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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Polynésie  juin 2008~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

 \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $z^2  - 6z + 13 = 0 \iff (z- 3)^2 - 9 + 13 = 0 \iff (z- 3)^2  + 4 = 0 \iff (z - 3)^2 = (2\text{i})^2.$\\
Les solutions sont donc $3 + 2\text{i}$ et $3 - 2\text{i}$
%Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation $z^2  - 6z + 13 = 0$.\\
%Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{}
% d'unité graphique 1~cm. On considère les points A, B, C d'affixes respectives \\$a = 3 - 2\text{i}
%,{} b = 3 + 2\text{i}
%, {}c = 4\text{i}$.
\item  Figure :\\

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-3)(4,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-3)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](3,2)(3,-2)(0,4)
\uput[r](3,-2){A} \uput[r](3,2){B} \uput[ur](0,4){C} \uput[dl](0,0){O}
\uput[r](1.5,1){$\Omega$}
\pspolygon(0,0)(3,-2)(3,2)(0,4)(0,0)(3,2)(3,-2)(0,4) 
\psline[linecolor=blue](3,0.25)(1.5,1)(2.25,2.5)
\uput[r](3,0.25){\textcolor{blue}{$M$}}
\uput[ur](2.25,2.5){\textcolor{blue}{$N$}}
\end{pspicture}
\end{center}
%Faire une figure et placer les points A, B, C.
\item  On a $\vect{\text{OC}}(0~;~4)$ et $\vect{\text{AB}}(0~;~4)$,, donc $\vect{\text{OC}} = \vect{\text{AB}} \iff $OABC est un parallélogramme.
%Montrer que OABC est un parallélogramme.
\item  Le centre de OABC est le milieu de [OB] soit $\Omega\left(\dfrac{3}{2}~;~1\right)$.
%Déterminer l'affixe du point $\Omega $, centre du parallélogramme OABC.
\item  $\Omega$ est l'isobarycentre des points A, B, C et O. Donc $\vect{\text{OA}} + \vect{\text{OB}}+ \vect{\text{OC}}+\vect{\text{OC}} = \vect{\text{0}}.$ On a donc :
\[\left\| \vect{M\text{O}}  + \vect{M\text{A}}  + \vect{M\text{B}}  + \vect{M\text{C}} \right\| = 12 \iff \left\|4\vect{M\Omega} + \vect{\Omega\text{O}} + \vect{\Omega\text{A}} + \vect{\Omega\text{B}}+\vect{\Omega\text{C}}\right\| = 12\] \[\iff \left|4\vect{M\Omega}\right\| = 12 \iff \Omega M = 3\]
L'ensemble des points $M$ est donc le cercle de centre $\Omega $ et de rayon 3.
%Déterminer et tracer l'ensemble des points $M$ du plan tels que \\$\left\| \vect{M\text{O}}  + \vect{M\text{A}}  + \vect{M\text{B}}  + \vect{M\text{C}} \right\| = 12$.
\item  
%Soit $M$ un point de la droite (AB). On désigne par $\beta $
% la partie imaginaire de l'affixe du point $M$. On note $N$ l'image du point M par la rotation de centre $\Omega $ et d'angle $\dfrac{\pi }{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item  On a donc $z_{M} = 3 + \beta\text{i}$.\\
 On a par définition de la rotation : $z_{N} - z_{\Omega} = \text{i}\left(z_{M} - z_{\Omega}  \right) \iff\\
  z_{N} = \dfrac{3}{2} + \text{i} + \text{i}\left(3 + \beta - \dfrac{3}{2} - \text{i}\right) = \dfrac{3}{2} + \text{i} + 3\text{i} - \beta - \dfrac{3}{2} - \text{i} = \dfrac{5}{2} - \beta + \dfrac{5}{2}\text{i}.$
		%Montrer que $N$ a pour affixe $\dfrac{5}{2} - \beta  + \dfrac{5}{2}\text{i}$.
		\item   
		%Comment choisir $\beta $ pour que $N$ appartienne à la droite (BC) ?
La droite (BC) a un coefficient directeur de $- \dfrac{2}{3}$ et contient le point \\C(0 ; 4) : une de ses équations est donc $y = - \dfrac{2}{3}x + 4.$\\
$N \in (\text{BC}) \iff \dfrac{5}{2} = - \dfrac{2}{3}\left(\dfrac{5}{2} - \beta \right) + 4 \iff 15 = -4\left(\dfrac{5}{2} - \beta \right) + 24 \iff\\ 15 = -10 + 4\beta + 24 \iff 4\beta = 1 \iff \beta = \dfrac{1}{4}$.\\
Dans ce cas : $M\left(3~;~\dfrac{1}{4}\right)$ et $N\left(\dfrac{9}{4}~;~\dfrac{5}{2}\right)$ (cf. figure)
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

