\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{color}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pstricks-add}
\everymath{\displaystyle}
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips,colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat technologique Hôtellerie},
pdftitle = {16 septembre  2010},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH
}  
\textheight 23,5cm 
\voffset -1.5cm \oddsidemargin 0pt 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat de technicien}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{16 septembre 2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\cfoot{\thepage}
\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat de technicien hôtellerie ~\decofourright\\Polynésie 16 septembre 2010}}

%\vspace{0,25cm}
% 
%L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

%Le tableau ci-dessous donne l'évolution de l'offre nationale en coches de plaisance (petits bateaux de plaisance habitables) entre 2003 et 2007.
% 
%$x$ désigne le rang de l'année et $y$ le nombre de coches de plaisance.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Année 				&2003		&2004		&2005		&2006		&2007\\ \hline% 
%Rang de l'année $x$&1			&2			&3			&4			&5\\ \hline%  
%Nombre de coches de 
%plaisance $y$		&\np{1222}	&\np{1245}	&\np{1178}	&\np{1165}	&\np{1088}\\ \hline%
%\multicolumn{6}{l}{\emph{\scriptsize Source: Réseau National d'Observation du Tourisme Fluvial, Voies Navigables de France, ODIT.}}
%\end{tabularx}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item ~%Représenter sur une feuille de papier millimétré le nuage de points correspondant à cette série statistique dans un repère orthogonal.
 
%Pour unités graphiques, on prendra :
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] sur l'axe des abscisses : 2 cm pour 1 an ; 
%\item[$\bullet~$] sur l'axe des ordonnées : 1 cm pour 20 coches de plaisance. Sur cet axe, la graduation commencera à \np{1000}.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
\begin{center}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.03cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(-0.5,-20)(8.2,230)
\multido{\n=0+1}{7}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,250)}
\multido{\n=0+50}{6}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(6,\n)}
\multido{\n=0+50,\na=1000+50}{6}{\uput[l](0,\n){\footnotesize \np{\na}}}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=1000,Dy=500]{->}(0,0)(0,0)(8.5,250)
\psdots(1,222)(2,245)(3,178)(4,165)(5,88)
\psdots[linecolor=red](3,179.6)(5,110)
\uput[u](3,179.6){\red $G$}\uput[u](5,110){\red $A$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{1}{8.2}{284 34.8 x mul sub}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt,ArrowInside=->](6,0)(6,75.2)(0,75.2)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt,ArrowInside=->](6,0)(6,75.2)(0,75.2)
\end{pspicture}
\end{center} 
\item  %Calculer les coordonnées du point moyen $G$ associé à cette série statistique.
On a $x_G = \dfrac{1 + 2 + 3+ 4 +5}{5} = 3$ et  $y_G = \dfrac{\np{1222} +\np{1245} + \np{1178} + \np{1165}+ \np{1088}}{5} = \np{1179,6}$.
\item %On donne le point $A$ de coordonnées (5~;~\np{1110}). Placer les points $A$ et $G$ sur le graphique et tracer la droite $(AG)$.
Voir la figure ci-dessus. 
\item  %Montrer qu'une équation de la droite $(AG)$ est : $y = -34,8x + \np{1284}$.
L'équation de la  droite $(AG)$ est de la forme : $y = ax + b$. Les coordonnées de A et de G vérifient cette équation, d'où le système :

$\left\{\begin{array}{l c r}
\np{1110}&=&5a + b\\
\np{1179,6}&=&3a + b
\end{array}\right. \Rightarrow$ (par différence $69,6 = - 2a \iff a = - 34,8$.

En reportant cette valeur dans la première équation on obtient :

$\np{1110}= 5\times (- 34,8)  + b \iff \np{1110} = - 174 + b \iff \np{1284} = b$.

Une équation de la droite $(AG)$ est : $y = -34,8x + \np{1284}$.
\item %On suppose que la droite $(AG)$ réalise un bon ajustement du nuage jusqu'en 2012. À l'aide d'une lecture graphique, en laissant apparents les traits de construction, donner une estimation :
	\begin{enumerate}
		\item %du nombre de coches de plaisance en 2008 ; 
La verticale passant par le point de coordonnées (6~;~0) coupe la droite $(AG)$ en un point dont l'ordonnée est à peu près égale à \np{1075}. Voir la figure ci-dessus
		\item %de l'année à partir de laquelle le nombre de coches de plaisance sera strictement inférieur à \np{1000}.
La droite horizontale passant par le point de coordonnées (0~;~\np{1000}) coupe la droite $(AG)$ en un point dont l'abscisse est à peu près 5,3. Pour avoir un nombre de coches inférieur à \np{1000}, il faut donc attendre la 9\up{e} année soit 2011.
	\end{enumerate} 
\item %Vérifier le résultat du 5. b. par un calcul.
$\bullet~~$Vérification du 5. a. : 2008 correspond à $x = 6$, donc en utilisant l'ajustement par la droite $(AG)$, on obtient :

$y = - 34,8 \times 6 + \np{1284} = \np{1075,2}$.

$\bullet~~$Vérification du 5. b. : on résout l'inéquation :

$-34,8x + \np{1284} < \np{1000} \iff \np{1284} - \np{1000} < 34,8x \iff 284 < 34,8x \iff \dfrac{284}{34,8} < x$.

Or  $\dfrac{284}{34,8} \approx 8,2$ : il faut prendre $x = 9$ soit l'année 2011.
\end{enumerate}

\vspace{0,75cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip
 
%Dans le cadre d'un programme de rénovation, un groupe hôtelier achète de la peinture à un industriel. On se propose d'étudier la rentabilité du marché pour l'industriel.
%
%\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\textbf{Étude d'une fonction}

\medskip
 
%Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~2] par

\[f(x) = \ln (2x +1) + 1 - 0,1x^2.\]
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ puis montrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~2] :
 
%\[f'(x) = \dfrac{-0,4x^2 - 0,2x + 2}{2x+1}.\]
Sur  l'intervalle [0~;~2], on a :

$f'(x) = \dfrac{2}{2x + 1} - 2 \times 0,1x =   \dfrac{2}{2x + 1} - 0,2x$.

