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%%%Sujet aimablement fourni par Nathalie Mignot
%%% Tapuscrit Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{mars 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S~\decofourright\\Nouvelle-Calédonie  mars 2011}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissances}

\medskip

%On utilisera le résultat suivant : les solutions de l'équation différentielle $y'= a y$ où $a \in \R$ sont les fonctions $g$ définies sur $\R$ par $g(x) = K\text{e}^{ax}$ où $K \in  \R$.
%
%\medskip
% 
%Le but de cette partie est de déterminer les solutions de l'équation différentielle (E) $y'= ay + b$  où $a \in \R^{*}$ et $b \in \R$.
 
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x)= -\dfrac{b}{a}$ est une solution de (E).
$u$ est dérivable sur $\R$ et $u'(x) = 0$, donc $\underbrace{u'(x)}_{y'} = a \times \underbrace{\left(- \dfrac{b}{a} \right)}_{y} + b \iff 0 = - b + b$.

Donc $u$ est une solution de (E). 
\item %Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$. Démontrer l'équivalence suivante : $f$ est solution de (E) $\iff f - u$ est solution de l'équation différentielle $y'= a y$.
$f$ étant dérivable sur $\R$, $f - u$ l'est aussi et  quel que soit $x \in \R,\,$

$(f - u)(x) = f(x) - u(x)$, d'où 

$(f - u)'(x)= f'(x) - u'(x) = f'(x)$.

Donc $f$ est solution de (E) si et seulement si  quel que soit $x \in \R$ :

$f'(x) = af(x) + b \iff f'(x) - u'(x)  = af(x) - au(x) + au(x) + b \iff$

$(f - u)'(x) = a (f(x) - u(x)) + a  \times \left(- \dfrac{b}{a}\right) + b  \iff (f - u)'(x) = a (f(x) - u(x)) -b + b \iff$

$(f - u)'(x) = a (f(x) - u(x))$, c'est-à-dire que $f - u$ est solution de l'équation différentielle $y' = ay$. 
\item %En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle (E).
D'après le résultat initial donné on a donc $f(x) - u(x)  = K\text{e}^{ax},~K \in \R$, donc :

$f(x) = K\text{e}^{ax} + u(x) = K\text{e}^{ax} - \dfrac{b}{a}$. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
%Un cycliste roule sur une route descendante rectiligne et très longue. On note $v(t)$ sa vitesse à l'instant $t$, où $t$ est exprimé en secondes et $v(t)$ en mètres par seconde.
% 
%On suppose de plus que la fonction $v$ ainsi définie est dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
% 
%Un modèle simple permet de considérer que la fonction $v$ est solution de l'équation différentielle :
%
%\[10v'(t) + v(t) = 30.\]  
%
%Enfin, on suppose que, lorsque le cycliste s'élance, sa vitesse initiale est nulle, c'est-à-dire que $v(0)= 0$.
 
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que $v(t) = 30\left(1 - \text{e}^{- \dfrac{t}{10}}\right)$.
L'équation différentielle peut s'écrire : $v'(t) = 3 - \dfrac{1}{10}v(t)$.

On reconnaît une équation différentielle résolue dans la partie A avec 

$a = - \dfrac{1}{10}$ et $b = 3$.

On a donc :

$v(t) = K\text{e}^{- \frac{1}{10}t} - \dfrac{3}{-\frac{1}{10}} =  K \text{e}^{- \frac{1}{10}t} + 30$.

En utilisant la condition initiale $v(0) = 0 \iff K + 30 = 0 \iff K = - 30$, on obtient finalement :

\[v(t) = 30\left(1 - \text{e}^{- \dfrac{t}{10}}\right)\] 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer le sens de variation de la fonction $v$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
On sait que la fonction $v$ est dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle :

$v'(t) = -30 \left(- \dfrac{1}{10} \right)\text{e}^{- \dfrac{t}{10}} = 3\text{e}^{- \dfrac{t}{10}} > 0$,

car on sait que $\text{e}^{- \dfrac{t}{10}} > 0$, quel que soit le réel $t$.