 \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}\\
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal \Oijk, on considère les points A(1 ; 2 ; 3), B(0~;~1~;~4), C$(-1~;~-3~;~2)$, D$(4~;~-2~;~5)$ et le vecteur $\vect{n}( 2\;;\; - 1\;;\;1)$.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Démontrer que les points A, B, C ne sont pas alignés.
On a $\vect{\text{AB}}(-1~;~-1~ ;~1),~\vect{\text{AC}}(-2~;~-5~ ;~-1)$. Ces vecteurs ne sont pas colinéaires, donc A, B et C ne sont pas alignés.
		\item   %Démontrer que $\vect{n} $
% est un vecteur normal au plan (ABC).
On a $\vect{n}{}\cdot{}\vect{\text{AB}} = - 2 + 1 + 1 = 0$ et $\vect{n}{}\cdot{}\vect{\text{AC}} = -4 + 5 -1 = 0$.

Le vecteur $\vect{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : il est orthogonal à ce plan.
		\item   %Déterminer une équation du plan (ABC).
$M(x~;~y~;~z) \in (\text{ABC}) \iff \vect{\text{A}M} \cdot \vect{n} = 0$

$\iff 2(x - 1) - 1(y - 2) + 1(z - 3) = 0 \iff 2x - y + z -3 = 0$. 
	\end{enumerate}
%\item Soit ($\Delta $) la droite dont une représentation paramétrique est : $\left\{ \begin{array}{l c l}
% x &=& 2 - 2t \\ 
% y &=&  - 1 + t \\ 
% z &=& 4 - t \\ 
% \end{array} \right.$
% avec  $t \in \R$.\\
%Montrer que le point D appartient à la droite ($\Delta $) et que cette droite est perpendiculaire au plan (ABC).
Pour $t = -1$, on trouve effectivement les coordonnées de D.

D'autre part un vecteur directeur de cette droite est le le vecteur $\vect{u}$ de coordonnées $(-2~;~1~;~-1)$, donc $\vect{u} = - \vect{n}$. La droite $\Delta$ est donc bien perpendiculaire au plan (ABC).

%\item Soit E le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC).\\
%Montrer que le point E est le centre de gravité du triangle ABC.
Le point E appartient donc à la droite ($\Delta $) et au plan (ABC). Ces coordonnées vérifient donc :
\[ 2(2 - 2t) - (-1 + t) + (4 - t) - 3 = 0 \iff 6 = 6t \iff t = 1. \]
Les coordonnées de E sont donc (0 ; 0 ; 3).\\
On a $\vect{\text{EA}}(1~;~2~;~0), {} \vect{\text{EB}}(0~;~1~;~1), {} \vect{\text{EC}}(-1~;~-3~;~-1)$.\\
On a bien $\vect{\text{EA}} + \vect{\text{EB}} + \vect{\text{EC}} = \vect{0}$ qui signifie que E est l'isobarycentre des trois points A, B et C, soit le centre de gravité du triangle (ABC).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

 \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}\\
 \textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}\\
%\emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie.\\
% Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète. ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\begin{enumerate}
\item  %Soit $f$ la fonction solution sur $\R$ de l'équation différentielle $y' =  - y + 2$  telle que $f(\ln 2) = 1$.

 $y = 2$ est une solution évidente de l'équation.
 
Les solutions de l'équation $y' = - y$ sont les fonctions $y = K\text{e}^{-x},{ }K \in \R$.

L'ensemble des solutions de l'équation différentielle initiale sont donc les fonctions : $x \longmapsto 2 + K{e}^{-x},{ }K \in \R$.

