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%Tapuscrit : Denis Vergès 
% Correction : François Hache
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} 
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} 
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} 
%%%%   Commandes perso FH
\newcommand{\ds}{\displaystyle}%     displaystyle
\newcommand{\cg}{\texttt{]}}%             crochet gauche
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\newcommand{\pg}{\geqslant}%          plus grand ou égal
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\psdots(#1,#2)
\uput[#3](#1,#2){#4}
}
% permet de placer un point et de marquer son nom en même temps
% abscisse ordonnée emplacement et nom
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pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat ES},
pdftitle = {Pondichéry 16 avril 2015 - },
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES/L }
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small 16 avril 2015} 
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES  Pondichéry 16 avril 2015~\decofourright}} 
\end{center}

\subsection*{Exercice 1 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%\emph{Pour chacune des propositions suivantes, dire si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.}
%
%\medskip
%
%L'entreprise MICRO vend en ligne du matériel informatique notamment des ordinateurs portables
%et des clés USB.

%\bigskip
%
%\textbf{Partie A}
%
%\medskip

\subsubsection*{Partie A}

%Durant la période de garantie, les deux problèmes les plus fréquemment relevés par le service
%après-vente portent sur la batterie et sur le disque dur, ainsi:
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item[$*~~$] Parmi les ordinateurs vendus, 5\,\% ont été retournés pour un defaut de batterie et parmi ceux-ci, 2\,\% ont aussi un disque dur défectueux.
%\item[$*~~$] Parmi les ordinateurs dont la batterie fonctionne correctement, 5\,\% ont un disque dur défectueux.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
%
%On suppose que la société MICRO garde constant le niveau de qualité de ses produits.
%
%Suite à l'achat en ligne d'un ordinateur :
%
%\medskip


\begin{tabular}{@{} l !{\textbullet} l}
On appelle 	& $B$ l'événement \og{}la batterie est défectueuse\fg{};\\
				& $D$ l'événement \og{}le disque dur est défectueux\fg.
\end{tabular}

On représente la situation décrite dans le texte par un arbre pondéré:

\medskip 

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,levelsep=3cm]{\TR{}}
{
	\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$B$}\taput{\small 0,05}}
	  { 
		  \TR{$D$}\taput{\small $0,02$}
		  \TR{$\overline{D}$}\tbput{\small \red $1-0,02=0,98$}	   
	  }
	\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$\overline B$}\tbput{\small \red $1-0,05=0,95$}}
	  {
		  \TR{$D$}\taput{\small 0,05}
		  \TR{$\overline{D}$}\tbput{\small\red $1-0,05=0,95$}
	  }
}
\end{center}

\medskip


\emph{Proposition} 1 -- {\bf Fausse}

\emph{La probabilité que l'ordinateur acheté n'ait ni problème de batterie ni problème de disque dur est égale à $0,08$ à $0,01$ près.}

\smallskip

L'événement \og{}le micro n'a ni problème de batterie ni problème de disque dur\fg{} est $\overline B \cap \overline D$. 

D'après l'arbre:
$P\left (\overline B \cap \overline D \right ) = P\left (\overline B\right ) \times P_{\overline B}\left (\overline D\right ) = 0,95\times 0,95 = \np{0,9025} \neq 0,08$

\medskip

\emph{Proposition} 2 -- {\bf Vraie}

\emph{La probabilité que l'ordinateur acheté ait un disque dur défectueux est égale à \np{0,0485}.}

\smallskip

On cherche $P(D)$.
D'après la formule des probabilités totales:

$P(D)= P\left (B \cap  D \right )  + P\left (\overline B \cap D \right ) =0,05\times 0,02 + 0,95\times 0,05 = \np{0,0010} + \np{0,0475} = \np{0,0485}$

\medskip

\emph{Proposition} 3 -- {\bf Fausse}

\emph{Sachant que l'ordinateur a été retourné pendant sa période de garantie car son disque dur était défectueux, la probabilité que sa batterie le soit également est inférieure à $0,02$.}

\smallskip

On cherche $P_D(B)$:
$P_D(B) = \dfrac{P\left (B \cap D\right )}{P(D)} = \dfrac{0,05\times 0,02}{\np{0,0485}} \approx \np{0,0206} > 0,02$



%\bigskip
%
%\textbf{Partie B}
%
%\medskip

\subsubsection*{Partie B}

%L'autonomie de la batterie qui équipe les ordinateurs portables distribués par la société MICRO,
%exprimée en heure, suit une loi normale d'espérance $\mu = 8$ et d'écart-type $\sigma = 2$.

