\documentclass[11pt,a4paper,french]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} %\usepackage{tabularray} \usepackage{multirow} \usepackage{enumitem} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : François Kriegk et Valérie Tamboise %Relecture : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} \usepackage{pst-eucl,pst-3dplot,pstricks-add} %\usepackage{tikz} %\usepackage{tkz-tab} \usepackage[pstricks]{tablvar} \usepackage{makecell} \usepackage{esvect} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} \headheight15 mm \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{fancyvrb} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat Spécialité}, pdftitle = {Polynésie Sujet 1 02 septembre 2025}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \newcommand{\e}{\,\text{e}} \renewcommand{\d}{\text{\,d}}% le d de différentiation \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\ts}{\textstyle} \usepackage{babel} \usepackage[np]{numprint} \DecimalMathComma %\renewcommand\arraystretch{1.} %\frenchsetup{StandardLists=true} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \setlength\parskip{4pt} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 1 - corrigé} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{2 septembre 2025}} \pagestyle{fancy} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{% \decofourleft~Corrigé du Baccalauréat Polynésie~\decofourright\\[7pt]% Sujet 1 - 2 septembre 2025\\[7pt]% ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}} % \medskip % % \textbf{Sauf mention contraire, toute réponse devra être justifiée} \end{center} \medskip \section*{Exercice 1\hfill 5 points} \begin{list}{\textbullet}{En France il y a deux formules pour obtenir le permis de conduire:} \item Suivre à partir de 15 ans une formation de conduite accompagnée pendant 2 ans ; \item Suivre la formation classique (sans conduite accompagnée) à partir de 17 ans. \end{list} %\medskip En France actuellement, parmi les jeunes qui suivent une formation au permis de con-duire, 16~\% choisissent la formation de conduite accompagnée, et parmi eux, 74,7~\% réussissent l'examen de conduite dès leur première tentative. En suivant la formation classique, le taux de réussite dès la première tentative est seulement de 56,8~\%. On choisit au hasard un jeune français qui a déjà passé l'examen de conduite et on considère les évènements $A$ et $R$ suivants : \begin{list}{\textbullet}{} \item $A$ : \og le jeune a suivi la formation de conduite accompagnée\fg{}; \item $R$ : \og le jeune a eu le permis dès sa première tentative \fg{}. \end{list} % \medskip % % \textbf{On arrondira les résultats à $\mathbf{10}^{\mathbf{-3}}$ près, si nécessaire.} % % \medskip \subsection*{Partie A} \begin{enumerate} \item On dresse un arbre de probabilités modélisant cette situation. \begin{center} \bigskip \psset{nodesepB=4pt,levelsep=35mm,treesep=10mm} \pstree[treemode=R,nrot=:U]{\TR{}} {\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$A$}\naput{\small $0,16$}} {\TR{$R$}\naput{\small $0,747$} \TR{$\overline{R}$}\nbput{\small $1-0,747=0,253$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{A}$}\nbput{\small $1-0,16=0,84$}} {\TR{$R$}\naput{\small $0,568$} \TR{$\overline{R}$}\nbput{\small $1-0,568 = 0,432$} } } \bigskip \end{center} \item \begin{enumerate} \item %Démontrer que $P(R)= \np{0,59664}$. D'après la loi des probabilités totales: $\aligned P(R) & = P(A \cap R) + P\left(\overline{ A} \cap R\right) = P(A) \times