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%Tapuscrit : François Kriegk
%Relecture : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat Spécialité},
pdftitle = {Polynésie, Sujet 2, 18 juin 2025},
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 2}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{18 juin 2025}}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du Baccalauréat Polynésie 18 juin 2025~\decofourright\\[7pt] Sujet 2\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\medskip
\section*{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

L'énoncé annonce des proportions, on va modéliser la situation de probabilité en assimilant les proportions à des probabilités.

\subsection*{Partie A}

\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
		\item D'après l'énoncé, on a donc :
	$P(V_1) = 1$ et, pour tout $n$ naturel supérieur ou égal à 2 : $P_{V_{n-1}}(V_n) = 0,9$ et aussi $P_{\overline{V_{n-1}}}\left(\overline{V_n}\right) = 0,9$. (une transmission fidèle, c'est quand les machines $n-1$ et $n$ détiennent la même valeur).

		On obtient l'arbre ci-contre :
		\hfill
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1,baseline={(R.base)}]
			% Styles (MODIFIABLES)
			\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick]
			\tikzstyle{noeud}=[fill=white,circle,inner sep=2pt]
			\tikzstyle{feuille}=[fill=white,circle,inner sep=2pt]
			\tikzstyle{etiquette}=[pos=0.6,fill=white, inner xsep=3pt, inner ysep=1.5pt]
			% Dimensions (MODIFIABLES)
			\def\DistanceInterNiveaux{3}
			\def\DistanceInterFeuilles{0.8}
			% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
			\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
			\def\NiveauB{(1)*\DistanceInterNiveaux}
			\def\NiveauC{(2)*\DistanceInterNiveaux}
			\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}
			% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
			\node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(1.5)*\InterFeuilles}) {$V_1$};
			\node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$V_2$};
			\node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$V_3$};
			\node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$\overline{V_3}$};
			\node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$\overline{V_2}$};
			\node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$V_3$};
			\node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{V_3}$};
			% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
			\draw[fleche] (R.east)--(Ra.west) node[etiquette] {$0,9$};
			\draw[fleche] (Ra.east)--(Raa.west) node[etiquette] {$0,9$};
			\draw[fleche] (Ra.east)--(Rab.west) node[etiquette] {$0,1$};
			\draw[fleche] (R.east)--(Rb.west) node[etiquette] {$0,1$};
			\draw[fleche] (Rb.east)--(Rba.west) node[etiquette] {$0,1$};
			\draw[fleche] (Rb.east)--(Rbb.west) node[etiquette] {$0,9$};
		\end{tikzpicture}
		\hfill~

		\item Les évènements $V_2$ et $\overline{V_2}$ partitionnent l'univers, donc, d'après la loi des probabilités totales :

$P(V_3) = P\big(V_3 \cap V_2\big) + P\left(V_3 \cap \overline{V_2}\right) = 0,9 \times 0,9 + 0,1 \times 0,1 = 0,81 + 0,01 = 0,82$.

		On arrive bien à $P(V_3) = 0,82$.

		\item On demande de calculer : $P_{V_3}(V_2)$.

		D'après la définition, on a :\quad $P_{V_3}(V_2) = \dfrac{P(V_3 \cap V_2)}{P(V_3)} = \dfrac{0,9 \times 0,9}{0,82} = \dfrac{81}{82} \approx 0,988$.

		À $10^{-3}$ près, la probabilité que la machine 2 détienne 1, sachant que la machine 3 détient 1 est d'environ 0,988.
	\end{enumerate}

	\item \begin{enumerate}
		\item Soit $n$ un entier naturel non nul.

