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%Tapuscrit : François Kriegk et Valérie Tamboise
%Relecture : Denis Vergès
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

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	pdfauthor = {APMEP},
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\setlength\parskip{4pt}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 1 - corrigé}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{2 septembre 2025}}
\pagestyle{fancy}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{%
			\decofourleft~Corrigé du Baccalauréat Polynésie~\decofourright\\[7pt]%
			Sujet 1 -  2 septembre 2025\\[7pt]%
			ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}

%	\medskip
%
%	\textbf{Sauf mention contraire, toute réponse devra être justifiée}
\end{center}

\medskip

\section*{Exercice 1\hfill 5 points}

	\begin{list}{\textbullet}{En France il y a deux formules pour obtenir le permis de conduire:}
			\item Suivre à partir de 15 ans une formation de conduite accompagnée pendant 2 ans ;
		\item Suivre la formation classique (sans conduite accompagnée) à partir de 17 ans.
	\end{list}

	%\medskip

	En France actuellement, parmi les jeunes qui suivent une formation au permis de con-duire, 16~\% choisissent la formation de conduite accompagnée, et parmi eux, 74,7~\% réussissent l'examen de conduite dès leur première tentative.
	En suivant la formation classique, le taux de réussite dès la première tentative est seulement de 56,8~\%.
	On choisit au hasard un jeune français qui a déjà passé l'examen de conduite et on considère les évènements $A$ et $R$ suivants :

	\begin{list}{\textbullet}{}
		\item $A$ : \og le jeune a suivi la formation de conduite accompagnée\fg{};
		\item $R$ : \og le jeune a eu le permis dès sa première tentative \fg{}.
	\end{list}

%	\medskip
%
%	\textbf{On arrondira les résultats à $\mathbf{10}^{\mathbf{-3}}$ près, si nécessaire.}
%
%	\medskip

	\subsection*{Partie A}

		\begin{enumerate}
			\item On dresse un arbre de probabilités modélisant cette situation.
			
\begin{center}
\bigskip
\psset{nodesepB=4pt,levelsep=35mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R,nrot=:U]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$A$}\naput{\small $0,16$}}
		{\TR{$R$}\naput{\small $0,747$}
		\TR{$\overline{R}$}\nbput{\small $1-0,747=0,253$}
		}
\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{A}$}\nbput{\small $1-0,16=0,84$}}
		{\TR{$R$}\naput{\small $0,568$}
		\TR{$\overline{R}$}\nbput{\small $1-0,568 = 0,432$}
		}
	}
	\bigskip
\end{center}			
			
			\item \begin{enumerate}
				\item %Démontrer que $P(R)= \np{0,59664}$.
D'après la loi des probabilités totales:

$\aligned
P(R)
& = P(A \cap R) + P\left(\overline{ A} \cap R\right) 
= P(A) \times P_A(R) + P\left(\overline{A}\right) \times P_{\overline{A}}(R)\\
& = 0,16 \times 0,747 + 0,84 \times 0,568 = \np{0,11952} + \np{0,47712}\\
& = \np{0,59664}
\endaligned$
				
			\end{enumerate}

Dans la suite, on gardera la valeur $0,597$ arrondie à $10^{-3}$ près.

			\begin{enumerate}[resume]
				\item %Donner ce résultat en pourcentage et l'interpréter dans le contexte de l'exercice.
Une probabilité de $0,597$ correspond à un pourcentage de $59,7\,\%$.

Le pourcentage de réussite lors du premier passage du permis est de $59,7\,\%$, quel que soit le mode d'apprentissage.				
			\end{enumerate}

			\item On choisit un jeune ayant eu son permis dès sa première tentative. %Quelle est la probabilité qu'il ait suivi la formation de conduite accompagnée ?

La probabilité qu'il ait suivi la formation de conduite accompagnée est:

$P_{R}(A)= \dfrac{P\left (A\cap R\right )}{P\left (R\right )} \approx \dfrac{0,16\times 0,747}{0,597} \approx 0,200$

			\item On cherche la proportion $x$ de jeunes suivant la formation de conduite accompagnée pour que le taux de réussite global (quelle que soit la formation choisie) dès la première tentative à l'examen de conduite dépasse $70~\%$.
			
			L'arbre précédent devient:
			
\begin{center}
\bigskip
\psset{nodesepB=4pt,levelsep=35mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=4pt,nrot=:U]{\TR{$A$}\naput{\small $x$}}
		{\TR{$R$}\naput{\small $0,747$}
		\TR{$\overline{R}$}\nbput{\small $0,253$}
		}
\pstree[nodesepA=4pt,nrot=:U]{\TR{$\overline{A}$}\nbput{\small $1-x$}}
		{\TR{$R$}\naput{\small $0,568$}
		\TR{$\overline{R}$}\nbput{\small $0,432$}
		}
	}
	\bigskip
\end{center}		

Le taux de réussite devient alors:

$P(R) =x\times  0,747 + (1-x)\times 0,568 = 0,747x + 0,568 - 0,568x = 0,179x + 0,568$

$P(R) > 0,70
\iff 0,179x + 0,568 > 0,7 
\iff 0,179x > 0,132 
\iff x > \dfrac{0,132}{0,179}$

Or $\dfrac{0,132}{0,179} \approx \np{0,737}$.

