\documentclass[10pt]{article}
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%Tapuscrit : Denis Vergès 
%Corrigé : François Hache
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\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
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\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%%%%   Commandes perso FH
\newcommand{\ds}{\displaystyle}%   displaystyle
\newcommand{\cg}{\texttt{]}}% crochet gauche
\newcommand{\cd}{\texttt{[}}% crochet droit
%\renewcommand{\d}{\,\text{d}}%le d de différentiation
\newcommand{\e}{\,\text{e}\,}%le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\text{\,i\,}}%le i des complexes
\newcommand{\pg}{\geqslant}%plus grand ou égal
\newcommand{\pp}{\leqslant}%plus petit ou égal
\newcommand{\ssi}{\Leftrightarrow}% équivalent
\newcommand*{\point}[4]{
\psdots(#1,#2)
\uput[#3](#1,#2){#4}}
% permet de placer un point et de marquer son nom en même temps
% abscisse ordonnée emplacement et nom
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\DecimalMathComma% pas d'espace après la virgule en mode mathématique
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\renewcommand{\d}{\,\text{d}} % le d de différentiation
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat ES},
pdftitle = {Correction Polynésie ES - 10 septembre 2014},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{10 septembre  2014}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Polynésie (spécialité)~\decofourright\\[4pt]10 septembre  2014}}
\end{center}

%\vspace{0,25cm}

%\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\subsection*{Exercice 1 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
% 
%\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte, ni n'enlève aucun point.\\
% Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.}
% 
%\medskip
\begin{enumerate}
\item Réponse \textbf{d.}: $-\dfrac{1}{\e}$\\[5pt]
Le coefficient directeur de la tangente est négatif et n'est manifestement pas $-2\e \approx -5,4$.


% On a représenté ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur [0~;~3] ainsi que la tangente au point A d'abscisse 1.
% 
%En $x = 1$, le nombre dérivé de $f$ est :
%
%\parbox{0.3\linewidth}{ 
%\begin{enumerate}
%\item $ -2\text{e}$ 
%\item 3 
%\item $\dfrac{1}{\text{e}}$ 
%\item  $- \dfrac{1}{\text{e}}$ 
%\end{enumerate}
%}\hfill \parbox{0.6\linewidth}{
%\psset{xunit=1.25cm,yunit=1cm}
%\begin{pspicture}(-0.5,-0.25)(3.5,2)
%\psgrid[gridlabels=0](0,0)(3,2)
%\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.25)(3.5,2)
%\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3}{x 1 add 2.71828 x exp div}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1pt]{0}{3}{1.10364 0.3679 x mul sub}
%\uput[d](3.4,0){$x$}\uput[l](0,1.9){$y$}\uput[ur](1,0.8){A}
%\uput[dl](0,0){O}
%\end{pspicture}}


 
\item Réponse \textbf{b.}: positif sur $\cd 3\,;\, 4\cg$

En effet la fonction $g$ est croissante sur cet intervalle.

%On a représenté ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $g$ définie et dérivable sur [0~;~5] ainsi que sa tangente horizontale au point A d'abscisse 3.
% 
%Le signe de la fonction dérivée de $g$ est :
%
%\parbox{0.3\linewidth}{ 
%\begin{enumerate}
%\item négatif sur [0~;~1] 
%\item positif sur [3~;~4] 
%\item négatif sur [1~;~4] 
%\item change en $x = 4$
%\end{enumerate}} \hfill \parbox{0.6\linewidth}{
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture*}(-0.5,-1.5)(4.5,2.25)
%\psgrid[gridlabels=0](0,-2)(5,3)
%\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.2,-1.5)(4.5,2.25)
%\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4.5}{x 3 exp 3 div x dup mul 2 mul sub x 3 mul add 1.33333 sub}
%\uput[dl](0,0){O}\uput[d](4.25,0){$x$}\uput[l](0,2.1){$y$}
%\psline{<->}(2.2,-1.3333)(3.8,-1.3333)\uput[ur](3,-1.333){A}
%\end{pspicture*}}

\item Réponse \textbf{c.}: $-x\e^{-\frac{x^2}{2}}$

On calcule $H'(x)$ en appliquant la formule $\left ( \e^{u(x)} \right )'= u'(x) \e^{u(x)}$.

