%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% J'ai fait quelques modifications qui simplifie la 
%% saisie.
%% Olivier
%% Et quelques propositions de modifications
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Fourier permet de mettre toutes les majuscules du mode math en
% romain droit ! Il vaut mieux gérer au coup par coup les cas
% où il faut les mettre en italique !
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
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\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
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\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pst-math,pst-xkey,pst-eucl,pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,}
\everymath{\displaystyle}
\usepackage[left=3cm, right=3cm, top=3cm, bottom=2.5cm]{geometry}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(O,~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(O,~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(O,~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%% MODIFICATION
%% Plus simple à taper et aussi clair.
%% Ci : Complexe i
\newcommand{\Ci}{\text{i}}
%%% MODIFICATION
%% Plus simple à taper et aussi clair.
%% \e : exponentielle
\newcommand{\e}{\text{e}}
%%% MODIFICATION
%%% dx avec d en romain
\newcommand*{\dd}{\text{d}\,}
%%% MODIFICATION
%% Une majuscule en italique : elle désigne une intégrale et non un
%% point.
\newcommand*{\I}{\mathit{I}}
%%% MODIFICATION
%% Une majuscule en italique : elle désigne une transformation.
%% 
\newcommand*{\transformation}{\mathit{S}}
%% MODIFICATION
%% Titre des exercices + mise en forme !
%% compteur des énoncés :
\newcounter{exoBac} \setcounter{exoBac}{1}
\newcommand{\titreExe}[2][]{\vspace{1cm}\par
  \textbf {\textsc{Exercice} \theexoBac{} #1 \hfill #2 points} \par
  \medskip \par 
  \refstepcounter{exoBac}} \newcounter{partieBac}[exoBac]
\newcommand{\partieBac}[1]
{\refstepcounter{partieBac}\vspace{0.5cm}\hfill\textbf{PARTIE  
    \Alph{partieBac} #1}\hfill~\par}%

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% \textheight 23,5cm %\voffset -1.5cm
% \oddsidemargin 0pt 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{8 juin 2012}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\cfoot{\thepage}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Polynésie juin 2012~\decofourright}}
 \end{center}

\titreExe{5}

Le plan est rapporté à un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.

On considère les points B$(100~;~100)$ et $\text{C}\left(50~;~\dfrac{50}{\sqrt{\e}}\right)$ et la droite (D) d'équation $y=x$.

On note $f$ la fonction définie sur $\R$ dont la courbe représentative, notée $\Gamma$, est donnée en annexe.

On suppose de plus qu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que :

\begin{enumerate}[$\bullet~~$]
\item pour tout $x$ réel, $f (x) = x\e^{a x+b}$.
\item les points B et C appartiennent à la courbe $\Gamma$ .
\end{enumerate}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  $B(100;100) \in \Gamma\iff 100=f(100)\iff 100=100\mathrm{e}^{100a +b}\iff 1=\mathrm{e}^{100a +b}\iff $
		
$0 = 100a+b$.

$\text{C}\left(50~;~\dfrac{50}{\sqrt{\mathrm{e}}}\right)\iff \dfrac{50}{\sqrt{\mathrm{e}}}=f(50)\iff \dfrac{50}{\sqrt{\mathrm{e}}}=50\mathrm{e}^{50a +b}  \iff \mathrm{e}^{-\dfrac{1}{2}} =\mathrm{e}^{50a +b}\iff 50a+b=-\dfrac{1}{2}$ 

Le couple $(a~;~b)$ est donc solution du système :
\hskip3mm $\left\{\begin{array}{l}100a+b=0\\50a+b=-\dfrac{1}{2}\end{array}\right.$
		\item $\left\{\begin{array}{l}100a+b=0\\50a+b=-\dfrac{1}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}100a+b=0\\100a+2b=-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}100a+b=0\\b=-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}100a=1\\b=-1\end{array}\right.\iff\left\{\begin{array}{l}a=0,01\\b=-1\end{array}\right.$

