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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%%%%%%%%%%%%%%% définition escalier
\newcommand{\escalier}[4]{%
\code{/x 0.5 def}
\moveto(!x 0)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red](!x 0)(!x x)
\multido{\i=0+1}{4}{%
\code{/y 2 x div x add 0.5 mul def}
%\moveto(!x 0)
\psline[linewidth=2pt,linestyle=dashed,linecolor=blue]{->}(!x 0)(!x x)
\psline[linewidth=1.5pt,ArrowInside=->](!x x)(!x y)(!y y)
\code{/x y def}%
\uput[d](!x 0){$A_{\i}$}				% (on place les nom des points)
}
}
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pdftitle = {Corrigé Nouvelle Calédonie novembre 2006},
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{16 novembre 2006}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Nouvelle-Calédonie novembre 2006~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La probabilité est de $\dfrac{5}{\np{1000}} = \dfrac{0,5}{100} = 0,005$.
\item
	 \begin{enumerate}
		\item On suppose le cheptel assez important, donc le tirage successif de 10 animaux est une épreuve de Bernoulli de paramètres : $n = 10$ et de probabilité $p = 0,005$.
		
On a E $ = n \times p = 10 \times 0,005 = 0,05$.
		\item On a $p(A) = \binom{10}{0} \times  0,005^0 \times 0,995^{10} = 0,995^{10}\approx 0,951$.
		
On a $p(B) = 1 - p(A) = 1 - 0,995^{10} \approx 0,049$.
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
		\item On a l'arbre suivant : 
\begin{center}\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$M$~}\taput{$0,005$}}
		{
\TR{$T$}\taput{$0,8$}
 \TR{$\overline{T}$}\tbput{$0,2$}
 		}
	\pstree{\TR{$\overline{M}$~}\tbput{$0,995$}}
		{
\TR{$T$}\taput{$0,1$}
 \TR{$\overline{T}$}\tbput{$0,9$}
 		}
}
\end{center}

\medskip

		\item On $p(T) = p_{M}(T) + p_{\overline{M}}(T) = 0,005 \times 0,8 + 0,995 \times 0,1 = 0,004 + \np{0,0995} = \np{0,1035}$.
		\item D'après la formule de la probabilité conditionnelle :
		
$p_{+}(M) = \dfrac{p(+ \cap M)}{p(+)} = \dfrac{0,005 \times 0,8}{\np{0,1035}} \approx 0,038$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	  \begin{enumerate}
		\item $z_{1} \in \R$ est solution de $z^3 - (4 + \text{i})z^2 + (7 + \text{i})z - 4 = 0$ si et seulement si 
		
$z_{1}^3 - (4 + \text{i})z_{1}^2 + (7 + \text{i})z_{1} - 4 = 0 \iff \left\{\begin{array}{l}\Re\left(z_{1}^3 - (1 + \text{i})z_{1}^2 + (7 + \text{i})z_{1} - 4\right) = 0 \\
\Im \left(z_{1}^3 - (1 + \text{i})z_{1}^2 + (7 + \text{i})z_{1} - 4\right) = 0\\
\end{array}\right. \iff $

$\left\{\begin{array}{l}
z_{1}^3 - 4z_{1}^2 + 7z_{1} - 4 = 0\\
-z_{1}^2 + z_{1} = 0\\
\end{array}\right. \iff\left\{\begin{array}{l}
z_{1}^3 - 4z_{1}^2 + 7z_{1} - 4 = 0\\
z_{1} = 0~\text{ou}~z_{1} = 1\\
\end{array}\right.$.

Seul le nombre 1 vérifie la première équation. On a donc $z_{1} = 1$.
		\item On doit avoir $z^3 - (4 + \text{i})z^2 + (7 + \text{i})z - 4  = (z - 1)(z -  2 -  2\text{i})(az + b)$.
		
En identifiant les termes de plus haut degré on obtient $a = 1$ et en identifiant les termes constants : $- 4 = b(2 + 2\text{i}) \iff -2 = b(1 + \text{i}) \iff b = \dfrac{-2}{1 + \text{i}} = \dfrac{-2(1 - \text{i})}{(1 + \text{i})(1 - \text{i})} = -(1 - \text{i}) = - 1 + \text{i}$.