		Les évènements $V_n$ et $\overline{V_n}$ forment une partition de l'univers, donc, d'après la loi des probabilités totales :

		$\begin{aligned}
			p_{n+1} &= P(V_{n+1}) \\
			&= P\big(V_{n+1} \cap V_n\big) + P\big(V_{n+1} \cap \overline{V_n}\big)\\
			&= P_{V_n}\big(V_{n+1}\big)\times P\big(V_n\big) + P_{\overline{V_n}}\big(V_{n+1}\big)\times P\big(\overline{V_n}\big)\\
			&= 0,9\times P\big(V_n\big) + 0,1 \times  P\big(\overline{V_n}\big)\\
			&= 0,9\times p_n + 0,1 \times  (1 - p_n)\\
			&= 0,9p_n + 0,1 - 0,1 p_n\\
			&= 0,8 p_n + 0,1
		\end{aligned}$

		On arrive donc bien à la relation de récurrence annoncée pour la suite $(p_n)$.

		\item Pour tout entier naturel non nul $n$, on pose :

$P_n$ est l'affirmation :\quad \og $p_n = 0,5\times 0,8^{n-1} + 0,5$ \fg{}.

\textbf{Initialisation :} on a, d'après l'énoncé : \quad $p_1 = 1$,

et, par ailleurs, on a :\quad $0,5 \times 0,8^{1 - 1} + 0,5 = 0,5 + 0,5 = 1$.

On constate donc que l'affirmation $P_1$ est vraie.

\textbf{Hérédité :} soit $n$ naturel non nul tel que l'affirmation $P_n$ est vraie, soit :

$\begin{aligned}
p_n = 0,5 \times 0,8^{n-1} + 0,5
	&\implies 0,8p_n = 0,8\left(0,5 \times 0,8^{n-1} + 0,5\right) \\
	&\implies 0,8p_n = 0,5 \times 0,8^{n-1} \times 0,8 + 0,4 \\
	&\implies 0,8p_n = 0,5 \times 0,8^{n} + 0,4 \\
	&\implies 0,8p_n + 0,1 = 0,5 \times 0,8^{n} + 0,4 + 0,1\\
	&\implies 0,8p_n + 0,1 = 0,5 \times 0,8^{n} + 0,5\\
	&\implies p_{n+1} = 0,5 \times 0,8^{n} + 0,5\quad \text{c'est }P_{n+1}\\
\end{aligned}$

\textbf{Conclusion :} on a prouvé que l'affirmation $P_1$ est vraie, et que, $n$ étant un naturel non nul, la véracité de $P_n$ entraîne celle de $P_{n+1}$. En vertu du principe de récurrence, on peut conclure que :

$\forall n \in \N^{*},\quad u_n = 0,5 \times 0,8^{n-1} + 0,5$.

Autrement dit, on a établi par récurrence une expression explicite du terme général $p_n$.

		\item Pour tout $n$ entier naturel non nul, on a : \quad $\begin{aligned}[t]
			0,5 \times 0,8^{n-1} &= \dfrac{0,5}{0,8} \times 0,8^{n} \\&= 0,625 \times 0,8^n.
		\end{aligned}$

		Comme on a :\quad $-1 < 0,8 < 1$\quad la propriété des limites de suites géométriques donne : \quad $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,8^n = 0$, puis $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,625 \times 0,8^n = 0$.

Puis, par limite de la somme, on a :\quad $\lim\limits_{n \to +\infty} p_n = \lim\limits_{n \to +\infty} 0,625 \times 0,8^n + 0,5 = 0,5$.

Ainsi, quand le nombre de machines tend vers plus l'infini, la probabilité que la dernière machine détienne la valeur 1 tend vers 0,5.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}

\begin{enumerate}
	\item L'instruction de la ligne 5 est une instruction conditionnelle : elle indique l'instruction de la ligne suivante ne s'exécutera qu'à la condition que le test \texttt{rand() < 0.1} renvoie la valeur \texttt{True}.

Or, l'instruction \texttt{rand()} renvoie un nombre aléatoire dans $[0~;~1[$, donc la probabilité que ce nombre soit strictement inférieur à 0,1, c'est-à-dire dans l'intervalle $[0~;~0,1[$ est proportionnelle à l'amplitude de cet intervalle, la probabilité que cela arrive est donc de $\dfrac{0,1 - 0}{1 - 0} = 0,1$.