P_A(R) + P\left(\overline{A}\right) \times P_{\overline{A}}(R)\\ & = 0,16 \times 0,747 + 0,84 \times 0,568 = \np{0,11952} + \np{0,47712}\\ & = \np{0,59664} \endaligned$ \end{enumerate} Dans la suite, on gardera la valeur $0,597$ arrondie à $10^{-3}$ près. \begin{enumerate}[resume] \item %Donner ce résultat en pourcentage et l'interpréter dans le contexte de l'exercice. Une probabilité de $0,597$ correspond à un pourcentage de $59,7\,\%$. Le pourcentage de réussite lors du premier passage du permis est de $59,7\,\%$, quel que soit le mode d'apprentissage. \end{enumerate} \item On choisit un jeune ayant eu son permis dès sa première tentative. %Quelle est la probabilité qu'il ait suivi la formation de conduite accompagnée ? La probabilité qu'il ait suivi la formation de conduite accompagnée est: $P_{R}(A)= \dfrac{P\left (A\cap R\right )}{P\left (R\right )} \approx \dfrac{0,16\times 0,747}{0,597} \approx 0,200$ \item On cherche la proportion $x$ de jeunes suivant la formation de conduite accompagnée pour que le taux de réussite global (quelle que soit la formation choisie) dès la première tentative à l'examen de conduite dépasse $70~\%$. L'arbre précédent devient: \begin{center} \bigskip \psset{nodesepB=4pt,levelsep=35mm,treesep=10mm} \pstree[treemode=R]{\TR{}} {\pstree[nodesepA=4pt,nrot=:U]{\TR{$A$}\naput{\small $x$}} {\TR{$R$}\naput{\small $0,747$} \TR{$\overline{R}$}\nbput{\small $0,253$} } \pstree[nodesepA=4pt,nrot=:U]{\TR{$\overline{A}$}\nbput{\small $1-x$}} {\TR{$R$}\naput{\small $0,568$} \TR{$\overline{R}$}\nbput{\small $0,432$} } } \bigskip \end{center} Le taux de réussite devient alors: $P(R) =x\times 0,747 + (1-x)\times 0,568 = 0,747x + 0,568 - 0,568x = 0,179x + 0,568$ $P(R) > 0,70 \iff 0,179x + 0,568 > 0,7 \iff 0,179x > 0,132 \iff x > \dfrac{0,132}{0,179}$ Or $\dfrac{0,132}{0,179} \approx \np{0,737}$. Il faudrait donc qu'au moins $73,7\,\%$ des jeunes choisissent la conduite accompagnée pour dépasser un taux de réussite de 70\,\%. \end{enumerate} \subsection*{Partie B} Une auto-école présente pour la première fois à l'examen de conduite 10 candidats qui ont suivi la formation de conduite accompagnée. On modélise le fait de passer les examens de conduite par des épreuves aléatoires indépendantes. % \medskip On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de ces 10 candidats qui auront leur permis dès la première tentative. % \newpage \begin{enumerate} \item %Justifier que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,747$. L'expérience élémentaire consiste à choisir un candidat; il y a deux possibilités: il est reçu, avec une probabilité $p=0,747$, ou il ne l'est pas. On réalise 10 fois cette expérience et on suppose que les épreuves aléatoires sont indépendantes. Donc la variable aléatoire $X$ donnant le nombre de ces 10 candidats qui auront leur permis dès la première tentative suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,747$. \item %Calculer $P(X \geqslant 6)$. Interpréter ce résultat. $P(X \geqslant 6) = 1- P(X \leqslant 5)$ À la calculatrice on trouve $P(X \leqslant 5) \approx 0,082$ donc $P(X \geqslant 6) \approx 0,918$. On peut donc estimer à $91,8\,\%$ le pourcentage de chances que sur 10 candidats, au moins 6 obtiennent le permis dès leur première tentative. \item %Déterminer $E(X)$ et $V(X)$. $E(X)=np=10\times 0,747=7,47$ et $V(X)=np\left (1-p\right )=10\times 0,747 \times 0,253 \approx 1,890$ \item Il y a aussi 40 candidats qui n'ont pas suivi la formation de conduite accompagnée et qui