La solution telle que $f\ln 2) = 1 \iff 2 + K\text{e}^{- \ln 2} = 1 \iff \dfrac{K}{\text{e}^{\ln 2}} = - 1 \iff \dfrac{K}{2} = - 1 \iff K = -2$.

On a donc $f(x) = 2 - 2\text{e}^{-x}, {}f(0) = 0,{}f'(0) = - f(0) + 2 = 2$.

L'équation de la tangente au point d'abscisse $0$ est $Y - 0 = 2(X - 0) \iff Y = 2X$. Conclusion : l'affirmation est vraie.
%\textbf{Proposition 1} : « La courbe représentative de $f$ admet au point d'abscisse $0$, une tangente d'équation $y = 2x$ ».
\item  Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle $[A\;;\; + \infty[$  où $A$ est un réel strictement positif.

\textbf{Proposition 2} : %« Si $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = 0$  alors $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x)g(x) = 0$ ».
Faux : contre exemple : $f(x) = \text{e}^{-x},{}g(x) = \text{e}^{x}$ et 

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) g(x) = 1$.
\item  %On admet qu'un bloc de glace fond en perdant 10\:\% de sa masse par minute.\\ 
%Sa masse initiale est de 10~kg.\\
\textbf{Proposition 3} : %« À partir de la soixante-dixième minute, sa masse devient inférieure à 1~g ».
À la 70\up{e} minute, la masse est égale à $0,9^{70} \times \nombre{10000} \approx 6,3 $ (g). La proposition est fausse. 
\item  %Soient A et B deux évènements d'un même univers $\Omega $ muni d'une probabilité $p$. \\
\textbf{Proposition 4} : %« Si A et B sont indépendants et si $p$(A) = $p$(B) = 0,4 alors $p(\text{A} \cup \text{B}) = 0,8$ ».
On a $p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B)$.

$A$ et $B$ sont indépendants, donc $p(\text{A} \cap B)  = p(A) \times  p(B) = 0,4 \times 0,4 = 0,16.$

Donc $p(A \cup B) = 0,4 + 0,4 - 0,16 = 0,64$. La proposition est fausse.
\item  \textbf{Proposition 5} :%Une usine fabrique des pièces. Une étude statistique a montré que 2\:\% de la production est défectueuse. Chaque pièce est soumise à un contrôle de fabrication. Ce contrôle refuse 99\:\% des pièces défectueuses et accepte 97\:\% des pièces non défectueuses.
%On choisit au hasard une pièce avant son passage au contrôle.\\
Avec des notations évidentes on a l'arbre suivant : 

\begin{center}\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$D$}\taput{$0,02$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$R$}\taput{$0,99$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{R}$}\tbput{$0,01$}
 		}
	\pstree{\TR{$\overline{D}$}\tbput{$0,98$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$R$}\taput{$0,03$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{R}$}\tbput{$0,97$}
 		}
}
		
		 \end{center}
On a donc $p\left(\overline{R}\right) = 0,02 \times 0,01 + 0,98 \times 0,97 = \nombre{0,9508}$.

 %« La probabilité que la pièce soit acceptée est égale à \nombre{0,9508} ». 
Proposition vraie
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

 \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

 \textbf{Candidats ayant  choisi l'enseignement de spécialité}

%\emph{Pour chacune des propositions suivantes indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie.\\
% Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}\\

\begin{enumerate}
\item \textbf{Proposition 1} : Vraie. 
% « Pour tout entier naturel $n$ non nul, $n$ et $2n + 1$ sont premiers entre eux. »
On a $1 \times (2n+1) - 2 \times n = 1$ : d'après Bezout $n$ et $2n+1$ sont premiers entre eux.
\item  %Soit $x$ un entier relatif.\\
\textbf{Proposition 2} :  Fausse. 
 %« $x^2  + x + 3 = 0\left( {{\rm{modulo}}\; 5} \right)$
% si et seulement si $x \equiv 1\left( {{\rm{modulo}}\;5} \right)$. »
On a $x \equiv 3 \quad [5] \Rightarrow  x^2 + x + 3 \equiv 15 \quad [5]$ soit $x^2 + x + 3 \equiv 0 \quad [5]$.
\item  %Soit $N$ un entier naturel dont l'écriture en base 10 est $\overline{aba7}$.\\
\textbf{Proposition 3} :  Vraie.
 %« Si $N$ est divisible par 7 alors $a + b$
% est divisible par 7. »
On a $N = \nombre{1000}a + 100b + 10a + 7 = \nombre{1010} + 100b + 7$.\\
Donc $N \equiv 0 \quad [7] \iff \nombre{1010}a + 100b + 7 \equiv  0 \quad [7] \iff \nombre{1010}a + 100b \equiv 0 \quad [7] \iff 101a + 10b \equiv 0 \quad [7] \iff 101a + 101b \equiv 0 \quad 0 [7]$, car $91b \equiv 0 \quad [7].$

