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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small septembre 2008}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures }

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S (obligatoire)  Polynésie~\decofourright\\septembre 2008}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

%\emph{On rappelle que la probabilité d'un évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé se note $p_{B}(A)$.}

% Une urne contient au départ 30~boules blanches et 10~boules noires indiscernables  au toucher.
% 
% On tire au hasard une boule de l'urne :
% 
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] si la boule tirée est blanche, on la remet dans l'urne et on ajoute $n$ boules blanches supplémentaires.
%\item[$\bullet~$] si la boule tirée est noire, on la remet dans l'urne et on ajoute $n$ boules noires supplémentaires.
%\end{itemize}
%On tire ensuite au hasard une seconde boule de l'urne.

% On note :
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$]	$B_{1}$ l'évènement : « on obtient une boule blanche au premier tirage »
%\item[$\bullet~$] $B_{2}$ l'évènement : « on obtient une boule blanche au second tirage »
%\item[$\bullet~$]  $A$ l'évènement : « les deux boules tirées sont de couleurs différentes ».
%\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on prend $n = 10$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer la probabilité $p\left(B_{1} \cap B_{2}\right)$ et montrer que $p\left(B_{2}\right) = \dfrac{3}{4}$.
		On a l'arbre de probabilités suivant : 
		
\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$B_{1}$}\taput{$\frac{30}{40}$}}
	  { 
		  \TR{$B_{2}$}\taput{$\frac{40}{50}$}
		  \TR{$\overline{B_{2}}$}\tbput{$\frac{10}{50}$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{B_{1}}$}\tbput{$\frac{10}{40}$}}
	  {
		  \TR{$B_{2}$}\taput{$\frac{30}{50}$}
		  \TR{$\overline{B_{2}}$}\tbput{$\frac{20}{50}$} 
	  }	
}
\end{center}

\bigskip


$p\left(B_{1} \cap B_{2}\right) = p\left(B_{1}\right) \times p_{B_{1}}\left(B_{2}\right) = \dfrac{30}{40} \times \dfrac{40}{50} = \dfrac{30}{50} =\dfrac{3}{5} = 0,6$.

On calcule de même $p\left(\overline{B_{1}} \cap B_{2}\right)  = p\left(\overline{B_{1}}\right) \times p_{\overline{B_{1}}}\left(B_{2}\right) = \dfrac{30}{50} \times \dfrac{10}{40} =  \dfrac{3}{20} = 0,15$.

D'après la loi des probabilités totales $p\left(B_{2}\right) = p\left(B_{1} \cap B_{2}\right)  + p\left(\overline{B_{1}} \cap B_{2}\right) = \dfrac{3}{5} + \dfrac{3}{20} = \dfrac{12 + 3}{20} =  \dfrac{15}{20} = \dfrac{3}{4} = 0,75$. 
		\item  %Calculer $p_{B_{2}}\left(B_{1}\right)$.
On a 	$p_{B_{2}}\left(B_{1}\right) = \dfrac{p\left(B_{1}\cap B_{2} \right)}{p\left(B_{2} \right)} = \dfrac{\frac{3}{5}}{\frac{3}{4}} = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{4}{3} = \dfrac{4}{5} = 0,8.$			\item  %Montrer que $p(A) = \dfrac{3}{10}$.
On a $p(A) = p\left(B_{1} \cap \overline{B_{2}} \right) + p\left(\overline{B_{1}} \cap B_{2} \right) = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{20} + \dfrac{3}{20} = \dfrac{3}{20} + \dfrac{3}{20} = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10} = 0,3$.
	\end{enumerate}
\item	%On prend toujours $n = 10$.

%Huit joueurs réalisent l'épreuve décrite précédemment de manière identique et indépendante.

%On appelle $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de réalisations de l'évènement $A$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer $p(X =  3)$. (On donnera la réponse à $10^{-2}$ près).
On a une épreuve de Bernoulli avec $n = 8$ et $p = p(A) = \dfrac{3}{10}$

La probabilité d'avoir 3 fois l'évènement $A$ est :

\[\binom{8}{3}\left(\dfrac{3}{10} \right)^3 \left(1 - \dfrac{3}{10} \right)^{8 - 3} = \dfrac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2}\left(\dfrac{3}{10} \right)^3 \left(\dfrac{7}{10} \right)^{5} \approx 0,254 \approx 0,25.\] 
		\item  %Déterminer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.
		On a E = $n \times p = 8 \times \dfrac{3}{10}= \dfrac{12}{5}= 2,4$.
	\end{enumerate}
\item	%Dans cette question $n$ est un entier supérieur ou égal à $1$.

