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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat de technicien hôtellerie}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{11 juin 2015}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat de technicien hôtellerie ~\decofourright\\Polynésie 11 juin 2015}}

\vspace{0,25cm}
 
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 9 points}

\medskip

%Un club de vacances propose à ses clients de découvrir les plages du bassin d'Arcachon au plus près de la nature, à cheval. Ils ont un seul choix possible parmi les options \og \textbf{promenade de deux heures} \fg, \og \textbf{découverte d'une demi-journée}\fg{} et \og \textbf{randonnée d'une journée} \fg. Ils peuvent également n'être intéressés par aucune de ces options.
%
%Chaque vacancier remplit alors une fiche sur laquelle il indique son unique choix.
%
%\medskip
%
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] Parmi les 600 vacanciers, 50 ne sont intéressés par aucune des options proposées;
%\item[$\bullet~~$] 40\,\% des vacanciers sont des hommes ;
%\item[$\bullet~~$] 150 vacanciers ont choisi l'option \og promenade de deux heures \fg{} et, parmi eux, 30\,\% sont des femmes;
%\item[$\bullet~~$] 10\,\% des vacanciers intéressés par l'une des options ont choisi l'option \og randonnée d'une journée \fg, dont 30 hommes ;
%\item[$\bullet~~$] 10 hommes ne sont intéressés par aucune des options proposées.
%\end{itemize}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Justifier qu'il y a 55 vacanciers qui ont choisi l'option \og randonnée d'une journée \fg.
Sur les 600 clients, 50 n'ont rien choisi, donc 550 ont choisi une activité ; 10\,\% de ces 550 personnes ont choisi la randonnée d'une journée soit 

$\dfrac{10}{100} \times 550 = 55$. 
\item %Compléter le tableau donné en annexe (à rendre avec la copie), à partir des données ci-dessus.
Voir l'annexe à la fin.
\item %On prélève au hasard une fiche parmi celles complétées par les $600$~vacanciers. Chaque fiche a la même probabilité d'être choisie.

%On définit les évènements suivants:

%\begin{description}
%\item[ ] $A$ : \og la fiche a été remplie par un vacancier ayant choisi l'option promenade de deux heures\fg{} ;
%\item[ ] $B$ : \og la fiche a été remplie par un homme \fg.
%\end{description}
%
%\medskip

	\begin{enumerate}
		\item %Calculer les probabilités des deux évènements $A$ et $B$.
$p(A) = \dfrac{150}{600} = \dfrac{1}{4} = 0,25$.

$p(B) = \dfrac{240}{600} = \dfrac{40}{100}$ (dans l'énoncé)
		\item %Définir par une phrase l'évènement $A \cap B$. Calculer sa probabilité.
$A \cap B$ : \og la fiche a été remplie par un homme ayant choisi l'option promenade de deux heures \fg.

$p(A \cap B) = \dfrac{105}{600} = \dfrac{15 \times 7}{15 \times 40} = \dfrac{7}{40}$.
		\item %Définir par une phrase l'évènement $A \cup B$. Calculer sa probabilité.
		
$A \cup B$ : \og la fiche a été remplie par un homme ou un une personne ayant choisi l'option promenade de deux heures \fg.

$p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B) = \dfrac{150}{600} + \dfrac{240}{600} - \dfrac{105}{600} = \dfrac{285}{600} = \dfrac{57}{120} = \dfrac{19}{40}$.
	\end{enumerate}
\item %Maintenant, on prélève au hasard une fiche parmi celles complétées par les vacanciers intéressés par l'une des options.
	
%Chaque fiche a la même probabilité d'être choisie.
	
%Calculer la probabilité de l'évènement : \og la fiche a été remplie par un homme n'ayant pas choisi l'option \og randonnée d'une journée \fg.
On ne considère plus que 550 fiches.

