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pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat technologique Hôtellerie},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat de technicien}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2011}}
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\thispagestyle{empty}
\cfoot{\thepage}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat de technicien hôtellerie ~\decofourright\\Polynésie juin 2011}}

\vspace{0,25cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

%Cette année, $800$ élèves d'un lycée hôtelier partent en stage : soit en cuisine soit en service. 
%Les élèves peuvent choisir entre 3 destinations possibles: rester dans la ville du lycée, partir dans une autre ville de la région ou quitter la région.
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item 60\,\% des élèves font leur stage en cuisine. 
%\item 20\,\% des élèves quittent la région et parmi eux, 40\,\% sont en service. 
%\item 30\,\% des élèves choisissent une autre ville de la région et 60\,\% d'entre eux sont en cuisine.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant :
 
\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
		&\footnotesize Dans la ville 	&\footnotesize Dans une autre ville de la région 	&\footnotesize Dans une autre région &\footnotesize Total\\ \hline 
En cuisine&240			&144								&96						&480\\ \hline 
En service&160			&96									&64						&320\\ \hline 
Total	  &400			&240								&160					&800 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

%\emph{Dans les questions suivantes, on donnera les résultats sous forme décimale.}
%
%\smallskip
% 
%\item On choisit un élève au hasard parmi les 800 élèves du lycée.
% 
%Calculer la probabilité des évènements suivants :
% 
%$A$ : \og  L'élève choisi est en stage en service \fg.
% 
%$B$ : \og  L'élève choisi est dans une autre région \fg. 
$p(A) = \dfrac{320}{800} = \dfrac{40}{100} = 0,4$. (ou puisque 60\,\% font leur stage cuisine $100 - 60 = 40\,\%$ font leur stage en service).

$p(B) = \dfrac{160}{800} = \dfrac{20}{100} = 0,2$. (énoncé)
\item
	\begin{enumerate}
		\item ~%Définir par une phrase les évènements $A \cap B \,;\, A \cup B$ et $\overline{A}$.
$\bullet~~$$A \cap B$ : \og L'élève choisi est en stage en service et dans une autre région \fg{}

$\bullet~~$$A \cup B$ : \og L'élève choisi est en stage en service ou dans une autre région \fg.		 	\item ~%Calculer la probabilité des évènements définis ci-dessus.
$p(A \cap B) = \dfrac{64}{800} = \dfrac{8}{100} = 0,08$.

$p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B) = \dfrac{40}{100} + \dfrac{20}{100} - \dfrac{8}{100} = \dfrac{52}{800} =  0,52$.
	\end{enumerate}		 
\item %On choisit un élève en stage en service au hasard. Calculer la probabilité qu'il soit parti dans une autre région.
Sur les 320 élèves en stage de service, 64 sont partis dans une autre région ; la probabilité est donc égale à : $\dfrac{64}{320} = \dfrac{8}{40} = \dfrac{4}{20} = \dfrac{20}{100} = 0,2$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip 

%Lorsqu'une personne absorbe à jeun une certaine quantité dialcool, on note $f(x)$ son taux d'alcoolémie (en grammes d'alcool par litre de sang) en fonction de $x$ (le temps écoulé en heure depuis l'absorption).
%
%\smallskip
% 
%Dans cet exercice, on va étudier le taux d'alcoolémie d'une femme d'environ 65 kg ayant absorbé de l'alcool.
%
%\smallskip
% 
%Dans ce cas, la fonction $f$ est définie sur [0~;~6] par 

\[f(x) = \dfrac{3x}{\text{e}^x}\]

\smallskip

\textbf{Partie A : étude de la fonction}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer l'expression de la fonction dérivée $f'$ de $f$, puis montrer qu'elle peut s'écrire sous la forme :
Sur l'intervalle  [0~;~6], $f'(x) = \dfrac{3\text{e}^x - 3x\text{e}^x}{\left(\text{e}^x\right)^2} = \dfrac{\text{e}^x(3 - 3x)}{\text{e}^x \times \text{e}^x} = \dfrac{3 - 3x}{\text{e}^x}$.
%\[f'(x) = \dfrac{3 - 3x}{\text{e}^x}.\]

\item %Étudier le signe de $f'(x)$ puis dresser le tableau de variations de $f$ sur [0~;~6]. 
On sait que quel que soit le réel $x$, \: $\text{e}^x > 0$, donc le signe de $f'(x)$ est celui du numérateur $3 - 3x$.