\emph{La ligne 5 va rendre l'exécution de la ligne 6 aléatoire, avec une probabilité que la ligne 6 s'exécute égale à 0,1.}

C'est-à-dire que la ligne 6 doit avoir pour effet de "mal transmettre" la dernière donnée détenue, qui est stockée dans la variable \texttt{donnee}. Cette variable contient 0 ou 1. Si elle contenait 0, après la ligne 6 elle contiendra $1 - 0 = 1$, soit la valeur contraire. Si elle contenait 1, après la ligne 6, elle contiendra $1 - 1 = 0$, là encore, la valeur contraire.

\emph{La ligne 6 a donc pour effet de modifier la donnée, pour simuler une transmission contraire.}

	\item Si l'appel \texttt{simulation(4)} renvoie \texttt{[1,1,1,1,1]}, cela signifie que l'on a eu 4 transmissions fidèles, entre 5 machines.

La probabilité que cela arrive est donc  :

$0,9 \times 0,9 \times 0,9 \times 0,9 = 0,9^{4} = \np{0,6561}\approx 0,656$.

De façon analogue l'appel \texttt{simulation(6)} renvoie une simulation de 6 transmissions entre 7 machines.

Si l'appel renvoie \texttt{[1,0,1,0,0,1,1]}, cela signifie que les trois premières transmissions sont contraires (de 1 à 0, puis de 0 à 1, puis de 1 à 0), la quatrième transmission est fidèle (de 0 à 0), la cinquième est contraire (de 0 à 1) et la sixième et dernière est fidèle (de 1 à 1).

La probabilité que cela arrive est donc  :

$0,1 \times 0,1 \times 0,1 \times 0,9 \times 0,1 \times 0,9 = 0,9^{2}\times 0,1^{4} = 8,1\times 10^{-5}\approx 0,000$.

À $10^{-3}$ près, la probabilité d'obtenir \texttt{[1,1,1,1,1]} est d'environ 0,656, celle d'obtenir \texttt{[1,0,1,0,0,1,1]} est d'environ 0,000.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 \hfill 5 points}

\begin{enumerate}
	\item Par lecture graphique, il semble que :
	\begin{itemize}
		\item la fonction $f$ est strictement croissante sur son ensemble de définition ;
		\item $\lim\limits_{x \to 2} f(x) = -\infty$, $\mathcal{C}_f$ semblant présenter une asymptote d'équation $x = 2$;
		\item $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.
	\end{itemize}

	\item Résolvons l'équation sur $]2~;~+\infty[$ :

$\begin{aligned}
		f(x) = 0&\iff x\ln(x- 2) = 0\\
		& \iff x = 0 \text{ ou bien } \ln(x-2) = 0\quad \text{d'après la règle du produit nul}\\
		& \iff \ln(x-2) = 0\quad \text{car } x > 2\text{ donc } x\neq 0\\
		& \iff \exp\big(\ln(x-2)\big) = \exp(0)\quad \text{car exp est strictement croissante sur }\R\\
		& \iff x-2 = 1\\
		&\iff x = 3
\end{aligned}$

	L'équation a une unique solution : $x = 3$.

	\item On a : \quad $\lim\limits_{\substack{x \to 2\\x > 2}} x - 2 = 0^{+}$\quad et donc, en posant $y = x - 2$, par composition, on en déduit :
	 $\lim\limits_{\substack{x \to 2\\x > 2}} \ln(x - 2) = \lim\limits_{\substack{y \to 0\\y > 0}} \ln(y) = -\infty$.

Par ailleurs, \quad $\lim\limits_{\substack{x \to 2\\x > 2}} x = 2$,\quad donc, par limite du produit : \quad $\lim\limits_{\substack{x \to 2\\x > 2}}[ x\times \ln(x-2)] = -\infty $.