Conclusion $z^3 - (4 + \text{i})z^2 + (7 + \text{i})z - 4  = (z - 1)(z -  2 -  2\text{i})(z - 1 + \text{i})$.
	\end{enumerate}
\item La factorisation précédente donne les trois solutions de l'équation :
\[S = \{1~;~2 + 2\text{i}~;~1 -  \text{i}\}.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Figure.

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(3,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-2)(3,2.5)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](1,0)(2,2)(1,-1)(2,0)
\uput[dl](0,0){O} \uput[ur](1,0){A} \uput[ur](2,2){B} \uput[dr](1,-1){C} \uput[dr](2,0){D} 
\pspolygon(0,0)(2,2)(1,-1)
\psline(1,-1)(2,0)(2,2)
\end{pspicture}
\end{center}

\item On a $\dfrac{2 + 2\text{i}}{1 - \text{i}} = \dfrac{2(1 + \text{i})}{1 - \text{i}} =  \dfrac{2(1 + \text{i})^2}{(1 - \text{i})(1 + \text{i}} = (1 + \text{i})^2 = 2\text{i}$.\\
Le module de ce nombre est 2 et un de ses arguments est $\dfrac{\pi}{2}.$\\
Comme $\dfrac{2 + 2\text{i}}{1 - \text{i}} = \dfrac{2 + 2\text{i} - 0}{1 - \text{i} - 0}$, on a en prenant le module $\dfrac{|2 + 2\text{i} - 0|}{|1 - \text{i} - 0|} = \dfrac{\text{OB}}{\text{OC}} = 2 \iff \text{OB} = 2\text{OC}$.\\
En prenant les arguments on obtient $\left(\vect{\text{OC}}~;~\vect{\text{OB}}\right) = \dfrac{\pi}{2}$. Conclusion : le triangle OBC est rectangle en O.
\item On a de façon immédiate : $\left(\vect{\text{OA}}~;~\vect{\text{OC}}\right) = \dfrac{\pi}{4}$ et $\left(\vect{\text{OA}}~;~\vect{\text{OB}}\right) = -\dfrac{\pi}{4}$. La droite (OA) est donc une bissectrice du triangle (OBC).
\item Par définition de la rotation : $z_{\text{D}} - z_{\text{C}} = \left(z_{\text{O}} - z_{\text{C}}\right)\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{2}} \iff z_{\text{D}} - 1 + \text{i} = \left(-1 + \text{i}\right)(-\text{i})$

$ \iff z_{\text{D}} - 1 + \text{i} = \text{i} + 1 \iff z_{\text{D}} = 2$.
\item On a vu que $\left(\vect{\text{OC}}~;~\vect{\text{OD}}\right) = \dfrac{\pi}{2}$ et on a aussi $\left(\vect{\text{CD}}~;~\vect{\text{CO}}\right) = \dfrac{\pi}{2}$. Donc les droites (OB)  et (CD) sont parallèles : le quadrilatère OCDB est donc un trapèze rectangle  (et pas un parallélogramme car OB = 2 OC = 2CD.)
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'écriture complexe de la rotation $r$ est :

\[ z' = z\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} = z \left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right).\]

En particulier $z_{\text{B}} = z_{\text{B}}\left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 3\left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \dfrac{3}{2} + \text{i}\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.
\item On a $r(\text{B}) = \text{C}$ et $z_{\text{C}} = \left( \dfrac{3}{2} + \text{i}\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right) \left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \dfrac{3}{4} - \dfrac{9}{4} + \text{i}\dfrac{3\sqrt{3}}{4} +  \text{i}\dfrac{3\sqrt{3}}{4} =$

$z_{\text{C}} =  -\dfrac{3}{2} + \text{i}\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.

$z_{\text{D}} = r\left(z_{\text{C}} \right) = 3 \times \text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{3}}$. Donc D est le symétrique de A autour de O et $z_{\text{D}} = - 3$.