%La fonction $H$ définie sur $\R$ par $H(x) = \text{e}^{- \frac{x^2}{2}}$ est une primitive de la fonction $h$ définie 
%par : 
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} 
%\textbf{a.~~} $\text{e}^{- \frac{x^2}{2}}$& 	\textbf{b.~~} $- \text{e}^{- \frac{x^2}{2}}$& \textbf{c.~~} $- x\text{e}^{- \frac{x^2}{2}}$& \textbf{d.~~}
%$- 2x\text{e}^{- \frac{x^2}{2}}$\\
%\end{tabularx}
%\medskip

\item Réponse \textbf{c.}: $\dfrac{1}{\e}$\\[5pt]
$f\left (\dfrac{1}{\e}\right ) = 1+\ln \dfrac{1}{\e} = 1 + \ln 1 - \ln \e = 1 - 0 - 1 = 0$


%Soit $j$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = 1 + \ln x$. 
%
%L'équation $j(x) = 0$ a pour solution :
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} 
%\textbf{a.~~} e& 	\textbf{b.~~} $-1$& \textbf{c.~~}$ \dfrac{1}{\text{e}}$& \textbf{d.~~}
%1\\
%\end{tabularx}
%\medskip
 
\item Réponse \textbf{a.}: $6,5$

$k(0)=5$ et $k(1)=8$; de plus la fonction $k$ est représentée par une droite. On cherche donc l'aire d'un trapèze de petite base 5, de grande base 8 et de hauteur 1.

%On considère la fonction $k$ définie sur $\R$ par $k(x) = 3x + 5$.
% 
%L'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe représentative de $k$, l'axe des abscisses, et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$ est :
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} 
%\textbf{a.~~} 6,5& 	\textbf{b.~~} 8& \textbf{c.~~}4,5& \textbf{d.~~} 8,5
%\\
%\end{tabularx}

\end{enumerate} 

%\newpage

%\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\subsection*{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\subsubsection*{Partie A}
  
Le graphe suivant représente le plan d'une ville. Les arêtes du graphe représentent les principales avenues et les sommets du graphe les carrefours entre ces avenues.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6.7,3.5)
\psset{showpoints=true}
\psframe(1.8,0.9)(4.1,3.2)%DCBA
\psline(1.8,0.9)(0.3,0.1)(1.8,3.2)%DEA
\psline(4.1,3.2)(6.5,0.1)(4.1,0.9)%BFC
\psline(0.3,0.1)(6.5,0.1)%EF
\psline(1.8,3.2)(4.1,0.9)% AC
\uput[u](1.8,3.2){A} \uput[u](4.1,3.2){B} \uput[d](4.1,0.9){C} 
\uput[d](1.8,0.9){D} \uput[ul](0.3,0.1){E} \uput[ur](6.5,0.1){F} 
\end{pspicture}
\end{center}

%\medskip

%\parbox{0.55\linewidth}{ 
\begin{enumerate}
\item% Donner l'ordre du graphe puis le degré de chacun des sommets. 
L'ordre d'un graphe est le nombre de ses sommets donc ce graphe est d'ordre 6.

Le degré d'un sommet est le nombre d'arêtes qui partent de ce sommet:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
Sommet & A & B & C & D & E & F \\ 
\hline 
Degré & 4 & 3 & 4 & 3 & 3 & 3 \\ 
\hline 
\end{tabular}
 \end{center} 
 
\item% Un piéton peut-il parcourir toutes ces avenues sans emprunter plusieurs fois la même avenue: 
	\begin{enumerate}
		\item% en partant d'un carrefour et en revenant à son point de départ ? Justifier la réponse.
Partir d'un carrefour, parcourir toutes les avenues sans emprunter plusieurs fois la même avenue et revenir au point de départ, revient à chercher si le graphe admet un cycle eulérien.

Puisqu'il existe au moins une chaîne entre deux sommets quelconques, ce graphe est connexe ; il admet un cycle eulérien si et seulement si chaque sommet est de degré pair,   ce qui n'est pas le cas.

Donc il n'existe pas un tel chemin.

		\item% en partant d'un carrefour et en arrivant à un carrefour différent ? Justifier la réponse.
		
Partir d'un carrefour, parcourir toutes les avenues sans emprunter plusieurs fois la même avenue et arriver à un autre carrefour que celui du départ, revient à chercher si le graphe admet un chemin eulérien.