Donc, pour tout $x$ réel, $f (x) = x\mathrm{e}^{0,01x-1}$.
	\end{enumerate}
\item On sait que $\lim_{x \to +\infty} 0,01x-1= + \infty$ et $\lim_{y \to +\infty} \mathrm{e}^y = + \infty$ d'où  $\lim_{x \to +\infty}  \mathrm{e}^{0,01x-1} = + \infty$ et comme  $\lim_{x \to +\infty} x= + \infty$ on a finalement\: $\lim_{x \to +\infty} f(x)= + \infty$
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout $x$ réel, $f(x)=x\e^{0,01x-1}=100\times 0,01x\e^{0,01x}\e^{-1}=\dfrac{100}{\e}\times 0,01x\e^{0,01x}$
		\item $\lim_{x \to -\infty} 0,01x = -\infty$ et en posant $y = 0,01x$, \:$\lim_{y \to -\infty} y\e^y = 0$ d'où par composition de limites \:  $\lim_{x \to -\infty}  f(x) = 0$
	\end{enumerate}
\item $f$ est dérivable sur $\R$ et pour tout $x$ réel on a : 

$f'(x)=1\times \e^{0,01x-1}+x\times 0,01\e^{0,01x-1}=(1+0,01x)\e^{0,01x-1}$.

Comme $\e^{0,01x-1} > 0$ quel que soit le réel $x$, la dérivée a le signe du facteur $1+0,01x$.

Comme $1 + 0,01x > 0 \iff 0,01x > - 1 \iff x > - 100$, la fonction est croissante sur $[- 100~;~+ \infty[$, décroissante ailleurs. 

$f(- 100) = - 100\text{e}^{0,01\times (- 100) - 1} = - 100\text{e}^{-2} \approx - 13,53$ est donc le minimum de la fonction sur $\R$. D'où le tableau de variations suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)\psline(0,2)(8,2)\psline(0,2.5)(8,2.5)
\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.5,2.5){$- \infty$} \uput[u](5,2.5){$- 100$} \uput[u](7.5,2.5){$+ \infty$}
\uput[u](1,1.9){$f'(x)$}\uput[u](3.5,1.9){$-$}\uput[u](5,1.9){$0$} \uput[u](6.5,1.9){$+$}
\rput(1,1){$f(x)$}\uput[u](5,0){$- 100\text{e}^{-2}$}
\psline{->}(2.5,1.6)(4.5,0.6)\psline{->}(5.5,0.6)(7.5,1.6)
\uput[d](2.2,2){$0$}\uput[d](7.5,2){$+ \infty$}  
\end{pspicture}
\end{center}

\item Pour tout $x$ réel on a : $f(x)-x= x\left(\e^{0,01x-1}-1\right)$.

Avec $\e^{0,01x-1}-1\geqslant 0\iff \e^{0,01x-1}1\geqslant 1 \iff \e^{0,01x-1}1\geqslant \text{e}^0 \iff 0,01x - 1 \geqslant 0$\:(par croissance de la fonction exponentielle)\: $\iff 0,01x  \geqslant 1 \iff x \geqslant 100$.

On a donc le tableau de signes suivants :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,2)
\psframe(8,2)\psline(0,0.5)(8,0.5) \psline(0,1)(8,1) \psline(0,1.5)(8,1.5)
\psline(2,0)(2,2)
\uput[u](1,1.5){$x$} \uput[u](2.5,1.5){$- \infty$} \uput[u](4,1.5){$0$} \uput[u](6,1.5){$100$} \uput[u](7.5,1.5){$+ \infty$}
\rput(1,1.25){$x$} \rput(1,0.75){$\text{e}^{0,01x - 1} - 1$} \rput(1,0.25){$f(x) - x$}
\uput[u](3,1){$-$} \uput[u](5,1){$+$} \uput[u](7,1){$+$} 
\uput[u](3,0.5){$-$}  \uput[u](5,0.5){$-$}  \uput[u](7,0.5){$+$}\uput[u](6,0.5){$0$}
\uput[u](3,0){$+$} \uput[u](5,0){$-$} \uput[u](7,0){$+$}
\psline(4,0)(4,1.5)  \psline(6,0)(6,1.5) 
\rput(4,1.25){$0$}\rput(4,0.25){$0$}\rput(6,0.25){$0$}      
\end{pspicture}
\end{center}

La courbe $\Gamma$ est donc en dessous  de la droite (D) sur $]0~;~100]$ et au dessus ailleurs.