%Existe-t-il une valeur de $n$ pour laquelle $p(A) = \dfrac{1}{4}$.
On reprend l'arbre précédent, mais en ajoutant $n$ boules :

\bigskip

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$B_{1}$}\taput{$\frac{30}{40}$}}
	  { 
		  \TR{$B_{2}$}\taput{$\frac{30+n}{40+n}$}
		  \TR{$\overline{B_{2}}$}\tbput{$\frac{10}{40+n}$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{B_{1}}$}\tbput{$\frac{10}{40}$}}
	  {
		  \TR{$B_{2}$}\taput{$\frac{30}{40+n}$}
		  \TR{$\overline{B_{2}}$}\tbput{$\frac{10+n}{40+n}$} 
	  }	
}
\end{center}

\bigskip

Ici $p(A) = \dfrac{30}{40}\times \dfrac{10}{40+n} + \dfrac{10}{40}\times \dfrac{30}{40+n} = \dfrac{15}{40 + n}$.

D'où $p(A) = \dfrac{1}{4} \iff \dfrac{15}{40 + n} = \dfrac{1}{4} \iff 60 = 40 + n \iff n = 20$.
\bigskip
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}
 
%\emph{On donne la propriété suivante :}

%\emph{« par un point de l'espace il passe un plan et un seul orthogonal à une droite donnée »}

% Sur la figure donnée en annexe,  on a représenté le cube ABCDEFGH d'arête 1.
% 
%On a placé :
%\begin{itemize}
%\item[] les points I et J tels que  $\vect{\text{BI}}= \dfrac{2}{3}\vect{\text{BC}}$ et $\vect{\text{EJ}}= \dfrac{2}{3}\vect{\text{EH}}$.
%\item[] le milieu K de [IJ].
%\end{itemize}
%On appelle P le projeté orthogonal de G sur le plan (FIJ).

%\medskip

% \textbf{Partie A}
 
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que le triangle FIJ est isocèle en F.
On a EJ = $\dfrac{2}{3}$, donc FJ$^2 = 1^2 + \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{13}{9}$.

De même  BI$^2 = \dfrac{2}{3}$, donc FI$^2 = 1^2 + \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{13}{9}$.

 FJ$^2 = \text{BI}^2 \Rightarrow \text{FJ} = \text{BI}$, donc le triangle FIJ est isocèle en F.
%En déduire que les droites (FK) et (IJ) sont orthogonales.
K étant le milieu de [IJ], la droite (FK) médiane du triangle isocèle est aussi hauteur, donc perpendiculaire à (IJ).	
\medskip

On admet que les droites (GK) et (IJ) sont orthogonales.
\item 	%Démontrer que la droite (IJ) est orthogonale au plan (FGK).
La droite (IJ) est orthogonale à deux droites (FK) et (GK) sécantes du plan (FGK) : elle est donc orthogonale à ce plan.
\item 	%Démontrer que la droite (IJ) est orthogonale au plan (FGP).
P est le projeté orthogonal de G sur le plan (FIJ), donc la droite (PG) est orthogonale à ce plan et en particulier à toute droite de ce plan : donc (PG) est orthogonale à (IJ).

De même (IJ) est orthogonale au plan (FGK), donc en particulier (IJ) est orthogonale à (FG).

Les points F, G, P non alignés définissent un plan (FGP). La droite (IJ) orthogonale à deux droites sécantes de ce plan est orthogonale à ce plan (FGP).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que les points F, G, K et P sont coplanaires.
On vient de démontrer que les deux plans (FGK) et (FGP) sont orthogonaux à la droite (IJ). Mais ces deux plans contiennent le point F. Il n'existe qu'un plan contenant un point F et orthogonal à une droite (IJ) donnée, donc F, G, K et P sont coplanaires.
		\item  %En déduire que les points F, P et K sont alignés.
P appartient à la droite  (IJ) et comme K appartient lui aussi à la droite (IJ), les points F, P et K appartiennent au plan (FIJ).

Les points F, P, G et K sont coplanaires donc  les points F, P et K appartiennent au plan (FGK).

Conclusion F, K et P appartiennent aux plans (FIJ) et (FGK) ; ces plans n'étant pas parallèles, leur intersection est une droite qui contient F, K et P ; donc F, K et P sont alignés. 
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

 \textbf{Partie B}
 
%L'espace est rapporte au repère orthogonal $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}  \right)$.