La fonction $v$ est donc croissante sur $[0~;~+ \infty[$. 
		\item %Déterminer la limite de la fonction $v$ en $+ \infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{- \dfrac{t}{10}} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} v(t) = 30.$
	\end{enumerate} 
\item %On considère, dans cette situation, que la vitesse du cycliste est stabilisée lorsque son accélération $v'(t)$ est inférieure à 0,1 m.s$^{-2}$. Déterminer, à la seconde près, la plus petite valeur de $t$ à partir de laquelle la vitesse du cycliste est stabilisée.
Il faut donc résoudre l'inéquation dans $[0~;~+ \infty[,~v'(t) < 0,1$, soit, d'après l'équation différentielle 

$3 - \dfrac{1}{10}v(t) < 0,1 \iff 3 - \dfrac{1}{10}\times 30\left(1 - \text{e}^{- \dfrac{t}{10}}\right) < 0,1 \iff  3\text{e}^{- \dfrac{t}{10}} < 0,1 \iff \text{e}^{- \dfrac{t}{10}} < \frac{0,1}{3} \iff $ (par croissance de la fonction logarithme népérien) 

$ - \dfrac{t}{10} < \ln \left(\frac{1}{30} \right) \iff t > -10\ln \left(\frac{1}{30} \right)$.

Comme $-10\ln \left(\frac{1}{30} \right) \approx 34,01$, la vitesse est donc stabilisée à partir de la 35\up{e} seconde.
\item  %La distance $d$ parcourue par ce cycliste entre les instants $t_{1}$, et $t_{2}$ est donnée par $d = \displaystyle\int_{t_{1}}^{t_{2}} v(t)\:\text{d}t$. 
 
%Calculer la distance parcourue par ce cycliste pendant les 35 premières secondes.
On a donc $d_{35} = \displaystyle\int_{0}^{35} v(t)\:\text{d}t$.

On a $v(t) = 30 - 30\text{e}^{- \dfrac{t}{10}}$, dont une primitive sur $[0~;~+ \infty[$ est :

$V(t) = 30t + 300\text{e}^{- \dfrac{t}{10}}$.

D'où : $d_{35} = \left[V(t) \right]_{0}^{35} =  30\times 35 + 300\text{e}^{- \frac{35}{10}} - \left(30\times 0 + 300\text{e}^{- \frac{0}{10}}\right) = \np{1050} + 300\text{e}^{- \frac{35}{10}} - 300 =  750 + 300\text{e}^{- \frac{35}{10}} \approx 759,06 \approx 759,1$~(m).

\emph{Rem.} Plus rapide : on a vu que $v(t) = 30 - 10v'(t)$, donc une primitive de $v$ est $30t - 10v(t)$, d'o\`u un calcul de l'int\'egrale plus rapide.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

Commun à tous les candidats

\medskip
 
%Chaque année, deux villages A et B organisent un concours sportif. Les concurrents tirent au sort un moyen de transport puis doivent relier le village A au village B le plus rapidement possible en utilisant ce moyen de transport et un parcours adapté. Pour le tirage, on utilise une urne contenant 4 jetons indiscernables au toucher. Sur un premier jeton figure la lettre V , sur le second la lettre R, sur le troisième la lettre P et sur le dernier la lettre L.
%
%\medskip
% 
%Un concurrent tire au hasard un jeton :
%
%\setlength\parindent{5mm} 
%\begin{itemize}
%\item s'il tire le jeton sur lequel figure la lettre V, il effectuera le trajet à vélo, 
%\item s'il tire le jeton sur lequel figure la lettre R, Il effectuera le trajet en roller, 
%\item s'il tire le jeton sur lequel figure la lettre P, il effectuera le trajet à pied, 
%\item s'il tire le jeton sur lequel figure la lettre L, il choisira librement son mode de transport parmi les trois précédents.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%On observe que lorsqu'un concurrent tire le jeton sur lequel figure la lettre L, il choisit le vélo dans 70\,\% des cas, il choisit le roller dans 20\,\% des cas el il décide de faire le parcours à pied dans 10\,\% des cas.
 
\begin{enumerate}
\item ~%Construire un arbre pondéré correspondant à la situation.
\vspace{0,5cm}