$\Gamma$ et (D) ont deux points communs  : B et C.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Posons pour tout $t$ réel ; $u(t)=x$ et $v'(t) = \e^{0,01t-1}$ on a alors $u'(t)=1$ et $v(t)= 100\e^{0,01t-1}$. Les fonctions $u$, $v$, $u'$ et $v'$ sont continues sur $\R$ car dérivables  sur $[0~;~100]$ d'où par intégration par parties on obtient :  

$\begin{array}[t]{rl}
\int_0^{100}f(t) \dd t\hskip-2mm\!&=\left[t\times 100 \e^{0,01t-1}\right]_0^{100}- \int_{0}^{100} 100 \e^{0,01t-1} \dd t\\
&= \np{10000}\e^{0}-100 \times 0 \times \e^{-1}-\left[100^2\e^{0,01t-1}\right]_0^{100}\\
&=\np{10000} - \np{10000}\left(1-\dfrac{1}{\e}\right)\\
&=\dfrac{\np{10000}}{\e}
\end{array}$.
		\item La courbe $\Gamma$ est donc en dessous  de la droite (D) sur $[0~;~100]$ donc on a 
		
$\begin{array}[t]{rl}
\text{A}\hskip-2mm\!&=\int_0^{100}t-f(t) \dd t\\
&=\int_0^{100}t  \dd t -\int_0^{100}f(t) \dd t\\[6pt]
&=\left[\dfrac{t^2}{2}\right]_0^{100}-\dfrac{9900}{\e}\\
&=5000-\dfrac{\np{10000}}{\e}\\
&\simeq \np{1321}\end{array}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\titreExe{5}

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, on considère les points A, B et C d'affixes respectives $a = -2 + 2\Ci$, $b = -3 - 6\Ci$ et $c = 1$.

La figure de l'exercice est donnée en annexe. Elle peut servir à émettre des conjectures, à vérifier des résultats.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le triangle ABC semble rectangle en C.

$\left(\vect{CA},\vect{CB}\right)=\arg\left(\dfrac{-3-6\Ci-1}{-2+2\Ci-1}\right)=\arg\left(\dfrac{-4-6\Ci}{-3+2\Ci}\right)=\arg\left(\dfrac{2\Ci(2\Ci-3)}{-3+2\Ci}\right)=\arg(2\Ci)=\dfrac{\pi}{2}$ 

Le triangle ABC est donc bien rectangle en C.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  L'écriture complexe de la rotation $r$ de centre B et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ est : \hskip3mm 

$z'-(-3- 6\Ci)=\e^{\Ci\frac{\pi}{2}}(z + 3 + 6\Ci)\iff z'=\Ci z +3\Ci-6+(-3 - 6\Ci)\iff z'=\Ci z - 9 - 3\Ci$.
		\item L'affixe du point A$'$ image de A par $r$ est $a'=\Ci(-2+2\Ci)-9-3\Ci=-11 - 5\Ci$
		\item L'affixe $s$ du point S milieu de [AA$'$] est $s=\dfrac{a+a'}{2}=\dfrac{-2+2\Ci-11-5\Ci}{2}=-\dfrac{13}{2}- \dfrac{3}{2}\Ci$.
		\item Le triangle ABC étant rectangle en C le centre de son cercle circonscrit est $\Omega$ le milieu de [AB] qui a pour affixe $-\dfrac{5}{2}-2\Ci$.
Son rayon est $\Omega A=\left|-2 + 2\Ci-\left(-\dfrac{5}{2}- 2\Ci\right)\right|= \left|\dfrac{1}{2}+ 4\Ci\right|=\frac{\sqrt{65}}{2}$
 
