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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Polynésie~\decofourright\\juin 2006}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Si $z\neq -1,~z = \dfrac{z- 1}{z + 1} \iff z^2 + z = z - 1 \iff z^2 = -  1 \iff z = \text{i}~\text{ou}~z = - \text{i}$.

Les points invariants par $f$ sont les deux points d'affixes $\text{i}$ et $- \text{i}$
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $z\neq -1,~(z' - 1)(z + 1) = \left(\dfrac{z - 1}{z + 1} - 1 \right)(z + 1) = z - 1 - z - 1 = - 2$.
		\item L'égalité de ces deux complexes entra\^{\i}ne l'égalité de leurs modules soit $\left(z' - 1)(z + 1)\right| = |- 2| \iff |z' - 1| \times |z + 1| = 2\iff \text{A}M' \times\text{B}M = 2$.
		
Même chose pour les arguments :  arg$[(z'-1)(z + 1)] = \text{arg}(-2) \iff$

$\text{arg}(z' - 1) + \text{arg}(z + 1) = \pi \quad [2\pi] \iff \left(\vect{u},~\vect{\text{A}M'}\right) + \left(\vect{u},~\vect{\text{B}M}\right) = \pi \quad [2\pi]$.
	\end{enumerate}
\item $M$ appartient au cercle (C) de centre B et de rayon 2 si et seulement si 

BM = 2 $\iff |z - (-1)| = 2 \iff |z + 1| = 2$. En reportant dans la première relation trouvée à la question précédente, il suit que $2 \text{A}M' = 2 \iff \text{A}M' = 1$ qui signifie que $M'$ appartient au  cercle (C$'$) de centre A et de rayon 1.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $p + 1 = - 2 + 1 + \text{i}\sqrt{3}$. D'où $|p + 1|^2 = 1 + 3 = 4 = 2^2 \Longrightarrow |p + 1| = 2$.
Donc $p + 1 = 2\left(- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2\left(\cos \frac{2\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{2\pi}{3}\right) = 2 \text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}$
		\item On vient de trouver que $|p + 1| = 2 \iff \text{BP} = 2$ qui signifie que P appartient au cercle (C).
		\item Soit P$_{1}$ le point d'affixe $p + 1$. Les points P$_{1}$ et O sont les images respectives des points P et B dans la translation  de vecteur $\vect{u}$. (OBPP$_{1}$) est donc un parallélogramme. Donc les vecteurs $\vect{\text{OP}_{1}}$ et  $\vect{\text{BP}}$ ont la même affixe, d'où  le même argument $\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$ d'après la a. et le même module 2.
		
D'autre part la construction classique (opposé du conjugué) montre que P et Q sont symétriques autour de l'axe $\left(\text{O},~\vect{v}\right)$ et B et A le sont aussi. Donc [BP] et[AQ] sont symétriques dans la symétrie autour de $\left(\text{O},~\vect{v}\right)$. Donc par supplémentarité $\left(\vect{u},~\vect{\text{AQ}}\right) = \dfrac{\pi}{3}$.

Or d'après 2. b. 
$\left(\vect{u},~\vect{\text{BP}}\right) + \left(\vect{u},~\vect{\text{AP}'}\right) = \pi$. Conclusion : le point  P$'$  appartient à la droite (AQ), ou encore les points A, P$'$ et Q sont alignés.
	\item On en déduit la construction simple de P$'$ :
	
\begin{itemize}
\item Construire Q symétrique de P autour de l'axe des ordonnées ; 
\item Le segment  [AQ] coupe le   cercle (C) en P$'$.
\end{itemize}