%\medskip

\emph{Proposition} 4 -- {\bf Vraie}

\emph{La probabilité que l'ordinateur ait une autonomie supérieure ou égale à 10~h est inférieure à $0,2$.}

\smallskip

La variable aléatoire $X$ qui donne l'autonomie de la batterie suit la loi normale d'espérance $\mu=8$ et d'écart type $\sigma=2$.
On cherche $P(X \pg 10)$.

$\mu=8$ et $\sigma=2$ donc $10=\mu + \sigma$.

D'après le cours, on sait que $P(\mu - \sigma \pp X \pp \mu+\sigma)\approx 0,68$ et pour des raisons de symétrie par rapport à la droite d'équation $x=\mu$, on peut déduire que $P(X\pp \mu-\sigma) = P(X\pg \mu+\sigma)\approx \dfrac{1-0,68 \rule{0pt}{10pt}}{2}\approx 0,16$.

Donc $P(X\pg 10)\approx 0,16<0,2$.

\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm, yunit=8cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true}
\def\xmin {-3}   \def\xmax {12}
\def\ymin {-0.1} \def\ymax {0.31}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=0, gridlabels=0, gridcolor=white, subgridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labelFontSize=\small, ticksize=-0pt 0pt, Dx=1, Dy=0.1, labels=none]%
{->}(0,0)(\xmin,-0.1)(\xmax,\ymax)

\def\m{4}% moyenne 
\def\s{2}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\psplot[plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{\f}

\def\inf{2} \def\sup{6}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)
\closepath % indispensable !
}

\uput[d](\m,0){$\mu=8$} 
\psline[linestyle=dashed, dash=1pt 1pt](\m,0)(\m,\ymax)
\uput[d](\inf,0){$\mu - \sigma$}
\uput{14pt}[d](\inf,0){$=6$}
\uput[d](\sup,0){$\mu + \sigma$}
\uput{14pt}[d](\sup,0){$=10$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt,linecolor=red]{->}(6,0.25)(5,0.1)
\uput[70](6,0.25){\red $68\,\%$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(8,0.2)(6.5,0.03)
\uput[ur](8,0.2){$16\,\%$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(-1,0.2)(1.5,0.03)
\uput[ul](-1,0.2){$16\,\%$}

\end{pspicture*}
\end{center}

%\bigskip
%
%\textbf{Partie C}
%
%\medskip

\subsubsection*{Partie C}

%L'entreprise MICRO vend également des clés USB et communique sur ce produit en affirmant
%que 98\,\% des clés commercialisées fonctionnent correctement.
%
%Sur \np{1000} clés prélevées dans le stock, $50$~clés se révèlent défectueuses.
%
%\medskip

\emph{Proposition} 5 -- {\bf Fausse}

\emph{Ce test, réalisé sur ces $\np{1000}$ clés, ne remet pas en cause la communication de l'entreprise.}

Pour une proportion $p$ et un échantillon de taille $n$, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% est:

{\centering $\left[ p- 1,96 \dfrac{\ds \sqrt{p\left(1-p\right)}}{\ds \sqrt{n}}\:;\: p + 1,96\dfrac{\ds \sqrt{p\left(1-p\right)}}{\ds\sqrt{n}} \right]$\par} 	

On a $p=0,98$ et $n=\np{1000}$.

Donc l'intervalle de fluctuation asymptotique $I$ au seuil de $95\,\%$ donnant le pourcentage de clés USB conformes dans un échantillon de taille \np{1000} est:

\smallskip

{\centering $I = \left[ 0,98- 1,96 \dfrac{\ds \sqrt{0,98\left(1-0,98\right)}}{\ds \sqrt{\np{1000}}}\:;\: 0,98 + 1,96\dfrac{\ds \sqrt{0,98\left(1-0,98\right)}}{\ds\sqrt{\np{1000}}} \right] \approx \cd{} 0,97\,;\, 0,99\cg$\par} 	

\smallskip

Sur \np{1000} clés, il y en a 50 de défectueuses donc la fréquence de clés conformes dans ce lot est 

$f=\dfrac{\np{1000}-50\rule{0pt}{12pt}}{\np{1000}}=0,95$.
Or $f \not\in I$, donc il faut remettre en question la communication de l'entreprise.