Finalement $101(a + b) \equiv 0 \quad [7].$

Comme 101 et 7 sont premiers entre eux, d'après le théorème de Gauss  $7$ divise $a + b$.
\item  %Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv.\\
\textbf{Proposition 4} :  Fausse. 
%« La similitude directe de rapport 2, d'angle $\dfrac{\pi }{6}$  et de centre le point d'affixe $1 - \text{i}$
% a pour écriture complexe $z' = \left( {\sqrt 3  +\text{i}} \right)z + \sqrt 3  - \text{i}\sqrt 3 $. »
Par définition de la similitude, on a :\\
$z' - (1 - \text{i}) = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}[z - (1 - \text{i})] \iff z' = 1 - \text{i} + 2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\text{i}}{2} \right)[z - (1 - \text{i})] \iff z' =$

$ 1 - \text{i} + \left( \sqrt{3}+ \text{i}\right)[z - (1 - \text{i})]$,
soit enfin $z' = \left( \sqrt{3}+ \text{i}\right)z - \sqrt{3} + \text{i}\left(\sqrt{3} - 2 \right)$
\item  %Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.\\
% On considère un point A. On désigne par $a$ son affixe. On note $s$ la réflexion d'axe $\left(\text{O}\;;\;\vect{u}\right)$ et $s_A $ la symétrie centrale de centre A.\\
\textbf{Proposition 5} : Vraie. 
%« L'ensemble des nombres complexes $a$ tels que $s \circ s_{\text{A}}  = s_{\text{A}}  \circ s$  est l'ensemble des nombres réels. »
Soit un point $M$ d'affixe $z$. Son symétrique autour de $\left(\text{O}\;;\;\vect{u}\right)$ a pour affixe $\overline{z}$ et le symétrique de ce point autour du point A a pour affixe $z_{1}$ tel que $\overline{z} + z_{1} = 2a \iff z_{1} = 2a - \overline{z}$.

Le symétrique de $M$ autour de A a pour affixe le point d'affixe $z_{2}$ tel que 

$z + z_{2} = 2a$ soit $z_{2} = 2a - z$ et le symétrique de ce point autour de $\left(\text{O}\;;\;\vect{u}\right)$ a pour affixe $z_{3}$ tel que $z_{3} = \overline{2a - z} = 2\overline{a} - \overline{z}$.

On a donc $z_{1} = z_{3} \iff 2a - \overline{z} = 2\overline{a} - \overline{z} \iff 2a  = 2\overline{a} \iff a = \overline{a} \iff a \in \R$.

 \end{enumerate}
 
 \vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}
 
\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Restitution organisée de connaissances.

%On supposera connus les résultats suivants :\\
%Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a~  ;~ b]$ avec $a < b$.
%\begin{itemize}
%\item  Si $u \geqslant 0$
% sur $[a ~ ;~ b]$ alors $\displaystyle\int_{a}^{b} u(x)\:\text{d}x  \geqslant  0$.\\
%\item  Pour tous réels $\alpha $ et $\beta $
% $\displaystyle\int_{a}^{b} \left[ \alpha u(x) + \beta v(x) \right]\:\text{d}x  = \alpha \displaystyle\int_{a}^{b} u(x)\:\text{d}x  + \beta \displaystyle\int_{a}^{b} v(x)\:\text{d}x$.
% \end{itemize}\\
%Démontrer que si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $[a ~ ; ~b]$ avec $a < b$ et si, pour tout $x$ de $[a ~;~b],{} f(x) \leqslant  g(x)$
%, alors $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\:\text{d}x  \leqslant  \displaystyle\int_{a}^{b} g(x)\:\text{d}x.$