	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{unit=1.8cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(-2,-2)(2,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\rput(1,0){$\times$} \rput(-1,0){$\times$}
\uput[dr](1,0){A} \uput[dl](-1,0){B} \uput[dr](0,0){O}\uput[ul](-2,1.732){P}
\pscircle(-1,0){2} \pscircle(1,0){1} \uput[u](-1,1.732){P$_{1}$}
\psline[linestyle=dashed](-2,1.732)(2,1.732)(-2,-1.732)(-2,0)(-2,1.732)(0,1.732)
\psline(-2,1.732)(-1,0)(-1,1.732)
\psline(2,1.732)(1,0)
\uput[ul](2,1.732){Q}
\SpecialCoor
\psline(0;0)(2;120) 
%\psline[linestyle=dashed](2;120)(2;-120)(2;60)(1;0)
%\psline[linestyle=dashed](2;120)(2;60)
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} 
\begin{enumerate}

\medskip

\item[\textbf{Proposition}]\textbf{1 :} Faux.

Avec $M(x~;~y~;z),~\vect{\text{A}M} \cdot  \vect{\text{BC}} = 0 \iff 2x - 4y + 0(x - 2) = 0 \iff 2x - 4y = 0 \iff x - 2y = 0$ qui est l'équation d'un plan. Or les coordonnées (1~;~2~;~0) du point I ne vérifient pas cette équation.
\item[\textbf{Proposition}]\textbf{2 :} Vrai.

 $\left\|\vect{M\text{B}}	+ \vect{M\text{C}}\right\|	=
 \left\|\vect{M\text{B}} - \vect{M\text{C}}\right\| \iff \left\|2\vect{M\text{I}}\right\| = \left\|\vect{\text{CB}}\right\| \iff \text{I}M = \dfrac{1}{2}\text{BC} \iff M$ appartient à la sphère de centre I et de diamètre [BC].
\item[\textbf{Proposition}]\textbf{3 :} Faux.
 
En prenant comme base de ce tétraèdre le triangle rectangle OBC, [OA] est une hauteur. Le volume est donc V $ = \dfrac{1}{3}\mathcal{A}(\text{OBC}) \times \text{OA} = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} \times 4 \times 2 \times 2 = \dfrac{8}{3}$.
\item[\textbf{Proposition}]\textbf{4 :} Vrai

Les coordonnées des trois points vérifient bien l'équation donnée.

Le vecteur $\vect{\text{OH}}\left(\begin{array}{l}\frac{8}{9}\\\frac{4}{9}
\frac{8}{9}\\
\end{array}\right) = \dfrac{4}{9}\left(\begin{array}{l}2\\1\\2\\
\end{array}\right)$ ; il est donc bien normal au plan (ABC). Enfin les coordonnées de H vérifient bien l'équation du plan (ABC).
\item[\textbf{Proposition}]\textbf{5 :}  Vrai.

De $\vect{\text{OG}} = \dfrac{1}{3}\left(\vect{\text{OA}} + \vect{\text{OB}} + \vect{\text{OC}}\right)$ on en déduit que G
$\left(\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{4}{3}~;\dfrac{2}{3}\right)$ puis que 
$\vect{\text{AG}}$ a pour coordonnées 
$\left(\begin{array}{r}\frac{2}{3}\\\frac{4}{3}\\-\frac{4}{3}
\end{array}\right)$ qui est colinéaire au vecteur $\left(\begin{array}{r}1\\2\\- 2
\end{array}\right)$. Une équation paramétrique de la droite  (AG) est donc :

\[\left\{\begin{array}{l}
x = 0 + 1 \times t\\
y = 0 + 2 \times t\\
z = 2 + (- 2) \times t
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l}
x = t\\
y = 2 \times t\\
z = 2 - 2 t
\end{array}\right.~\text{avec}~t \in \R \]
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{Proposition}]\textbf{1 :} Vrai

Par récurrence : 

\emph{Initialisation} $3 | 2^{2\times 0}
 - 1 \iff 3 | 0$. Vrai : c'est vrai au rang $0$.
 