Il faudrait donc qu'au moins $73,7\,\%$ des jeunes choisissent la conduite accompagnée pour dépasser un taux de réussite de 70\,\%.
			
		\end{enumerate}

	\subsection*{Partie B}
		Une auto-école présente pour la première fois à l'examen de conduite 10 candidats qui ont suivi la formation de conduite accompagnée. On modélise le fait de passer les examens de conduite par des épreuves aléatoires indépendantes.

%		\medskip

		On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de ces 10 candidats qui auront leur permis dès la première tentative.

%		\newpage

		\begin{enumerate}
			\item %Justifier que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,747$.
L'expérience élémentaire consiste à choisir un candidat; il y a deux possibilités: il est reçu, avec une probabilité $p=0,747$, ou il ne l'est pas.

On réalise 10 fois cette expérience et on suppose que les épreuves aléatoires sont indépendantes.

Donc  la variable aléatoire $X$ donnant le nombre de ces 10 candidats qui auront leur permis dès la première tentative suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,747$.

			\item %Calculer $P(X \geqslant 6)$. Interpréter ce résultat.
$P(X \geqslant 6) = 1-  P(X \leqslant 5)$

À la calculatrice on trouve  $P(X \leqslant 5) \approx 0,082$ donc $P(X \geqslant 6) \approx 0,918$.

On peut donc estimer à $91,8\,\%$ le pourcentage de chances que sur 10 candidats, au moins 6 obtiennent le permis dès leur première tentative.

			\item %Déterminer $E(X)$ et $V(X)$.
$E(X)=np=10\times 0,747=7,47$ et $V(X)=np\left (1-p\right )=10\times 0,747 \times 0,253 \approx 1,890$

			\item Il y a aussi 40 candidats qui n'ont pas suivi la formation de conduite accompagnée et qui se présentent pour la première fois à l'examen de conduite. De la même manière, on note $Y$ la variable aléatoire qui donne le nombre de ces candidats qui auront le permis à la première tentative. On admet que $Y$ est indépendante de la variable $X$ et qu'en fait $E(Y)=22,53$ et $V(Y)=9,81$.

%			\medskip

			On note alors $Z$ la variable aléatoire comptant le nombre total de candidats (parmi les 50) qui auront le permis de conduire dès la première tentative.

%			\medskip

			\begin{enumerate}
				\item %Exprimer $Z$ en fonction de $X$ et $Y$. En déduire $E(Z)$ et $V(Z)$.
D'après le texte: $Z=X+Y$ 

D'après la linéarité de l'espérance: $E(Z)=E(X)+E(Y) = 7,47+ 22,53 = 30$.

Les variables $X$ et $Y$ sont indépendantes, donc on peut utiliser l'additivité de la variance: $V(Z)=V(X)+V(Y) \approx 1,89 + 9,81 = 11,7$.

	\item %En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que la probabilité qu'il y ait moins de 20 ou plus de 40 candidats qui aient leur permis dès la première tentative est inférieure à 0,12.
	
La variable aléatoire $Z$ a pour espérance $E(Z)$ et pour variance $V(Z)$ donc, d'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a:

pour tout $\delta\in\, \left ]0\;;\;+\infty\strut \right [$, $P\left ( \left |Z-E(Z)\strut \right | \geqslant \delta \right ) \leqslant \dfrac{V(Z)}{\delta^2}$.

$E(Z)=30$ et $V(Z)=11,7$ donc  l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev devient:

pour tout $\delta\in\, \left ]0\;;\;+\infty\strut \right [$, $P\left ( \left |Z-30\strut \right | \geqslant \delta \right ) \leqslant \dfrac{11,7}{\delta^2}$.

On cherche la probabilité qu'il y ait moins de 20  ou plus de 40 candidats reçus.

$ Z\leqslant 20 \iff Z-30 \leqslant -10$ et $Z \geqslant 40 \iff Z-30 \geqslant 10$

$\left ( (Z-30 \leqslant -10) \text{ ou } (Z-30 \geqslant 10) \strut \right )\iff \left |Z-30 \strut \right | \geqslant 10$

Pour $\delta=10$, l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev devient:

$P\left ( \left |Z-30\strut \right | \geqslant 10 \right ) \leqslant \dfrac{11,7}{10^2}$
donc
$P\left ( \left |Z-30\strut \right | \geqslant 10 \right ) \leqslant 0,117$

donc la probabilité qu'il y ait moins de 20 ou plus de 40 candidats qui aient leur permis dès la première tentative est inférieure à 0,12.	
			\end{enumerate}
		\end{enumerate}