Or $\Omega S=\left|-\dfrac{13}{2}- \dfrac{3}{2}\Ci- \left(-\dfrac{5}{2}- 2\Ci\right)\right|= \left|-\frac{8}{2}+ \frac{1}{2}\Ci\right|= \frac{\sqrt{65}}{2}$ donc $S$ est bien sur le cercle circonscrit au triangle ABC.
	\end{enumerate}
\item On construit de la même manière C$'$ l'image de C par la rotation de centre A et d'angle $\frac{\pi}{2}$, Q le milieu de [CC$'$], B$'$ l'image de B par la rotation de centre C et d'angle $\frac{\pi}{2}$ et P le milieu de [BB$'$].

On admet que les affixes respectives de Q et de P sont  $q =\frac{1}{2}+\frac{5}{2}\Ci$ et $p = 2 - 5 \Ci$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\frac{s-q}{p-a}=\dfrac{-\frac{13}{2}-\frac{3}{2}\Ci- \frac{1}{2}- \frac{5}{2}\Ci}{2- 5\Ci + 2 - 2\Ci} = \dfrac{-7 - 4\Ci}{4 - 7\Ci} = \dfrac{-4\Ci + 7\Ci^2}{4 - 7\Ci}=-\Ci$.
		\item On a donc $\left(\vect{AP};\vect{QS}\right)= \text{arg} (-\Ci)=-\dfrac{\pi}{2}$. Les droites (AP) et (QS) sont donc perpendiculaires.

De plus $\left|\dfrac{s-q}{p-a}\right|=\dfrac{QS}{AP}=|-\Ci|=1$ donc  que les segments [AP] et [QS] sont de même longueur.
	\end{enumerate}
\item $\frac{p-s}{q-b}=\dfrac{2-5\Ci+\frac{13}{2}+\frac{3}{2}\Ci}{\frac{1}{2}+\frac{5}{2}\Ci+3+6\Ci}=\dfrac{\frac{17}{2}-\frac{7}{2}\Ci}{\frac{7}{2}+\frac{17}{2}\Ci}= - \Ci$.

On a donc $\left(\vect{BQ};\vect{SP}\right) = \text{arg} (-\Ci) = -\dfrac{\pi}{2}$. Les droites (BQ) et (SP) sont donc perpendiculaires.
 
On montre de même que les droites (CS) et (PQ) sont perpendiculaires.
 
Les droites (AP), (BQ) et (CS) sont donc les trois hauteurs du triangle PQS donc sont concourantes
\end{enumerate}

\newpage

\titreExe{5}

\partieBac{}

Lorsque $N = 3$  l'algorithme effectue trois boucles avant de s'arrêter.
À la fin de la boucle pour  $k = 0$ on a $U=3$ ; à la fin de la boucle  $k=1$ on a $U=10$ et à la fin de la boucle correspondant à $k=2$ on obtient $U=29$. 

L'affichage en sortie est donc $29$.

\bigskip

\partieBac{}

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=3u_n-2n+3$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $u_1=3$ et $u_2=10$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrons  par récurrence, pour tout entier naturel $n$, la propriété $P_n$ :  $u_n\geqslant n$.
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $u_0=0\geqslant 0$ donc la propriété $P_0$ est vérifiée.
\item[$\bullet$] Supposons la propriété $P_n$ vraie pour une valeur de $n$ quelconque.

$u_{n+1}=3u_n-2n+3\geqslant 3n-2n+3\geqslant n+3\geqslant n+1$ la propriété est donc alors vérifiée au rang $n+1$.
\item[$\bullet$] Conclusion : la propriété est vraie au rang $0$ et si elle est vraie au rang  $n$ elle est vraie au rang  $n + 1$ : d'après la propriété de récurrence on en déduit que pour tout entier naturel $n$,  $u_n \geqslant n$.
\end{itemize}
		\item d'après le théorème de comparaison  $\lim\left(u_n\right)=+\infty$.
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$ ; $u_{n+1}-u_n=3u_n-2n+3-u_n=2u_n-2n+3\geqslant 3\geqslant 0$ donc la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
\item Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - n +1$.
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout entier naturel $n$ $v_{n+1}=u_{n+1}-(n+1)+1=3u_n-2n+3-n-1+1=3(u_n-n+1)= v_{n+1} = 3v_n$.

La suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $v_0=1$ et de raison $3$.
		\item Pour tout entier naturel $n$,  $v_n=3^n$ et $u_n=v_n+n-1$ donc $u_n = 3^n + n -1$.
	\end{enumerate}
\item Soit $p$ un entier naturel non nul.
	\begin{enumerate}
		\item La suite $\left(u_n\right)$ tend vers $+\infty$ donc on peut  affirmer qu'il existe au moins un entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geqslant n_0$, $u_n\geqslant 10^p$.	
		\item $
u_{3p}=3^{3p}+3p-1=27^p+3p-1\geqslant 27^p\geqslant 10^p$ donc $n=3p$ est une valeur de $n$ telle que $u_n\geqslant 10^p$ ;  $n_0$ étant la plus petite de ces valeurs, on a donc $n_0\leqslant 3p$
		\item $u_6=734$ et $u_7=2193$  donc pour la valeur $p = 3$ ;  $n_0=7$.
		\item Algorithme qui, pour une valeur de $p$ donnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geqslant n_0$ , on ait $u_n\geqslant 10^p$.
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{7cm}
\textbf{Entrée}\\
Saisir le nombre entier naturel non nul $p$.\\
\noindent \textbf{Traitement}\\
Affecter à $U$ la valeur 0\\
Affecter à $k$ la valeur 0\\
Tant que  $U<10^p$\\
\noindent Affecter à $U$ la valeur $3U - 2k + 3$\\
\noindent Affecter à $k$ la valeur $k+1$\\
Fin tant que\\
\noindent \textbf{Sortie}\\
\noindent Afficher $k$
\end{minipage}}
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
r
\newpage

\titreExe{5}

\parbox{8cm}{Si on note les évènements   :\\
$B$ : \og le cube est bleu \fg\\
$R$ : \og le cube est rouge \fg\\
$C$ : \og le cube a ses faces marquées d'un cercle \fg\\
$L$ : \og le cube a ses faces marqués d'un losange \fg\\
$E$ : \og le cube a ses faces marquées d'une étoile \fg.}
\parbox[t]{10cm}{On a l'arbre suivant :\hskip8mm

\medskip

\psset{nodesep=0.2mm,levelsep=30mm,treesep=12mm,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$B$}\taput{$60\,\%$}}
	  { 
		  \TR{$C$}\taput{$40\,\%$}
		  \TR{$L$}\taput{$20\,\%$}
		  \TR{$E$}\tbput{$40\,\%$}	   
	  }\\[12pt]
	\pstree{\TR{$R$}\tbput{$40\,\%$}}
	  {
		  \TR{$C$}\taput{$20\,\%$}
		  \TR{$L$}\taput{$x\,\%$}	
		  \TR{$E$}\tbput{$(80-x)\,\%$}	  
	  }	
}}

\partieBac{ expérience 1}

%On tire au hasard un cube de l'urne.\\
\begin{enumerate}
\item La probabilité que soit tiré un cube marqué d'un losange est égale à : 

$60\,\%\times 20\,\%+40\,\%\times x\,\%=0,6\times0,2+0,4\times \dfrac{x}{100}=0,12 + 0,004x$.

\item Notons $P(L)$ la  probabilité de tirer un cube marqué d'un losange et $P(E)$ celle de
tirer un cube marqué d'une étoile.