Cela confirme à la fois la conjecture sur la limite en 2 (en effet, comme $f$ n'est définie que sur $]2~;~+\infty]$, la limite en 2 est la limite à droite en 2), et cela confirme aussi la conjecture sur l'asymptote d'équation $x = 2$, qui est l'interprétation graphique de cette limite.

	\item Si\quad $u : x \longmapsto x - 2$\quad alors $u' : x \longmapsto 1$.

Ainsi \quad $x \longmapsto \ln(x-2)$ \quad est la composée $\ln \circ u$ et donc se dérive en :

$x \longmapsto \dfrac{u'(x)}{u(x)} = \dfrac{1}{x-2}$.

On dérive un produit de fonctions dérivables sur $]2~;~+\infty[$.

Pour tout réel strictement supérieur à 2, on a :

$f'(x) = 1 \times \ln(x - 2) + x \times \dfrac{1}{x - 2} = \ln(x-2) + \dfrac{x}{x - 2}$.

On arrive bien à l'expression annoncée pour $f'(x)$.

	\item \begin{enumerate}
		\item On a :\quad $\begin{aligned}[t]
			g'(x) &= f''(x) = \dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{1 \times (x-2) - x \times 1}{(x-2)^2}\\
			&= \dfrac{1}{(x-2)} + \dfrac{-2}{(x-2)^2} = \dfrac{x-2}{(x-2)^2} + \dfrac{-2}{(x-2)^2}\\
			& = \dfrac{x - 4}{(x-2)^2}
		\end{aligned}$

On arrive bien à la forme demandée.

		\item $g'(x)$ est le quotient de $(x-4)$ par $(x-2)^2$.

Le dénominateur étant le carré d'un réel non nul, il est strictement positif, donc $g'(x)$ a le signe de $(x - 4)$. On peut donc établir le tableau de variations suivant :

\hfill~\begin{tikzpicture}
 			\tkzTabInit[lgt=4.5]
 			{$x$/0.7, signe de $x-4$/0.7,signe de $g'(x)$/0.7, variations de $g$/1.5}
 			{2,4,$+\infty$}
 			\tkzTabLine{,-,z,+,}
 			\tkzTabLine{d,-,z,+,}
 			\tkzTabVar{D+/$+\infty$ , -/$2 + \ln(2)$ , +/$+\infty$}
\end{tikzpicture}\hfill~

On a :\quad $g(4) = f'(4) = \ln(4 - 2) + \dfrac{4}{4 - 2} = \ln(2) + \dfrac{4}{2} = 2 + \ln (2)$.

		\item En observant le tableau de variations précédent, on a :

$2 > 1 \implies \ln(2) > 0$\quad donc on a $g(4) \geqslant 2 > 0$.

Donc, les variations de $g$ indiquent que $g$ atteint un minimum égal à $g(4) > 0$, pour $x = 4$.

On en déduit que la fonction $g$ est à valeurs strictement positives sur $]2~;~+\infty[$.

		\item Puisque $g$ est la fonction dérivée $f'$, on en déduit que $f'$ est à valeurs strictement positives sur $]2~;~+\infty[$, et donc que $f$ est strictement croissante sur $]2~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\item On a établi les variations de $g = f'$ à la question \textbf{5. b.} :

\begin{itemize}
	\item sur $]2~;~4]$, $f'$ est décroissante, donc $f$ est concave;
	\item sur $[4~;~+\infty[$, $f'$ est croissante, donc $f$ est convexe.
\end{itemize}

$f$ change de convexité en $x = 4$, donc le point de coordonnées $\left(4~;~f(4)\right)$, est l'unique point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$.

On a $f(4) = 4\times \ln(4 - 2) = 4\ln(2) = \ln \left(2^{4}\right) = \ln(16)$.

Les coordonnées exactes du point d'inflexion sont donc $(4~;~\ln(16))$.