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie sur $[0\;;\; + \infty[$
% par : 
% \[f(x) = x + \ln \left( 1 + \text{e}^{ - x}  \right).\]
%Sa courbe représentative $(\mathcal{C})$ ainsi que la droite (D) d'équation $y = x$ sont données ci-dessous dans un repère orthonormal d'unité graphique 2~cm.
\begin{enumerate}
\item  $f$ est la somme de fonctions dérivables sur $[0\;;\; + \infty[$ : elle est donc dérivable et

$f'(x) = 1 + \dfrac{- \text{e}^{-x}}{1 + \text{e}^{-x}} = 1 - \dfrac{1}{1 + \text{e}^{x}} = \dfrac{1 + \text{e}^{x} - 1}{1 + \text{e}^{x}} = \dfrac{\text{e}^{x}}{1 + \text{e}^{x}}$.

Cette dérivée est clairement supérieure à zéro sur $[0\;;\; + \infty[$, et la fonction $f$ est donc croissante sur $[0\;;\; + \infty[$.

Comme $f(0) = 0 + \ln (1 + 1) = \ln 2 \approx 0,69 > 0$, on a $f(x) > 0$ sur $[0\;;\; + \infty[$.
%Montrer que $f$ est croissante et positive sur $[ 0\;;\; + \infty[$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln\left(1 + \text{e}^{-x}\right) = \ln 1 = 0$, on a donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) - x = 0$, ce qui montre que la droite (D) est asymptote à $(\mathcal{C})$ au voisinage de plus l'infini.
		%Montrer que la courbe $(\mathcal{C})$ admet pour asymptote la droite (D). 
		\item Comme $f(x) - x = \ln\left(1 + \text{e}^{-x}\right) > \ln 1 = 0$, ceci montre que la courbe $(\mathcal{C})$ est au dessus de (D) quel que soit $x$.
		%Étudier la position de $(\mathcal{C})$ par rapport à (D).
	\end{enumerate} 
\item 
%Soit I l'intégrale définie par : I $= \displaystyle\int_{0}^{1} \ln \left( 1 + \text{e}^{- x} \right)\:\text{d}x  = \displaystyle\int_{0}^{1} [ f(x) - x]\:\text{d}x$.\\
% On ne cherchera pas à calculer I.
\begin{enumerate}
\item  
%Donner une interprétation géométrique de I.
Voir la surface hachurée sur la figure ci-dessous.
\item  
%Montrer que pour tout réel $t \geqslant  0$, on a $\ln (1 + t ) \leqslant  t$.
%(On pourra étudier les variations de la fonction $g$ définie sur $[0\;;\; + \infty[$  par $g(t) = \ln (1 + t) - t$.)
La fonction $g$ est dérivable sur $[0\;;\; + \infty[$ et $g'(t) = \dfrac{1}{1 + t} - 1 = \dfrac{1 - 1 - t}{1 + t} = - \dfrac{t}{1+t} < 0$.

La fonction $g$ est décroissante sur $[0\;;\; + \infty[$ et comme $g(0) = 0$, on a $g(x) \leqslant 0$ sur $[0\;;\; + \infty[$.

Or $g(t) \leqslant 0 \iff \ln (1 + t )  - t \leqslant 0 \iff \ln 1 + t) \leqslant t$.

On admettra que pour tout réel $t \geqslant  0$, on a $\dfrac{t}{{t + 1}} \leqslant  \ln ( 1 + t )$.
\item  %En déduire que pour tout $x$ de $[ 0\;;\; + \infty[$
%, on a : \\$\dfrac{{\text{e}^{ - x} }}{{\text{e}^{ - x}  + 1}} \leqslant  \ln \left( 1 + \text{e}^{ - x}  \right) \leqslant  \text{e}^{- x} $.
On a donc $0 \leqslant \dfrac{t}{1 + t} \leqslant \ln (1 + t) \leqslant t$. En posant $t = \text{e}^{-x}$, ce qui est possible puisque $t \geqslant 0$, on obtient l'encadrement :
\[\dfrac{\text{e}^{-x}}{1 + \text{e}^{-x}} \leqslant \ln (1 + \text{e}^{-x}) \leqslant \text{e}^{-x}\]

