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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat SMS }
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat SMS Polynésie septembre 2007~\decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{ Exercice}\hfill 8 points}

\medskip

%Le conseil général de la Loire donne la répartition suivante en ce qui concerne les \np{1045}~ signalements de cas d'enfance en danger dans ce département pour l'année 2004.
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{3-4}
%\multicolumn{2}{c|}{}&\multicolumn{2}{c|}{Catégories}\\\cline{3-4}
%\multicolumn{2}{c|}{}&\emph{À risque}&\emph{Maltraitance}\\ \hline
%\multirow{4}{0.5cm}{\rotatebox{90}{Territoires}}&Forez&	164&	24\\ \cline{2-4}
%&Gier-Ondaine	&255	&38\\ \cline{2-4}
%&Roanne			&154	&13\\ \cline{2-4}
%&Saint-Étienne	&338	&59\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\emph{Dans cet exercice tous les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %On choisit un des signalements au hasard. On définit les évènements suivants

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[]$F$ : \og le signalement provient du territoire du Forez \fg,
%\item[]$G$ : \og le signalement provient du territoire de Gier-Ondaine \fg, 
%\item[]$R$ : \og le signalement provient du territoire de Roanne \fg,
%\item[]$S$ : \og le signalement provient du territoire du Saint-Étienne \fg,
%\item[]$A$ : \og le signalement est dans la catégorie À risque \fg,
%\item[]$M$ : \og le signalement est dans la catégorie Maltraitance \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la probabilité de l'évènement $S$, c'est-à-dire que le signalement choisi provienne du territoire de St-Etienne ?
Il y a eu dans le territoire de St-Etienne $338 + 59 = 397$ signalements. La probabilité est donc égale à $\dfrac{397}{\np{1045}} \approx 0,38$.		
%Quelle est la probabilité de l'évènement $A$ ?

Ily a	 eu $164 + 255 + 154 + 338 = 911$. La probabilité est donc égale à $\dfrac{911}{\np{1045}} \approx 0,87$.
		\item	%Définir par une phrase l'évènement $F \cap M$. Calculer sa probabilité.
$F \cap M$ désigne l'évènement : \og Le signalement provient du territoire du Forez et est dans la catégorie maltraitance \fg. Il y  en a eu 24 soit une probabilité égale à $\dfrac{24}{\np{1045}} \approx 0,02$.

$F \cup M$ désigne l'évènement : \og Le signalement provient du territoire du Forez ou est dans la catégorie maltraitance \fg. Il y  en a eu 

$(164 + 24) + (38 + 13 + 59) = 188 + 110 = 298$ soit une probabilité égale à $\dfrac{298}{\np{1045}} \approx 0,29$.		
%Définir par une phrase l'évènement $F \cup M$. Calculer sa probabilité.
	\end{enumerate}
\item	%On choisit au hasard un signalement dans la catégorie \emph{Maltraitance}. Quelle est la probabilité qu'il provienne de du territoire de Roanne ?
Il y a eu $25 + 38 + 13 + 59 = 134$ signalements de maltraitance sur \np{1045} signalement, soit une probabilité égale à $\dfrac{134}{\np{1045}} \approx 0,13$.	
\item	%On choisit au hasard un signalement qui provient du territoire Gier-Ondaine.
%Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'un signalement de la catégorie \emph{À risque} ?
Il y a eu sur le territoire de Gier-Ondaine $255 + 38 = 293$ signalements, parmi lesquels 255 à risque, donc une probabilité égale à $\dfrac{255}{293} \approx 0,87$.
\item	%En 2000, dans ce même département, le nombre de signalements de l'enfance en danger était de \np{1402}. Quel est le pourcentage de variation du nombre de signalements, dans la Loire entre 2000 et 2004 ?
Il y a eu une diminution de $\np{1402} - \np{1045} = 357$ signalements sur un total de\np{1402 soit une variation en pourcentage de $\dfrac{357}{\np{1402}} \times 100 \approx 25,46$\,\%.