	\item $\mathcal{C}_f$ admet une tangente de coefficient directeur égal à 3 au point d'abscisse $x$ si et seulement si $f'(x) = 3$, ou encore $g(x) = 3$.

On a $g(4) = 2 + \ln(2) \approx 2,7$. On a donc :

\begin{itemize}
		\item Sur $]2~;~4]$, $g$ est strictement décroissante, et continue (car dérivable), et 3 est une valeur strictement comprise entre $\lim\limits_{x \to 2} g(x)= +\infty$ et $g(4) = 2 + \ln(2) \approx 2,7$. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires appliqué aux fonctions strictement monotones, il existe une unique solution à l'équation $g(x) = 3$ dans l'intervalle $]2~;~4]$, notée $\alpha$;
		\item De façon analogue, sur $]4~;~+\infty[$, $g$ est strictement croissante, et continue (car dérivable), et 3 est une valeur strictement comprise entre $\lim\limits_{x \to 4} g(x)\approx 2,7$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} = + \infty$. Il existe aussi une unique solution à l'équation $g(x) = 3$ dans l'intervalle $]4~;~+\infty[]$, notée $\beta$ ;
\end{itemize}

Ainsi, l'équation $f'(x) = 3$ équivalente à $g(x) = 3$ admet exactement deux solutions $\alpha$ et $\beta$ sur $]2~;~+\infty[$.

Il y a donc exactement deux valeurs de $x$ ($\alpha$ et $\beta$) pour lesquelles la tangente à $\mathcal{C}_f$ a un coefficient directeur égal à 3.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 \hfill 5 points}

\begin{enumerate}
\item On détermine les coordonnées des vecteurs $\vect{\mathrm{AB}}$ et $\vect{\mathrm{AC}}$ : \quad $\vect{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}-2\\1\\5 \end{pmatrix}$
 et $\vect{\mathrm{AC}}\begin{pmatrix}-1\\-2\\0 \end{pmatrix}$.

Ces vecteurs ont des coordonnées qui sont clairement non proportionnelles, donc les vecteurs ne sont pas colinéaires, et donc les trois points A, B et C ne sont pas alignés : ils déterminent bien un plan.

\item Comme le repère est orthonormal, en utilisant les coordonnées des vecteurs précédents, qui sont non nuls, on va calculer le produit scalaire des vecteurs $\vect{\mathrm{AB}}$ et $\vect{\mathrm{AC}}$ :

$\vect{\mathrm{AB}}\cdot\vect{\mathrm{AC}} = -2 \times (-1) + 1  \times  (-2) + 5  \times 0 = 2 + -2 + 0 = 0$.

Les vecteurs $\vect{\mathrm{AB}}$ et $\vect{\mathrm{AC}}$ sont non nuls, mais leur produit scalaire l'est, donc les droites (AB) et (AC) sont orthogonales, et donc le triangle ABC est bien rectangle en A.

	\item 
		\begin{enumerate}
		\item Calculons le produit scalaire de $\vect{u}$ avec $\vect{\mathrm{AB}}$ et $\vect{\mathrm{AC}}$, ces deux vecteurs formant une base du plan (ABC).

\begin{itemize}
\item $\vect{u}\cdot \vect{\mathrm{AB}} = 2 \times (-2) + (-1) \times 1 + 1  \times 5 = -4 - 1 + 5 = 0$;
\item $\vect{u}\cdot \vect{\mathrm{AC}} = 2 \times (-1) + (-1) \times (-2) + 1  \times 0 = -2 + 2 + 0 = 0$;
\end{itemize}

$\vect{u}$ est donc orthogonal à deux vecteurs formant une base de (ABC), il est donc orthogonal à (ABC).

Toute droite dirigée par $\vect{u}$, et donc $\Delta$, est donc orthogonale à (ABC).

\item $\vect{u}$ est donc un vecteur normal au plan (ABC), d'après la question précédente.