Il y a eu 105 hommes intéressés par la promenade et 95 par la découverte. La probabilité est donc égale à : $\dfrac{200}{550} = \dfrac{20}{55} = \dfrac{4}{11}$.
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 11 points}

\medskip

%La levure est un ingrédient essentiel lors de la fabrication de la bière et dans la réussite d'un brassin (contenu de la cuve dans laquelle on brasse la bière).
%
%L'activité des levures lors de la fabrication du brassin est caractérisée par les trois phases successives suivantes :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item \textbf{phase aérobie :} pendant les 10 premières heures, les levures se développent en présence d'oxygène ;
%\item \textbf{phase de fermentation alcoolique ou phase anaérobie :} les levures se reproduisent sans oxygène jusqu'à atteindre une concentration maximale. Elles sont alors en suspension dans le moût;
%\item \textbf{phase de sédimentation :} les levures sédimentent progressivement au fond de la cuve. Leur concentration au coeur du brassin diminue jusqu'à s'annuler, ce qui marque la fin de cette phase.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%Le graphique ci-dessous est issu d'un relevé expérimental de mesures faites au coeur du brassin, donnant la concentration de levures (en millions par ml) en fonction du temps (en jours) :

\begin{center}
\psset{xunit=1.6cm,yunit=0.2cm,dash=4pt 2pt,comma=true,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(-0.25,-2.5)(7.5,58)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(7.5,58)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=5](0,0)(0,0)(7.5,58)
\uput[r](0,56){Concentration de levures (en millions par ml)}
\uput[u](6.5,0){Nombre de jours}
\multido{\n=0.0+0.5}{16}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,55)}
\multido{\n=0+5}{12}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](0,\n)(7.5,\n)}
\pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](0,5)(0.42,10)(0.5,11)(1,17)(1.5,22.5)(2,25.65)(2.5,30.4)(3,37)(3.5,42.5)(4,48.75)(4.35,50.75)(4.5,50.05)(5,42.5)(5.5,27.5)(6,12)(6.2,7.55)(6.5,0)
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{6.5}{23.8 3.66 x mul sub 2.71828 0.5 x mul exp mul 18.8 sub}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt,linecolor=red,ArrowInside=->](0.42,0)(0.42,10)(0,10)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt,linecolor=red,ArrowInside=->](0,50.75)(4.35,50.75)(4.35,0)
\end{pspicture}
\end{center}

%À l'aide du graphique ci-dessus, répondre aux questions suivantes :

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Donner une estimation de la concentration de levures mesurée au cœur du brassin à la fin de la phase aérobie.
La phase aérobie dure 10 heures. Or $\dfrac{10}{24} \approx 0,42$.
La verticale tracée à partir du point (0,42~;~0) coupe la courbe en un point dont l'ordonnée est à peu près égale à 10 : la concentration de levures est à ce moment là à peu près 10 millions par ml.
\item %Donner une estimation, en jours et heures, du moment où la phase de fermentation alcoolique se termine. Quelle est alors la concentration de levures présentes au cœur du brassin?
Le point le plus haut de la courbe a à peu près pour abscisse : 

$4,35 = 4 + 0,35 = 4$~(j) $0,35 \times 24$~(h) = 4~(j)  8,4~(h) soit 4~jours et 8~heures et demie. 

L'ordonnée du point le plus haut est à peu près de 51 millions par ml.
\item %Au bout de combien de jours et d'heures peut-on estimer que la phase de sédimentation se termine ?
La concentration devient nulle au bout de 6 jours et demi.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%On choisit de modéliser la situation précédente à l'aide de la fonction $f$ définie sur [0~;~6,5] par :

\[f(x) = (- 3,66x + 23,8)\text{e}^{0,5x} - 18,8\]

%où $x$ représente le temps (en jours) et $f(x)$ la concentration de levures au coeur du brassin (en millions par ml).
%
%On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [0~;~6,5]. Sa fonction dérivée est notée $f'$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Étude du modèle}
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f'(x)$ et montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~6,5] :
Sur l'intervalle [0~;~6,5], \: $f'(x) = - 3,66\text{e}^{0,5x} + 0,5 (- 3,66x + 23,8)\text{e}^{0,5x} = 	\text{e}^{0,5x}(- 3,66 - 0,5 \times 3,66x + 0,5 \times 23,8) = \text{e}^{0,5x}(- 3,66 - 1,83x + 11,9) =  (- 1,83x + 8,24)\text{e}^{0,5x}$.	
%		\[f'(x) = (- 1,83x + 8,24)\text{e}^{0,5x}.\]
		