%\vspace{0,5cm}
%
%\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\subsection*{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats L}

%\medskip
%
%Un apiculteur souhaite étendre son activité de production de miel à une nouvelle région. En
%juillet 2014, il achète 300 colonies d’abeilles qu’il installe dans cette région.
%
%Après renseignements pris auprès des services spécialisés, il s'attend à perdre 8\,\% des colonies durant l'hiver. Pour maintenir son activité et la développer, il a prévu d'installer $50$ nouvelles colonies chaque printemps.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item% On considère l'algorithme suivant :

% \begin{center}
%\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l X|}
%\hline
%\textbf{Variables:} & $n$ est un nombre entier naturel\\
%&$C$ est un nombre réel\\
%\textbf{Traitement:}& Affecter à $C$ la valeur 300\\
%	&Affecter à $n$ la valeur 0\\
%	&Tant que $C < 400$ faire\\
%&\hspace{0.3cm}\begin{tabular}{|l}
%               $C$ prend la valeur $C - C \times 0,08 + 50$\\
%               $n$ prend la valeur $n+1$
%               \end{tabular} \\
%	&Fin Tant que\\
%\textbf{Sortie:} & Afficher $n$\\ 
%\hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item% Recopier et compléter le tableau ci-dessous en ajoutant autant de colonnes que nécessaire.
%Les résultats seront arrondis à l'entier le plus proche.
On recopie et on complète le tableau correspondant à l'algorithme donné dans le texte:
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline		
\textbf{Test} $C < 400$&  &vrai& vrai & vrai & vrai & vrai & \textcolor{red}{faux} \\ \hline
\textbf{Valeur de} $C$& 300& 326& 350 & 372 & 392 & 411 &\\ \hline
\textbf{Valeur de} $n$& 0& 1& 2 & 3 & 4 & \textcolor{red}{5} & \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item% Quelle valeur est affichée à la fin de l'exécution de cet algorithme ? Interpréter cette valeur dans le contexte de ce problème.
La valeur affichée en sortie d'algorithme est $5$. Cela veut dire que pour  l'année 5, c'est-à-dire en 2019, le nombre de colonies dépasse pour la première fois 400.

	\end{enumerate}
	
\item  On modélise l'évolution du nombre de colonies par une suite $\left(C_n\right)$ le terme $C_n$ donnant une estimation du nombre de colonies pendant l'année $2014 + n$. 

Ainsi $C_0 = 300$ est le nombre de colonies en 2014.

	\begin{enumerate}

		\item% Exprimer pour tout entier $n$ le terme $C_{n+1}$ en fonction de $C_n$.
D'une année sur l'autre, l'apiculteur perd 8\,\% de colonies donc il en reste 92\,\%. De plus, il installe 50 nouvelles colonies chaque printemps donc le nombre de colonies l'année $n+1$ est le nombre de colonies l'année $n$ multiplié par 0,92 auquel on va ajouter 50:

pour tout $n$, $C_{n+1} = 0,92\times C_n+50$

		\item On considère la suite $\left(V_n\right)$ définie pour tout entier $n$ par $V_n = 625 - C_n$ ; donc 
		
$C_n= 625-V_n$.
		
%Montrer que pour tout nombre entier $n$ on a $V_{n+1} = 0,92 \times V_n$.

$V_{n+1}=625-C_{n+1} = 625 - 0,92 \times C_n - 50 = 575 - 0,92\times \left (625 - V_n\right ) = 575 - 575 + 0,92 \times V_n \\
\phantom{V_{n+1}}= 0,92\times  V_n$

		\item% En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a $C_n = 625 - 325 \times  0,92^n$.
D'après la question précédente, on peut déduire que la suite $(V_n)$ est géométrique de raison $q=0,92$ et de premier terme $V_0=625-C_0 = 325$.

Donc, pour tout $n$, $V_n=V_0 \times q^n=325 \times 0,92^n$.

Comme $C_n=625-V_n$, on peut dire que, pour tout $n$, $C_n=625-325\times 0,92^n$.		