Par propriété, on en déduit qu'une équation de (ABC) est de la forme :

$2x - y + z + d = 0$\quad où $d$ est un réel.

 $\begin{aligned}
 \mathrm{A} \in (\mathrm{ABC})
 &\iff 2x_{\mathrm{A}} - y_{\mathrm{A}} + z_{\mathrm{A}} + d = 0\\
 &\iff 2\times 1 - 3 + 0 + d = 0\\
 &\iff -1 + d = 0\\
 &\iff d = 1
\end{aligned}$

Une équation de (ABC) est donc bien \quad $2x - y + z + 1 = 0$.

 		\item $\Delta$ contient $\mathrm{D}(-2~;~2~;~1)$ et est dirigée par $\vect{u}$, donc, par propriété, une représentation paramétrique de $\Delta$ est :\quad $\begin{cases}
 			x=-2 + 2t\\
 			y= 2 - t\\
 			z= 1 + t\\
 		\end{cases}$\quad avec $t \in \R$
	 \end{enumerate}
 \item Considérons $M_t$, le point de paramètre $t$ sur la droite $\Delta$.

 $\begin{aligned}
		M_t \in (\mathrm{ABC})
		&\iff 2x_{M_t} - y_{M_t} + z_{M_t} + 1 = 0\\
		&\iff 2(-2+2t) - (2 - t) + (1 + t) + 1 = 0\\
		&\iff -4 + 4t - 2 + t + 1 + t + 1 = 0\\
		&\iff 6t - 4 = 0\\
		&\iff t = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}
 \end{aligned}$

$\Delta$ n'a qu'un seul point sur (ABC) (c'est normal, comme elle est orthogonale au plan, elle est sécante au plan), c'est le point de paramètre $\dfrac{2}{3}$ dans la représentation, c'est-à-dire que c'est le point de coordonnées $\left(-2 + 2\times \dfrac{2}{3}~;~2 - \dfrac{2}{3} ; 1 + \dfrac{2}{3}\right)$, soit $\left(-\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{4}{3}~;~\dfrac{5}{3}\right)$.

On reconnaît les coordonnées du point H. H est donc l'intersection de $\Delta$ et (ABC), c'est donc l'intersection du plan (ABC) avec la droite passant par D et orthogonale à (ABC) : H est le projeté orthogonal de D sur (ABC).

	\item 
		\begin{enumerate}
		\item On est dans un repère orthonormé :

$\begin{aligned}
	\mathrm{DH} &= \sqrt{\left(-\dfrac{2}{3} - (-2)\right)^2+\left(\dfrac{4}{3} - 2\right)^2+\left(\dfrac{5}{3} - 1\right)^2 } = \sqrt{\left(\dfrac{4}{3}\right)^2+\left(\dfrac{-2}{3}\right)^2+\left(\dfrac{2}{3}\right)^2 } \\
	&= \sqrt{\dfrac{16}{9} + \dfrac{4}{9} + \dfrac{4}{9}} = \sqrt{\dfrac{24}{9}} = \dfrac{\sqrt{24}}{3} = \dfrac{\sqrt{4\times 6}}{3} = \dfrac{2\sqrt{6}}{3}
\end{aligned}$

		On arrive bien à la distance annoncée : \quad $\mathrm{DH} = \dfrac{2\sqrt{6}}{3}$.

		\item Pour le tétraèdre ABCD, on va choisir comme base le triangle ABC, rectangle en A, et la hauteur correspondante, est donc la distance de H au plan (ABC), c'est-à-dire la distance DH.

		Pour calculer $B$, l'aire de la base, on va utiliser comme base de ABC la longueur AB, et comme hauteur correspondante, la longueur AC (car ABC est rectangle en A).

