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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{9 juin 2005}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Polynésie 9 juin 2005~\decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 3 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item A et B sont indépendants, donc $p(\text{A} \cap \text{B} = p(\text{A}) \times p(\text{B}) = 0,02 \times 0,1 = 0,002$.

On a $p(\text{C}) = 1 -  p(\text{A} \cup \text{B}) = 1 - \left[p(\text{A}) + p(\text{B}) - p(\text{A} \cup \text{B}) \right] = 1 - 0,02 - 0,1 - 0,002 = 0,882$.
\item On a $p(\text{avoir le défaut}~ a~ \text{seul}) = 0,02 - 0002 = 0,018$.

De même $p(\text{avoir le défaut}~ b~ \text{seul}) = 0,1 - 0,002 = 0,098$.

Donc $p(\text{D}) =  0,018 + 0,098 = 0,116$.
\item On a une loi binomiale de paramètres $n = 5$ et $p = 0,882$.

$p(\text{E}) = p(X = 4) + p(X = 5) = \binom{5}{4}0,882^4 \times 0,118 + \binom{5}{5}0,882^5  \approx \np{0,8908}$ soit 

$p(\text{E}) \approx 0,891$ à $10^{- 3}$ près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item A(3~;~1~;~3) et B$(- 6~;~2~;~1)$. Si G est le barycentre du système 
$\{(\text{A},~4)~;~(\text{B},~-1)\}$ (qui existe puisque $4 - 1 \neq 0$) $\left\|4\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}}\right\|  = 2 \iff \left\|3\vect{M\text{G}}\right\| = 2 \iff$

$ \text{G}M = \dfrac{2}{3}$. L'ensemble est donc une sphère  de centre G de rayon $\dfrac{2}{3}$. Réponse \textbf{b.}
\item Soit $\left(x_{\text{H}}~;~y_{\text{H}}~;~z_{\text{H}}\right)$ les coordonnées du point H. Le vecteur $\vect{\text{AH}}$ est colinéaire au vecteur normal au plan de coordonnées (1~;~2~;~2). Il existe donc $\alpha \in \R$ tel que :

$\left\{\begin{array}{l cl}
x_{\text{H}} - 3 &=&  \alpha\\
y_{\text{H}} - 1&=& 2\alpha\\
z_{\text{H}} - 3 &=& 3 \alpha\\
\end{array}\right.$ et comme H $\in \mathcal{P}$, on a $3 + \alpha + 2 (1 + 2\alpha) + 2(3 + 3\alpha) = 5 \iff \alpha = - \dfrac{2}{3}$.

On a donc H$\left(\dfrac{7}{3}~;~- \dfrac{1}{3}~;~\dfrac{5}{3}\right). $ Réponse \textbf{c.} 

\item On calcule la distance du point B au plan $\mathcal{P}$ :

$d(\text{B},~\mathcal{P}) = \dfrac{|-6 + 4 + 2 - 5|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \dfrac{5}{3}$. Cette distance étant supérieure au rayon 1 la sphère et le plan ne sont pas sécants. Réponse \textbf{c.}.
\item Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ ont respectivement pour vecteurs directeurs  $(1~;~2~;~-1)$ et (2 ; 1 ; 1). Ces vecteurs n'étant pas colinéaires, les droites ne sont pas parallèles.

La droite $\mathcal{D}$ a pour équations paramétriques $\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&3 + t'\\
y&=&1+ 2t'\\
z&=&3 - t'\\
\end{array}\right. (t'~\in~\R)$. Les droites sont sécantes s'il existe $t$ et$t'$ tels que :
$\left\{\begin{array}{l c l}
3 + 2t &=&3 + t'\\
3 + t&=&1+2t'\\
t&=&3 - t'\\
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
2t&=&t'\\
3& =& 4t'\\
t&=&1\\
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
t'	&=&2\\
t'	&=&\frac{3}{4}\\
t	&=&1\\
\end{array}\right. $. 
Ce système n'admet pas de solution, donc les droites ne sont pas sécantes. Réponse \textbf{c.}

\item Les points équidistants de A et B est le plan médiateur de [AB] qui coupe [AB] en son milieu I$\left(-\dfrac{3}{2}~;~\dfrac{3}{2}~;~2\right)$. Le vecteur $\vect{\text{AB}}(-9~;~1~;~-2)$ est un vecteur normal à ce plan et les points $M$ de ce plan  médiateur vérifient  : $\vect{\text{I}M}~\cdot~\vect{\text{AB}} = 0 \iff -9\left(x + \dfrac{3}{2}\right) + 1\left(y - \dfrac{3}{2}\right) - 2(z - 2) = 0 \iff - 9x + y b- 2z - 11 = 0$.
Réponse \textbf{b.}