On obtient successivement $z_{\text{E}} = -\dfrac{3}{2} - \text{i}\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ et $z_{\text{F}} = \dfrac{3}{2} - \text{i}\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item F est l'image de A par six rotations de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ soit une rotation de $2\pi$ soit l'identité, donc $r(\text{F}) = \text{A}$.
		\item Le polygone est composé de six triangles  isocèles d'angle au sommet mesurant $\dfrac{\pi}{3}$, donc de six triangles équilatéraux. On a donc AB = BC = CD = DE = EF = FA = 3. Ce polygone est donc un hexagone régulier ce côté $3$ et de centre O.
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
		\item Si $s'(\text{F}) = \text{C}$, le rapport de cette similitude est : $\dfrac{\text{EC}}{\text{EF}} = \\\dfrac{\left|z_{\text{c}} - z_{\text{E}} \right|}{\left| z_{\text{E}} - z_{\text{E}}\right|} = \dfrac{\left|- \frac{3}{2}+ \text{i}\frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}+  \text{i}\frac{3\sqrt{3}}{2} \right|}{\left|| \frac{3}{2}- \text{i}\frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}+  \text{i}\frac{3\sqrt{3}}{2}  \right|} = \dfrac{\left|3\text{i}\sqrt{3}\right|}{|3|} = \sqrt{3}$.
		
Le rapport de la similitude $s'$ est égal à $\sqrt{3}$.

On a aussi $\left(\vect{\text{EF}},~\vect{\text{EC}}  \right) = \text{arg}\dfrac{\text{EC}}{\text{EF}} = \text{arg}(\text{i}\sqrt{3} = \dfrac{\pi}{2}$.

La transformation $s \circ s'$ est une similitude comme composée de deux similitudes, son rapport étant le produit des rapports, soit $\dfrac{1}{2}\times \sqrt{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, et dont un argument est la somme des arguments de $s$ et $s'$, soit $\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{5\pi}{6}$.
		\item Comme AD = 6 et AF = 3, que $\left(\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AF}}\right) = \dfrac{\pi}{3}$, l'image de D par $s$ est le point C. Mais l'image de F par $s'$ est C.
		
Conclusion : l'image de D par $s' \circ s$ est C.
		\item $s' \circ s $ est une similitude directe comme composée de deux similitudes directes : son écriture complexe est donc de la forme $z' = az + b$. On a vu à la question a que $a = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{\frac{5\text{i}\pi}{6}}$.
		
On vient de démontrer que $s'(\text{D}) = \text{C} \iff - \dfrac{3}{2} + \text{i}\dfrac{3\sqrt{3}}{2} = $

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+ \text{i}\dfrac{1}{2}\right)(- 3) + b \iff b = - \dfrac{15}{4} + \text{i}\dfrac{9\sqrt{3}}{4}$.\\
L'écriture complexe est donc : $z' = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{\frac{5\text{i}\pi}{6}}z  - \dfrac{15}{4} + \text{i}\dfrac{9\sqrt{3}}{4}$.
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
		\item On a par définition de la symétrie : AC = CA$'$  ou AC$'$ = 2AC ;
		
D'autre part part de façon évidente : AC = CE = EA : le triangle (ACE) est équilatéral et $\left( \vect{\text{AA}'}, ~\vect{\text{AE}}\right) \dfrac{\pi}{3}$.

Conclusion : $s(\text{A}') = \text{E}$.

Comme E est le centre de la similitude $s'$, on a $s'(\text{E}) = \text{E}$.
		\item Par le calcul, on a $\dfrac{z_{\text{A}'}+3}{2} = - \dfrac{3}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \iff z_{\text{A}'} = - 6 + \text{i}\sqrt{3}$. En utilisant l'écriture complexe de $s' \circ s $ trouvée au 4 c, on obtient :
		
$z_{s' \circ s(\text{A}')} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{\frac{5\text{i}\pi}{6}}\left(- 6 + \text{i}\sqrt{3} \right)  - \dfrac{15}{4} + \text{i}\dfrac{9\sqrt{3}}{4}$.