se présentent pour la première fois à l'examen de conduite. De la même manière, on note $Y$ la variable aléatoire qui donne le nombre de ces candidats qui auront le permis à la première tentative. On admet que $Y$ est indépendante de la variable $X$ et qu'en fait $E(Y)=22,53$ et $V(Y)=9,81$. % \medskip On note alors $Z$ la variable aléatoire comptant le nombre total de candidats (parmi les 50) qui auront le permis de conduire dès la première tentative. % \medskip \begin{enumerate} \item %Exprimer $Z$ en fonction de $X$ et $Y$. En déduire $E(Z)$ et $V(Z)$. D'après le texte: $Z=X+Y$ D'après la linéarité de l'espérance: $E(Z)=E(X)+E(Y) = 7,47+ 22,53 = 30$. Les variables $X$ et $Y$ sont indépendantes, donc on peut utiliser l'additivité de la variance: $V(Z)=V(X)+V(Y) \approx 1,89 + 9,81 = 11,7$. \item %En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que la probabilité qu'il y ait moins de 20 ou plus de 40 candidats qui aient leur permis dès la première tentative est inférieure à 0,12. La variable aléatoire $Z$ a pour espérance $E(Z)$ et pour variance $V(Z)$ donc, d'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a: pour tout $\delta\in\, \left ]0\;;\;+\infty\strut \right [$, $P\left ( \left |Z-E(Z)\strut \right | \geqslant \delta \right ) \leqslant \dfrac{V(Z)}{\delta^2}$. $E(Z)=30$ et $V(Z)=11,7$ donc l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev devient: pour tout $\delta\in\, \left ]0\;;\;+\infty\strut \right [$, $P\left ( \left |Z-30\strut \right | \geqslant \delta \right ) \leqslant \dfrac{11,7}{\delta^2}$. On cherche la probabilité qu'il y ait moins de 20 ou plus de 40 candidats reçus. $ Z\leqslant 20 \iff Z-30 \leqslant -10$ et $Z \geqslant 40 \iff Z-30 \geqslant 10$ $\left ( (Z-30 \leqslant -10) \text{ ou } (Z-30 \geqslant 10) \strut \right )\iff \left |Z-30 \strut \right | \geqslant 10$ Pour $\delta=10$, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev devient: $P\left ( \left |Z-30\strut \right | \geqslant 10 \right ) \leqslant \dfrac{11,7}{10^2}$ donc $P\left ( \left |Z-30\strut \right | \geqslant 10 \right ) \leqslant 0,117$ donc la probabilité qu'il y ait moins de 20 ou plus de 40 candidats qui aient leur permis dès la première tentative est inférieure à 0,12. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \section*{Exercice 2 \hfill (5 points)} \medskip On étudie l'évolution de la population d'une espèce animale au sein d'une réserve naturelle. Les effectifs de cette population ont été recensés à différentes années. Les données collectées sont présentées dans le tableau suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Année & 2000 & 2005 & 2010 & 2015 \\ \hline Nombre d'individus & 50 & 64 & 80 & 100 \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \newpage Pour anticiper l'évolution de cette population, la direction de la réserve a choisi de modéliser le nombre d'individus en fonction du temps. Pour cela, elle utilise une fonction, définie sur l'intervalle $[0 ~;~ +\infty [$, dont la variable $x$ représente le temps écoulé, en année, à partir de l'année 2000. Dans son modèle, l'image de 0 par cette fonction vaut 50, ce qui correspond au nombre d'individus en l'an 2000. \subsection*{Partie A. Modèle 1} Dans cette partie, la direction de la réserve fait l'hypothèse que la fonction cherchée satisfait l'équation différentielle suivante : $y'=0,05 y-0,5 \quad\left(E_{1}\right)$ \begin{enumerate} \item \begin{list}{\textbullet}{On résout l'équation différentielle $\left(E_{1}\right)$ avec la condition initiale $y(0)=50$.