$\begin{array}[t]{rl}
P(L) = P(E)\hskip-2mm\!&\iff 0,12+0,004x=0,6\times0,4+0,4\times \dfrac{80-x}{100}\\
&\iff 0,12 + 0,004x = 0,24 + 0,32 - 0,004x\\
&\iff 0,008x = 0,44\\
&\iff x = 55\end{array}$
\hskip4mm\parbox[t]{6.5cm}{La  probabilité de tirer un cube marqué d'un losange est égale à celle de tirer un cube marqué d'une étoile pour $x=55$.}
\item  Les évènements \og{} tirer un cube bleu\fg{} et \og{} tirer un cube marqué d'un losange \fg{} sont indépendants équivaut à $P_B(L)=P(L)=P_{R}(L)$  soit pour $x=20$.

%$P(B\cap L)=P(B)\times P(L)$.

%Ce qui équivaut à : $0,6\times0,2=0,6\times (0,12+0,004x)\iff 0,12=0,072+0,0024x\iff 0,048=0,0024x\iff x=20$

%Donc les évènements \og{} tirer un cube bleu\fg{} et \og{} tirer un cube marqué d'un losange \fg{} sont  indépendants \mbox{pour $x=20$.}
\item Dans cette question que $x = 50$.\hskip5mm
$P_L(B)=\dfrac{P(L\cap B)}{P(L)}=\dfrac{0,6\times 0,2}{0,12+0,004\times 50}=\dfrac{0,12}{0,32}=0,375$

La probabilité que soit tiré un cube bleu sachant qu'il est marqué d'un losange est donc $0,375$.
\end{enumerate}

\partieBac{ expérience 2}

%On tire au hasard simultanément 3 cubes de l'urne.

\begin{enumerate}
\item La probabilité de ne tirer aucun cube rouge est : 

$\frac{\binom{60}{3}}{\binom{100}{3}}=\frac{\dfrac{60!}{57!3!}}{\dfrac{100!}{97!3!}}=\frac{60\times 59\times 58}{100\times 99\times 98}=\frac{3\times 20\times 59\times   2\times 29}{5\times 20\times 3\times 3 \times 11\times 2\times 49}=\frac{\np{1711}}{\np{8085}}\simeq 0,212$

La probabilité de tirer au moins un cube rouge est donc $1- \frac{1711}{8085} = \frac{\np{6374}}{\np{8085}}\simeq 0,788$.
\item D'après les calculs précédents la probabilité que les trois cubes soient bleus est $\frac{\np{1711}}{\np{8085}}$.

La probabilité que les trois cubes soient rouges est : 

$\frac{\binom{40}{3}}{\binom{100}{3}}=\frac{\dfrac{40!}{37!3!}}{\dfrac{100!}{97!3!}}=\frac{40\times 39\times 38}{100\times 99\times 98}=\frac{2\times 20\times 3\times  13\times 2\times 19}{5\times 20\times 3\times 3 \times 11\times 2\times 49}=\frac{494}{8085}\simeq 0,061$.
\vskip1mm

La probabilité que les cubes tirés soient de la même couleur est donc $\frac{\np{1711}}{\np{8085}}+\frac{494}{\np{8085}} = \frac{\np{2205}}{\np{8085}}\simeq 0,273$
\item Il y a $32$ cubes marqués d'un cercle donc la probabilité d'avoir tiré  exactement un cube marqué d'un cercle est $\frac{\binom{32}{1}\times \binom{68}{2}}{\binom{100}{3}}= \frac{\frac{32\times 68\times 67}{2}}{\frac{100\times 99\times 98}{6}}=\dfrac{2^7\times 17\times 67 \times 3}{2^3\times 3^2\times 5^2\times 7^2\times11}=\dfrac{\np{54672}}{\np{121275}}\simeq \np{0,4508}$.

La probabilité de tirer exactement un cube marqué d'un cercle est environ $0,451$ au millième près.
\end{enumerate}

\newpage

\titreExe[Spécialité]{5}

\bigskip
\partieBac{}

On considère l'équation (E) : $25x - 108y = 1$ où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $25\times 13-108\times 3=325 - 224 = 1$,  le couple $(13~;~3)$ est bien  solution de l'équation $25x - 108y =1$.