On trouve : $z_{s' \circ s(\text{A}')} = - \dfrac{3}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} = z_{\text{E}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-8,-6)(4,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=cyan,subgridcolor=cyan,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.1pt]
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-8,-6)(4,6)
\SpecialCoor
\pscircle(0;0){3}
\pspolygon(3;0)(3;60)(3;120)(3;180)(3;240)(3;300)
\psline(3;60)(3;300)(3;120)(3;240)(3;60)
\uput[ur](3;0){A} \uput[ur](3;60){B} \uput[ul](3;120){C} \uput[ul](3;180){D} 
\uput[dl](3;240){E} \uput[dr](3;300){F} \uput[ul](0;0){O} \uput[ul](-6,5.19615){A$'$}
\psline(3,0)(-6,5.19615) 
\psline(3;60)(3;180)
\psline(3;240)(3;0)
\psline(-3,0)(-7.5,-2.598) \uput[ul](-7.5,-2.598){A$'_{1}$}
\psline(-7.5,-2.598)(-1.5,-2.598)(-1.5,-5.19615) \uput[dr](-1.5,-5.19615){A$'_{2}$}
\uput[dr](3,0){A$_{1}$} \uput[ul](-1.5,0){A$_{2}$}
\uput[dl](0.75,-1.299){C$_{1}$} \uput[u](-3.75,1.3){C$_{2}$}
\psarc(3;240){4.5}{30}{120}
\psline(-6,5.19615)(-1.5,-2.598)
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
		\item La fonction $f$ est dérivable et $f'(x) = \dfrac{1}{2}\left(1 - \dfrac{2}{x^2}\right) = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x^2 - 2}{x^2}\right)$.
		
Le signe de $f'$ est donc celui de $x^2  - 2$, car $x^2
 > 0,~\text{pour }~x > 0$.
 
Or sur $]0~;~+ \infty[,~x^2 - 2 \geqslant 0 \iff x \geqslant \sqrt{2}$.
 
La fonction est :
 
\begin{itemize}
\item décroissante sur $]0~;~\sqrt{2}[$~;
\item croissante sur $]\sqrt{2}~;~+ \infty[$.
\end{itemize}

%\medskip
%
%\psset{xunit=3cm,yunit=2cm}
%\begin{pspicture}(0,-1.5)(3,4.25)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(3,4)
%\psplot[plotpoints=4000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.275}{3}{2 x div x add 0.5 mul}
%\psplot[plotpoints=4000,linecolor=green]{0}{3}{ x 2 div }
%\psplot[plotpoints=4000,linecolor=red]{0}{3}{ x}
%\psline[linestyle=dashed](1.414,1.414)(0,1.414)
%\psline{<->}(1,1.414)(1.828,1.414)
%%\uput[d](1.414,0){$\sqrt{2}$}
%\uput[l](0,1.414){$\sqrt{2}$}
%\uput[ur](0.5,0){A$_{0}$} \uput[ur](2.25,0){A$_{1}$} \uput[ur](1.5694,0){A$_{2}$} \uput[ur](1.42189,0){A$_{3}$} 
%\psline[linestyle=dotted](0.5,0)(0.5,2.25)(0,2.25)(2.25,2.25)(2.25,0)(2.25,1.5694)(0,1.5694)(1.5694,1.5694)(1.5694,0)(1.5694,1.42189)(0,1.42189)(1.42189,1.42189)(1.42189,0)
%\uput[d](0.5,0){\footnotesize $0,5$}\uput[d](0.5,-0.3){\footnotesize $u_{0}$} \uput[d](2.25,0){\footnotesize $2,25$}
%\uput[d](2.25,-0.3){\footnotesize $u_{1}$} \uput[d](1.5694,0){\footnotesize $\np{1,5694}$}  
%\uput[d](1.5694,-0.3){\footnotesize $u_{2}$} \uput[d](1.42189,-0.5){\footnotesize $\np{1,42189}$} 
%\uput[d](1.42189,-0.7){\footnotesize $u_{3}$} 
%\rput{23}(3,3.1){$y = x$}
%\end{pspicture}
%%%%%%%%%%%essai Denis
\bigskip