} \item L'équation différentielle $y=ay$ a pour solutions les fonctions $y$ vérifiant\\ $y(x)=C\e^{ax}$ où $C$ est un réel quelconque. Donc l'équation différentielle $y=0,05 y$ a pour solutions les fonctions $y$ vérifiant $y(x)=C\e^{0,05 x}$ où $C$ est un réel quelconque. \item On cherche une solution particulière constante $k$ à l'équation $\left (E_1\right )$. On a donc $0=0,05k-0,5$ donc $k=10$. \item Les solutions de l'équation $\left (E_1\right )$ sont donc les fonctions $y$ définies par\\ $y(x)=C\e^{-0,05x}+10$ où $C\in\R$. \item On cherche la solution vérifiant la condition initiale $y(0)=50$. On a donc $C\e^{0}+10=50$ donc $C=40$. \end{list} La solution de l'équation différentielle $\left (E_1\right )$ vérifiant $y(0)=50$ est la fonction $y$ définie par $y(x)=40\e^{0,05x}+10$. \item On compare les résultats du tableau avec ceux que l'on obtiendrait avec ce modèle. \begin{center} \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Année & 2000 & 2005 & 2010 & 2015 \\ \hline Nombre d'individus & 50 & 64 & 80 & 100 \\ \hline $x$ & 0 & 5 & 10 & 15 \\ \hline $y(x)$ & $50$ & $61,36$ & $75,95$ & $94,68$ \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{enumerate} \subsection*{Partie B. Modèle 2} Dans cette partie, la direction de la réserve fait l'hypothèse que la fonction cherchée satisfait l'équation différentielle suivante : $y'=0,05 y \left (1-0,00125 y\right ) \quad (E_2)$. On note $f$ la fonction définie sur $[0 ~;~ +\infty[$ par : $f(x)=\dfrac{800}{1+15 \e^{-0,05 x}}$, et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé. \medskip À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu les résultats suivants. % \textbf{Pour toute la suite de l'exercice, on pourra utiliser ces résultats sans les démontrer, sauf pour la question 5.} \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|l|>{\centering \arraybackslash}X|} \hline & Instruction & Résultat \\ \hline 1 & $f(x):=\dfrac{800}{1+15 \e^{-0,05 x}}$ & $f(x)=\dfrac{800}{1+15 \e^{-0,05 x}}$ \rule[-13pt]{0pt}{30pt}\\ \hline 2 & $f'(x):=$ Dérivée $(f(x))$ & $f'(x)=\dfrac{600 \e^{-0,05 x}}{\left(1+15 \e^{-0,05 x}\right)^{2}}$ \rule[-15pt]{0pt}{35pt} \\ \hline 3 & $f''(x):=$ Dérivée ( $f'(x)$ ) & $f''(x)=\dfrac{30 \e^{-0,05 x}}{\left(1+15 \e^{-0,05 x}\right)^{3}}\left(15 \e^{-0,05 x}-1\right)$ \rule[-15pt]{0pt}{35pt} \\ \hline 4 & Résoudre ( $15 \e^{-0,05 x}-1 \geqslant 0$ ) & $x \leqslant 20 \ln (15)$ \\ \hline \end{tabularx} \renewcommand{\arraystretch}{1} \end{center} \begin{enumerate} \item %Démontrer que la fonction $f$ vérifie $f(0)=50$ et que pour tout $x \in \R$: $f'(x)=0,05 f(x)(1-0,00125 f(x))$. On a d'une part: $f(0)=\dfrac{800}{1+15 \e^{0}} = \dfrac{800}{16}=50$ \begin{list}{\textbullet}{D'autre part:} \item $0,05f(x)= \dfrac{0,05\times 800}{1+15\e^{-0,05x}} = \dfrac{40}{1+15\e^{-0,05x}}$ \item $\np{0,00125} f(x) = \dfrac{\np{0,00125}\times 800}{1+15\e^{-0,05x}}= \dfrac{1}{1+15\e^{-0,05x}}$ \item $1- \np{0,00125} f(x) = 1- \dfrac{1}{1+15\e^{-0,05x}}= \dfrac{1+15\e^{-0,05x}-1}{1+15 \e^{-0,05x}} = \dfrac{15 \e^{-0,05x}}{1+15 \e^{-0,05x}}$ \item $\aligned[t] 0,05f(x) \left (1- \np{0,00125} f(x) \right ) & = \dfrac{40}{1+15\e^{-0,05x}} \times \dfrac{15 \e^{-0,05x}}{1+15 \e^{-0,05x}} = \dfrac{40\times 15 \e^{-0,05x}}{\left (1+15 \e^{-0,05x}\right )^2} \\ & = \dfrac{600 \e^{-0,05x}}{\left (1+15 \e^{-0,05x}\right )^2} = f'(x) \text{ d'après le tableau} \endaligned$ \end{list} On admet que cette fonction $f$ est l'unique solution de $(E_{2})$ prenant la valeur initiale de 50 en 0. \item Avec ce nouveau modèle $f$, l'effectif de cette population en 2050 peut être estimé à $f(50)$ soit environ 358. %Arrondir le résultat à l'unité. \item %Calculer la limite de $f$ en $+\infty$. Que peut-on en déduire quant à la courbe $C$ ? Interpréter cette limite dans le cadre de ce problème concret. $\ds\lim_{x\to +\infty} -0,05x = -\infty$ et $\ds\lim_{X\to -\infty} \e^{X}=0$ donc $\ds\lim_{x\to +\infty} \e^{-0,05x} = 0$ On en déduit que $\ds\lim_{x\to +\infty} 1+15\e^{-0,05x} = 1$ et que $\ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{800}{1+15\e^{-0,05x}} = 800$. Donc $\ds\lim_{x\to +\infty} f(x)=800$, ce qui prouve que la courbe $\mathcal{C}$ admet la droite d'équation $y=800$ comme asymptote horizontale en $+\infty$. \item %Justifier que la fonction $f$ est croissante sur $[0 ~;~+\infty[$. Sur $[0 ~;~+\infty[$, $f'(x)=\dfrac{600 \e^{-0,05 x}}{\left(1+15 \e^{-0,05 x}\right)^{2}}$. Or pour tout réel $X$, on sait que $\e^{X}>0$, donc $\e^{-0,05x}>0$ pour tout $x$. $\left (1+15\e^{-0,05x}\right )^2>0$ donc $f'(x)>0$. On en conclut que la fonction $f$ est croissante sur $[0 ~;~+\infty[$. \item %Démontrer le résultat obtenu en ligne 4 du logiciel. On résout l'inéquation $15 \e^{-0,05 x}-1 \geqslant 0$. $\aligned 15 \e^{-0,05 x}-1 \geqslant 0 & \iff 15 \e^{-0,05 x} \geqslant 1 \iff \e^{-0,05 x} \geqslant \dfrac{1}{15} \iff -0,05 x \geqslant \ln\left (\dfrac{1}{15}\right )\\ & \iff x \leqslant \dfrac{ \ln\left (\frac{1}{15}\right )}{-0,05} \iff x \leqslant \dfrac{ -\ln\left (15 \right )}{-0,05} \iff x \leqslant 20\,\ln\left (15 \right ) \endaligned$ \item On admet que la vitesse de croissance de la population de cette espèce, exprimée en nombre d'individus par an, est modélisée par la fonction $f'$. \begin{enumerate} \item% Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ~;~ +\infty[$ et déterminer les coordonnées des éventuels points d'inflexion de la courbe $C$. Pour étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ~;~ +\infty[$, on détermine le signe de la dérivée seconde $f''(x)$. D'après le tableau: $f''(x)=\dfrac{30 \e^{-0,05 x}}{\left(1+15 \e^{-0,05 x}\right)^{3}}\left(15 \e^{-0,05 x}-1\right)$. D'après ce qui a été vu précédemment, $f''(x)$ est du signe de $\left(15 \e^{-0,05 x}-1\right)$. \[ \begin{tablvar}[8em]{2} \hline x & 0 & & 20\,\ln(15) & & +\infty\\ \hline 15 \e^{-0,05 x}-1 & & + & \barre[0] & - & \\ \hline f''(x) & & + & \barre[0] & - & \\ \hline & & f \text{ convexe} & \barre & f \text{ concave} & \\ \hline \end{tablvar}\] En $x=20\,\ln(15)$, $f''(x)$ s'annule et change de signe, donc la courbe $\mathcal{C}$ admet un point d'inflexion. Si $x=20\,\ln(15)$, $15\e^{-0,05x}-1=0$ donc $15\e^{-0,05\times 20\ln(15)}=1$ $f\left (20\ln(15)\right ) = \dfrac{800}{1+ 15\e^{-0,05\times 20\ln(15)}} = \dfrac{800}{1+1} = 400$ Donc le point de coordonnées $(20\,\ln(15)\,,\, 400)$ est le seul point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}$. \item La direction de la réserve affirme : \og Au vu de ce modèle, la vitesse de croissance de la population de cette espèce va augmenter pendant un peu plus de cinquante ans, puis va diminuer \fg{}. % La direction a-t-elle raison? Justifier. On établit le tableau de variations de la fonction $f'$ qui modélise la vitesse de croissance de la population de cette espèce, exprimée en nombre d'individus par an. \[ \begin{tablvar}[8em]{2} \hline x & 0 & & 20\,\ln(15) & & +\infty\\ \hline f''(x) & & + & \barre[0] & - & \\ \hline \variations{\mil{f'} & \bas{} && \haut{} && \bas{}} \hline \end{tablvar}\] Or $20\,\ln(15) \approx 54,2$ donc la direction a raison. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \section*{Exercice 3 \hfill (5 points)} \medskip On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0}=5$ et, pour tout $n$ : $u_{n+1}=2+\ln \left(u_{n}^{2}-3\right)$ % On admet que cette suite est bien définie. \subsection*{Partie A : Exploitation de programmes Python} \begin{enumerate} \item On complète le script Python ci-dessous pour que \texttt{suite(k)} renvoie la liste des $k$ premières valeurs de la suite $(u_{n})$. % \medskip % % \textbf{Remarque :} On précise que, pour tout réel strictement positif \texttt{a}, \texttt{log(a)} renvoie la valeur du logarithme népérien de \texttt{a}. \begin{center} \begin{ttfamily} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|X|}\hline def suite(k):\\ \quad L = []\\ \quad u = 5\\ \quad for i in range({\blue k}):\\ \qquad L.append(u)\\ \qquad u = \blue 2 + log( u**2 - 3\\ \quad return({\blue L})\\ \hline \end{tabularx} \end{ttfamily} \end{center} \item On a exécuté \texttt{suite(9)} ci-dessous. %Émettre deux conjectures : l'une sur le sens de variation de la suite $(u_{n})$ et l'autre sur son éventuelle convergence. \begin{center} \begin{ttfamily} %\begin{tblr}{|X|}\hline \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline >{}>{}>{} suite(9) \\ $\left[\right.$ 5, 5.091042453358316, 5.131953749864703,\\ 5.150037910978289, 5.157974010229213, 5.1614456706362954,\\ 5.162962248594583, 5.163624356938671, 5.163913344065642$\left.\right]$\\ \hline % %\end{tblr} \end{tabularx} \end{ttfamily} \end{center} La suite $(u_n)$ semble croissante, mais on ne peut pas se prononcer sur sa limite. \item On a ensuite créé la fonction \texttt{mystere(n)} donnée ci-dessous et exécuté \linebreak \texttt{mystere(10000)}, ce qui a renvoyé \texttt{1}. % Cet affichage contredit-il la conjecture émise sur le sens de variation de la suite $(u_{n})$ ? Justifier. \begin{center} \begin{ttfamily} % \begin{tblr}{|X[10cm]|}\hline \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline def mystere(n):\\ \quad L = suite(n)\\ \quad c = 1\\ \quad for i in range(n - 1):\\ \qquad if L[i] $>$ L[i + 1]:\\ \qquad \quad c = 0\\ \quad return c\\ \hline % \end{tblr} \end{tabularx} \end{ttfamily} \end{center} La fonction \texttt{mystere} renvoie 0 s'il existe un indice $i$ pour lequel \texttt{L[i] > L[i+1]}, c'est-à-dire $u_{n}>u_{n+1}$. Comme \texttt{mystere(10000)} renvoie 1, cela veut dire que pour tout $i\leqslant \np{9999}$, on a: $u_{i} \leqslant u_{i+1}$. Cela ne contredit pas la conjecture faite sur la croissance de la suite $(u_n)$. % \begin{center} % \begin{ttfamily} %% \begin{tblr}{|X|}\hline %\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline % >{}>{}>{} mystere(10000)\\ % 1\\ \hline %\end{tabularx} %% \end{tblr} % \end{ttfamily} % \end{center} \end{enumerate} \subsection*{Partie B : Étude de la convergence de la suite ( $\boldsymbol{u}_{\boldsymbol{n}}$ )} On considère la fonction $g$ définie sur $[2 ~;~+\infty [$ par : $g(x)=2+\ln \left(x^{2}-3\right)$. % On admet que $g$ est dérivable sur $\left[2 ~;~+\infty\left[\right.\right.