		\item% Combien de colonies l'apiculteur peut-il espérer posséder en juillet 2024 ?
Le mois de juillet 2024 correspond à $n=10$; l'apiculteur peut espérer posséder $C_{10}$ colonies soit:
$C_{10}=625 - 325 \times 0,92^{10}\approx 484$ colonies.

	\end{enumerate}
\item% L'apiculteur espère doubler son nombre initial de colonies. Il voudrait savoir combien d'années il lui faudra pour atteindre cet objectif.

	\begin{enumerate}
		\item% Comment modifier l'algorithme pour répondre à sa question ?
Pour doubler le nombre initial de colonies, il faut atteindre au moins 600 colonies; il suffit donc de remplacer dans l'algorithme la ligne {\red \og{}Tant que $C<400$ faire\fg{}} par la ligne {\red \og{}Tant que $C < 600$ faire\fg{}}.

		\item% Donner une réponse à cette question de l'apiculteur.
On cherche une valeur de $n$ pour laquelle $C_n \pg 600$:

$\begin{array}{@{} l !{\iff} l !{\iff} l !{\iff} l }
C_n \pg 600  	& 625 - 325 \times 0,92^n \pg 600 & 25 \pg 325 \times 0,92^n  & \dfrac{25}{325} \pg 0,92^n	\\
						& \ln\left (\dfrac{25}{325}\right ) \pg \ln\left (0,92^n\right )	
						& \ln\left (\dfrac{25}{325}\right ) \pg n\times \ln\left (0,92\right )	
						& \dfrac{\ln\left (\frac{25}{325}\right )\rule{0pt}{15pt}}{\ln\left (0,92\right )} \pp  n
\end{array}$

Or  $\dfrac{\ln\left (\dfrac{25}{325}\right )}{\ln\left (0,92\right )} \approx 30,8$ donc au bout de 31 années, le nombre de colonies aura doublé.

\smallskip

\emph{Vérification: $C_{30}\approx 598$ et $C_{31}\approx 600$}
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
%
%\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} 

\subsection*{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

%\medskip
%
%Les sites internet A, B, C ont des liens entre eux. Un internaute connecté sur un de ces trois
%sites peut, à toutes les minutes, soit y rester soit utiliser un lien vers un des deux autres sites.
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] Pour un internaute connecté sur le site A, la probabilité d'utiliser le lien vers B est de 0,2 et celle d'utiliser le lien vers C est de 0,2.
%\item[$\bullet~~$] Pour un internaute connecté sur le site B, la probabilité d'utiliser le lien vers A est de 0,1 et celle d'utiliser le lien vers C est de 0,4.
%\item[$\bullet~~$] Pour un internaute connecté sur le site C, la probabilité d'utiliser le lien vers A est de 0,2 mais il n'y a pas de lien direct avec B.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
%
%L'unité de temps est la minute, et à un instant $t = 0$, le nombre de visiteurs est, respectivement sur les sites A, B et C : $100,\: 0$ et $0$.
%
%On représente la distribution des internautes sur les trois sites après $t$ minutes par une matrice $N_t$; ainsi $N_0 = \begin{pmatrix}100& 0& 0\end{pmatrix}$.
%
%On suppose qu'il n'y a ni déconnexion pendant l'heure (de $t = 0$ à $t = 60$) ni nouveaux
%internautes visiteurs.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item% Représenter le graphe probabiliste de sommets A, B et C correspondant à la situation décrite.
On représente la situation à l'aide d'un graphe probabiliste de sommets A, B et C:

\begin{center}
{
\begin{pspicture}(-2,-6)(8,1)
%\psgrid[subgriddiv=2](0,0)(-2,-6)(8,1)
\psnode(0,0){A}{\red \bf A}
\psnode(6,0){B}{\bf B}
\psnode(3,-4.2){C}{\blue \bf C}

\psset{nodesep=3pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}

\ncarc[linecolor=red]{->}{A}{B} \Aput{\red 0,2} 
\ncarc[linecolor=red]{->}{A}{C} \Aput{\red 0,2}
\nccircle[angleA=60,linecolor=red]{->}{A}{.5cm} \Bput{\red 0,6}

\ncarc{->}{B}{A} \Aput{0,1}
\ncarc{->}{B}{C} \Aput{0,4} 
\nccircle[angleA=-60]{->}{B}{.5cm} \Bput{0,5}

