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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat SMS}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat SMS Polynésie  juin 2007~\decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice}\hfill 9 points}

\medskip
 
%Cet exercice est un QCM. Pour chaque question, quatre affirmations sont proposées ; une seule de ces quatre affirmations est exacte.\\
%\textbf{Barème :} \emph{chaque réponse exacte rapporte $1,5$point ; chaque réponse inexacte retire $0,5$ point ; l'absence de réponse ne rapporte ni ne retire aucun point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à l'exercice sera zéro.}
%
%\begin{center}\textbf{Aucune justification n'est demandée}\end{center}
%\textbf{Recopier et compléter le tableau cl-dessous en inscrivant très lisiblement les réponses choisies (a, b, c ou d) :}
%
%\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Question		&1	&2	&3	&4	&5	& 6\\ \hline
Réponse choisie &c	&a	&d	&c	&d	&c \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Le nombre d'allocataires du RMI âgés de plus de 50 ans est passé de \np{150000} en 1995 à \np{262500} en 2005. Entre 1995 et 2005, ce nombre a augmenté d'environ :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.}~42,9\,\% &	\textbf{b.}~ 112,5\,\% &	\textbf{c.}~75\,\% &	\textbf{d.}~ 57,1\,\%\\
%\end{tabularx}
L'augmentation en pourcentage est égale à $\dfrac{\np{262500} - \np{150000}}{\np{150000}}\times 100 = \dfrac{\np{112500}}{\np{150000}}\times 100 \approx 75$. Réponse c.
\medskip

\item  %La droite qui passe par les points A(2 ; 7) et B$(0~;~-3)$ a pour équation :
Les coordonnées des deux points vérifient la première équation. Réponse a.
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.}~$y = 5x - 3$& \textbf{b.}~$y =  - 5x - 3$	&\textbf{c.}~$y  = 3,5x - 3$	&\textbf{d.}~$y = 0,2x - 3$\\
%\end{tabularx}

\medskip

\item  %La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]0~;+ \infty[$ par $f(x) =  x - \dfrac{1}{x}$. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 1 est :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.}~ $1$&	\textbf{b.}~ $-1$	&\textbf{c.}~$0$	&\textbf{d.}~$2$\\
%\end{tabularx}
On a $f'(x) = 1 + \dfrac{1}{x^2}$, donc $f'(1) = 1 + 1 = 2$ : ce nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 1. Réponse d.
\medskip

\item  %La dérivée de la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $g(x) = x \ln x$ est telle que :

%\medskip
%
%{\small \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.}~$g'(x)= \dfrac{1}{x}$	&\textbf{b.}~ $g'(x) = \ln x - 1$ 	&\textbf{c.}~$g'(x) = \ln x + 1$&\textbf{d.}~$g'(x) = 1 + \dfrac{1}{x}$\\
%\end{tabularx}}
En dérivant comme un produit : $g'(x) = \ln x + x \times \dfrac{1}{x} = \ln x + 1$. Réponse c.
\medskip

\item  %Dans une cage, il y a cinq lapins, deux blancs et trois noirs, et quatre cochons d'Inde, deux blancs et deux marrons. La probabilité qu'un animal choisi an hasard dans la cage soit blanc est:

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.}~~$\dfrac{2}{9}$& 	\textbf{b.}~~$\dfrac{1}{3}$& 	\textbf{c.}~~$\dfrac{2}{5} + \dfrac{2}{4}$& \textbf{d.}~~$\dfrac{4}{9}$\\
%\end{tabularx}
Sur 9 animaux, 4 sont blancs, d'où une probabilité égale à $\dfrac{4}{9}$. Réponse d.
\medskip

\item  %Dans un club, on a recueilli les lieux de séjour des 120 membres pour les dernières vacances.

%Chacun avait choisi un séjour à la mer ou bien à la campagne. Les résultats de l'enquête sont consignés dans le tableau ci-dessous.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{}	&Mer	&Campagne\\ \hline
Femmes					&60		&20 \\ \hline
Hommes					&10		&30 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

%On choisit une personne au hasard dans ce club. La probabilité que ce soit un homme ou une
%personne ayant passé ses dernières vacances à la mer est :
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.}~$\dfrac{1}{12}$&	\textbf{b.}~$\dfrac{11}{12}$&	\textbf{c.}~$\dfrac{5}{6}$&		\textbf{d.}~$\dfrac{3}{4}$\\
%\end{tabularx}
Il y a 40 hommes et 60 femmes ayant séjourné près de la mer, donc en tout 100 personnes. La probabilité est donc égale à $\dfrac{100}{120} = \dfrac{5}{6}$. Réponse c.
\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points} 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
%On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~12] par :

\[f(t) = 0,4t\text{e}^{1 - 0,5t}.\]

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  %On pose $u(t) = 0,4t$ et $v(t) =  \text{e}^{1 - 0,5t}$. On note $u',\:v'$ et $f'$ les dérivées respectives des fonctions $u,~ v$ et $f$.
		