\bigskip

\section*{Exercice 2 \hfill (5 points)}

\medskip

On étudie l'évolution de la population d'une espèce animale au sein d'une réserve naturelle.
Les effectifs de cette population ont été recensés à différentes années. Les données collectées sont présentées dans le tableau suivant :

\begin{center}
	\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
		Année              & 2000 & 2005 & 2010 & 2015 \\ \hline
		Nombre d'individus & 50   & 64   & 80   & 100  \\	\hline
	\end{tabularx}
\end{center}

\newpage

Pour anticiper l'évolution de cette population, la direction de la réserve a choisi de modéliser le nombre d'individus en fonction du temps.
Pour cela, elle utilise une fonction, définie sur l'intervalle $[0 ~;~ +\infty [$, dont la variable $x$ représente le temps écoulé, en année, à partir de l'année 2000.
Dans son modèle, l'image de 0 par cette fonction vaut 50, ce qui correspond au nombre d'individus en l'an 2000.

	\subsection*{Partie A. Modèle 1}

	Dans cette partie, la direction de la réserve fait l'hypothèse que la fonction cherchée satisfait l'équation différentielle suivante :
$y'=0,05 y-0,5 \quad\left(E_{1}\right)$

	\begin{enumerate}
		\item 
\begin{list}{\textbullet}{On résout l'équation différentielle $\left(E_{1}\right)$ avec la condition initiale $y(0)=50$.}
\item L'équation différentielle $y=ay$ a pour solutions les fonctions $y$ vérifiant\\ $y(x)=C\e^{ax}$ où $C$ est un réel quelconque.

Donc l'équation différentielle $y=0,05 y$ a pour solutions les fonctions $y$ vérifiant $y(x)=C\e^{0,05 x}$ où $C$ est un réel quelconque.

\item On cherche une solution particulière constante $k$ à l'équation $\left (E_1\right )$.

On a donc $0=0,05k-0,5$ donc $k=10$.
\item Les solutions de l'équation $\left (E_1\right )$ sont donc les fonctions $y$ définies par\\ $y(x)=C\e^{-0,05x}+10$ où $C\in\R$.
\item On cherche la solution vérifiant la condition initiale $y(0)=50$.

On a donc $C\e^{0}+10=50$ donc $C=40$.
\end{list}

La solution de l'équation différentielle $\left (E_1\right )$ vérifiant $y(0)=50$ est la fonction $y$ définie par $y(x)=40\e^{0,05x}+10$.

		\item On compare les résultats du tableau avec ceux que l'on obtiendrait avec ce modèle.
		
\begin{center}
	\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
		Année              & 2000 & 2005 & 2010 & 2015 \\ \hline
		Nombre d'individus & 50   & 64   & 80   & 100  \\	\hline
		$x$ & 0 & 5 & 10 & 15 \\ \hline
		$y(x)$ & $50$ & $61,36$ & $75,95$ & $94,68$ \\ \hline
	\end{tabularx}
\end{center}		
		
	\end{enumerate}

	\subsection*{Partie B. Modèle 2}

	Dans cette partie, la direction de la réserve fait l'hypothèse que la fonction cherchée satisfait l'équation différentielle suivante :
$y'=0,05 y \left (1-0,00125 y\right ) \quad (E_2)$.

On note $f$ la fonction définie sur $[0 ~;~ +\infty[$ par :
$f(x)=\dfrac{800}{1+15 \e^{-0,05 x}}$,

	et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

	\medskip

	À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu les résultats suivants.

%	\textbf{Pour toute la suite de l'exercice, on pourra utiliser ces résultats sans les démontrer, sauf pour la question 5.}

	\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|l|>{\centering \arraybackslash}X|} 
\hline
  & Instruction & Résultat \\	
\hline
1 & $f(x):=\dfrac{800}{1+15 \e^{-0,05 x}}$	& $f(x)=\dfrac{800}{1+15 \e^{-0,05 x}}$  \rule[-13pt]{0pt}{30pt}\\	
\hline
2 & $f'(x):=$ Dérivée $(f(x))$ & $f'(x)=\dfrac{600 \e^{-0,05 x}}{\left(1+15 \e^{-0,05 x}\right)^{2}}$ \rule[-15pt]{0pt}{35pt} \\ 
\hline
3 & $f''(x):=$ Dérivée ( $f'(x)$ ) & $f''(x)=\dfrac{30 \e^{-0,05 x}}{\left(1+15 \e^{-0,05 x}\right)^{3}}\left(15 \e^{-0,05 x}-1\right)$ \rule[-15pt]{0pt}{35pt} \\ 
\hline
4 & Résoudre ( $15 \e^{-0,05 x}-1 \geqslant 0$ )  & $x \leqslant 20 \ln (15)$  \\		
\hline
\end{tabularx}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
	\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la fonction $f$ vérifie $f(0)=50$ et que pour tout $x \in \R$: $f'(x)=0,05 f(x)(1-0,00125 f(x))$.
On a d'une part:		$f(0)=\dfrac{800}{1+15 \e^{0}} = \dfrac{800}{16}=50$
		