On pouvait également partir de $M\text{A}^2  = M\text{B}^2$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On calcule $u_{1} = 64~u_{2} = 314,~u_{3} = \np{1564},~u_{4} = \np{7814}$

On peut conjecturer que $u_{2k} = \ldots 14$ et $u_{2k+1} = \ldots 64$.
\item $u_{n+2} = 5u_{n+1} - 6 = 5(5u_{n} - 6) - 6 = 25u_{n} - 36 = u_{n} + 24u_{n} + 36$.

Or $24u_{n} + 36 \equiv 0 \quad [4]$, donc $u_{2n} \equiv u_{n}\quad [4]$.

On en déduit que $u_{2k} \equiv u_{0} = 4 \times 3 + 2$. Donc, pour tout naturel $k,~u_{2k} \equiv 2\quad [4]$.

De même $u_{2k+1} \equiv u_{1}  = 64 = 4 \times16$ ; donc $u_{2k+1} \equiv 0\quad [4]$, pour tout naturel $k$.
\item Soit à démontrer la propriété: $2u_{n} =  5^{n+2} + 3$, pour tout $n$ de $\N$.
	\begin{enumerate}
		\item \emph{Initialisation} : $2u_{0} = 28 = 5^2 + 3$ : la relation est vraie au rang $0$.

\emph{Hérédité} : soit un naturel $n$ et  supposons que l'on ait  $2u_{n} = 5^{n+2} + 3$.

Calculons $2u_{n+1} = 2(5u_{n} - 6) = 5 \times 2u_{n} - 12 = 5\left(5^{n+2} + 3\right) - 12 = 5^{n+3} + 3$. La relation est donc vraie au rang $(n+1)$.

\emph{Conclusion:} La relation est vraie au rang $0$ et si elle est vraie à un  rang $n$ quelconque, elle l'est aussi au rang $n + 1$. On a donc démontré par récurrence que pour tout naturel $n,\: 2u_{n} =  5^{n+2} + 3$.
		\item On a  $2u_{n} =  5^{n+2} + 3 = 5^2 \times 5^n + 3 = 25 \times 5^n + 28 - 25 = 25\left(5^n - 1\right) + 28$.
 
Or  $5^n - 1$ est divisible par $5 - 1 = 4$ (en général $x^n - 1$ est divisible par $x - 1$).

Il existe donc $k \in \Z$ tel que $5^n - 1 = 4k$ et finalement :

$2u_{n} = 100k + 28 \iff 2u_{n} \equiv 28\quad [100]$.

\emph{Autre méthode (non suggérée par l'énoncé)}

Soit la propriété $P_n : \quad 5^{n+2} \equiv 25\:\:[100]$; démontrons-la par récurrence.

\emph{Initialisation} : $5^2 \equiv 25\:\:[100]$, donc $P_0$ est vraie.

\emph{Hérédité} : soit $n$ un naturel quelconque et supposons que $5^{n+2} \equiv 25\:\:[100]$.

Alors on a $5^{n+3} = 5 \times 5^{n+2} \equiv 5 \times 25 \equiv 125 \equiv 25\:\: [100]$.

La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

La propriété est vraie au rang $0$ et si elle est vraie au rang $n$ elle l'est aussi au rang $n + 1$, donc d'après le principe de récurrence, on a pour tout naturel $n$, 
$5^{n+2} \equiv 25\:\:[100]$.

On en déduit que $5^{n+2} + 3  \equiv 28\:\:[100]$, d'où d'après la question 3. a. :

\hfill $2u_n \equiv 28\:\: [100]$.\hfill{}

	\end{enumerate}
%$\bullet~~$Si $n = 2p$ avec $p \in \N$ alors $2u_{2p} =  5^{2p+2} + 3 = (5^2)\times 5^{2p} + 28 - 25 = 25\left(5^{2p} - 1\right) + 28$. 