\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=2.5pt,levelsep=3cm,treesep=1cm]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$V$}\taput{\small 0,25}}
	  {}
	\pstree{\TR{$R$}\taput{\small 0,25}}
	  {}
	\pstree{\TR{$P$}\tbput{\small 0,25}}
	{}
		\pstree{\TR{$L$}\tbput{\small 0,25}}
		{\TR{$V$}\taput{\small 0,7}
		\TR{$R$}\tbput{\small 0,2}
		\TR{$P$}\tbput{\small 0,1}
		}	
}
\end{center}

\medskip
 
%\emph{Pour les questions suivantes, on donnera les résultats arrondis au millième.} 
\item %Calculer la probabilité qu'un concurrent effectue le trajet à vélo.
On a $p(V) = 0,25 + 0,25 \times 0,7 = 0,25 \times 1,7 = 0,425$. 
\item %Sachant qu'un concurrent a effectué le trajet à vélo, quelle est la probabilité qu'il ait tiré le jeton sur lequel figure la lettre L ?
On a $p_{V}(L) = \dfrac{p(V \cap L)} {p(V)} = \dfrac{0,25 \times 0,7}{0,425} = \dfrac{0,175}{0,425} = \dfrac{7}{17} \approx 0,412$.
\item %On admet que les résultats des différentes années sont indépendants les uns des autres.
 
%L'expérience des années précédentes permet de considérer que la probabilité, pour le vainqueur, d'avoir effectué le trajet à vélo est $\dfrac{2}{3}$. 
 
%Calculer la probabilité qu'au cours des six prochaines années l'épreuve soit remportée au moins une fois par un concurrent \og non cycliste \fg.
On a un schéma de Bernoulli de paramètres  $n = 6$ et $p = \dfrac{2}{3}$.

La probabilité qu'au cours des six prochaines années l'épreuve soit remportée $0$ fois  par un concurrent \og non cycliste \fg{} est égale à 

$\binom{6}{6}\left(\dfrac{2}{3} \right)^6 \times \left( 1 - \dfrac{2}{3} \right)^0 = \left(\dfrac{2}{3} \right)^6$.

Donc la probabilité qu'au cours des six prochaines années l'épreuve soit remportée au moins une fois par un concurrent \og non cycliste \fg est égale à :

\[1 - \left(\dfrac{2}{3} \right)^6 = \dfrac{3^6 - 2^6}{3^6} = \dfrac{665}{729} \approx 0,912.\]
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
%Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par 	$\left\{\begin{array}{l c l}
%u_{0}& =& 1\\
%u_{n+1}&=&u_{n}- \ln \left(u_{n}^2 + 1\right)~ \text{pour tout entier naturel}~ n.
%\end{array}\right.$
%
%\medskip 
	 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
%Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x)= x - \ln \left(x^2 + 1\right).\] 
\begin{enumerate}
\item %Résoudre dans $\R$ l'équation $f(x) = x$.
$f(x) = x \iff x - \ln \left(x^2 + 1\right) = x \iff \ln \left(x^2 + 1\right) = 0 \iff x^2 + 1 = 1 \iff$

$x^2 = 0 \iff x = 0$ 
\item %Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~1]$.
$f$ somme de fonctions dérivables sur $[0~;~1]$ est dérivable et sur cet intervalle :

$f'(x) = 1 - 2x \times \dfrac{1}
{x^2 + 1} = \dfrac{x^2 + 1 - 2x}{x^2 + 1} = \dfrac{(x - 1)^2}{x^2 + 1}$.

On a quel que soit $x$, $x^2 + 1\geqslant 1 > 0$ et sur [0~;~1], $(x - 1)^2 \geqslant 0$, donc sur [0~;~1], $f'(x) \geqslant 0$ : la fonction est donc croissante sur [0~;~1].

On a vu que $f(0) = 0$ et $f(1) = 1 - \ln 2 < 1$.
%En déduire que si $x \in [0~;~1]$ alors $f(x) \in [0~;~1]$.
La fonction est croissante de $0$ à $1 - \ln 2 < 1$, donc toutes les images $f(x)$ appartiennent à l'intervalle [0~;~1].
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n \geqslant  0,~ u_{n} \in [0~;~1]$.
\emph{Initialisation :} $u_{0} = 1 \leqslant 1$, donc $u_{0} \in [0~;~1]$. La relation est vraie au rang $0$.