		Donc :\quad $\begin{aligned}[t]
			B &= \dfrac{\mathrm{AB} \times \mathrm{AC}}{2} = \dfrac{\sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 5^2}\times \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 0^2}}{2} = \dfrac{\sqrt{30}\times \sqrt{5}}{2}\\
			&=\dfrac{\sqrt{150}}{2} = \dfrac 52 \sqrt{6}.
		\end{aligned}$

		Le volume du tétraèdre est donc :\quad $\begin{aligned}[t]
			V &= \dfrac{1}{3}\times B \times h = \dfrac{1}{3} \times \dfrac 52 \sqrt{6}\times \dfrac{2\sqrt{6}}{3} \\
			&= \dfrac{10}{3}
		\end{aligned}$

Le volume du tétraèdre est donc de $\dfrac{10}{3} \approx 3,33$.
		\end{enumerate}

	\item Par lecture de la représentation paramétrique de $d$, on peut dire que la droite $d$ est dirigée par : $\vect{u'}\begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 1\end{pmatrix}$.

	Comme le repère est orthonormé, on a :\quad $\begin{aligned}[t]
		\vect{u} \cdot \vect{u'} &= 2 \times (-2) + (- 1) \times -3 + 1  \times 1\\
		& = -4 + 3 + 1 = 0
	\end{aligned}$

	$\vect{u'}$ est orthogonal à $\vect{u}$ qui est lui-même un vecteur normal à (ABC). On en déduit que $\vect{u'}$ est un vecteur du plan (ABC). Ainsi, la droite $d$ est une droite parallèle au plan (ABC).

	\emph{Remarque :} bien que ça ne soit pas demandé ici, on peut préciser : $d$ passe par le point E de coordonnées $(1 ; 0 ; 1)$. Ces coordonnées ne vérifiant pas l'équation de (ABC), on en déduit que E n'appartient pas au plan, et donc que $d$ est strictement parallèle à (ABC) (elle n'est pas incluse dans le plan).
	\end{enumerate}


\subsection*{Exercice 4 \hfill 5 points}

\begin{enumerate}
	\item \textbf{Affirmation \theenumi : Fausse.}

	On a $\operatorname{Card}(E) = 7$ et $\operatorname{Card}(F) = 10$.

	Les 3-uplets d'éléments distincts de $E$, ce sont des arrangements de 3 éléments distincts (l'ordre compte, sans répétition) choisis parmi 7. Il y en a donc :

	$\dfrac{7 !}{(7 - 3)!} = \dfrac{7!}{4!} = 7 \times 6 \times 5 = 210$.

	Les combinaisons à 4 éléments de $F$ sont des ensembles (sans ordre, sans répétition) de 4 éléments choisis parmi 10. Il y en a :

	$\displaystyle \binom{10}{4} = \dfrac{10!}{(10-4)! \times 4!} = \dfrac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2} = 10 \times 3 \times 1 \times 7 = 210$.

	Il y a donc exactement le même nombre, et pas davantage, de 3-uplets d'éléments distincs de $E$ que de combinaisons à 4 éléments de $F$.

	\item \textbf{Affirmation \theenumi : Vraie.}

	En effet, le carré ABCD a un côté de 3 unités de longueurs, donc son aire est de :

	$3^2 = 9$ unités d'aire.

	Par ailleurs, la zone hachurée est délimitée par l'axe des abscisses, la courbe représentant la fonction carré et les droites d'équation $x = 0$ et $x=3$. La fonction carré étant positive, l'aire, en unités d'aire est - égale à l'intégrale :

$\displaystyle \int_{0}^{3} x^2 ~\mathrm{d} x = \left[\dfrac{1}{3}x^3\right]_0^3 = \left(\dfrac{1}{3}\times 3^3\right) - \left(\dfrac{1}{3}\times 0^3\right) = 9 - 0 = 9$ unités d'aire.

Les deux zones ont donc bien la même aire, de 9 unités d'aire.