\ncarc[linecolor=blue]{->}{C}{A} \Aput{\blue 0,2} 
%\ncarc[linecolor=blue]{->}{C}{B} \Aput{\blue 0}
\nccircle[angleA=180,linecolor=blue]{->}{C}{.5cm} \Bput{\blue 0,8}

\end{pspicture}
}
\end{center}


\item% Écrire la matrice $M$ de transition associée à ce graphe (dans l'ordre A, B, C).
Si $a_n$, $b_n$ et $c_n$ sont respectivement les nombres de visiteurs sur les sites A, B et C à l'instant $t=n$, d'après le graphe, on aura:

$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l !{+} l !{+} l}
a_{n+1} & 0,6 a_n & 0,1 b_n & 0,2c_n\\
b_{n+1} & 0,2 a_n & 0,5 b_n & 0 c_n\\
c_{n+1} & 0,2 a_n & 0,4 b_n & 0,8c_n
\end{array} 
\right.
\iff
\begin{pmatrix}
a_{n+1} & b_{n+1} & c_{n+1}
\end{pmatrix}
=$

$\begin{pmatrix}
a_{n} & b_{n} & c_{n}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0,6	& 0,2	& 0,2\\
0,1	& 0,5	& 0,4\\
0,2	& 0		& 0,8
\end{pmatrix}$

Donc la matrice de transition associée à ce graphe est:
$M=
\begin{pmatrix}
0,6	& 0,2	& 0,2\\
0,1	& 0,5	& 0,4\\
0,2	& 0		& 0,8
\end{pmatrix}$

\end{enumerate}

On donne
$M^2 = \begin{pmatrix}0,42& 0,22& 0,36\\0,19& 0,27& 0,54\\0,28& 0,04& 0,68\end{pmatrix}
\quad \text{et} \quad M^{20} \approx \begin{pmatrix}
\np{0,3125}& 0,125&\np{0,5625}\\
\np{0,3125}& 0,125&\np{0,5625}\\
\np{0,3125}& 0,125&\np{0,5625}\end{pmatrix}.$

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}

\item
$N_2 = N_1 \times M = N_0 \times M \times M = N_0 \times M^2 
=
\begin{pmatrix}
100 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0,42	& 0,22	& 0,36\\
0,19	& 0,27	& 0,54\\
0,28	& 0,04	& 0,68
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
42 & 22 & 36
\end{pmatrix}
$

On peut donc dire que, lors de la deuxième minute, il y a 42 internautes sur le site A, 22 sur le site B et 36 sur le site C.

\item 
$N_0 \times  M^{20}
=
N_{20}\approx
\begin{pmatrix}
100 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0,3125	& 0,125	& 0,5625\\
0,3125	& 0,125	& 0,5625\\
0,3125	& 0,125	& 0,5625
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
31,25 & 12,5 & 56,25
\end{pmatrix}
$

On peut conjecturer que l'état stable est $\begin{pmatrix}
31,25 & 12,5 & 56,25
\end{pmatrix}$.

\emph{Ce que l'on peut vérifier simplement car
$\begin{pmatrix}
31,25 & 12,5 & 56,25
\end{pmatrix} \times M = 
\begin{pmatrix}
31,25 & 12,5 & 56,25
\end{pmatrix}$.}

\`A long terme, il y aura en moyenne 31,25 internautes connectés sur le site A, 12,5 sur le site B et 56,25 sur le site C.

\item% Un des internautes transmet un virus à tout site qu'il visitera.
%
%Il se connecte initialement sur le site C et commence sa navigation.

À l'instant $t = 0$, le site C est  infecté.
	\begin{enumerate}
		\item% Quelle est la probabilité qu'à l'instant $t = 1$ le site A soit infecté ?
La probabilité de passer du site C au site A en une minute est de 0,2; la probabilité qu'à l'instant $t=1$ le site A soit infecté est donc égale à 0,2.

		\item% Quelle est la probabilité qu'à l'instant $t = 2$ les trois sites soient infectés ?
Pour qu'en deux minutes les trois sites soient infectés, il faut aller de C vers A puis vers B, ou de C vers B puis vers A. 

C'est impossible d'aller de C vers B.

On va de C vers A avec une probabilité de 0,2 et de A vers B avec une probabilité de 0,2; on va donc de C vers A puis vers B avec une probabilité de $0,2 \times 0,2=0,04$.