%Or  $5^{2p} - 1 = \left(5^2\right)^p - 1 = 25^p - 1$ est divisible par $25 - 1 = 24 = 8 \times 3$ donc par 8. Il existe donc $q\in \N$ tel que $25^{p} - 1 = 8q$.
%
%Finalement $2u_{2p} = 25 \times 8q + 28 \iff  2u_{2p} =  200q + 28 \iff u_{2p} = 100q + 14$. Les nombres $u_{2p}$  se terminent donc par 14.
%
%Si $n = 2p + 1$ avec $p \in \N$ alors $2u_{2p+1} =  5^{2p+3} + 3  = 5^3 \times 5^{2p} + 128 - 125 = 125\left(5^{2p} - 1\right) + 128 = 125\left(25^p - 1\right) + 128$.
%  
%On a vu que $25^p - 1 = 8q$, d'où $2u_{2p+1} = 125 \times 8q + 128 \iff $
%
%$2u_{2p+1} = 1000q + 128 \iff u_{2p+1} = 500q + 64 \iff u_{2p+1} = 100q' + 64$.
%
%Les nombres $u_{2p+1}$ se terminent donc par 64.
%
%On pouvait également écrire que $u_{2p+1} = 5u_{2p} - 6 = 5(100q + 14) - 6 =$
%
%$ 100\times 5q + 64$.
\item Le résultat précédent signifie que le reste de la division de $2u_n$ par 100 sont 28. Il en résulte que les deux derniers chiffres de l'écriture de $u_n$ sont 14 ou 64.

$\bullet~~$Si $n = 2p$ avec $p \in \N$, d'après la question 2. : $u_n \equiv 2\:\:[4]$.

Or les deux derniers chiffres de $u_n$ ne peuvent être 64, puisque $64 \equiv 0\:\: [4]$, donc les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de $u_{2p}$ sont 14.

$\bullet~~$Si $n = 2p + 1$ avec $p \in \N$, on a $u_{2p+1} \equiv 0\:\: [4]$.

Or dans ce cas les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de $u_{2p+1}$ ne peuvent être 14 puisque $14 \equiv 2\:\: [4]$.

Donc les deux derniers chiffres de $u_{2p+1}$ sont 64.

La conjecture de la question 1 est démontrée.
\item  On utilise plusieurs fois la propriété : PGCD$(a~;~b) = \text{PGCD}(a~;~a - b)$ si $a\geqslant b$.

 Donc PGCD$(u_{n+1}~;~u_{n}) = \text{PGCD}(5u_{n} - 6~;~u_{n}) = \cdots = \text{PGCD}(u_{n} - 6~;~u_{n}) = \text{PGCD}(u_{n}  ~;~6) \in \{1~;~2~;~3~;~6\}$.
 
Or 6 et 3 ne divisent pas $u_{0}$, mais tous les termes sont pairs.

Conclusion : PGCD$(u_{n+1}~;~u_{n}) = 2$.
\end{enumerate}
  
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 7 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On a de façon évidente $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
		\item $f'(x) = 1 + \dfrac{1}{x} \geqslant 1 > 0$. La fonction est donc croissante sur $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item La fonction $f$ est continue et croissante sur $]0~;~+\infty[$ ; de plus  
		
$\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$, donc $f$ est une bijection de $]0~;~+\infty[$ sur $\R$, donc pour tout naturel $n$, il existe un unique antécédent $\alpha_{n}$ tel que $f(\alpha_{n}) = n$.
		\item Figure

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}		
\begin{pspicture}(0,-2)(11,13)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=4]{->}(0,0)(0,-2)(11,13)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0.12}{10}{x x ln add}
\psline(0,-1)(7,13)
\psline{->}(0,1)(1,1)(1,0)
\psline{->}(0,2)(1.56,2)(1.56,0)
\psline{->}(0,3)(2.21,3)(2.21,0)
\psline{->}(0,4)(2.93,4)(2.93,0)
\psline{->}(0,5)(3.695,5)(3.695,0)
\uput[d](0.6,0){$\alpha_{0}$} 
\uput[d](1,0){$\alpha_{1}$}
\uput[d](1.56,0){$\alpha_{2}$}\uput[d](2.21,0){$\alpha_{3}$}
\uput[d](2.93,0){$\alpha_{4}$}\uput[d](3.695,0){$\alpha_{5}$}
\uput[d](10.5,0){$x$} \uput[l](0,12.8){$y$}
\uput[d](7.3,13.3){$\Delta$}
\uput[d](10.2,12.2){\blue $\Gamma$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