	\item \textbf{Affirmation \theenumi : Fausse.}

Pour tout $x$ dans $[1~;~2]$, on pose :\quad
$\begin{cases}
u(x) = \dfrac{1}{2}x^2\\
v(x) = \ln(x)
\end{cases}$
\quad et \quad
$\begin{cases}
u'(x) = x\\
v'(x) = \dfrac{1}{x}
\end{cases}$

	On a alors : \quad
	$\begin{aligned}[t] \displaystyle
		J &= \int_{1}^{2} x\ln(x) ~\mathrm{dt} \\
		&= \int_{1}^{2} u'(x)\times v(x) ~\mathrm{dt} \quad \text{donc, par intégration par parties :}\\
		&= \Big[u(x) \times v(x)\Big]_1^2 - \int_{1}^{2} u(x)\times v'(x) ~\mathrm{dt} \\
		&= \left[\dfrac{1}{2}x^2 \times \ln(x) \right]_1^2 - \int_{1}^{2} \dfrac{1}{2}x^2\times \dfrac{1}{x} ~\mathrm{dt} \\
		&= \left(\dfrac{1}{2}\times 2^2 \times \ln(2)\right) - \left(\dfrac{1}{2}\times 1^2 \times \ln(1)\right) -\dfrac{1}{2} \int_{1}^{2} x~\mathrm{d}x\\
		&= 2 \ln(2) - 0 -\dfrac{1}{2} \left[\dfrac{1}{2}x^2\right]_{1}^{2}\\
		&= 2\ln(2) -\dfrac{1}{2}\left[\left(\dfrac{1}{2}\times 2^2\right) - \left(\dfrac{1}{2}\times 1^2\right)\right]\\
		&=2\ln(2) - \dfrac{3}{4} \approx \np{0,63629}
	\end{aligned}$

	Or $\dfrac{7}{11} \approx \np{0,63636}$, donc $J \neq \dfrac{7}{11}$.

	\item \textbf{Affirmation \theenumi : Vraie.}

D'une part, $f$ est dérivable sur $\R$ et, pour tout $x$ réel, on a :

$f'(x) = \e^{x} + 2\e^{2x}$.

D'autre part, pour tout réel $x$, on a :

$2f(x) - \e^{x} = 2\left(\e^{x} + \e^{2x}\right) - \e^{x} = 2\e^{x} + 2\e^{2x} - \e^{x} = \e^{x} + 2\e^{2x}$

On constate donc que, pour tout $x$ réel, on a : \quad $f'(x) = 2f(x) - \e^{x}$.

Autrement dit, la fonction $f$ vérifie l'équation différentielle $(E)$, donc $f$ est bien une solution de $(E)$.

	\item \textbf{Affirmation \theenumi : Vraie.}

Soit $x$ un réel dans $[0 ; 1[$. On a donc :\quad $(x - 1)\in [-1 ; 0[$.

Autrement dit, le réel $(x - 1)$ est \textbf{strictement négatif}.

Ainsi, comme on a :\quad $\lim\limits_{n \to +\infty} \e^{n} = +\infty$ \quad et que $(x-1)< 0$, on en déduit, par limite du produit que : \quad $\lim\limits_{n \to +\infty} (x-1) \e^{n} = -\infty$.

Par limite de la somme, on en déduit que : \quad $\lim\limits_{n \to +\infty} (x-1) \e^{n} + 1 = -\infty$.

Comme la fonction cos est bornée par 1 et $-1$, on a : \quad $\forall n \in \N,\quad -1 \leqslant \cos(n) \leqslant 1$,

et donc notamment :\quad $\forall n \in \N,\quad \cos(n) \leqslant 1 \implies (x-1) \e^{n} + \cos(n) \leqslant (x-1) \e^{n} + 1$.

Comme on a établi que :\quad $\lim\limits_{n \to +\infty} (x-1) \e^{n} + 1 = -\infty$ \quad cela implique, par comparaison, que :\quad $\lim\limits_{n \to +\infty} (x-1) \e^{n} + \cos(n) = -\infty$.

La suite $(u_n)$ diverge bien vers $-\infty$.
\end{enumerate}

\end{document}