De 2000 à 2004 il y a eu une baisse de $25,46$\,\% des signalements.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%Cette partie concerne l'étude et la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~8] par

\[f(t) = 2t\text{e}^{-t}.\]

\begin{enumerate}
\item  %Calculer $f'(t)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$, et vérifier que
En dérivant le produit, 
$f'(t) = 2\text{e}^{-t} + 2t \times (- 1)\text{e}^{-t} = 2\text{e}^{-t} - 2t\text{e}^{-t} = 2\text{e}^{-t}(1 - t) =   2(1 - t)\text{e}^{-t}.$
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  %Étudier le signe de $f'(t)$ sur l'intervalle [0~;~8].
On sait que quel que soit le réel $t$,\: $\text{e}^{-t} > 0$ ; donc le signe de $f'(t)$ est celui de $2(1 - t)$, soit celui de $1 - t$.

$\bullet~~$$1 - t > 0$ si $1 > t$ ou $t < 1$ ; 

$\bullet~~$$1 - t < 0$ si $1 < t$ ou $t > 1$ ;

$\bullet~~$$1 - t = 0$ si $1 = t$.
		\item  %Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle [0~;~8]. Les valeurs figurant dans ce tableau seront données sous forme exacte.
De la question précédente on déduit que la fonction $f$ est croissante sur [0~;~1] de $f(0) = 0$ à $f(1) = 2\text{e}^{-1} = \dfrac{2}{\text{e}} \approx 0,74$, puis décroissante de $f(1)$ à $f(8) = 2\times 8\text{e}^{- 8} = 16\text{e}^{- 8} \approx 0,005$.
	\end{enumerate}
\item  %Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près).

\medskip
	
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$		&0	&0,5	&1		&2		&3		&4		&5		&6	&7	&8\\ \hline
$f(t)$	&0	&0,61	&0,74	&0,54	&0,30	&0,15	&0,07	&0,03	&0,01	&0,01\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  ~%Sur le papier millimétré fourni, tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans, un repère orthogonal en prenant comme unités graphiques :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] 2 cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses,
%\item[$\bullet~$] 1 cm pour 1 unité sur l'axe des ordonnées.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
\begin{center}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=7.5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.1)(8.5,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(8.5,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1](0,0)(8.5,1.01)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{8}{2 x mul 2.71828 x exp div}
\uput[u](8.8,3){$t$}
\uput[r](0,095){$f(t)$}
\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline[linecolor=red,linewidth=0.2pt,ArrowInside=->](0,0.74)(1,0.74)(1,0)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,0.37)(0.23,0.37)(0.23,0)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,0.1)(4.38,0.1)(4.38,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%\emph{Dans cette partie on utilise les résultats de la partie A pour étudier la réponse d'un muscle à un stimulus électrique. On rédigera les réponses aux questions avec précision.}
%
%À l'instant $t = 0$, un muscle reçoit une impulsion électrique qui provoque une contraction musculaire.
%
%On note $f(t)$ l'intensité de la force (exprimée en newton) développée par le muscle à l'instant $t$ (exprimé en centièmes de seconde).
\begin{enumerate}
\item %Déterminer l'instant auquel l'intensité de la force développée est maximale. Combien vaut cette intensité maximale ?
L'intensité maximale correspond au maximum de la fonction sur l'intervalle [0~;~8]. On a vu dansla partie Que la dérivée s'annule pour $t = 1$, ce qui correspond au maximum $f(1)$ de la fonction sur [0~;~8].

On a vu que $f(1) = 2\text{e}^{- 1} \approx 0,74$~(newton).
\item 	%\emph{Les tracés utiles à cette question devront apparaître sur le graphique.}
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer l'intervalle de temps durant lequel l'intensité de la force développée est supérieure ou égale à la moitié de l'intensité maximale.
La moitié de l'intensité maximale est $\text{e}^{- 1} \approx 0,37$.

On trace la droite horizontale contenant le point (0~;~0,37) qui coupe la courbe en deux points dont on lit les abscisses : à peu près 0,23~(s) et 2,67~(s).

L'intervalle de temps est donc à peu près $[0,23~;~2,67]$.
		\item %À partir de quel instant le muscle développe-t-il une force dont l'intensité est redevenue inférieure ou égale à $0,1$ newton ?
		Même tracé à partir du point de coordonnées (0~;~0,1). On lit à peu près $t \approx 4,38$~(s).
		\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}