\begin{list}{\textbullet}{D'autre part:}
\item $0,05f(x)= \dfrac{0,05\times 800}{1+15\e^{-0,05x}} = \dfrac{40}{1+15\e^{-0,05x}}$
\item $\np{0,00125} f(x) = \dfrac{\np{0,00125}\times 800}{1+15\e^{-0,05x}}= \dfrac{1}{1+15\e^{-0,05x}}$
\item $1- \np{0,00125} f(x) = 1- \dfrac{1}{1+15\e^{-0,05x}}= \dfrac{1+15\e^{-0,05x}-1}{1+15 \e^{-0,05x}} = \dfrac{15 \e^{-0,05x}}{1+15 \e^{-0,05x}}$
\item 
$\aligned[t]
0,05f(x) \left (1- \np{0,00125} f(x)  \right ) 
& = \dfrac{40}{1+15\e^{-0,05x}} \times \dfrac{15 \e^{-0,05x}}{1+15 \e^{-0,05x}} 
= \dfrac{40\times 15 \e^{-0,05x}}{\left (1+15 \e^{-0,05x}\right )^2} \\
& = \dfrac{600 \e^{-0,05x}}{\left (1+15 \e^{-0,05x}\right )^2}
= f'(x) \text{ d'après le tableau}
\endaligned$
\end{list}

On admet que cette fonction $f$ est l'unique solution de $(E_{2})$ prenant la valeur initiale de 50 en 0.

		\item Avec ce nouveau modèle $f$,  l'effectif de cette population en 2050 peut être estimé à $f(50)$ soit environ 358.
		
%Arrondir le résultat à l'unité.

		\item %Calculer la limite de $f$ en $+\infty$. Que peut-on en déduire quant à la courbe $C$ ? Interpréter cette limite dans le cadre de ce problème concret.
$\ds\lim_{x\to +\infty} -0,05x = -\infty$ et
$\ds\lim_{X\to -\infty} \e^{X}=0$ donc 
$\ds\lim_{x\to +\infty} \e^{-0,05x} = 0$

On en déduit  que 
$\ds\lim_{x\to +\infty} 1+15\e^{-0,05x} = 1$ et que
$\ds\lim_{x\to +\infty} \dfrac{800}{1+15\e^{-0,05x}} = 800$.

Donc $\ds\lim_{x\to +\infty} f(x)=800$, ce qui prouve que la courbe $\mathcal{C}$ admet la droite d'équation $y=800$ comme asymptote horizontale en $+\infty$.
		
		\item %Justifier que la fonction $f$ est croissante sur $[0 ~;~+\infty[$.
Sur $[0 ~;~+\infty[$,  $f'(x)=\dfrac{600 \e^{-0,05 x}}{\left(1+15 \e^{-0,05 x}\right)^{2}}$.

Or pour tout réel $X$, on sait que $\e^{X}>0$, donc $\e^{-0,05x}>0$ pour tout $x$.

$\left (1+15\e^{-0,05x}\right )^2>0$ donc $f'(x)>0$.

On en conclut que la fonction $f$ est croissante sur $[0 ~;~+\infty[$.

		\item %Démontrer le résultat obtenu en ligne 4 du logiciel.
On résout l'inéquation $15 \e^{-0,05 x}-1 \geqslant 0$.

$\aligned
15 \e^{-0,05 x}-1 \geqslant 0
& \iff 15 \e^{-0,05 x} \geqslant 1
 \iff  \e^{-0,05 x} \geqslant \dfrac{1}{15}
 \iff  -0,05 x \geqslant \ln\left (\dfrac{1}{15}\right )\\
& \iff  x \leqslant \dfrac{ \ln\left (\frac{1}{15}\right )}{-0,05}
 \iff  x \leqslant \dfrac{ -\ln\left (15 \right )}{-0,05}
 \iff  x \leqslant 20\,\ln\left (15 \right )
\endaligned$

		\item On admet que la vitesse de croissance de la population de cette espèce, exprimée en nombre d'individus par an, est modélisée par la fonction $f'$.
		\begin{enumerate}
			\item% Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ~;~ +\infty[$ et déterminer les coordonnées des éventuels points d'inflexion de la courbe $C$.
Pour étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ~;~ +\infty[$, on détermine le signe de la dérivée seconde $f''(x)$.

D'après le tableau: $f''(x)=\dfrac{30 \e^{-0,05 x}}{\left(1+15 \e^{-0,05 x}\right)^{3}}\left(15 \e^{-0,05 x}-1\right)$.