\emph{Hérédité} :  soit $n \in \N$ et supposons que $3 | 2^{2n}
 - 1 \iff ~\text{il existe}~k \in \R~\text{tel que}~2^{2n} - 1 = 3k \iff 2^{2n} = 3k + 1$.
 
Or $2^{2(n+1)} = 2^{2n+2} = 2^{2n} \times 2^2 = 4\times 2^{2n} = 4(3k + 1) = 12k + 4$.
 
Finalement $2^{2(n+1)} - 1  = 12k + 3 = 3(4k + 1)$ qui est un multiple de 3.
 
Autre méthode :  $2^2 \equiv 1 \mod 3$, d'où $\left(2^2\right)^n \equiv 1 \mod 3 \iff 2^{2n} \equiv1 \mod  3 \iff 2^{2n} - 1 \equiv 0 \mod 3 \iff 2^{2n} - 1$ est un multiple de 3.

C'est vrai au rang $0$ et si c'est vrai au rang $n$, c'est vrai au $n + 1$, donc on a démontré par le principe de récurrence que pour tout $n \in \N$, \: $2^{2n} - 1$ est un multiple de 3.
\item[\textbf{Proposition}]\textbf{2 :} Faux

$x^2 + x \equiv 0 \mod 6 \iff x(x + 1) \equiv 0 \mod 6$. Or les entiers $x$ et $x + 1$ sont consécutifs ; il en résulte donc que ou $x \equiv 0 \mod 3$ (si $x + 1$ est pair) , ou 
$x + 1 \equiv 0 \mod 3$ (si $x$ est pair) et dans ce dernier cas $x \equiv 0 \mod 3$ est faux. Exemple : $2^2 + 2 \equiv 0 \mod 6$ et $2 \equiv 0 \mod 3$ est faux.
\item[\textbf{Proposition}]\textbf{3 :} Faux

Un couple solution est suggéré : (4~;~9) puisque $12 \times 4 - 5 \times 9 = 3$.

$\left\{\begin{array}{l c l}
12x - 5y				&=&3\\
12 \times 4 - 5 \times 9&=&3\\
\end{array}\right. \Longrightarrow ~\text{(par différence)}~12(x - 4) -5(y - 9) = 0 \iff$

$12(x - 4) = 5(y - 9) ~(1)$.
 
Donc $5$ étant premier  avec 12 divise  $x - 4$ ; il existe donc $\alpha$ tel que 

$x - 4 = 5\alpha \iff x = 4 + 5\alpha$ et en remplaçant dans l'égalité (1), $y - 9 = 12\alpha \iff y = 9 + 12\alpha$. Si $\alpha$ est impair on n'obtient pas  les couples solutions proposés.
\item[\textbf{Proposition}]\textbf{4 :} Si $d$ est le PGCD$(a~;~b)$ alors il existe deux  entiers$a'$ et$b'$ tels  que $a = da'$ et $b = db'$. Le PPCM$(a~;~b) = a'b'd$.

En remplaçant dans l'énoncé  $a'b'd - d = 1 \iff d\left(a'b' - 1\right) = 1$. Cette égalité prouve que $d$ divise 1, donc que $d = 1$. On a donc PGCD$(a~;~b) = 1$ et PPCM$(a~;~b) = ab$.

L'égalité s'écrit donc : $ab - 1 = 1 \iff ab = 2$. Les seuls couples  solutions  sont (1 ; 2) et (2 ; 1) et le seul avec $a < b$ est le couple(1~;~2).
\item[\textbf{Proposition}]\textbf{5 :} Vrai

On a par hypothèse $M = 100a + 10b + c = 27k,~(1)~k \in \N$et$N = 100b + 10c + a$.

Donc $M - N  = 99a - 90b - 9c = 9(11a - 10b - c)$.