%On appelle $N$ le point d'intersection de la droite (GP) et du plan (ADB).\\ On note $(x~;~ y~;~ 0)$ les coordonnées du point $N$.

\begin{enumerate}
\item %Donner les coordonnées des points F, G, I et J.
On a $\vect{\text{AF}} = \vect{\text{AB}}  + \vect{\text{AE}}$ ; donc F(1~;~0~;~1)

$\vect{\text{AG}} = \vect{\text{AB}}  + \vect{\text{AD}}  + \vect{\text{AE}} $ ; donc G(1~;~1~;~1)

$\vect{\text{AI}}  = \vect{\text{AB}}  + \vect{\text{BI}} = \vect{\text{AB}} + \dfrac{2}{3}\vect{\text{AD}}$ ; donc I$\left(1~;~\frac{2}{3}~;~0\right)$

$\vect{\text{AJ}}  = \vect{\text{AE}}  + \vect{\text{EJ}}  = \vect{\text{AE}}  + \dfrac{2}{3}\vect{\text{AD}} $ ; donc J$\left(0~;~\frac{2}{3}~;~1\right)$
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que la droite (G$N$) est orthogonale aux droites (FI) et (FJ).
G a pour projeté orthogonal sur le plan (FIJ) le point P, donc (GP) est orthogonale à (FIJ).

$N$ appartient à la droite (GP), donc (G$N$) est orthogonale à (FIJ) donc à toute droite de ce plan : conclusion : (G$N$) est orthogonale à (FI) et à (FJ).
		\item  %Exprimer les produits scalaires $\vect{\text{G}N} \cdot \vect{\text{FI}}$ et $\vect{\text{G}N} \cdot \vect{\text{FJ}}$ en fonction de $x$ et $y$.
On a $\vect{\text{G}N}\left(\begin{array}{c} x - 1\\ y - 1\\-1\\
\end{array}\right)$ et  $\vect{\text{FI}}\left(\begin{array}{c}  0\\ \frac{2}{3}\\-1\\
\end{array}\right)$.

$\vect{\text{G}N} \cdot \vect{\text{FI}} = \dfrac{2}{3}(y - 1) + 1 =  \dfrac{2}{3}y + \dfrac{1}{3}$.

$\vect{\text{FJ}}\left(\begin{array}{c}  -1\\ \frac{2}{3}\\0\\
\end{array}\right)$. Donc $\vect{\text{G}N}{}\cdot{}\vect{\text{FJ}} = (x - 1)\times (-1) + \dfrac{2}{3}(y - 1) = - x + \dfrac{2}{3}y + \dfrac{1}{3}.$

		\item  %Déterminer les coordonnées du point $N$.
D'après \textbf{2. a.} les deux produits scalaires ci-dessus sont nuls, donc

 $\dfrac{2}{3}y + \dfrac{1}{3} = 0 \Rightarrow y = - \dfrac{1}{2}$ et $- x + \dfrac{2}{3}y + \dfrac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} = 0$.

Les cordonnées de $N$ sont donc $\left(0~;~- \dfrac{1}{2}~;~0 \right).$
	\end{enumerate}
	
\item ~%Placer alors le point P sur la figure en annexe.
\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,5)
\uput[dr](1,1.1){A} \uput[dl](0,0){B} \uput[dr](4,0){C} 
\uput[dr](5,1.1){D} \uput[ul](1,5){E} \uput[ul](0,4){F} 
\uput[dr](4,4){G}  \uput[ur](5,5){H}  \uput[d](2.7,0){I} 
\uput[u](3.65,5){J} \uput[l](3.2,2.5){K}
\psframe(4,4) \psline(4,0)(5,1.1)(5,5)(1,5)(0,4)%CDHEF
\psline(4,4)(5,5)%GH
\pspolygon(2.7,0)(4,4)(3.65,5)%IGJ
\psline(2.7,0)(0,4)(3.65,5)%IFJ
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1,1.1)(1,5)
\psline[linestyle=dashed](1,1.1)(5,1.1)
\psline[linestyle=dashed](4,4)(-1,1.1)(1,1.1)
\uput[d](-1,1.1){N} \uput[u](2.3,3){P}
\psline[linestyle=dashed](3.2,2.5)(0,4)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](3.175,2.5) 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

 \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}
%\begin{center}
%\textbf{Les parties A et B sont indépendantes.}
% \end{center}

\medskip

 \textbf{Partie A}
 
%On considère l'ensemble (E) des suites $\left(x_{n}\right)$ définies sur $\N$ et vérifiant la relation suivante :

%pour tout entier naturel $n$ non nul, $x_{n+1} - x_{n} = 0,24x_{n-1}$.

\begin{enumerate}
\item  %On considère un réel $\lambda$ non nul et on définit sur $\N$ la suite $\left(t_{n}\right)$ par $t_{n} = \lambda^n$.