$\bullet~~3 - 3x > 0 \iff 3 > 3x \iff 1 > x \iff x < 1$. Donc $f'(x) > 0$ sur $[0~;~1[$ ;

$\bullet~~3 - 3x < 0 \iff 3 < 3x \iff 1 < x \iff x > 1$. Donc $f'(x) < 0$ sur $]1~;~6]$ ;

$\bullet~~3 - 3x = 0 \iff 3 = 3x \iff 1 = x $. Donc $f'(1) =  0$.

La fonction est donc croissante sur $[0~;~1[$ de $f(0) = 0$ à $f(1) = \dfrac{3}{\text{e}}$ puis décroissante de $f(1)$ à $f(6) = \dfrac{18}{\text{e}^6} \approx 0,045$.
\item %Recopier et compléter le tableau suivant dans lequel on donnera les valeurs arrondies à $10^{-2}$ près. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0	&0,5	&1		&1,5	&2		&2,5	&3		&4		&5		&6\\ \hline
$f(x)$	&0	&0,91	&1,10	&1,00	&0,81	&0,62	&0,45	&0,22	&0,10	&0,04\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item ~%Construire la courbe représentative de la fonction j dans un repère orthogonal pour x appartenant à l'intervalle [0~;~6].
 
%On prendra :
% 
%2~cm pour une unité sur l'axe des abscisses,
%
%10~cm pour une unité sur l'axe des ordonnées.
\begin{center}
\psset{xunit=1.8cm,yunit=9cm,comma=true,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.1)(6,1.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.2,xsubticks=10,ysubticks=10]{->}(0,0)(0,0)(6,1.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.2,xsubticks=10,ysubticks=10](0,0)(0,0)(6,1.2)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6}{3 x mul 2.71828 x exp div}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt,ArrowInside=->](0,0.5)(2.833,0.5)(2.800,0)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.pt](0,1.1036)(1,1.1036)(1,0)
\uput[l](0,0.5){0,5}\uput[l](0,1.1036){$\approx 1,10$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : application, exploitation graphique}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer le taux d'alcoolémie maximal et le temps au bout duquel ce taux est atteint.
On a vu que le maximum est $f(1) = \dfrac{3}{\text{e}} \approx \np{1,1036}$. Le maximum est atteint au bout de 1 h. 
\item %Depuis le 15 septembre 1995, le taux maximum d'alcoolémie autorisé pour conduire un véhicule est 0,5~g/L. 
	\begin{enumerate}
		\item %Indiquer si la personne aura respecté la législation en conduisant sa voiture 3 heures après l'absorption d'alcool.
On a $f(3) = \dfrac{3 \times 3}{\text{e}^3} \approx 0,448$ : c'est inférieur à 0,5 : la personne peut conduire.		 
		\item %Cette femme a fini son dernier verre à 12~h~00.
		 
%À l'aide du graphique, déterminer si elle peut prendre le volant à 13~h~00 sans enfreindre la loi.
O a vu que $f(1) \approx 1,10$ ; on est de loin au dessus du taux accepté.

On trace la droite d'équation $y = 0,5$ qui coupe la courbe représentative de $f$ en un point d'abscisse approximative : 2,8 soit 2 h et $0,8 \times 60 = 48$~min.

Cette femme devra attendre jusqu'à 14~h 50~min environ. 
%Si non, quelle heure devra-t-elle attendre avant de pouvoir partir? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}