D'après ce qui a été vu précédemment, $f''(x)$ est du signe de $\left(15 \e^{-0,05 x}-1\right)$.

\[ \begin{tablvar}[8em]{2}
 \hline
 x & 0 & & 20\,\ln(15) & & +\infty\\
 \hline
15 \e^{-0,05 x}-1 & & + & \barre[0] & - & \\
 \hline
f''(x) & & + & \barre[0] & - & \\
 \hline
  & & f \text{ convexe} & \barre & f \text{ concave} & \\
 \hline
 \end{tablvar}\]
 
En $x=20\,\ln(15)$, $f''(x)$ s'annule et change de signe, donc la courbe $\mathcal{C}$ admet un point d'inflexion.

Si $x=20\,\ln(15)$, $15\e^{-0,05x}-1=0$ donc $15\e^{-0,05\times 20\ln(15)}=1$

$f\left (20\ln(15)\right )
= \dfrac{800}{1+ 15\e^{-0,05\times 20\ln(15)}}
= \dfrac{800}{1+1} = 400$

Donc le point de coordonnées $(20\,\ln(15)\,,\, 400)$ est le seul point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}$.
 
			\item La direction de la réserve affirme :
			\og Au vu de ce modèle, la vitesse de croissance de la population de cette espèce va augmenter pendant un peu plus de cinquante ans, puis va diminuer \fg{}. 
			
%			La direction a-t-elle raison? Justifier.

On établit le tableau de variations de la fonction $f'$ qui modélise  la vitesse de croissance de la population de cette espèce, exprimée en nombre d'individus par an.

\[ \begin{tablvar}[8em]{2}
 \hline
 x & 0 & & 20\,\ln(15) & & +\infty\\
 \hline
f''(x) & & + & \barre[0] & - & \\
 \hline
\variations{\mil{f'} & \bas{} && \haut{} &&  \bas{}} 
\hline
\end{tablvar}\]

Or $20\,\ln(15) \approx 54,2$ donc la direction a raison.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}

\bigskip

\section*{Exercice 3 \hfill (5 points)}

\medskip
	On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0}=5$ et, pour tout $n$ :
$u_{n+1}=2+\ln \left(u_{n}^{2}-3\right)$

%	On admet que cette suite est bien définie.

	\subsection*{Partie A : Exploitation de programmes Python}

	\begin{enumerate}
		\item On complète le script Python ci-dessous pour que \texttt{suite(k)}  renvoie la liste des $k$ premières valeurs de la suite $(u_{n})$.

%		\medskip
%
%		\textbf{Remarque :} On précise que, pour tout réel strictement positif \texttt{a}, \texttt{log(a)} renvoie la valeur du logarithme népérien de \texttt{a}.

		\begin{center}
		\begin{ttfamily}
		\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|X|}\hline
			def suite(k):\\
			\quad	L = []\\
			\quad	u = 5\\
			\quad	for i in range({\blue k}):\\
			\qquad	L.append(u)\\
			\qquad	u = \blue 2 + log( u**2 - 3\\
			\quad	return({\blue L})\\ \hline
		\end{tabularx}
		\end{ttfamily}
		\end{center}
		
		\item On a exécuté \texttt{suite(9)} ci-dessous. 
		
%Émettre deux conjectures : l'une sur le sens de variation de la suite $(u_{n})$ et l'autre sur son éventuelle convergence.

\begin{center}
\begin{ttfamily}
		%\begin{tblr}{|X|}\hline
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
>{}>{}>{} suite(9) \\
$\left[\right.$ 5, 5.091042453358316, 5.131953749864703,\\
5.150037910978289, 5.157974010229213, 5.1614456706362954,\\
5.162962248594583, 5.163624356938671, 5.163913344065642$\left.\right]$\\ \hline
%		%\end{tblr}
\end{tabularx}
\end{ttfamily}
\end{center}

La suite $(u_n)$ semble croissante, mais on ne peut pas se prononcer sur sa limite.

		\item On a ensuite créé la fonction \texttt{mystere(n)} donnée ci-dessous et exécuté \linebreak \texttt{mystere(10000)}, ce qui a renvoyé \texttt{1}.

%		Cet affichage contredit-il la conjecture émise sur le sens de variation de la suite $(u_{n})$ ? Justifier.

\begin{center}
		\begin{ttfamily}
%		\begin{tblr}{|X[10cm]|}\hline
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
			def mystere(n):\\
			\quad L = suite(n)\\
			\quad	c = 1\\
			\quad	for i in range(n - 1):\\
			\qquad	if L[i] $>$ L[i + 1]:\\
			\qquad \quad c = 0\\
			\quad return c\\ \hline
%		\end{tblr}
\end{tabularx}
		\end{ttfamily}
		\end{center}

La fonction \texttt{mystere} renvoie 0 s'il existe un indice $i$ pour lequel \texttt{L[i] > L[i+1]}, c'est-à-dire $u_{n}>u_{n+1}$. Comme \texttt{mystere(10000)} renvoie 1, cela veut dire que pour tout $i\leqslant \np{9999}$, on a: $u_{i} \leqslant u_{i+1}$.