La probabilité qu'à l'instant $t=2$ les trois sites soient infectés est donc égale à 0,04.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
%\vspace{0,5cm}
% 
%\textbf{EXERCICE 3 \hfill 4 points} 

\subsection*{Exercice 3 \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On s'intéresse à la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
$f(x) = - 2\left (x + 2\right )\e^{- x}$

%\textbf{Partie A}
%\medskip

\subsubsection*{Partie A}

\begin{enumerate}
\item% Calculer $f (- 1)$ et en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
$f(-1)=-2(-1+2)\e^{-(-1)}=-2\e \approx -5,44$

\item% Justifier que $f'(x) = 2(x + 1)\text{e}^{- x}$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ comme produit de fonctions dérivables sur $\R$:

$f'(x)=-2(1)\e^{-x} -2(x+2)(-1)\e^{-x}=(-2+2x+4)\e^{-x}=2(x+1)\e^{-x}$


\item% En déduire les variations de la fonction $f$.
Pour tout réel $x$, $\e^{-x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $x+1$ sur $\R$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Si $x<-1$, $f'(x)<0$ donc $f$ est strictement décroissante sur $\cg{}-\infty\,;\, -1\cg$;
\item Si $x>-1$, $f'(x)>0$ donc $f$ est strictement croissante sur $\cd{}-1\,;\, +\infty \cd$;
\item $f'(-1)=0$ et $f$ admet un minimum en $-1$ égal à $f(-1)=-2\e$.

\end{list}

\end{enumerate}

%\textbf{Partie B}
%\medskip

\subsubsection*{Partie B}

Dans le repère orthogonal ci-dessous, trois courbes $\mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2$ et $\mathcal{C}_3$ ont été représentées.

L'une de ces courbes représente la fonction $f$, une autre représente sa dérivée et une troisième représente sa dérivée seconde.

%Expliquer comment ces représentations graphiques permettent de déterminer la convexité de la
%fonction $f$.
%
%Indiquer un intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe.

\begin{center}
\psset{xunit=1.1cm,yunit=0.55cm}

\begin{pspicture*}(-2.,-6.5)(7,4)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=8](-3,-6.5)(7,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2.,-6.5)(7,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt]{-2.5}{7}{x 2 add 2 mul  2.71828 x exp div neg}\uput[d](1,-0.75){\red $\mathcal{C}_2$}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.5}{7}{2 x mul 2 add 2.71828 x exp div}\uput[u](1,1.5){\blue $\mathcal{C}_1$}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2.5}{7}{2 x mul 2.71828 x exp div neg}
\uput[d](1,-2.2){$\mathcal{C}_3$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}

On sait que sur un intervalle: \hfill $f$ convexe  $\iff$ $f'$ croissante $\iff$ $f''$ positive \hfill\null

Il faut donc déterminer quelle fonction correspond à chacune des courbes $\mathcal C_1$, $\mathcal C_2$ et $\mathcal C_3$.

\begin{list}{\textbullet}{}

\item La seule courbe qui corresponde aux variations de la fonction $f$ est $\mathcal C_3$.

\item La courbe $\mathcal C_1$ correspond à une fonction négative sur $\cg{}-\infty\,;\,-1\cd{}$ et positive sur $\cg{}-1\,;\,+\infty\cd{}$; c'est donc la courbe représentative de la fonction $f'$ car la fonction $f$ est décroissante sur $\cg{}-\infty\,;\,-1\cd{}$ et croissante sur $\cg{}-1\,;\,+\infty\cd{}$.

\item La courbe $\mathcal C_2$ est donc la représentation graphique de la fonction $f''$.

\end{list}

Pour déterminer la convexité de la fonction $f$, il suffit de regarder le signe de la fonction $f''$: $f''>0$ sur l'intervalle $\cg{}-\infty\,;\,0 \cd{}$ donc la fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $\cg{}-\infty\,;\,0\cd{}$. 