		\item %Étudier le signe de $f'(x)$, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~6,5].
On sait que que soit le réel $x$, \: $\text{e}^{0,5x} > 0$, donc le signe de $f'(x)$ est celui de $(- 1,83x + 8,24)$. Or :

$\bullet~~- 1,83x + 8,24 > 0 \iff 8,24 > 1,83x \iff \frac{8,24}{1,83} > x \iff x < 4,50$ (au dixième près) ;

$\bullet~~- 1,83x + 8,24 < 0 \iff 8,24 < 1,83x \iff \frac{8,24}{1,83} < x \iff x > 4,50$ (au dixième près) ;

$\bullet~~- 1,83x + 8,24 = 0 \iff 8,24 = 1,83x \iff \frac{8,24}{1,83} = x \iff x = 4,50$ (au dixième près) ;
		\item %En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~6,5].
Les résultats précédents montrent que :
		
La fonction $f$ est croissante sur l'intervalle [0~;~4,5] ;

La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle [4,5~;~6,5] ;

$f(4,5)$ est le maximum de la fonction $f$ sur [0~;~6,5].

		\item %Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [5~;~6,5].
Sur l'intervalle [5~;~6,5] :

$\bullet~~$la fonction $f$ est décroissante ;

$\bullet~~$$f(5) = (- 3,66\times 5 + 23,8)\text{e}^{0,5\times 5} - 18,8 = 5,5\text{e}^{2,5} - 18,8 \approx 48,2$ ;

$\bullet~~$$f(6,5) = (- 3,66\times 6,5 + 23,8)\text{e}^{0,5\times 6,5} - 18,8 = 0,01\text{e}^{3,25} - 18,8 \approx - 18,5$.

Il existe donc un réel unique $\alpha \in [5~;~6,5]$, tel que $f(\alpha) = 0$.

	\end{enumerate}
%À l'aide de la calculatrice, déterminer l'arrondi au dixième de $\alpha$. Expliquer la démarche.
La calculatrice donne :

$f(6) \approx 18,2$ et $f(6,5) \approx - 18,5$, donc $6 < \alpha < 6,5$ ;

$f(6,2) \approx 5,8$ et $f(6,3) \approx - 1,5$, donc $6,2 < \alpha < 6,3$ ;

$f(6,28) \approx 0,03$ et $f(6,29) \approx - 0,7$, donc $6,28 < \alpha < 6,29$.

Conclusion $f(\alpha) = 0$ pour $\alpha \approx 6,3$ au dixième près.
\item  \textbf{Application}

Selon ce modèle :
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer, en jours et en heures, le moment où la concentration de levures mesurée au cœur du brassin est maximale. Quelle est alors la valeur de cette concentration maximale ?
On a vu que la concentration est maximale pour $x = \frac{8,24}{1,83}$.

Or $\frac{8,24}{1,83} \approx \np{4,50273}$ soit 4 jours et $\np{0,50273} \times 24 = \np{12,0656}$ soit environ 4 jours et demi.

Cette concentration est alors égale à :

$f\left(\frac{8,24}{1,83} \right) = \left(- 3,66\times \frac{8,24}{1,83} + 23,8\right)\text{e}^{0,5\times \frac{8,24}{1,83}} - 18,8 \approx \np{50,7452} \approx 50,75$ au centième près.
		\item %Déterminer au bout de combien de jours et d'heures la concentration de levures mesurée au cœur du brassin est nulle.
On a vu que $f(\alpha) = 0$ et que $\alpha \approx 6,29$ soit 6 jours et $0,29 \times 24 = 6,96$, donc la concentration de levures mesurée au cœur du brassin est nulle approximativement après 4 jours et 7 heures.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe à rendre avec la copie}

\vspace{4cm}

\textbf{Exercice 1 :}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
Fiches	&Intéressés par aucune des options&Intéressés par l'option \og promenade\fg&Intéressés par
 l'option  \og découverte\fg&Intéressés par  l'option \og randonnée\fg&Total\\ \hline
Hommes	&10	&105	&95		&30	&240\\ \hline
Femmes	&40	&45		&250	&25	&360\\ \hline
Total	&50	&150	&345	&55	& 600\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}