\psset{xunit=3cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(3,4.25)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(3,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,ticks=none]{->}(0,0)(1,1)
\rput(1.5,4){D'où la courbe représentative de $f$ :}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.275}{3}{2 x div x add 0.5 mul}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=green]{0}{3}{ x 2 div }
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=red]{0}{3}{ x}
%\psline[linestyle=dashed](1.414,1.414)(0,1.414)
%\psline{<->}(1,1.414)(1.828,1.414)
%\uput[d](1.414,0){$\sqrt{2}$}
%\uput[l](0,1.414){$\sqrt{2}$}
%\uput[ur](0.5,0){A$_{0}$} \uput[ur](2.25,0){A$_{1}$} \uput[ur](1.5694,0){A$_{2}$} \uput[ur](1.42189,0){A$_{3}$} 
%\psline[linestyle=dotted](0.5,0)(0.5,2.25)(0,2.25)(2.25,2.25)(2.25,0)(2.25,1.5694)(0,1.5694)(1.5694,1.5694)(1.5694,0)(1.5694,1.42189)(0,1.42189)(1.42189,1.42189)(1.42189,0)
%\uput[d](0.5,0){\footnotesize $0,5$}\uput[d](0.5,-0.3){\footnotesize $u_{0}$} \uput[d](2.25,0){\footnotesize $2,25$}
%\uput[d](2.25,-0.3){\footnotesize $u_{1}$} \uput[d](1.5694,0){\footnotesize $\np{1,5694}$}  
%\uput[d](1.5694,-0.3){\footnotesize $u_{2}$} \uput[d](1.42189,-0.5){\footnotesize $\np{1,42189}$} 
%\uput[d](1.42189,-0.7){\footnotesize $u_{3}$} 
%\rput{23}(3,3.1){$y = x$}
\uput[d](0.5,-0.1){\footnotesize $u_{0} = 0,5$}\uput[d](2.25,-0.1){\footnotesize $u_{1} = 2,25 $}\uput[d](1.5694,-0.15){\footnotesize $u_{2}\approx 1,57$}
\uput[d](1.5694,-0.05){\footnotesize $u_{3}\approx 1,422$}
\uput[ur](0.5,0){A$_{0}$} \uput[ur](2.25,0){A$_{1}$} \uput[ur](1.5694,0){A$_{2}$} \uput[ur](1.42189,0){A$_{3}$} 
\SpecialCoor
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.275}{3}{2 x div x add 0.5 mul} 
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=black]{0}{3}{ x}
\pscustom[linewidth=1.25pt]{%le tracé des pts 
\escalier{2 x div x add 0.5 mul}{0.5}{4}{$A$}
}
\end{pspicture}
%%%%%%%%%%%
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On a quel que soit $n,~u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(u_{n} + \dfrac{2}{u_{n}}\right) = f\left(u_{n}\right)$.
		
On vient de voir que $u_{1} = f\left(u_{0}\right) = f\left(\dfrac{1}{2}\right) = 2,25 \geqslant \sqrt{2}$. L'affirmation est vraie au rang 1.

Supposons $u_{n} \geqslant \sqrt{2}$. D'après la question 1, la fonction $f$ est croissante sur $[\sqrt{2}~;~+ \infty[$. Donc par application de cette croissance $f\left(u_{n}\right) \geqslant f(\sqrt{2}) = \sqrt{2}$. Donc $u_{n+1} \geqslant \sqrt{2}$. la relation est héréditaire.

Conclusion : quel que soit $n \geqslant 1, u_{n} \geqslant \sqrt{2}$.
		\item Soit $f(x) - x = \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{x} - x = \dfrac{1}{x} - \dfrac{x}{2} = \dfrac{2 - x^2}{2x}$.
		
On a vu que si $x \geqslant \sqrt{2},~2 - x^2 \leqslant 0$.

Conclusion : si $x \geqslant \sqrt{2},~ f(x) - x \leqslant 0 \iff f(x) \leqslant x$.
		\item On a vu que pour $n > 0,~u_{n} \geqslant \sqrt{2}$ ; donc d'après la question précédente $f\left(u_{n}\right) \leqslant u_{n}$ ; or $f\left(u_{n}\right) = u_{n+1}$.
		