Or un graphe connexe admet un chemin eulérien si et seulement si chaque sommet est de degré pair, sauf éventuellement deux, ce qui n'est pas le cas.

Donc il n'existe pas un tel chemin.	
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsubsection*{Partie B}

%\medskip
 
Dans le graphe ci-dessous, on a indiqué, pour cette même ville, le sens de circulation pour les véhicules sur les différentes avenues. 

\medskip

%\parbox{0.55\linewidth}{ 
\begin{enumerate}
\item% Peut-on trouver un trajet de longueur quelconque qui permet d'aller de D à B en respectant les sens de circulation ? Justifier la réponse. 
Du sommet D, il n'y a qu'un arc qui part vers A donc on ne peut aller que vers A.

Du sommet A, il n'y a qu'un arc qui part vers E donc on ne peut aller que vers E.

Du sommet E, il n'y a qu'un arc qui part vers D donc on ne peut aller que vers D.

Du sommet D, on ne peut se rendre que vers A, vers E ou vers D; il n'y a donc pas de trajet qui permet d'aller de D à B. 

\item% Écrire la matrice $M$ associée à ce graphe (on rangera les sommets dans l'ordre alphabétique) 
La matrice $M$ associée à ce graphe orienté est une matrice carrée d'ordre 6 (le nombre de sommets du graphe) qui ne contient que des 0 et des 1; pour $i$ et $j$ deux entiers compris entre 1 et 6, on met 1 à l'intersection de la ligne $i$ et de la colonne $j$ s'il existe un arc reliant le sommet numéro $i$ au sommet numéro $j$, sinon on met 0.

\begin{multicols}{2}

Donc:

\[M=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\]

\columnbreak

%\hfill \parbox{0.4\linewidth}{

\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 5}
\begin{pspicture}(6.7,3.5)
\psset{showpoints=true}
%\psframe(1.8,0.9)(4.1,3.2)%DCBA
%\psline(1.8,0.9)(0.3,0.1)(1.8,3.2)%DEA
%\psline(4.1,3.2)(6.5,0.1)(4.1,0.9)%BFC
%\psline(0.3,0.1)(6.5,0.1)%EF
\uput[u](1.8,3.2){A} \uput[u](4.1,3.2){B} \uput[d](4.1,0.9){C} 
\uput[d](1.8,0.9){D} \uput[ul](0.3,0.1){E} \uput[ur](6.5,0.1){F} 
\psline[ArrowInside=->](1.8,3.2)(0.3,0.1)%AE
\psline[ArrowInside=->](1.8,0.9)(1.8,3.2)%DA
\psline[ArrowInside=->](4.1,3.2)(1.8,3.2)%BA
\psline[ArrowInside=->](4.1,0.9)(1.8,3.2)%CA
\psline[ArrowInside=->](4.1,0.9)(1.8,0.9)%CD
\psline[ArrowInside=->](0.3,0.1)(1.8,0.9)%ED
\psline[ArrowInside=->](6.5,0.1)(0.3,0.1)%FE
\psline[ArrowInside=->](6.5,0.1)(4.1,0.9)%FC
\psline[ArrowInside=->](4.1,3.2)(6.5,0.1)%BF
\psline[ArrowInside=->,ArrowInsidePos=0.33](4.1,3.2)(4.1,0.9)%BC
\psline[ArrowInside=->,ArrowInsidePos=0.33](4.1,0.9)(4.1,3.2)%CB
\end{pspicture}

\end{multicols}
 
 
%\begin{enumerate}
%\setcounter{enumi}{2}

\item On donne la matrice 

\[M^3 = \begin{pmatrix}
1 &0 &0 &0& 0 &0\\ 
3 &1 &1 &3 &1 &1\\  
1 &1 &1 &2 &3 &0\\ 
0 &0 &0 &1 &0 &0\\ 
0 &0 &0 &0 &1 &0\\ 
3 &0 &1 &0 &1 &1\\
\end{pmatrix}\] 

	\begin{enumerate}
	\item% Que représentent les coefficients de cette matrice ? 
Le nombre situé à l'intersection de la ligne $i$ ($1\pp i\pp 6$) et de la colonne $j$ ($1\pp j\pp 6$) de la matrice $M^3$ donne le nombre de chemins de longueur 3 reliant le sommet numéro $i$ au sommet numéro $j$. 

	\item% Combien y-a-t-il de chemins de longueur 3 partant du carrefour B et arrivant en A ?
	 