Cela ne contredit pas la conjecture faite sur la croissance de la suite $(u_n)$.

%		\begin{center}
%		\begin{ttfamily}
%%		\begin{tblr}{|X|}\hline
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
%		>{}>{}>{} mystere(10000)\\
%		1\\ \hline
%\end{tabularx}
%%		\end{tblr}
%		\end{ttfamily}
%		\end{center}

	\end{enumerate}

\subsection*{Partie  B : Étude de la convergence de la suite ( $\boldsymbol{u}_{\boldsymbol{n}}$ )}

On considère la fonction $g$ définie sur $[2 ~;~+\infty [$ par :
$g(x)=2+\ln \left(x^{2}-3\right)$.

%	On admet que $g$ est dérivable sur $\left[2 ~;~+\infty\left[\right.\right.$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.

\begin{enumerate}
	\item %Démontrer que la fonction $g$ est croissante sur $[2 ~;~+\infty[$.
$g'(x)= 0+ \dfrac{2x}{x^2-3} = \dfrac{2x}{x^2-3}$

Sur  $[2 ~;~+\infty[$, $2x>0$ et $x^2>4$ donc $x^2-3>1>0$;
donc $g'(x)>$ sur 	$[2 ~;~+\infty[$, ce qui prouve que la fonction $g$ est croissante sur $[2 ~;~+\infty[$.
	
	\item 
		\begin{enumerate}
		\item On démontre par récurrence que la propriété $4 \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 6$ est vraie pour tout  entier naturel $n$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item \textbf{Initialisation}

$u_0=5$ et $u_1=2+\ln\left (5^2-3\right ) = 2+\ln(22) \approx 5,09$

Donc $4 \leqslant u_{0} \leqslant u_{1} \leqslant 6$; la propriété est vraie au rang 0.
\item \textbf{Hérédité}

On suppose la propriété vraie au rang $n$, c'est-à-dire $4 \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 6$.

D'après la définition de la fonction $g$, on a $u_{n+1}=g(u_n)$ pour tout $n$.

On sait que la fonction $g$ est croissante sur $[2\;;\;+\infty[$; donc de l'inégalité  $4 \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 6$, on déduit $g(4) \leqslant g\left (u_{n}\right ) \leqslant g\left (u_{n+1}\right ) \leqslant g(6)$.

$g(4)\approx 4,56$; $g\left (u_n\right )=u_{n+1}$; $g\left (u_{n+1}\right )=u_{n+2}$
et $g(6)\approx 5,5$

On a donc $4,5 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 5,5$,
ce qui entraine $4 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 6$.

La propriété est donc héréditaire.
\item \textbf{Conclusion}

La propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire pour tout $n\geqslant 0$ donc, d'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel $n$.
\end{list}

On a donc  démontré  que, pour tout $n$ : $4 \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 6$.

		\item %En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge.
\begin{list}{\textbullet}{D'après la question précédente, pour tout $n$, on a:}
\item $u_{n}\leqslant u_{n+1}$ donc la suite $(u_n)$ est croissante;
\item $u_n \leqslant 6$ donc la suite $(u_n)$ est majorée.
\end{list}		

La suite $(u_n)$ est croissante et majorée donc, d'après le théorème de la convergence monotone, elle est convergente.
		
		
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}

\subsection*{Partie C : Étude de la valeur de la limite}

On considère la fonction $f$ définie sur [ 2 ; $+\infty$ [ par :
$f(x)=2+\ln \left(x^{2}-3\right)-x$.

%On admet que $f$ est dérivable sur $[2 ~;~+\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

On donne le tableau de variations de $f$ suivant. %On ne demande aucune justification.

\[\begin{tablvar}[6em]{2}
\hline
x & 2 && 3 && +\infty\\
%\hline
%f'(x) & & + & \barre[0] & - & \\
\hline
\variations{\mil{f(x)} & \bas{0} && \haut{\ln(6)-1} &&  \bas{-\infty}} 
\hline
\end{tablvar}\]

	\begin{enumerate}
		\item \begin{enumerate}
			\item % Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet exactement deux solutions sur \linebreak $[2 ~;~+\infty[$ que l'on notera $\alpha$ et $\beta$ avec $\alpha<\beta$.
D'après le tableau de variations de $f$, on voit que $f(2)=0$. \\
On complète le tableau:

\[\begin{tablvar}[6em]{2}
\hline
x & \vr{2} && 3 & \vr{\beta} & +\infty\\
%\hline
%f'(x) & & + & \barre[0] & - & \\
\hline
\variations{\mil{f(x)} & \posvr{3}{0} && \haut{\ln(6)-1} & \vr{0}&  \bas{-\infty}} 
\hline
\end{tablvar}\]

Donc l'équation $f(x)=0$ admet exactement deux solutions sur l'intervalle $[2 ~;~+\infty[$ que l'on notera $\alpha=2$ et $\beta \in \left [ 3\;; +\infty \strut\right [$

