donc 6.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%Soit $f$ une fonction définie pour tout nombre réel $x$ par $f(x) = (1+ x)\text{e}^{- x}.$

%Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 1~cm.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Étudier le signe de $f(x)$ sur $\R$. 
		Comme la fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$, $f(x)$ est du signe de $x+1$, donc négative si $x < -1$, positive si $x > -1$ et s'annule pour $x = -1$.
	\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.

$ \left\{ \begin{array}{l c r}
\displaystyle\lim_{x \to - \infty} -x &=& + \infty\\
\displaystyle\lim_{X\to + \infty} \text{e}^X &=& + \infty\\ 
\end{array} \right\} \stackrel{\text{par composition}}{\Longrightarrow} 
\left\{ \begin{array}{l c r}
\\
\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{-x} &=& + \infty \\
\displaystyle\lim_{x\to - \infty} (1 + x) &=& - \infty\\ 
\end{array} \right\} \stackrel{\text{par produit}}{\Longrightarrow}$

 $\displaystyle\lim_{x\to - \infty} f(x) = - \infty $
	
%Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
Si on reprend le schéma précédent en $+ \infty$, on obtient la forme indéterminée \og $+\infty \times 0$ \fg. Pour lever l'indétermination, on développe :

$f(x) = \text{e}^{-x} + \dfrac{x}{\text{e}^x}$ et on retrouve une limite du cours ! 

Réponse : $\displaystyle\lim_{x\to + \infty} f(x) = 0 $


	\item %On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$.
	 
%Calculer, pour tout nombre réel $x,~ f'(x)$. 
$f$ est obtenue par composition et produit de fonctions usuelles, $f$ est donc bien dérivable sur $\R$ et

$\forall x \in \R, f'(x) = \text{e}^{-x} - (1+x)\text{e}^{-x} = -x\text{e}^{-x}$

$f'(x)$ est donc du signe contraire de $x$ et $f$ est strictement croissante sur $] -\infty ; 0]$ et strictement décroissante sur $[0 ; +\infty[$.

Comme la dérivée s'annule une seule fois et en changeant de signe (+ ; -) en 0, $f(0) =1$ est un maximum pour $f$ sur $\R$.

%En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\R$. 
	\item  %Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ sur J'intervalle $[-2~;~ 5]$.
	Penser aux éléments caractéristiques de la courbe qui ont été rencontrés dans l'étude et notamment la tangente « horizontale » au point d'abscisse 0. 
	
\newrgbcolor{ccqqcc}{0.8 0 0.8}
\newrgbcolor{zzttff}{0.6 0.2 1}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=x,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.92,-7.58)(5.58,1.7)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2](0,0)(-2.92,-7.58)(5.58,1.7)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linecolor=ccqqcc,plotpoints=3000,linewidth=1.5pt]{-2.0}{5.0}{(1+x)*2.72^(-x)}
\psplot[linecolor=zzttff]{-2.92}{5.58}{(--1-0*x)/1}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
	\end{enumerate}
\item %On note $\left(I_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par : 
%$I_{n} =  \int_{-1}^n f(x)\:\text{d}x. $

%Dans cette question, on ne cherchera pas à calculer la valeur exacte de $I_{n}$ en fonction de $n$. 

\begin{enumerate}
	\item %Montrer que, pour tout $n \in \N : I_{n} \geqslant  0$. 
	$\forall n \in \N, -1 > n$ et $f(x) \geqslant 0$ sur $[-1~;~n]$ d'après la question 1. a. 
	
	On intègre donc une fonction positive avec les bornes dans le \og bon \fg{} ordre, donc pour tout $n \in \N {}{}: I_{n} \geqslant  0$.
	\item %Montrer que la suite $\left(I_{n}\right)$ est croissante.
Pour tout $n \in \N : I_{n+1} - I_n = \displaystyle \int_{n}^{n+1} f(x)\:\text{d}x \geqslant 0 $ pour les mêmes raisons que dans la question précédente !
	\end{enumerate}	 
\item
\begin{enumerate}
	\item %À l'aide d'une intégration par parties, montrer que, pour tous réels $a$ et $b$ :
	On pose :
	$ \left\{ \begin{array}{l c r l}
u(x) &=& 1 + x& u'(x) = 1\\
v'(x) &=& \text{e}^{-x}& v(x) =  \text{e}^{-x}\\ 
\end{array} \right.$

Les 4 fonctions $u, u',~ v$ et $v'$ sont toutes continues sur $[a~;~ b]$, on peut donc intégrer par parties :
	
$\displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\left[-(1+x) \text{e}^{-x}\right]_{a}^b - \displaystyle\int_{a}^b -\text{e}^{-x}\:\text{d}x = (1+a) \text{e}^{-a} - (1+b)  \text{e}^{-b} -\left[ \text{e}^{-x}\right]_{a}^b = (-2 -b)\text{e}^{-b} + (2 + a)\text{e}^{-a}.$ 
	\item %En déduire l'expression de $I_{n}$ en fonction de $n$. 
	On utilise la question précédente avec $a = -1$ et $b = n$, 
	
	$I_{n} = (-2-n)\text{e}^{-n} + \text{e} = -2\text{e}^{-n} - \dfrac{n}{\text{e}^{n}} + \text{e}$.
	\item %Déterminer : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} I_{n}$. 
	Avec les mêmes arguments que dans la question 1. b., on trouve 
	
$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} I_{n} = \text{e}$.
	\item %Donner une interprétation graphique de cette limite.
	Pour tout $n \in \N $, $f(x)$ est positive sur $[-1~;~ n]$, donc $I_n$ mesure l'aire du domaine limité par les droites d'équations $x = -1$, $x=n$, l'axe des abscisses et la courbe représentative de $f$. Cette limite signifie que cette aire a pour limite $\text{e}$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
	\end{enumerate} 
\item %Déterminer $\alpha \in \R$ tel que : $\displaystyle\int_{-1}^{\alpha} f(x)\:\text{d}x = \text{e}$.
On utilise la question 3. a. en posant $a = -1$ et $b = \alpha$.

$\displaystyle\int_{-1}^{\alpha} f(x)\:\text{d}x = \text{e} \Longleftrightarrow (2 - \alpha) \text{e}^{-\alpha}+\text{e} = \text{e} \Longleftrightarrow \alpha = -2 $


Ce calcul intégral correspond  à un calcul d'aire :

Sur $[-2 ; -1]$, $f(x) \leqslant 0$, 

l'aire du domaine limité par les droites d'équations $x=-2$, $x=-1$, l'axe des abscisses et la courbe est donc 
\[- \int_{-2}^{-1} f(x)\:\text{d}x = \int_{-1}^{-2} f(x)\:\text{d}x = \text{e}\]
\end{enumerate}


\end{document}