%Démontrer que la suite $\left(t_{n}\right)$ appartient à l'ensemble (E) si et seulement si $\lambda$ est solution de l'équation $\lambda^2 - \lambda - 0,24 = 0$.
$\left(t_{n}\right)$ appartient à l'ensemble (E) si et seulement si, pour tout entier naturel $n$ non nul, $t_{n+1} - t_{n} = 0,24t_{n-1} \iff \lambda^{n+1} - \lambda^n = 0,24\lambda^{n-1} \iff  \lambda^2 -  \lambda = 0,24$
%En déduire les suites $\left(t_{n}\right)$ appartenant à l'ensemble (E).
On a $\lambda^2 -  \lambda = 0,24 \iff (\lambda - 0,5)^2 - 0,25 - 24 = 0 \iff (\lambda - 0,5)^2 = 0,7 ^2 \iff \lambda - 0,5 = 0,7 ~\text{ou}~ \lambda - 0,5 = - 0,7 \iff \lambda = 1,2~\text{ou}~\lambda = - 0,2.$

Les suites $\left(t_{n}\right)$ appartenant à (E) sont les suites $t_{n} = 0,2^n$ et $t_{n} = (- 0,2)^n$. 

%On admet que (E) est l'ensemble des suites $\left(u_{n}\right)$ définies sur $\N$ par une relation de la forme :
%\[u_{n} = \alpha(1,2)^n + \beta(-0,2)^n \quad  	\text{où}~ \alpha~ \text{et}~\beta~ \text{sont deux réels.}\]

\item  %On considère une suite $\left(u_{n}\right)$ de l'ensemble (E).

%Déterminer les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ telles que $u_{0} = 6$ et $u_{1} =  6,6$.
$u_{n}$ doit vérifier  $\left\{\begin{array}{l c l}
\alpha(1,2)^0 + \beta(-0,2)^0&=&6\\
\alpha(1,2)^1 + \beta(-0,2)^1&=&6,6\\
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
\alpha + \beta&=&6\\
1,2\alpha - 0,2 \beta &=& 6,6\\
\end{array}\right. $

$\Rightarrow 1,2\alpha - 0,2(6 - \alpha) = 6,6 \iff 1,4\alpha = 7,8 \iff \alpha = \dfrac{39}{7}$.

On en déduit que $\beta = 6 - \alpha = 6 -  \dfrac{39}{7} =  \dfrac{3}{7}.$
%En déduire que, pour tout entier naturel $n,~ u_{n} = \dfrac{39}{7}(1,2)^n + \dfrac{3}{7}(-0,2)^n$.
La suite s'écrit donc : quel que soit $n \in \N,~u_{n} = \dfrac{39}{7}(1,2)^n + \dfrac{3}{7}(-0,2)^n$.
\item  %Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n}$.
Comme $-1 < - 0,2 < 1,~\displaystyle\lim_{n \to + \infty} (- 0,2)^n = 0$ ; d'autre part $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} (1,2)^n = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty$
\end{enumerate}

\medskip

 \textbf{Partie B}
 
%On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie sur $\N$ par :
%\[v_{0} =  6~ \text{et, pour tout entier naturel}~ n,~v_{n+1} =  1,4v_{n} - 0,05v_{n}^2\]

\begin{enumerate}
\item  %Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = 1,4x - 0,05x^2$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~8].
	$f(x) = 1,4x - 0,05x^2 = x(1,4 - 0,05x) =$
	
	$f(x) =  -0,05\left(x^2 - 28x\right) = -0,05\left[(x - 14)^2 - 196\right].$

La fonction trinôme $f$ a donc un extremum pour $x = 14,~f(14) = 9,8$ et cet extremum est un maximum car $- 0,05 < 0$.

La 	fonction est donc croissante sur $]- \infty~;~14]$ et décroissante sur $[14~;~+ \infty[$.
		\item  %Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,
		
% $0 \leqslant  <v_{n} < v_{n+1} \leqslant  8$.
\emph{Initialisation} : $v_{0} = 6,~v_{1} = 1,4v_{0} -0,005v_{0}^2 = 1,4 \times 6 - 0,05 \times 6^2 = 8,4 - 1,8 = 6,6$. C'est vrai au rang $0$.
 