Or (1) $\Longrightarrow  - 10b - c = 100a - 27k$. Donc $M - N = 9(11a + 100a - 27k) =$

$9(11a - 27k) = 9(3\times 37a - 3 \times 9k) = 27(37a - 9k)$  qui est bien un multiple de 27.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  $318 + 110 = 428$ personnes sur  $\np{1000}$ ont eu au moins un retard le premier mois ; la probabilité est donc égale à  $0,428$.
		\item Sur les $572$ personnes n'ayant pas eu de retard le premier mois, $250 + 60 = 310$ ont eu au moins un retard le mois suivant ; la probabilité est donc égale à $\dfrac{310}{572} = \dfrac{155}{286}.$
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La lecture du tableau permet  de dire que $p_{1} = 0,512,~q_{1} = 0,318$ et 
		
$r_{1} = 0,110$.
		\item On dresse l'arbre suivant :
		
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$A_{n}$}\taput{$p_{n}$}}
	  { 
		  \TR{$A_{n+1}$}\taput{$0,46$}
		  \TR{$\overline{A_{n+1}}$}\tbput{$0,54$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$B_{n}$}\tbput{$q_{n}$}}
	  {
		  \TR{$A_{n+1}$}\taput{$0,66$}
		  \TR{$\overline{A_{n+1}}$}\tbput{$0,34$} 
	  }
	\pstree{\TR{$C_{n}$}\tbput{$r_{n}$}}
	  {
		  \TR{$A_{n+1}$}\taput{$0,66$}
		  \TR{$\overline{A_{n+1}}$}\tbput{$0,34$}
	  }	
}
\end{center}

On a donc 

\[p_{n+1} = p\left(A_{n+1}\right) = p_n\times
p_{A_{n}}\left(A_{n+1}\right) + q_n\times p_{B_{n}}\left(A_{n+1}\right) +
r_n\times p_{C_{n}}\left(A_{n+1}\right) =\]

soit $p_{n+1} =  0,46p_{n} + 0,66q_{n} + 0,66r_{n}$.
\item Or $p_{n} + q_{n} + r_{n} = 1$. D'où  $p_{n+1} = 0,46p_{n} + 0,66(1 - p_{n}) = -0,2p_{n} + 0,66$.
\item $u_{n} = p_{n} - 0,55 \Longrightarrow u_{n+1} = p_{n+1} - 0,55 = -0,2p_{n} + 0,66 - 0,55 =$

$- 0,2(u_{n} + 0,55) + 0,11 = -0,2u_{n}$, égalité qui montre que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $- 0,2$.
	\item Comme la raison de la suite $\left(u_{n}\right)$ est $-1 < - 0,2 < 1$, on sait que

$\displaystyle\lim_{n \to+\infty} u_{n} = 0$ et par conséquent 

$\displaystyle\lim_{n \to+\infty}   p_{n} - 0,55 = 0 \iff \displaystyle\lim_{n \to+\infty} p_{n} = 0,55$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 6 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On sait que $F'(x) = f(x) \leqslant 0 \iff f$ est croissante sur $\R$. 
\item Sur $[2~;~+\infty[$, \:$f(x) \geqslant 4\text{e}^{-2}$, d'où $\displaystyle\int_{2} ^3 f(t)\:\text{d}t \leqslant \displaystyle\int_{2} ^x 4\text{e}^{-2}\:\text{d}t \iff F(3) \leqslant 4\text{e}^{-2}$.

D'autre part cette intégrale d'une fonction positive sur l'intervalle [2 ; 3] est positive.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $f(x) = x^2\text{e}^{-x} \Longrightarrow f'(x) = 2x\text{e}^{-x} - x^2\text{e}^{-x} = x\text{e}^{-x}(2 - x)$, dérivée qui a le signe du trinôme $x(2 - x)$. Celui-ci est positif entre les racines $0$ et $2$. Les variations sont donc bien celles qui sont indiquées dans le tableau.
		