%Écrire tous ces chemins. 

Le sommet B est le numéro 2, le sommet A est le numéro 1; le nombre situé à l'intersection de la ligne 2 et de la colonne 1 de la matrice $M^3$ est 3; il y a donc 3 chemins de longueur 3 partant du carrefour B et arrivant en A.

Ces trois chemins sont: BC -- CD -- DA; BF -- FC -- CA; BC -- CB -- BA

	\item% Combien y-a-t-il de chemins de longueur 3 arrivant au point E? Expliquer la démarche.
Le sommet E est le sommet numéro 5; le nombre de chemins arrivant en E sont donc situés dans la colonne 5 de la matrice $M^3$.

\setlength\parindent{1cm}

Nombre de chemins de longueur 3 allant de A vers E: 0

Nombre de chemins de longueur 3 allant de B vers E: 1

Nombre de chemins de longueur 3 allant de C vers E: 3

Nombre de chemins de longueur 3 allant de D vers E: 0

Nombre de chemins de longueur 3 allant de E vers E: 1

Nombre de chemins de longueur 3 allant de F vers E: 1	

\setlength\parindent{0mm}

Il y a donc au total $0+1+3+0+1+1=6$ chemins de longueur 3 arrivant au point E.	
	
	\end{enumerate} 

\end{enumerate} 


\subsection*{Exercice 3 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats }

\medskip 

Une entreprise produit à la chaîne des jouets pesant en moyenne 400~g. Suite à une étude statistique, on considère que la masse d'un jouet est une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 400$ et d'écart-type $\sigma = 11$. 

%\medskip
%
%\emph{Dans tout l'exercice les résultats seront arrondis à } $10^{-2}$.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item% Déterminer $P(385 \leqslant X \leqslant 415)$. Interpréter ce résultat. 
\`A la calculatrice, on trouve que si $X$ suit la loi normale de paramètres $\mu=400$ et $\sigma=11$, $P(385 \pp X \pp 415) \approx 0,83$.

Cela signifie qu'avec ce modèle il devrait y avoir 83\,\% des jouets dont la masse en grammes est comprise entre 385 et 415. 

\item% Justifier, en utilisant des propriétés du cours, que $P(X \geqslant 411)\approx 0,16$. 

\begin{multicols}{2}
D'après les propriétés de la loi normale, on sait que $P(\mu-\sigma \pp X \pp \mu+\sigma) \approx 0,68$; on peut donc, pour des raisons de symétrie de la courbe en cloche, déduire que $P(X \pp \mu-\sigma)\approx\dfrac{1-0,68}{2}\approx0,16$ (en bleu) et que $P(X \pg \mu+\sigma)\approx 0,16$ (en vert).

\columnbreak

\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm, yunit=5cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true}
\def\xmin {-0.5}
\def\xmax {8}
\def\ymin {-0.095}
\def\ymax {0.45}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=0, gridlabels=0, gridcolor=white, subgridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax)
\psaxes[ticksize=0pt 0pt, labels=none, Dy=0.1]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\def\f{1/sqrt(2*PI)*EXP((-(x-4)^2)/2)}
\psplot[plotpoints=1000]{-0.5}{8}{\f}
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](4,-0.01)(4,0.4)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](3,-0.01)(3,0.25)
\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](5,-0.01)(5,0.25)
\uput[ur](5,0.3){\red $68\,\%$}
\def\inf{3} \def\sup{5}
\uput[d](4,0){$\mu$}
\uput[d](\inf,0){$\mu-\sigma$}
\uput[d](\sup,0){$\mu+\sigma$}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)\closepath % indispensable !
}
\def\inf{5} \def\sup{\xmax}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=vertF,hatchangle=0]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)\closepath % indispensable !
}
\def\inf{\xmin} \def\sup{3}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=blue,hatchangle=0]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)\closepath % indispensable !
}
\rput(7,0.1){\vertF $16\,\%$}
\rput(1,0.1){\blue $16\,\%$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{multicols}

Or $\mu=400$ et $\sigma=11$ donc $\mu+\sigma=411$, et donc $P(X \pg 411) \approx 0,16$.

\item Un jouet est commercialisable s'il pèse au maximum 420~g.
 
%Quelle est la probabilité que le jouet soit commercialisable ? 

La probabilité qu'un jouet soit commercialisable est $P(X \pp 420) \approx 0,97$ (à la calculatrice).