\item  $(x_0~;~y_0) = (13~;~3)$ est une solution particulière de l'équation (E).

$(x~;~y)$ est solution de (E) équivaut à $25(x-x_0) = 108(y - y_0)$ avec $25$ et $108$ premier entre eux donc 108 divise $x-x_0$

On a donc $x - x_0 = 108k$ avec $k$ entier relatif d'où alors $y-y_0 = 25k$. 

L'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E) est $\left\{(13+108k~;~3+25k)\diagup k\in\Z\right\}$.

\end{enumerate}

\bigskip

\partieBac{}

Dans cette partie, $a$ désigne un entier naturel et les nombres $c$ et $g$ sont des entiers naturels vérifiant la relation $25g -108c =1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $x$ un entier naturel.

Si $x\equiv a~[7]$ alors $x-a$ est divisible par $7$. De même $x\equiv a~[19]$ entra\^ine $x-a$ divisible par $19$.

Or $7$ et $19$ sont premiers entre eux donc $x-a$ divisible par $7\times 19=133$. Ce qui s'écrit encore  $x\equiv a~[133]$.


Donc si $x\equiv a~[7]$ et $x\equiv a~[19]$, alors $x\equiv a~[133]$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On suppose que $a$ n'est pas un multiple de 7.

$7$ est premier et $a$ n'est pas un multiple de $7$ donc d'après le petit théorème de Fermat on a $a^6\equiv 1~[7]$.

De plus $108 = 6 \times 18$ donc 
 $a^{108}= \left(a^6\right)^{18}\equiv 1^{18}~[7]\equiv 1~[7]$.
 
On a donc  $\left(a^{25}\right)^g=a^{25g}=a^{1+108c}a\times \left(a^{108}\right)^{c}\equiv a\times 1^c~[7]\equiv a~[7]$.
		\item On suppose que a est un multiple de 7.\\
On a alors $a\equiv 0~[7]$ et $a^{25g}=\left(a^{25}\right)^g\equiv0~(7]$ donc $\left(a^{25}\right)^g\equiv a~[7]$.
		\item  On admet que pour tout entier naturel $a$, $\left(a^{25}\right)^g\equiv a~[19]$.
		
D'après les questions a. et b. on sait que l'on a aussi $\left(a^{25}\right)^g\equiv a~[7]$ on peut donc en appliquant le résultat de la question 1. à  $x= \left(a^25\right)^g$ démontrer que  $\left(a^{25}\right)^g\equiv a~[133]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\partieBac{}
On note A l'ensemble des entiers naturels $a$ tels que : $1\leqslant a\leqslant 26$.

Un message, constitué d'entiers appartenant à A, est codé puis décodé.\\
La phase de codage consiste à associer, à chaque entier $a$ de A, l'entier $r$ tel que $a^{25}\equiv r~[133]$ avec
$0\leqslant r < 133$.

La phase de décodage consiste à associer à $r$ , l'entier $r_1$ tel que $r^{13}\equiv r_1~[133]$ avec $0\leqslant r_1 < 133$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $r_1\equiv r^{13}~[133]\equiv \left(a^{25}\right)^ {13}~[133]$ avec $(g~,~c)=(13~;~3)$ vérifiant la relation $25g -108c =1$ d'après la partie A.

D'où d'après la question  2. c. de la partie B,  $\left(a^{25}\right)^{13}~[133]\equiv a~[133]$ donc finalement on bien $r_1\equiv  a~[133]$.
\item 
$128\equiv -5~[133]$ donc $128^{13}\equiv -5^{13}~[133]\equiv -131~[133]\equiv 2~[133]$

$59^4\equiv 130~[133]\equiv -3~[133]$ donc  $59^{13}= \left(59^4\right)^3\times 59\equiv -3^{3}\times 59~[133]\equiv -130~[133]\equiv 3~[133]$

Le message initial était donc :  $\qquad 2\qquad 3$.
\end{enumerate}
\end{document}