 On a bien $0 < v_{0} < v_{1} \leqslant 8$.
 
\emph{Hérédité} :  soit  $p \in \N$ et supposons que $0 <   v_{p} < v_{p+1} \leqslant  8$.
 
On a $v_{p+2} = f\left(v_{p+1}\right)$. D'après la question précédente la fonction $f$ est croissante sur $]- \infty~;~14]$ ; donc $0 < v_{p} < v_{p+1} \leqslant 8 \Rightarrow$

$ 0 < f\left(v_{p}\right) < f\left(v_{p+1}\right)\leqslant f(8) \iff 0 < v_{p+1} < v_{p+2} \leqslant f(8)$. Or $f(8) = 8$. L'hérédité est donc démontrée.
 
L'encadrement est vrai au rang $0$ et s'il est vrai au rang $p$, il est vrai au rang $p + 1$ : on a donc démontré par récurrence que pour tout entier naturel $n$,
		
$0 <  v_{n} < v_{n+1} \leqslant  8$.	\end{enumerate}

\item %En déduire que la suite $\left(v_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite $\ell$.
La question précédente montre que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item la suite est croissante ;
\item la suite est majorée par 8
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Conclusion : la suite $\left(v_{n}\right)$ converge vers une limite $\ell$ inférieure ou égale à 8.

La relation $v_{n+1} =  1,4v_{n} - 0,05v_{n}^2$ entra\^{\i}ne par limite à l'infini (toutes les fonctions étant continues) :

$\ell = 1,4\ell - 0,05\ell^2 \iff 0,4\ell = 0,05\ell^2 \iff \ell = 0\quad \text{(impossible car la suite est}$

 $\text{croissante à partir de 6) ou} \quad  \ell = 8$

La suite  $\left(v_{n}\right)$ converge vers $8$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

 \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points}
 
%On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
%\[f(x) =  \ln \left(\text{e}^x + 2\text{e}^{-x}\right).\]
%La courbe $(\mathcal{C})$ représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal est donnée en annexe.

\medskip

 \textbf{Partie A - Étude de fonction}~\boldmath $f$. \unboldmath

\begin{enumerate}
\item %Montrer que, pour tout réel $x,~ f(x) = x + \ln \left(1 + 2\text{e}^{-2x}\right)$.
On a $f(x) = \ln \left[\text{e}^x\left(1 + 2\text{e}^{-2x}\right)\right] = \ln\left(\text{e}^x\right) + \ln \left( 1 + 2\text{e}^{-2x} \right)  = x + \ln \left( 1 + 2\text{e}^{-2x} \right).$

On admet que, pour tout réel $x,~ f(x) = -x +  \ln \left(2 + \text{e}^{2x}\right)$.

\item 	%Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$ et montrer que la droite (d) d'équation $y = x$ est asymptote à $(\mathcal{C})$.
Comme $f(x) - x = \ln \left( 1 + 2\text{e}^{-2x} \right)$ et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\ln \left( 1 + 2\text{e}^{-2x} \right) = 0$, on en déduit que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} x = + \infty$ et que la droite (d) dont une dés équations est $y = x$ est asymptote à $(\mathcal{C})$ au voisinage de plus l'infini.

%Étudier la position relative de $(\mathcal{C})$ et de (d).
Comme $2\text{e}^{-2x} > 0,~\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\ln \left( 1 + 2\text{e}^{-2x} \right) > 0.$

Conclusion : au voisinage de plus l'infini $(\mathcal{C})$ est au dessus de (d)
\item %	Calculer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$ et montrer que la droite (d$'$) d'équation $y = -x +  \ln 2$ est asymptote à $(\mathcal{C})$.
 En utilisant l'écriture de $f(x)$ admise ci-dessus, on obtient de même 
 
 $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \ln \left(2 + \text{e}^{2x}\right) = \ln 2$, que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) - (-x) = \ln 2$, c'est-à-dire 
 
 $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = \displaystyle\lim_{x \to - \infty}  - x = + \infty$.

Conclusion La droite (d$'$) d'équation $y = - x + \ln 2$ est asymptote à $(\mathcal{C})$ au voisinage de moins l'infini.
\item 	%Étudier les variations de la fonction $f$.
La fonction $f$ composée de fonctions dérivables est dérivable sur $\R$ et 

$f'(x) = \dfrac{\text{e}^x - 2\text{e}^{-x}}{\text{e}^x + 2\text{e}^{-x}}$ qui est du signe de $\text{e}^x - 2\text{e}^{-x}$ car le dénominateur est positif comme somme de termes positifs.