D'autre part $f(0) = 0$ et  $f(2) = 2^2\text{e}^{-2} = 4\text{e}^{-2}$.
		\item On a $f(x) - g(x) = x^2\text{e}^{-x} - \text{e}^{-x} = \left(x^2
 - 1\right)\text{e}^{-x}$ qui est du signe du trinôme $x^2 - 1$.
 
 Conclusion : $(\mathcal{C})$ est au dessus ($\Gamma$) sauf entre $-1$ et $1$.
	\end{enumerate}
\item La fonction $h$ est la fonction « écart vertical » entre les deux courbes de la question précédente.

$H'(x) = (-2x - 2)\text{e}^{-x} - \left(- x^2 - 2x - 1\right)\text{e}^{-x} = \text{e}^{-x}\left(-2x - 2 + x^2 + 2x +1\right) =$
 
$\text{e}^{-x}\left(x^2
 - 1\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item  $H'(x) = (-2x - 2)\text{e}^{-x} - \left(- x^2 - 2x - 1\right)\text{e}^{-x} = \text{e}^{-x}\left(-2x - 2 + x^2 + 2x +1\right) =$
		
$\text{e}^{-x}\left(x^2 - 1\right)$. Donc $H$ est bien une primitive de $h$.
		\item $\mathcal{A}(a) = \displaystyle\int_{1}^{\alpha} f(t)\,\text{d}t - \displaystyle\int_{1}^{\alpha} g(t)\,\text{d}t = \displaystyle\int_{1}^{\alpha} [f(t) - g(t)]\,\text{d}t = \displaystyle\int_{1}^{\alpha} h(t)\,\text{d}t = [H(t)]_{1}^{\alpha} = \left(- \alpha^2 - 2\alpha - 1\right)\text{e}^{-\alpha} + 4 \text{e}^{-1}$.
\item On a $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{\alpha^2}{\text{e}^{\alpha}} = \displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{2\alpha}{\text{e}^{\alpha}} = \displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{\text{e}^{\alpha}} = 0$.

Donc $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \mathcal{A}(a) = \dfrac{4}{\text{e}}$.
	\end{enumerate}
\begin{center}

\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-3,-1)(5,16)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=6,gridwidth=0.5pt](0,0)(-3,-1)(5,16)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2]{->}(0,0)(-3,-1)(5,16)
\psplot[linecolor=cyan,linewidth=1.25pt,plotpoints=4000]{-1.705}{5}{x 2 exp 2.71828 x exp div}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=4000]{-2.77}{5}{2.71828 x neg exp}
\psline[linecolor=red,linewidth=1.25pt,plotpoints=4000](-1.64872,14.13595)(-2.64872,14.13595)
\psline[linestyle=dashed](-1.64872,14.13595)(-1.64872,0) \uput[d](-1.64872,0){$x_{P}$}
\psline[linestyle=dashed](-2.64872,14.13595)(-2.64872,0) \uput[d](-2.64872,0){$x_{Q}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Voir ci-dessus
		\item On a par définition  $PQ = \left|x_{Q} - x_{P}\right| = x_{P} - x_{Q}$ (d'après le graphique pour $x < - 1$).
		
D'autre part par définition : $f(x_{P}) = m$ et $g(x_{Q}) = m$. Donc $f(x_{P}) =  g(x_{Q})$.
		\item Si $PQ = 1$, alors $x_{P} = x_{Q} + 1$.
		
L'égalité précédente  $f(x_{P}) =  g(x_{Q})$ s'écrit donc :

$x_{P}^2\text{e}^{-x_{P}}  = \text{e}^{-x_{Q}} \iff \left(x_{Q} + 1\right)^2 2\text{e}^{-x_{Q}- 1} =   \text{e}^{-x_{Q}}  \iff \left(x_{Q} + 1\right)^2\text{e}^{-1} = 1 \iff \left(x_{Q} + 1\right)^2 = \text{e} \iff x_{Q} + 1 = - \sqrt{\text{e}} \iff x_{P} = - \sqrt{\text{e}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document} 