\emph{Hérédité :} Soit $n \in \N$ et supposons que $u_{n} \in [0~ ;~1]$ ; d'après la partie A, on a $u_{n+1} = f\left(u_{n} \right)$ et on a vu que si $u_{n} \in [0~ ;~1]$, alors

$f\left(u_{n} \right) = u_{n+1} \in [0~;~1]$.

On a donc pour tout naturel $n,~u_{n} \in [0~;~1]$.
\item %Étudier le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
On a $u_{n+1} - u_{n} = - \ln \left(u_{n}^2  + 1\right)$

Or $u_{n} \geqslant 0 \Rightarrow u_{n}^2 \geqslant 0 \Rightarrow  u_{n}^2 + 1 \geqslant 1 \Rightarrow \ln \left(u_{n}^2  + 1\right) \geqslant 0 \iff  0 \geqslant - \ln \left(u_{n}^2  + 1\right)$.

Conclusion : quel que soit le naturel $n,~u_{n+1} - u_{n} \leqslant 0$ : la suite est décroissante.
\item %Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
La suite est décroissante et tous ses termes sont minorés par $0$ : elle est donc convergente vers une limite supérieure ou égale à $0$.

Par continuité de la fonction dérivable $f$, on a à la limite :

$\ell = f(\ell)$, équation dont on a vu que la seule solution est $0$.

%Déterminer sa limite.
On a donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_{n} = 0$. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
%L'espace est rapporté à un repère orthonormal direct \Oijk.
% 
%On considère les points A$(-2~;~0~;~1)$, B$(1~;~2~;~-1)$ et C$(-2~;~2~;~ 2)$.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer le produit scalaire $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AC}}$ puis les longueurs AB et AC.
On a  $\vect{\text{AB}}(3~;~2~;~-2), \quad \vect{\text{AC}}(0~;~2~;~1)$, d'où  $\vect{\text{AB}}~\cdot~\vect{\text{AC}} = 0 + 4 - 2 = 2$.

On a AB$^2 = \vect{\text{AB}}~\cdot~\vect{\text{AB}} = 9 + 4 + 4 = 17$ ; donc AB = $\sqrt{17}$ ;

AC$^2 = \vect{\text{AC}}~\cdot~\vect{\text{AC}} = 0 + 4 + 1 = 5$, donc AC $ = \sqrt{5}$.
		\item %En déduire une valeur approchée arrondie au degré près de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$.
On sait que le produit scalaire peut aussi s'écrire :

$\vect{\text{AB}}~\cdot~\vect{\text{AC}} = \text{AB} \times \text{AC} \times \cos \widehat{\text{BAC}}$, soit :

$2 = \sqrt{17} \times \sqrt{5} \times \cos \widehat{\text{BAC}} \iff \cos \widehat{\text{BAC}} = \dfrac{2}{\sqrt{85}} \Rightarrow \widehat{\text{BAC}} \approx 77~$\degres. 
		\item %En déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés.
L'angle $\widehat{\text{BAC}}$ n'étant ni nul, ni plat, les points A, B et C ne sont pas alignés.
	\end{enumerate} 
\item %Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : $2x - y + 2z + 2 = 0$.

On a :  $(-2~;~0~;~1)$ vérifie $2x - y + 2z + 2 = 0 \iff - 4  - 0 + 2 + 2 = 0$ égalité vraie ;

$(1~;~2~;~-1)$ vérifie $2x - y + 2z + 2 = 0 \iff 2 - 2 - 2 + 2 = 0$ égalité vraie ;

$(-2~;~2~;~ 2)$ vérifie $2x - y + 2z + 2 = 0 \iff - 4  - 2 + 4 + 2 = 0$ égalité vraie.

Les coordonnées des trois points non alignés A, B et C vérifient l'équation : cette équation est donc l'une des équations du plan (ABC).
\item %Soient $\mathcal{P}_{1}$, et $\mathcal{P}_{2}$ les plans d'équations respectives $x + y - 3z + 3 = 0$ et

%$x - 2y + 6z = 0$.

%Montrer que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont sécants selon une droite $\mathcal{D}$ dont un système d'équations
$\mathcal{P}_{1}$ a pour vecteur normal $\vect{n_{1}}(1~;~1~;~-3)$ ; $\mathcal{P}_{2}$ a pour vecteur normal $\vect{n_{2}}(1~;~- 2~;~6)$.