%\vspace{0,5cm}
% 
%\textbf{EXERCICE 4 \hfill 6 points} 

\newpage

\subsection*{Exercice 4 \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%Une entreprise produit et vend des composants électroniques.
%
%Sa capacité mensuelle de production est comprise entre \np{1000} et \np{30000} pièces. On suppose que toute la production est commercialisée.
%
%\emph{Les parties} A \emph{et} B \emph{peuvent être traitées de façon indépendante.}

%\bigskip
%
%\textbf{Partie A}
%
%\medskip

\subsubsection*{Partie A}

On donne ci-dessous $R$ et $C$ les représentations graphiques respectives des fonctions recette et coût sur l'intervalle \cd{}1~;~30\cg{}.

\begin{center}
\psset{xunit=0.35cm,yunit=0.007cm}
\begin{pspicture}(-1,-50)(31,530)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\multido{\n=0+1}{32}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.05pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,500)}
\multido{\n=0+50}{11}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.05pt,linecolor=cyan](0,\n)(31,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=50,labelFontSize=\tiny]{->}(0,0)(0,0)(31,520)
\psplot{1}{30}{12.5 x mul}\uput[d](26.5,325){$R$}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{30}{ x dup mul 0.5 mul 6.5 x mul add 20 add x 2 mul x ln mul sub}\uput[u](26.5,375){\blue $C$}
\uput[u](26,-10){\footnotesize nombre  de pièces en milliers}
\uput[r](0,520){\footnotesize milliers d'euros}
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed, dash=2pt 2pt](21,0)(21,249)(0,249)
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed, dash=2pt 2pt](3,0)(3,400)
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed, dash=2pt 2pt](23,0)(23,400)
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed, dash=2pt 2pt,arrowsize=2pt 2]{<->}(3,400)(23,400)
\rput*(13,400){\blue\footnotesize zone de bénéfice}
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed, dash=2pt 2pt](13,0)(13,122,3)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.2pt](13,162,5)(13,122,3)
\end{pspicture}
\end{center}

%Par lecture graphique, donner une estimation des valeurs demandées.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item% Quel est le coût de production de \np{21000} pièces?
On trouve le coût de production de $\np{21000}$ pièces en cherchant l'image du nombre 21 par la fonction $C$: le coût de production de \np{21000} pièces est à peu près de \np{250000} euros. 

\item% Pour quelles quantités de pièces produites l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice ?
L'entreprise réalise un bénéfice quand la recette est supérieure au coût de production, c'est-à-dire quand la fonction $R$ est située au dessus de la fonction $C$:
l'entreprise réalise un bénéfice pour une quantité de pièces produites comprise entre \np{3000} et \np{23000}.

\item% Pour quel nombre de pièces produites le bénéfice est-il maximal ?
L'entreprise réalise un bénéfice maximal quand, sur l'intervalle $\cd{}3\,;\,23\cg$, l'écart entre la fonction $R$ et la fonction $C$ est le plus grand; c'est autour de 13 donc le bénéfice est maximal pour une production de \np{13000} pièces.

\end{enumerate}

%\bigskip
%
%\textbf{Partie B}
%
%\medskip

\subsubsection*{Partie B}

Le bénéfice en milliers d'euros, réalisé pour la production et la vente de $x$ milliers de pièces, est donné sur l'intervalle \cd{}1~;~30\cg{} par 
$B(x) = - 0,5x^2 + 6x - 20 + 2x \ln x.$

\begin{enumerate}
\item% Montrer que $B'(x) = -x + 8 + 2\ln x$, où $B'$ est la dérivée de $B$ sur l'intervalle [1~;~30].
La fonction $B$ est dérivable sur \cd{}1~;~30\cg{} et

$B'(x)=-0,5(2x)+6+2\ln x + 2x\times \dfrac{1}{x}=-x+6+2\ln x +2 = -x+8+2\ln x$

\item  On admet que $B''(x) = - 1 + \dfrac{2}{x}$, où $B''$ est la dérivée seconde de $B$ sur l'intervalle \cd{}1~;~30\cg{}.

%Justifier le tableau de variation ci-dessous  de la fonction dérivée $B'$ sur l'intervalle [1~;~30].