		\item On a $\alpha_{1} + \ln  \alpha_{1} = 1$. Le graphe fait apparaître la solution évidente $\alpha_{1} = 1$.
		\item De $f(\alpha_{n}) = n$ et $f(\alpha_{n+1} = n+1$ on déduit par différence 
		
$f(\alpha_{n+1}) - f(\alpha_{n}) = 1 > 0$ qui est équivalent par la croissance de $f$ à 

$\alpha_{n+1} - \alpha_{n} > 0 \iff \alpha_{n+1} > \alpha_{n}$ qui démontre que la suite $\left(\alpha_{n}\right)$ est croissante.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item $M(x~;~y) \in \Delta \iff \dfrac{y - 1}{x - 1} = f'(1) = 2 \iff y = 2x - 1~(\text{pour}~x \neq 1$).
		\item $h(x) = \ln x - x + 1~;~h'(x) =\dfrac{1}{x} - 1 = \dfrac{1 - x}{x}$ qui est du signe de $1 - x$. La fonction est donc croissante sur $]0~;~1]$, puis décroissante. Elle présente donc un maximum pour $x = 1$ et $h(1) = 0$.
		
Conclusion : la fonction $h$ est négative sur $]0~;~+ \infty[$.

Or $h(x) = x + \ln x - (2x - 1)$, donc $h(x) \leqslant 0 \iff x + \ln x \leqslant 2x - 1$, ce qui signifie que pour tout réel positif, la courbe $\Gamma$ est en dessous de $\Delta$.
		\item Cf. figure.
	\end{enumerate}
\item Pour tout naturel $n$ on a d'après la question précédente : 

$\ln \alpha_{n} + \alpha_{n} - 2\alpha_{n} + 1 \leqslant 0 \iff n - 2\alpha_{n} + 1 \leqslant 0 \iff \dfrac{n+1}{2} \leqslant \alpha_{n}$.

On sait que  $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}  \dfrac{n+1}{2} = + \infty$, donc par comparaison $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \alpha_{n} = + \infty$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Démonstration de cours : suite croissante non majorée}

Soit $M$ un réel fixé ; la suite $\left(u_{n}\right)$ étant non majorée, il existe un naturel $n_{0}$ tel que $u_{n_{0}} > M$ et par croissance de la suite  $n > n_{0} \Longrightarrow u_{n} > u_{n_{0}} > M$.

Cette propriété étant vraie pour tout réel $M$, la suite $\left(u_{n}\right)$ tend vers $+ \infty$.
\item Si la suite $\left(\beta_{n}\right)$ est majorée, étant croissante elle converge vers un réel $\ell$. Donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \beta_{n} = \ell$, mais par continuité de la fonction $g$, \:$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} g(\beta_{n}) = g(\ell)$. Or $g(\beta_{n}) = n$ et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \beta_{n} = g(\ell) = + \infty$, ce qui est contradictoire.

Conclusion : la suite $\left(\beta_{n}\right)$ non majorée et croissante tend vers plus l'infini d'après la question \textbf{1.}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $z^3 = 8 \iff z^3 = 2\text{e}^{2\text{i}\pi} \iff z = 2\text{e}^{2\frac{\text{i}\pi}{3}} \quad \text{mod}\:  2\dfrac{\text{i}\pi}{3}$.

Il y a donc trois solutions : $z_{1} = 2\text{e}^{2\frac{\text{i}\pi}{3}} = 2\left(- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = - 1 + \text{i}\sqrt{3}$~;

$z_{2} = 2\text{e}^{4\frac{\text{i}\pi}{3}} = 2\left(- \dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = - 1 - \text{i}\sqrt{3}$~;

$z_{3} = 2\text{e}^{2\text{i}\pi} =  2$.

$S = \left\{2~;~- 1 + \text{i}\sqrt{3}~;~- 1 - \text{i}\sqrt{3}\right\}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Figure
		
\begin{center}		
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-3)(4,3)
\psgrid[gridlabelcolor=white](0,0)(-2,-3)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-2,-3)(4,3)
\pspolygon[linecolor=blue](2,0)(-1,1.732)(3.732,3)%ABB'
\pspolygon[linecolor=blue](2,0)(-1,-1.732)(3.732,-3)%ACC'
\pspolygon[linecolor=green](-1,0)(1.366,2.366)(3.732,0)(1.366,-2.366)%MNPQ
\uput[ul](-1,1.732){B} \uput[u](1.366,2.366){N} \uput[ur](3.732,3){B$'$} \uput[ul](-1,0){M} 
\uput[ul](0,0){O} \uput[ur](2,0){A} \uput[ur](3.732,0){P} 
\uput[dl](-1,-1.732){C} \uput[d](1.366,-2.366){Q} \uput[dr](3.732,-3){C$'$} 
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline[linewidth=1.25pt](-1,1.732)(-1,-1.732) \psline[linewidth=1.5pt](3.732,3)(3.732,-3)
\psline[linewidth=1.25pt](1.366,2.366)(-1,-1.732)
\pscircle[linestyle=dashed](0,0){2}
\end{pspicture}
\end{center}