\item On cherche à contrôler la qualité des jouets. Pour cela on choisit de façon aléatoire un échantillon de $300$~jouets. 
	\begin{enumerate}
		\item Les conditions de détermination de l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence de jouets commercialisables sont:
$n \pg 30$, $np \pg 5$ et $n(1-p) \pg 5$.

$n=300 \pg 30$; $p=0,97$ donc $np=300\times 0,97 = 291 \pg 5$ et $n(1-p) = 300 \times 0,03 = 9 \pg 5$. 

Les conditions sont donc vérifiées.
		 
		\item% Déterminer cet intervalle. 
L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\,\%$ de la fréquence de jouets commercialisables est:

$I=\left[ p-1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}\,;\,p+1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}
\right]$\\

$\phantom{I} = \left[ 0,97-1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,97 \times 0,03}}{\sqrt{\np{300}}}\,;\,0,97+1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,97 \times 0,03}}{\sqrt{\np{300}}}
\right]
\approx \cd \np{0,95}\,;\, \np{0,99} \cg$

		
		\item On constate que $280$~jouets de l'échantillon sont commercialisables, ce qui fait une fréquence de $f=\dfrac{280}{300}\approx 0,93$.

Or $0,93 \not\in I$ donc ce résultat remet en cause la modélisation effectuée par l'entreprise.

%Ce résultat remet-il en question la modélisation effectuée par l'entreprise ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

%\vspace{0,5cm}

%\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\subsection*{Exercice 4 \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats }

\medskip 

Une personne décide d'ouvrir un compte épargne le premier janvier 2014 et d'y placer \np{2000}~euros. Le placement à intérêts composés est au taux annuel de 3 \,\%. Elle verse 150 euros sur ce compte tous les 1\up{er} janvier suivants.
Pour tout entier naturel $n$ , on note $u_{n}$ le montant présent sur ce compte au premier janvier de l'année $2014 + n$ après le versement de 150 euros. On a $u_{0} = \np{2000}$.
 
%\emph{Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près}.

\subsubsection*{Partie A}
 
\begin{enumerate}
\item% Calculer les termes $u_{1}$ et $u_{2}$ de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
Les intérêts la première année sont de: $\np{2000}\times \dfrac{3}{100}=60$; on a donc au bout d'un an: $\np{2000}+60+150=\np{2210}$. Donc $u_{1}=\np{2210}$.

Les intérêts la deuxième année sont de: $\np{2210}\times \dfrac{3}{100}=66,30$; on a donc au bout de deux ans: $\np{2210}+66,30+150=\np{2426,30}$. Donc $u_{2}= \np{2426,30}$. 

\item% Justifier que pour tout entier naturel $n$ on a : $u_{n+1} = 1,03u_{n} + 150$. 
Ajouter 3\,\% à un nombre, c'est multiplier par $1+\dfrac{3}{100}=1,03$.

Pour passer de l'année $n$ à l'année $n+1$, on multiplie le capital par $1,03$ puis on ajoute 150; donc $u_{n+1}=1,03 u_{n}+150$, pour tout entier naturel $n$. 

\item Pour tout entier $n$, on pose $v_{n} = u_{n} + \np{5000}$ donc $u_n=v_n - \np{5000}$.
 
%Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $1,03$. 

$v_{n+1}=u_{n+1}+\np{5000}= 1,03 u_n +150 + \np{5000} = 1,03 (v_n-\np{5000})+\np{5150} = 1,03 v_n -\np{5150} + \np{5150} = 1,05 v_n$

$v_0 = u_0 + \np{5000} = \np{2000} + \np{5000} = \np{7000}$

Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q=1,03$ et de premier terme $v_0=\np{7000}$.

\item% Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ et en déduire que pour tout nombre entier $n$ on a : 
%\[u_{n} = \np{7000} \times 1,03^n - \np{5000}.\]

La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q=1,03$ et de premier terme $v_0=\np{7000}$ donc, pour tout entier $n$, $v_n=v_0\times q^n = \np{7000}\times 1,03^n$.

Comme pour tout $n$, $u_n=v_n-\np{5000}$, on déduit que pour tout $n$, $u_n=\np{7000}\times 1,03^n - \np{5000}$. 
 