Conclusion : $u_{n+1} \leqslant u_{n}$ pour tout $n > 0$. La suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante.
		\item La suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante et minorée par $\sqrt{2}$. Elle converge donc vers un réel supérieur ou égal à $\sqrt{2}$.
	\end{enumerate}
\item La fonction $f$ est définie et continue sur $[\sqrt{2}~;~+ \infty[$ ; la suite définie par 

$u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)$ converge vers $\ell = f(\ell)$.

$\ell$ est donc solution de l'équation $\dfrac{1}{2}\left(x + \dfrac{2}{x}\right) = x \iff 2x = x + \dfrac{2}{x} \iff$

$2x^2 = x^2 + 2 \iff x^2\ = 2 \iff x = \ell$, seule solution supérieure ou égale à $\sqrt{3}.$

La suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers $\ell = \sqrt{2}.$
\end{enumerate}
 
 \vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points}

\textbf{Première partie}

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item A$ \in (P_{1}) \iff - 9 + 9 = 0$ : vrai ;\\
B$ \in (P_{1}) \iff 14 - 12 +9 = 0$ : faux ;\\
C $ \in (P_{1}) \iff -7 + 4 - 6 + 9 = 0$ vrai ;\\
D $ \in (P_{1}) \iff 7 - 16 + 9 = 0$ : vrai.\\
$\vect{\text{AC}}(-1~;~1~;~-1),~\vect{\text{AD}}(1~;~-~4~-3)$ : ces vecteurs ne sont pas colinéaires, donc 
$(P_{1})$ est  le plan (ACD).
		\item A $ \in (\Delta_{1}) \iff \left\{\begin{array}{l c l}
0 	&=&- 1 + \phantom{2}t\\
0 	&=&- 8 + 2t\\
3	&=&- 10 + 5t\\
\end{array}\right.  \Rightarrow t = 1~\text{et}~t = 4$. Pas de solution. Donc faux ;\\
B $ \in (\Delta_{1}) \iff \left\{\begin{array}{l c l}
2 	&=&- 1 + \phantom{2}t\\
0 	&=&- 8 + 2t\\
4	&=&-10 + 5t\\
\end{array}\right.  \Rightarrow t = 3
~\text{et}~t = 4$. Pas de solution. Donc faux ;\\
C $ \in (\Delta_{1}) \iff \left\{\begin{array}{l c l}
1 	&=&- 1 + \phantom{2}t\\
1 	&=&- 8 + 2t\\
2	&=&- 10 + 5t\\
\end{array}\right.  \Rightarrow t = 2
~\text{et}~t = 4,5$. Pas de solution. Donc faux ;\\
D $ \in (\Delta_{1}) \iff \left\{\begin{array}{l c l}
1 	&=&- 1 + \phantom{2}t\\
-4 	&=&- 8 + 2t\\
0	&=&- 10 + 5t\\
\end{array}\right.  \Rightarrow t = 2
~\text{et}~t = 2 ~\text{et}~t = 2 $. Donc vrai ;
		\item Un vecteur $\vect{u}$ directeur de la droite $(\Delta_{1})$ a pour coordonnées $\vect{u}(1~;~2~;~5)$. $\vect{v}(7~;~4~;~-3)$ est un vecteur normal au  plan $(P_{1})$.\\
Or $\vect{u}\cdot \vect{v} = 7 + 8 - 15 = 0$. La droite $(\Delta_{1})$ est parallèle au plan $(P_{1})$. Or en 1 et 2 on a trouvé que D est un point de $(\Delta_{1})$ et de $(P_{1})$. Donc la droite $(\Delta_{1})$ est incluse dans $(P_{1})$.
		\item Un point commun à $(\Delta_{1})$ et $(\Delta_{2})$ a ses coordonnées qui vérifient le système :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
-1 + t &=& 7 + 2t'\\
-8 + 2t&=&8 + 4t'\\
-10 + 5t &=&8 - t'\\
\end{array}\right. \iff  \left\{\begin{array}{l c l}
 t - 2 &=& 8\\
 t - 2 &=& 8\\
5t + t'&=&18 \\
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
t&=&4\\
t'&=&-2\\
\end{array}\right.\]
On obtient donc une solution unique qui donne comme coordonnées $(3~;~0~;~10)$.