$f'(x) = \dfrac{2}{2x + 1} - 0,2x \times \dfrac{2x+1}{2x+1} = \dfrac{2 - 0,4x^2 - 0,2x}{2x+1}$.
\item %Montrer que $f'(x) = \dfrac{(- 0,4x - 1)(x - 2)}{2x + 1}$. 
On a  $(- 0,4x - 1)(x - 2) = - 0,4x^2 + 0,8x - x + 2 = -0,4x^2 - 0,2x + 2$, donc on peut écrire :

$f'(x) = \dfrac{(- 0,4x - 1)(x - 2)}{2x + 1}$.
\item %Étudier sur [0~;~2] le signe de $f'(x)$. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
Le signe de $f'(x)$ dépend du signe de chacun des nombres $(- 0,4x - 1), \: (x - 2)$ et $(2x + 1)$. On établit un tableau de signes qui permet d'obtenir le signe de la dérivée puis les variations de $f$ :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,4.5)
%\psgrid
\psframe(6,4.5)\psline(0,2)(6,2)\psline(0,2.5)(6,2.5)\psline(0,3)(6,3)\psline(0,3.5)(6,3.5)
\psline(0,4)(6,4)\psline(2,0)(2,4.5)
\uput[u](1,3.9){$x$} \uput[u](2.1,3.9){$0$}  \uput[u](5.9,3.9){$2$} 
\uput[u](1,3.4){$-0,4x - 1$}\uput[u](4,3.4){$-$}
\uput[u](1,2.9){$x - 2$}\uput[u](4,2.9){$-$}
\uput[u](1,2.4){$2x+1$}\uput[u](4,2.4){$+$}
\uput[u](1,1.9){$f'(x)$}\uput[u](4,1.9){+}
\rput(1,1){$f$}
\psline{->}(2.5,0.5)(5.5,1.5)
\uput[u](2.1,0){1} \uput[d](5.3,2){$0,6 + \ln 5$}
\end{pspicture}
\end{center}

On a $f(0) = \ln 1 + 1 - 0 = 1$ et $f(2) = \ln (4 + 1) + 1 - 0,1 \times 4 = 0,6 + \ln 5$. 
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant en donnant les résultats arrondis à $10^{-2}$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$		&0	&0,2	&0,4	&0,6 	&0,8	&1	&1,2	&1,4	&1,6	&1,8	& 2\\ \hline% 
$f(x)$	& 1	&1,33	&1,57	&1,75	&1,89	&2,0&2,08	&2,14	&2,18	&2,20	&2,21\\ \hline% 
\end{tabularx}

\medskip
 
\item ~%Représenter, sur une feuille de papier millimétré, la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~2] dans un repère orthonormal en prenant pour unité graphique 5~cm.
\begin{figure}
\begin{center}
\psset{unit=4cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture*}(-0.2,-0.2)(2.02,2.31)
\psgrid[gridlabels=0pt](0,0)(2.,2.3)
\psaxes[linewidth=1.25pt,xsubticks=10,ysubticks=10]{->}(0,0)(0,0)(2,2.4)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(2,2.4)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{2 x mul 1 add ln 1 add x dup mul 0.1 mul sub}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{2}{1.8 x mul}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt,ArrowInside=->](1,0)(1,1.8)(0,1.8)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt,ArrowInside=->](1,0)(1,2)(0,2)
\psline[linewidth=.4pt](1.144,0)(1.144,2.0592)(0,2.0592)
\uput[l](0,1.8){1,8}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{figure}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\textbf{Application économique}

\medskip
 
%Pour l'industriel, le coût de production en milliers d'euros pour $x$ kilolitres de peinture est égal à $f(x)$, où $x$ appartient à l'intervalle [0~;~2].
% 
%Le prix de vente au groupe hôtelier d'un kilolitre de peinture est de \np{1800}~\euro.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Quel est, en fonction du nombre $x$ de kilo litres de peinture vendue, le montant de la recette totale exprimée en milliers d'euros ? 
Pour $x$ de kilo litres de peinture vendus, la recette est : $\np{1,8}x$ (milliers d'euros).
\item %Représenter la fonction $R$ définie sur [0~;~2] par $R(x) = 1,8x$ dans le repère défini à la partie A, question 5.
Voir la figure. 
\item %Le groupe hôtelier passe une commande de 1 kilolitre de peinture. Est-ce rentable pour l'industriel ?
Pour $x = 1$, le coût de production est égal à 2 milliers d'euros et la recette sera de 1,8 milliers d'euros. L'industriel perdra 200~\euro. 
%Justifier votre réponse par le calcul puis graphiquement. \emph{Les traits de construction utiles seront laissés apparents.}
Graphiquement voir la figure. 
\item %Déterminer graphiquement la quantité minimale de peinture que l'industriel doit vendre pour être bénéficiaire. \emph{Les traits de construction utiles seront laissés apparents.}
Le coût est égal à la recette pour une valeur de $x$ égale à l'abscisse du point commun aux deux courbes.

On lit $x\approx 1,15$ et $y \approx 2,1$.

On vérifie à la calculatrice que $f(1,145) \approx \np{2059,79}$ et $R(1,145)  = \np{2062,80}$.

L'industriel est bénéficiaire s'il vend au moins \np{1145} litres de peinture. 
\end{enumerate}
\end{document}