\item  
%Montrer que $\ln \left( \dfrac{2}{{1 + \text{e}^{ - 1} }} \right) \leqslant  \text{I} \leqslant  1 - \text{e}^{ - 1}.$
En intégrant ces trois fonctions sur l'intervalle [0 ; 1], on obtient :
\[\int_{0}^1 \dfrac{\text{e}^{-x}}{1 + \text{e}^{-x}}\:\text{d}x \leqslant  \int_{0}^1 \ln \left(1 + \text{e}^{-x}\right) \:\text{d}x \leqslant \int_{0}^1 \text{e}^{-x} \:\text{d}x \]
\[[-\ln \left(1 + \text{e}^{-x}\right)]_{0}^1 \leqslant \int_{0}^1 \ln \left(1 + \text{e}^{-x}\right) \:\text{d}x \leqslant  \left[-\text{e}^{-x}\right]_{0}^1\]
\[-\ln \left(1 + \text{e}^{-1}\right) + \ln 2 \leqslant \text{I}  \leqslant 1 - \dfrac{1}{\text{e}}.\]
\[\ln \left( \dfrac{2}{1 + \text{e}^{-1}}\right) \leqslant \text{I} \leqslant 1 - \dfrac{1}{\text{e}}.\]

\[\ln \left(\dfrac{2\text{e}}{1 + \text{e}} \right) \leqslant \text{I} \leqslant 1 - \dfrac{1}{\text{e}}.\]
\item  %En déduire un encadrement de I d'amplitude $0,4$ par deux nombres décimaux.
La calculatrice donne $0,379 \leqslant \text{I} 0,633$. Soit à 0,4 près :

\[0,3 \leqslant \text{I} \leqslant 0,7.\]

\end{enumerate}
\item  %On désigne par $M$ et $N$ les points de même abscisse $x$ appartenant respectivement à $(\mathcal{C})$ et (D).\\
%On juge que $M$ et $N$ sont indiscernables sur le graphique lorsque la distance $MN$ est inférieure à $0,5$~mm.\\
%Déterminer l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles $M$ et $N$ sont indiscernables.\\
On a $M\left(x~;~x  + \ln \left( 1 + \text{e}^{-x}\right)\right)$ et $N(x~;~x)$.

Comme on a vu que $M$ est au dessus de $N$, on a $MN = \ln \left( 1 + \text{e}^{-x}\right)$.

Il faut donc résoudre l'inéquation : $\ln \left( 1 + \text{e}^{-x}\right) \leqslant 0,025$ (car l'unité en ordonnées est égale à 2~cm) soit comme la fonction exponentielle est croissante :

\[\text{e}^{\ln \left( 1 + \text{e}^{-x}\right)}  \leqslant \text{e}^{0,05} \iff  \] 
\[1 + \text{e}^{-x} \leqslant \text{e}^{0,025} \iff \]
\[ \text{e}^{-x} \leqslant  \text{e}^{0,025} - 1 \iff \]
\[ - x \leqslant \ln \left(\text{e}^{0,025} - 1 \right) \iff \]
\[ x \geqslant - \ln \left(\text{e}^{0,025} - 1 \right) \approx \nombre{3,67635}\]
L'ensemble des valeurs solutions est donc l'intervalle $\left]-  \ln \left(\text{e}^{0,025} - 1 \right) ~;~+ \infty\right[$.
%\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE à rendre avec la copie}
\end{center}
 
\medskip
 
 \textbf{EXERCICE 4}
 
\bigskip \bigskip \bigskip
 
\begin{center}
\psset{xunit=1.4cm,yunit=2.8cm}
\begin{pspicture}(0,0)(7,5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=4,gridwidth=0.3pt](0,0)(7,5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(7,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[ul](0,0){O}
\psplot{0}{5}{x}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000]{0}{5}{2.71828 x neg exp 1 add ln x add}
\uput[u](1,1.4){$(\blue \mathcal{C})$} \uput[d](1,0.9){D}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{2.71828 x neg exp 1 add ln x add}
\psline(1,1)(0,0)
}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}