			\item %Donner la valeur exacte de $\alpha$ et une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $\beta$.
On a vu que $\alpha=2$.

\begin{list}{\textbullet}{À la calculatrice, on trouve successivement:}
\item $f(5)<0<f(6)$ donc $\beta \in \left [ 5\;; 6 \strut\right ]$;
\item $f(5,1)<0<f(5;2)$ donc $\beta \in \left [ 5,1\;; 5,2 \strut\right ]$;
\item $f(5,16)<0<f(5;17)$ donc $\beta \in \left [ 5,16\;; 5,17 \strut\right ]$;
\item $f(5,164)<0<f(5;165)$ donc $\beta \in \left [ 5,164\;; 5,165 \strut\right ]$.
\end{list}			

Donc $5,164$  une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $\beta$.
		\end{enumerate}

		\item On note $\ell$ la limite de la suite $(u_{n})$.

%		Justifier que $f(\ell)=0$ et déterminer $\ell$.
$f(x)=g(x) - x$ donc $g(x)=x \iff f(x)=0$

Pour tout $n$, on a $g\left (u_n\right )=u_{n+1}$ donc, par passage à la limite on a $g(\ell)=\ell$, ce qui équivaut à $f(\ell) = 0$.

$u_0 = 5$ et la suite $(u_n)$ est croissante donc $\ell\geqslant 5$.

$\ell\geqslant 5$ et $\ell$ vérifie $f(\ell) = 0$; d'après les questions précédentes, on peut en déduire que $\ell = \beta$.

	\end{enumerate}

\bigskip

	\section*{Exercice 4 \hfill (5 points)}

%	\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.}
%
%	\medskip
%
%	\emph{Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}
%
%	\bigskip

	\begin{enumerate}%%[itemsep=8mm]
		\item On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ~;~ +\infty [$ par : $f(x)=x\, \ln(x)$.

		\textbf{Affirmation 1 :}
$\ds\int_{1}^{\e} f(x) \,\mathrm{d} x=\dfrac{\e^{2}+1}{4}$

On calcule $\ds\int_{1}^{\e} f(x) \d x = \ds\int_{1}^{\e} x\,\ln(x) \d x$ en faisant une intégration par parties:

$\ds\int_{a}^{b} u'(x)\,v(x) \d x = \left [u(x)\,v(x)\strut \right ]_{a}^{b}- \int_{a}^{b} u(x) \, v'(x) \d x$.

$\left \{
\begin{array}{r !{=} l !{\implies} r !{=} l}
u'(x) & x & u(x) & \dfrac{x^2}{2}\\[8pt]
v(x) & \ln(x) & v'(x) & \dfrac{1}{x}
\end{array}
\right .$

$\aligned
 \ds\int_{1}^{\e} x\,\ln(x) \d x 
& = \left [\dfrac{x^2}{2}\times \ln(x) \right ]_{1}^{\e}- \int_{1}^{\e} \dfrac{x^2}{2}\times \dfrac{1}{x} \d x
= \left [\dfrac{x^2}{2}\times \ln(x) \right ]_{1}^{\e}- \int_{1}^{\e} \dfrac{x}{2} \d x\\
& = \left [\dfrac{x^2}{2}\times \ln(x) \right ]_{1}^{\e}-  \left [ \dfrac{x^2}{4}  \right ]_{1}^{\e}
= \left [\dfrac{\e^2}{2}\times \ln(\e) - \dfrac{1^2}{2}\times \ln(1) \right ]-  \left [ \dfrac{\e^2}{4} - \dfrac{1^2}{4} \right ]\\
& = \dfrac{\e^2}{2} - 0 - \dfrac{\e^2}{4} + \dfrac{1}{4}
= \dfrac{\e^2}{4}+\dfrac{1}{4}
= \dfrac{\e^2+1}{4}
\endaligned$

\hfill\textbf{Affirmation 1 vraie}

\item Soient $n$ et $k$ deux entiers naturels non nuls tels que $k \leqslant n$.

\textbf{Affirmation 2 :}
$\ds n \times\binom{n-1}{k-1}=k \times\binom{ n}{k}$

On va utiliser les propriétés: $\dfrac{k}{k\,!} = \dfrac{1}{(k-1)\,!}$ et $n\,! = n\times (n-1)\,!$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item 
$\ds\binom{n}{k}= \dfrac{n\,!}{k\,! \times (n-k)\,!}$ donc

$\ds k\times \binom{n}{k}= k\times \dfrac{n\,!}{k\,! \times (n-k)\,!}
= \dfrac{k\times n\,!}{k\,! \times (n-k)\,!}
= \dfrac{n\,!}{(k-1)\,! \times (n-k)\,!}$
\item
$\aligned[t]
\ds\binom{n-1}{k-1}
& = \dfrac{(n-1)\,!}{(k-1)\,! \times \left ((n-1)-(k-1)\right )\,!}
 = \dfrac{(n-1)\,!}{(k-1)\,! \times (n-1-k+1)\,!}\\
&= \dfrac{(n-1)\,!}{(k-1)\,! \times (n-k)\,!} \text{ donc}
\endaligned$ 

$\ds n\times \binom{n-1}{k-1}
= n\times \dfrac{(n-1)\,!}{(k-1)\,! \times (n-k)\,!}
= \dfrac{n\times (n-1)\,!}{(k-1)\,! \times (n-k)\,!}
== \dfrac{n\,!}{(k-1)\,! \times (n-k)\,!}$
\end{list}

\hfill\textbf{Affirmation 2 vraie}

		\item Pour les trois affirmations suivantes, on considère que l'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk.