\item On place B et C sur le cercle de centre A et de rayon 2, respectivement avec un argument de $\dfrac{2\pi}{3}$ et $-\dfrac{2\pi}{3}$. B$'$ et C$'$ se construisent avec les triangles rectangles ABB$'$ (indirect) et ACC$'$ (direct).
\item La rotation $r$ est définie par  $z' - 2 = \text{i}(z - 2)$, donc $z_{\text{C}'} = 2  + \text{i}(- 1 - \text{i}\sqrt{3} - 2) = 2 + \sqrt{3} - 3\text{i}$.
\item De même la rotation $r'$ est définie par \\$z' - 2 = -\text{i}(z - 2)$, donc $z_{\text{B}'} = 2  - \text{i}(- 1 + \text{i}\sqrt{3} - 2) = 2 + \sqrt{3} + 3\text{i}$.

Donc $b'$ et $c'$ sont bien conjuguées.

Géométriquement : les points B et C sont symétriques autour de (O$x$) ; par des considérations d'angles, leurs images par les deux rotations sont elles aussi symétriques
autour de (O$x$). 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $n = \dfrac{-1 +  \text{i}\sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} + 3 \text{i}}{2} = \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2}(1 +  \text{i}\sqrt{3})$.
		\item On constate que $\vect{\text{ON}} = - \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2}\vect{\text{OC}}$ ce qui signifie que les vecteurs sont colinéaires, donc que les points O, N et C sont alignés.
		\item Calcul de $q = \dfrac{- 1 - \text{i}\sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} - 3\text{i}}{2} = \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2}(1 -  \text{i}\sqrt{3})$.
		
Remarque : géométriquement Les segments [BB$'$] et [CC$'$] étant symétriques autour de (O$x$), leurs milieux le sont aussi, donc $q = \overline{n}$.

$q + 1$ étant différent de zéro, calculons $\dfrac{n +1}{q + 1} = \dfrac{\dfrac{1 + \sqrt{3}}{2}(1 +\text{i}\sqrt{3}) + 1 }{\dfrac{1 + \sqrt{3}}{2}(1 -\text{i}\sqrt{3}) + 1} =\\ \dfrac{1 + 2 + \sqrt{3} + (\sqrt{3}+ 3)\text{i}}{1 + 2 + \sqrt{3} - (\sqrt{3}+ 3)\text{i}} = \dfrac{3 + \sqrt{3} + (\sqrt{3} + 3)\text{i}}{3 + \sqrt{3} - (\sqrt{3} + 3)\text{i}} = \dfrac{\text{i}[(\sqrt{3} + 3 - \text{i}(3 + \sqrt{3})]}{(\sqrt{3} + 3 - \text{i}(3 + \sqrt{3})} = \text{i}$.

On a donc bien démontré que $n + 1 = \text{i}(q + 1)$.

Cette égalité s'écrit encore $n - (- 1) =  \text{i}[q -  (-1)]$ qui montre que N est l'image de Q dans la rotation de centre M et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ ; donc le triangle MQN est un triangle rectangle isocèle direct, donc MNQ  un triangle rectangle isocèle indirect.
		\item Dans le triangle BB$'$C, N est le milieu de [BB$'$] et M est le milieu de [BC], donc la droite (MN) est parallèle à la droite (B$'$C). De même la droite (PQ) est parallèle à la droite (B$'$C) et par transitivité, les droites (MN) et (PQ) sont parallèles.

On démontre de la même façon que les droites (NP) et (MQ) sont parallèles.

Conclusion : le quadrilatère (MNPQ) a ses côtés opposés parallèles (c'est un parallélogramme), ayant deux côtés consécutifs de même longueur MN = MQ (c'est un losange) et possède un angle droit (c'est donc un rectangle) et finalement un carré.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document} 