$\vect{n_{1}}$ et $\vect{n_{2}}$ ne sont manifestement pas colinéaires, donc les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ ne sont pas parallèles et distincts : ils sont donc sécants suivant une droite $\mathcal{D}$ dont les coordonnées vérifient :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x + y - 3z + 3 &=& 0\\
x - 2y + 6z &=& 0\\
\end{array}\right.$ soit en posant $z = t$ : 

$\left\{\begin{array}{l c l}
x + y  + 3 	&=& \phantom{-}3z\\
x - 2y  	&=& -6z\\
z 			&=& \phantom{-6}t
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x + y  + 3 	&=& \phantom{-}3t\\
x - 2y  	&=& -6t\\
z 			&=& \phantom{-6}t
\end{array}\right. \iff \text{par différence des deux premières équations} \quad $

$ \left\{\begin{array}{l c l}
3y  + 3 	&=& \phantom{-}9t\\
x - 2y  	&=& -6t\\
z 			&=& \phantom{-6}t
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
y 	&=& 3t - 1\\
x   &=&2y -6t\\
z 	&=& \phantom{2y -}t
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
y 	&=& 3t - 1\\
x   &=&6t - 2 - 6t\\
z 	&=& \phantom{2y -}t
\end{array}\right. \iff$

$\left\{\begin{array}{l c l}
x  	&=& - 2\\
y	&=& -1 +  3t\\
z	&=&t
\end{array}\right.,~t \in  \R$.
 
\item %Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ et le plan (ABC) sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.
$\mathcal{D}$ a pour vecteur directeur $\vect{u}(0~;~3~;~1)$ et le plan (ABC) apour vecteur normal $\vect{v}(2~;~- 1~;~2)$. Comme $\vect{u} \cdot \vect{v} = - 3 + 2 = - 1 \neq 0$, ces vecteurs ne sont pas orthognaux, donc la droite $\mathcal{D}$ n'est pas parallèle au plan (ABC).

Le point commun est tel que $x = - 2,~y = 3t - 1,~z = t$ et $2x - y + 2z + 2 = 0 \iff $

$- 4 - 3t + 1  + 2t + 2 = 0 \iff - 1 = t$.

Le point commun à $\mathcal{D}$ et au  plan (ABC) a pour coordonnées $(- 2~;~- 4~;~- 1)$.
\item  %Soit $\mathcal{S}$ la sphère de centre $\Omega(1~;~- 3~;~1)$ et de rayon $r = 3$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner une équation cartésienne de la sphère $\mathcal{S}$.
$M(x~;~y~;~z) \in \mathcal{S} \iff 	\Omega M^2 = 3^2 = 9 \iff (x - 1)^2 + (y + 3)^2 + (z - 1)^2 = 9 \iff $

$M(x~;~y~;~z) \in \mathcal{S} \iff x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 6y - 2z + 2 = 0$.	
\medskip
		 
%\emph{Dans les deux questions suivantes, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
		\item  %Étudier l'intersection de la sphère $\mathcal{S}$ et de la droite $\mathcal{D}$.
$M(- 2~;~3t - 1~;~t) \in \mathcal{S} \iff  (- 2)^2 + (3t - 1)^2 + t^2 - 2 \times (- 2) + 6(3t - 1) - 2t + 2 = 0 \iff$

$ 4 + 9t^2 + 1 - 6t + t^2 + 4 + 18t - 6 - 2t + 2 = 0 \iff 10t^2 + 10t  + 5 = 0 \iff 2t^2 + 2t + 1 = 0$.

On a $\Delta = 4 - 8 = - 4 < 0$ : il n'y a pas de solution : conclusion la droite $\mathcal{D}$ ne coupe pas la sphère.
		\item  %Démontrer que le plan (ABC) est tangent à la sphère $\mathcal{S}$.
Démontrer que le plan (ABC) est tangent à la sphère $\mathcal{S}$, c'est démontrer que la distance du point $\Omega$ au plan (ABC) est égal au rayon de la sphère.

Or $d(\Omega,~(\text{ABC})) = \dfrac{\left|2\times 1 - (- 3) + 2\times 1 + 2  \right|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}} = \dfrac{2 + 3 + 2 + 2}{\sqrt{9}} = \dfrac{9}{3} = 3 = r$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}