\medskip

Soit $d$ la droite de représentation paramétrique : \quad 
$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&\phantom{2}t+1 \\
y&=&2 t+1 \\
z&=&-t
\end{array},\quad t \in \R\right.$.

		Soit $d'$ la droite de représentation paramétrique : \quad $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&2t'-1 \\
y&=&-t'+2 \\
z&=&\phantom{-}t'+1
\end{array},\quad t' \in \R\right.$.

\medskip

Soit $P$ le plan d'équation cartésienne : $2 x+y-2 z+18=0$.

Soit A le point de coordonnées $(-1 ~;~-3 ~;~ 2)$ et B le point de coordonnées $(-5 ~;~-5~;~6)$.

On appelle plan médiateur du segment [AB] le plan passant par le milieu du segment [AB] et orthogonal à la droite (AB).

\medskip

\textbf{Affirmation 3 :} Le point A appartient à la droite $d$.

$A\in d$ si et seulement s'il existe un réel $t$ tel que:
$\left\{
\begin{array}{r !{=} l}
-1 &t+1 \\
-3 &2 t+1 \\
2 &-t
\end{array}
\right.$

Le réel $t=-2$ vérifie les trois égalités donc le point A appartient à la droite $d$.

\hfill\textbf{Affirmation 3 vraie}

\medskip

\textbf{Affirmation 4 :} Les droites $d$ et $d'$ sont sécantes.

$d$ et $d'$ sont sécantes s'il existe un couple $(t\,,\,t')$ tel que
$\left\{
\begin{array}{l !{=} r}
t+1 & 2t'-1 \\
2 t+1 & -t'+2 \\
-t & t'+1
\end{array}
\right.$

$\left\{
\begin{array}{l !{=} r}
t+1 & 2t'-1 \\
2 t+1 & -t'+2 \\
-t & t'+1
\end{array}
\right.
\iff
\left\{
\begin{array}{l !{=} r}
t & 2t'-2 \\
2 (2t'-2)+1 & -t'+2 \\
-(2t'-2) & t'+1
\end{array}
\right.$

$\iff
\left\{
\begin{array}{l !{=} r}
t & 2t'-2 \\
4t'-4+1 & -t'+2 \\
-2t'+2 & t'+1
\end{array}
\right.
\iff
\left\{
\begin{array}{l !{=} r}
t & 2t'-2 \\
5t' & 5 \\
1 & 3t'
\end{array}
\right.
\iff
\left\{
\begin{array}{l !{=} r}
t & 2t'-2 \\
t' & 1 \\
\dfrac{1}{3} & t'
\end{array}
\right.$

Le système n'a pas de solution donc les droites $d$ et $d'$ ne sont pas sécantes.

\hfill\textbf{Affirmation 4 fausse}

\medskip

		\textbf{Affirmation 5 :} Le plan $P$ est le plan médiateur du segment [AB].

Le plan médiateur du segment [AB] est l'ensemble des points M de coordonnées $(x\,,\, y \,,\, z)$ tels que $\text{MA} = \text{MB}$, ce qui équivaut à $\text{MA}^2 = \text{MB}^2$.

$\aligned
\text{MA}^2 
& = (x+1)^2+(y+3)^2 + (z-2)^2\\ 
& = x^2+2x+1 + y^2+6y+9+z^2-4z+4\\
& = x^2+2x + y^2+6y+z^2-4z+14
\endaligned$

$\aligned
\text{MB}^2 
& = (x+5)^2+(y+5)^2+ (z-6)^2\\
& = x^2+10x+25 + y^2+10y +25 +z^2-12z+36\\
& = x^2+10x + y^2+10y+z^2-12z+86
\endaligned$

$\aligned
\text{MA}^2 = \text{MB}^2
& \iff x^2+2x + y^2+6y+z^2-4z+14 = x^2+10x + y^2+10y+z^2-12z+86\\
& \iff -8x -4y + 8z -72=0
\iff -4\left ( 2x +y -2z +18\right ) = 0\\
& \iff 2x+y-2z  +18 = 0
\endaligned$

On retrouve l'équation du plan $P$ donc $P$ est le plan médiateur du segment [AB].

\hfill\textbf{Affirmation 5 vraie}
	\end{enumerate}
\end{document}