%Calculer $u'(t)$ et $v'(t)$. En déduire $f'(t)$.
On a $u((t) = 0,4$ ; \:$v'(t) = - 0,5 \times  \text{e}^{1 - 0,5t} = - 0,5\text{e}^{1 - 0,5t}$.

D'où $f'(t) = u'(t)v(t) + u(t)v'(t) = 0,4\text{e}^{1 - 0,5t}  - 0,4t \times 0,5\text{e}^{1 - 0,5t} = 0,4\text{e}^{1 - 0,5t} - 0,2t\text{e}^{1 - 0,5t} = \text{e}^{1 - 0,5t}(0,4 - 0,2t)$.
		\item  %Vérifier que $f'(t) =  0,4(1 - 0,5t)\text{e}^{1 - 0,5t}$. 
$f'(t) =  \text{e}^{1 - 0,5t}(0,4 - 0,2t) = 0,4(1 - 0,5t)\text{e}^{1 - 0,5t}$.
		\item  %Étudier le signe de $f'(t)$ sur l'intervalle [0 ; 12]. 
On sait que quel que soit le réel $t$, \: $\text{e}^{1 - 0,5t} > 0$ : le signe de $f'(t)$ est donc celui du facteur $(1 - 0,5t)$.
		
$\bullet~~$$1 - 0,5t > 0$ si $1 > 0,5t$ ou $2 > t$ ou $t < 2$ ;

$\bullet~~$$1 - 0,5t < 0$ si $1 < 0,5t$ ou $2 < t$ ou $t > 2$ ;

$\bullet~~$$1 - 0,5t = 0$ si $1 = 0,5t$ ou $2 = t$. 
		\item  %Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle [0 ; 12].
		On déduit de la question précédente que $f$ est croissante sur [0~;~2] et décroissante sur [2~;~12]. D'où le tableau :
		
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2)(7,2)
\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$}\uput[u](1.15,2.4){$0$}\uput[u](4,2.4){$2$}\uput[u](6.8,2.4){$12$}
\rput(0.5,2.25){$f'(t)$} \rput(0.5,1){$f(t)$}
\rput(2.5,2.25){$+$} \rput(4,2.25){$0$}\rput(5.5,2.25){$-$}
\uput[u](1.5,0){0} \uput[d](4,2){0,8} \uput[u](5.8,0){$4,8\text{e}^{-5}\approx 0,032$}
\psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5)
\psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (arrondir les résultats à 0,01 près) :

\medskip

 \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0	&0,25&0,5	&1		&2		&3		&4		&6		&9		&12\\ \hline
$f(t)$	&0	&0,24&0,42	&0,66	&0,8	&0,73	&0,59	&0,32	&0,11	&0,03\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  ~%Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal d'unités graphiques :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item $1$~cm pour une unité sur l'axe des abscisses,
%\item  $20$~cm pour une unité sur l'axe des ordonnées.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
\begin{center}
\psset{xunit=0.85cm,yunit=10cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.1)(12.5,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(12.5,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(12.5,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{12}{0.4 x mul 2.71828 1 0.5 x mul sub exp mul}
\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,0.7)(3.2,0.7)(3.2,0)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,0.7)(1.15,0.7)(1.15,0)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,0.3)(0.32,0.3)(0.32,0)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,0.3)(6.25,0.3)(6.25,0)
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed,ArrowInside=->](1.5,0)(1.5,0.77)(0,0.77)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
%On a mesuré la concentration d'un médicament dans le plasma sanguin d'un patient pendant les douze heures qui ont suivi son administration orale. Cette concentration plasmatique 
%$\left(\text{en mg.L}^{-1}\right)$ au temps $t$ (en heures) est $f(t)$ où $f$ est la fonction étudiée dans la partie A.

\begin{enumerate}
\item  %Calculer la concentration plasmatique 1~h 30~min après l'administration du médicament (le résultat sera arrondi à 0,01~près).
La concentration plasmatique 1~h 30~min après l'administration du médicament  est égale à :

$f(1,5) = 0,4 \times 1,5 \text{e}^{1 - 0,5 \times 1,5} = 0,6\text{e}^{0,25} \approx 0,770$ soit 0,77~$\left(\text{en mg.L}^{-1}\right)$ au centième près. (on peut vérifier sur le graphique en rouge).
\medskip

%\emph{Les questions suivantes seront traitées à l'aide du graphique et l'on fera apparaître les traits de construction utiles sur le graphique.}
%\medskip

\item  %Pour quelles valeurs de $t$ la concentration plasmatique est-elle de $0,7$ mg.L$^{-1}$ ?
On lit à peu près $1,2$ soit 1~h 12 min environ et $3,2$ soit 3~h 12~min.
\item  %Pendant combien de temps la concentration plasmatique reste-t-elle supérieure à 0,3 mg.L$^{-1}$ ?

%Exprimer le résultat en heures et minutes.
On lit sur le graphique que  la concentration plasmatique reste supérieure à 0,3 mg.L$^{-1}$ de $t = 0,3$ à $t = 6,2$ soit de 18~min à 6~h 12~min soit pendant 5~h 54~min.
\end{enumerate}
\end{document}