$ et on note $g'$ sa fonction dérivée. \begin{enumerate} \item %Démontrer que la fonction $g$ est croissante sur $[2 ~;~+\infty[$. $g'(x)= 0+ \dfrac{2x}{x^2-3} = \dfrac{2x}{x^2-3}$ Sur $[2 ~;~+\infty[$, $2x>0$ et $x^2>4$ donc $x^2-3>1>0$; donc $g'(x)>$ sur $[2 ~;~+\infty[$, ce qui prouve que la fonction $g$ est croissante sur $[2 ~;~+\infty[$. \item \begin{enumerate} \item On démontre par récurrence que la propriété $4 \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 6$ est vraie pour tout entier naturel $n$. \begin{list}{\textbullet}{} \item \textbf{Initialisation} $u_0=5$ et $u_1=2+\ln\left (5^2-3\right ) = 2+\ln(22) \approx 5,09$ Donc $4 \leqslant u_{0} \leqslant u_{1} \leqslant 6$; la propriété est vraie au rang 0. \item \textbf{Hérédité} On suppose la propriété vraie au rang $n$, c'est-à-dire $4 \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 6$. D'après la définition de la fonction $g$, on a $u_{n+1}=g(u_n)$ pour tout $n$. On sait que la fonction $g$ est croissante sur $[2\;;\;+\infty[$; donc de l'inégalité $4 \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 6$, on déduit $g(4) \leqslant g\left (u_{n}\right ) \leqslant g\left (u_{n+1}\right ) \leqslant g(6)$. $g(4)\approx 4,56$; $g\left (u_n\right )=u_{n+1}$; $g\left (u_{n+1}\right )=u_{n+2}$ et $g(6)\approx 5,5$ On a donc $4,5 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 5,5$, ce qui entraine $4 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 6$. La propriété est donc héréditaire. \item \textbf{Conclusion} La propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire pour tout $n\geqslant 0$ donc, d'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel $n$. \end{list} On a donc démontré que, pour tout $n$ : $4 \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 6$. \item %En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge. \begin{list}{\textbullet}{D'après la question précédente, pour tout $n$, on a:} \item $u_{n}\leqslant u_{n+1}$ donc la suite $(u_n)$ est croissante; \item $u_n \leqslant 6$ donc la suite $(u_n)$ est majorée. \end{list} La suite $(u_n)$ est croissante et majorée donc, d'après le théorème de la convergence monotone, elle est convergente. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection*{Partie C : Étude de la valeur de la limite} On considère la fonction $f$ définie sur [ 2 ; $+\infty$ [ par : $f(x)=2+\ln \left(x^{2}-3\right)-x$. %On admet que $f$ est dérivable sur $[2 ~;~+\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. On donne le tableau de variations de $f$ suivant. %On ne demande aucune justification. \[\begin{tablvar}[6em]{2} \hline x & 2 && 3 && +\infty\\ %\hline %f'(x) & & + & \barre[0] & - & \\ \hline \variations{\mil{f(x)} & \bas{0} && \haut{\ln(6)-1} && \bas{-\infty}} \hline \end{tablvar}\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item % Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet exactement deux solutions sur \linebreak $[2 ~;~+\infty[$ que l'on notera $\alpha$ et $\beta$ avec $\alpha<\beta$. D'après le tableau de variations de $f$, on voit que $f(2)=0$. \\ On complète le tableau: \[\begin{tablvar}[6em]{2} \hline x & \vr{2} && 3 & \vr{\beta} & +\infty\\ %\hline %f'(x) & & + & \barre[0] & - & \\ \hline \variations{\mil{f(x)} & \posvr{3}{0} && \haut{\ln(6)-1} & \vr{0}& \bas{-\infty}} \hline \end{tablvar}\] Donc l'équation $f(x)=0$ admet exactement deux solutions sur l'intervalle $[2 ~;~+\infty[$ que l'on notera $\alpha=2$ et $\beta \in \left [ 3\;; +\infty \strut\right [$ \item %Donner la valeur exacte de $\alpha$ et une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $\beta$. On a vu que $\alpha=2$. \begin{list}{\textbullet}{À la calculatrice, on trouve successivement:} \item $f(5)<0