Les droites $(\Delta_{1})$ et $(\Delta_{2})$ sont sécantes (et donc coplanaires).
		\item Un point commun aux deux plans a ses coordonnées qui vérifient le système : $\left\{\begin{array}{l c l}
7x + 4y - 3z + 9&=&0\\
x - 2y&=&0\\
\end{array}\right.$\\
En posant $y = t$, on obtient le système équivalent : $\left\{\begin{array}{l c l}
y&=&t\\
7x +4t - 3z + 9 &=&0\\
x &=&2t\\
\end{array}\right. $

$\iff \left\{\begin{array}{l c l}
y&=&t\\
x&=&2t\\
z &=&6t + 3\\
\end{array}\right.$\
La bonne réponse est la deuxième.
	\end{enumerate}
	
\medskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On traduit pour un point $M(x~;~y~;~z)$ l'égalité vectorielle $\vect{\text{A}M} = a\vect{u} \iff \left\{\begin{array}{l c r}
x- 0&=& a\\
y - 0&=&0\\
z - 3&=&-a\\
\end{array}\right.$\\
On a donc $M(a~;~0~;~3 - a)$.\\
De même  $\vect{\text{B}M'} = b\vect{v} \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x' - 2&=&0\\
y' - 0&=&b\\
z' - 4 &=&b
\end{array}\right.$.\\
On a donc $M'(2~;~b~;~4 + b)$.\\
Il s'ensuit que $\vect{MM'}(2 - a~;~b~;~a + b + 1).$
\item La droite $(MM')$ est perpendiculaire à (D) et à (D$'$) si et seulement si :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
\vect{MM'}\cdot \vect{u}&=&0\\
\vect{MM'}\cdot \vect{v}&=&0\\
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
2 - a - a - b - 1&=&=0\\
b + a + b + 1&=&=0
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
2a + b&=&1\\
a + 2b&=&-1\\
\end{array}\right.\]

\item $\left\{\begin{array}{l c l}
2a + b&=&1\\
a + 2b&=&-1
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
4a + 2b&=&2\\
a + 2b&=&-1
\end{array}\right. \Rightarrow 3a = 3 \iff a = 1$. On en déduit que $b = -1$.

On a donc H(1 ; 0 ; 2) et H$'(2~;~-1~;~3)$.

On calcule HH$'^2 = 1^2 + (-1)^2 + 1^2 = 3 \iff \text{HH}' = \sqrt{3}$.
\item
	 \begin{enumerate}
		\item Avec $M(a~;~0~;~3 - a)$ et $M'(2~;~b~;~4 + b)$, on calcule 
		
$MM'^2 = \left\|\vect{MM'}\right\|^2 = (2 - a)^2 + b^2 + (a + b + 1)^2 = 4 - a^2 - 4a + b^2 + a^2 + b^2 + 1 + 2a + 2b + 2ab = 2a^2 + 2b^2 - 2a + 2b + 2ab + 5 = a^2 + b^2 + 2ab a^2 + 1 - 2a + b^2 + 2b + 1 + 3$.
		
Soit enfin $MM'^2 = (a + b)^2 + (a - 1)^2 + (b + 1)^2 + 3$.
		\item Les trois premiers termes de la somme précédente sont des carrés dont la plus petite valeur est $0$. On a donc $MM'^2 \geqslant 3$ et cette valeur $3$ est atteinte lorsque les trois carrés sont nuls, c'est-à-dire quand $\left\{\begin{array}{l c l}
a + b&=&0\\
a - 1&=&0\\
b + 1&=&0\\
\end{array}\right.  \iff \left\{\begin{array}{l c r}
a + b	&	=&0\\
a		&	=&1\\
b		&	=&- 1\\
\end{array}\right.$

On retrouve donc les valeurs $a = 1$ et $b = - 1$ et la distance (la plus courte) entre les deux droites : elle vaut $\sqrt{3}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}