\item% À partir de quelle année, cette personne aura-t-elle au moins \np{4000} euros sur son compte épargne ? Indiquer la façon dont la réponse a été trouvée.
Cette personne aura au moins $\np{4000}$ euros sur son compte dès que $u_n \pg 4000$.

On résout l'inéquation 

$\begin{array}{@{} l @{\ \iff\ } l l}
u_n \pg \np{4000} & \np{7000}\times 1,03^n - \np{5000} \pg \np{4000} & \\[3pt]
 & \np{7000}\times 1,03^n \pg \np{9000} & \\[3pt]
 & 1,03^n \pg \dfrac{\np{9000}}{\np{7000}} & \\[7pt]
 & \ln\left (1,03^n\right ) \pg \ln \dfrac{9}{7} & \text{croissance de la fonction ln sur } \cg0\,;\, +\infty\cd \\[7pt]
 & n \times \ln 1,03 \pg \ln \dfrac{9}{7} & \text{propriété de la fonction ln}\\[7pt]
 & n \pg \dfrac{\ln \dfrac{9}{7}}{\ln 1,03} & \text{car } \ln 1,03 >0 \\
\end{array}$

Or $\dfrac{\ln \dfrac{9}{7}}{\ln 1,03\rule[-0.5ex]{0pt}{0pt}} \approx 8,5$ donc c'est à partir de $n=9$ que la personne aura au moins \np{4000} euros sur son compte, c'est-à-dire à partir de l'année $2014+9=2023$.

\emph{Remarque}

On peut également calculer $u_3$, $u_4$ \dots{} $u_8$ et $u_9$, puis signaler que $u_8= \np{3867,39} < \np{4000}$ et que $u_9=\np{4133,41} > \np{4000}$. 

\end{enumerate}
 
\subsubsection*{Partie B} 
 
L'algorithme ci-dessous modélise l'évolution d'un autre compte épargne, ouvert le premier janvier 2014, par une seconde personne.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l|}\hline 
 & \\
\textbf{Variables :}& 	C et D sont des nombres réels\\
					& N est un nombre entier\\ 
\textbf{Entrée :}	& 	Saisir une valeur pour C\\ 
\textbf{Traitement:}& Affecter à N la valeur 0\\
					& Affecter à D la valeur $2 \times \text C$\\
					& Tant que C $<$ D faire\\ 
					&\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{|l}
affecter à C la valeur $1,03 \times  \text{C} + 600$\\
affecter à N la valeur N $+ 1$
									\end{tabular}\\ 
					&Fin du Tant que\\ 
 \textbf{Sortie :}	&Afficher N\\ 
  & \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Que représente la variable C dans cet algorithme ? 
Dans cet algorithme, la variable C représente la somme que possède la personne l'année $2014+\text N$.		
		
		\item% Quel est le taux de ce placement ? 
On sait que C reçoit $1,03 \times \text C +600$ donc le capital est multiplié par 1,03 ce qui correspond à une augmentation de 3\,\%.		
				
		\item% Quel est le versement annuel fait par cette personne ?
On sait que C reçoit $1,03 \times \text C +600$ donc le versement annuel fait par cette personne est de 600~euros.


	\end{enumerate} 
\item On saisit, pour la variable C, la valeur \np{3000}. 
	\begin{enumerate}
		\item Pour cette valeur de C, on complète le tableau en suivant pas à pas l'algorithme:
		
		\begin{center} 
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Valeur de C& \np{3000}& \red\np{3690}&\red\np{4400,70}&\red\np{5132,72}&\red\np{5886,70}&\red\np{6663,30}\\ \hline 
Valeur de N& 0& \red 1 & \red 2& \red 3 & \red 4 & \red 5 \\ \hline 
Valeur de D &\np{6000}& \red\np{6000}& \red\np{6000} & \red\np{6000} & \red\np{6000} & \red\np{6000}\\ \hline 
Test C $<$ D& vrai& \red vrai & \red vrai & \red vrai & \red vrai & \red faux \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
		\item% Qu'affiche l'algorithme ? Interpréter ce résultat.
L'algorithme affiche la valeur de N en sortie de boucle, c'est-à-dire dès que C devient supérieur ou égal à D; l'algorithme affiche donc 5.

La variable D est égale au double du capital initial; cet algorithme donne donc le nombre d'années qu'il faut pour que le capital double, donc 5. 

\`A partir de $2014+ 5 = 2019$, le capital aura doublé.
		
		
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 


\end{document}