Posons $X = \text{e}^x$ qui est donc positif ; le signe de $f'(x)$ est celui de $X - \dfrac{2}{X} = \dfrac{X^2 - 2}{X}$ qui est positif pour $X > \sqrt{2} \iff \text{e}^x > \sqrt{2}\iff x > \ln \left(\sqrt{2}\right) \iff x > \dfrac{1}{2}\ln 2$ et négatif autrement.
%Montrer que le minimum de la fonction $f$ est égal à $\dfrac{3}{2}\ln 2$.
La fonction est donc décroissante sur $]- \infty~;~ \dfrac{1}{2}\ln 2]$ et croissante sur $[\dfrac{1}{2}\ln 2~;~+ \infty[$

Le minimum de la fonction est donc $f\left(\dfrac{1}{2}\ln 2\right) = - \dfrac{1}{2}\ln 2 + \ln \left( 2 + \text{e}^{\ln 2}\right)$ (en utilisant l'écriture admise) $ = - \dfrac{1}{2}\ln 2 + \ln 4 = - \dfrac{1}{2}\ln 2 + 2\ln 2 =  \dfrac{3}{2}\ln 2$.
\item 	%Tracer les droites (d) et (d$'$) sur la feuille annexe.
Voir la figure.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B - Encadrement d'une intégrale.}
 
On pose $I =  \displaystyle\int_{2 }^3 [f(x) - x]\:\text{d}x$.

\begin{enumerate}
\item %Donner une interprétation géométrique de $I$.
Sur l'intervalle [2~;~3], $2\text{e}^{-2x} > 0 \Rightarrow 1 + 2\text{e}^{-2x} > 1 \Rightarrow \ln \left(1 + 2\text{e}^{-2x} \right) > \ln 1$, donc $f(x) > x$.

La fonction $f(x) - x$ étant positive sur [2~;~3] l'intégrale est égale à l'aire (en unités d'aire) de la surface limitée par la droite (d), la courbe $\mathcal{C}$ et les verticales d'équations $x = 2$ et $x = 3$.
\item 	%Montrer que, pour tout $X \in [0~; ~+\infty[,~ \ln(1  + X) \leqslant  X$.
Soit $g$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $g(x) = \ln (1 + X) - X.$

La fonction $g$ est dérivable et $g'(x) = \dfrac{1}{1 + X} - 1 = \dfrac{- X}{1 + X}$ qui est du signe de $- X$ donc négative  ; la fonction est décroissante et comme $g(0) = 0$, on en conclut que $g(X) \leqslant 0 \iff   \ln (1 + X) - X \leqslant 0 \iff \ln (1 + X) \leqslant X$.
\item 	%En déduire que $0 \leqslant I \leqslant \displaystyle\int_{2 }^3  2\text{e}^{-2x}\:\text{d}x$ et donner un encadrement de $I$ d'amplitude 0,02.
En utilisant le résultat précédent, on obtient  $\ln \left( 1 + 2\text{e}^{-2x} \right) \leqslant 2\text{e}^{-2x} \iff $

$f(x) - x \leqslant 2\text{e}^{-2x}$.

Donc l'intégrale étant une aire, $0 \leqslant I \leqslant \displaystyle\int_{2 }^3  2\text{e}^{-2x}\:\text{d}x$

On calcule $\displaystyle\int_{2 }^3  2\text{e}^{-2x}\:\text{d}x = \left[-\text{e}^{-2x}\right]_{2}^3 = -\text{e}^{-2\times 3} + \text{e}^{-2\times 2} = \text{e}^{-4} - \text{e}^{-6} \approx \np{0,0158}$.

Conclusion $0 < I  < 0,02$.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\begin{center}
{\large \textbf{Annexe}}

\vspace{0,5cm}

\emph{Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.}

\end{center}

\vspace{0,5cm}


 \textbf{EXERCICE 4}

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-6,0)(6,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(-6,0)(6,6)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-6,0)(6,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} 
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-5.3}{6}{2.71828 x exp 2 2.71828 x exp div  add ln} 
\psplot{0}{6}{x}
\psplot{-5.2}{0}{0.69314 x sub}
\uput[d](1,1){(d)}\uput[d](-1,1.6){(d$'$)}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}