On donne le tableau de variations de la fonction dérivée $B'$:

\smallskip

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(7,2.5)
%\psframe(7,2.5) \psline(0,2)(7,2)\psline(1,0)(1,2.5)
%\uput[u](0.5,1.9){$x$}\uput[u](1.1,1.9){$1$}\uput[u](4,1.9){$2$}\uput[u](6.75,1.9){$30$}
%\rput(0.5,1){$B'(x)$}\uput[u](1.1,0){7}\uput[d](4,2){$6 + 2\ln 2$}\uput[u](6.1,0){$- 22 + 2 \ln 30$}
%\psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5)
%\end{pspicture}
%\end{center}

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 1  & \hspace*{\esp} & 2 & \hspace*{\esp} & 30 \\ 
\hline
%f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
%\hline
 & &  &   \Rnode{max}{6+2\ln 2}  &  &   \\  
B'(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{7} &   &  &  &   \Rnode{min2}{-22+2\ln 30} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2}
% \rput*(-3,0.9){\Rnode{zero}{\red 0}}
%\rput(-3,2.4){\Rnode{alpha}{\red \alpha}}
%\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}	

$B'(1)=-1+8=7$; $B'(2)=-2+8+2\ln 2 = 6+2\ln 2 \approx 7,4>0$; 

$B'(30)=-30+8+2\ln 30 = -22+2\ln 30 \approx -15,2<0$

\begin{list}{\textbullet}{}

\item Sur  \cd{}1~;~2\cd{}:
$1 \pp x < 2 \iff \dfrac{1}{2} < \dfrac{1}{x} \pp 1 \iff 1< \dfrac{2}{x} \pp 2 \iff 0 < -1+\dfrac{2}{x} \pp 1 \Longrightarrow B''(x)>0$ donc $B'$ est strictement croissante.

\item Sur  \cg{}2~;~30\cg{}:
$2 < x \pp 30 \iff \dfrac{1}{30} \pp \dfrac{1}{x} < \dfrac{1}{2} \iff  \dfrac{2}{30}\pp \dfrac{2}{x} <1 \iff  -1+\dfrac{2}{30} \pp -1+\dfrac{2}{x} < 0 \Longrightarrow B''(x)<0$ donc $B'$ est strictement décroissante.

\item En $x=2$, $B''(x)=0$; la fonction $B''$ s'annule et change de signe donc la fonction $B'$ admet un maximum égal à $B'(2)=6+2\ln 2$. 

\end{list}

\newpage

\item  
	\begin{enumerate}
		\item% Montrer que l'équation $B'(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [1~;~30].
On a vu que $B'(1)>0$, $B'(2)>0$ et $B'(30)<0$; on complète le tableau de variations de $B'$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 1  & \hspace*{\esp} & 2 & \hspace*{\esp} & 30 \\ 
\hline
%f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
%\hline
 & &  &   \Rnode{max}{6+2\ln 2}  &  &   \\  
B'(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{7} &   &  &  &   \Rnode{min2}{-22+2\ln 30} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2}
 \rput*(-3,0.9){\Rnode{zero}{\red 0}}
\rput(-3,2.4){\Rnode{alpha}{\red \alpha}}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}

On peut en déduire que l'équation $B'(x)=0$ admet une unique solution sur l'intervalle \cd{}1\,;\,30\cg{}, et que cette solution est dans l'intervalle \cg{}2\,;\,30\cd{}.

		\item% Donner une valeur approchée au millième de la valeur de $\alpha$.
En utilisant le tableau de valeurs de la calculatrice, on trouve successivement:

\begin{list}{\textbullet}{}

\item		
$\left.
\begin{array}{@{} l}
B'(13) \approx 0,13 > 0\\
B'(14)\approx  -0,72 < 0
\end{array}
\right\rbrace 
\Longrightarrow \alpha \in \cd{}13\,;\,14\cg{}$

\item
$\left.
\begin{array}{@{} l}
B'(13,1) \approx 0,045 > 0\\
B'(13,2)\approx  -0,04 < 0
\end{array}
\right\rbrace 
\Longrightarrow \alpha \in \cd{}13,1\,;\,13,2\cg{}$		

\item
$\left.
\begin{array}{@{} l}
B'(13,15) \approx 0,003 > 0\\
B'(13,16)\approx  -0,006 < 0
\end{array}
\right\rbrace 
\Longrightarrow \alpha \in \cd{}13,15\,;\,13,16\cg{}$

\item
$\left.
\begin{array}{@{} l}
B'(13,153) \approx \np{0,0003} > 0\\
B'(13,154)\approx  \np{-0,0005} < 0
\end{array}
\right\rbrace 
\Longrightarrow \alpha \in \cd{}13,153\,;\,13,154\cg{}$		


\end{list}

Donc 13,153 est une valeur approchée de $\alpha$ au millième.		
		
\smallskip

\emph{On peut également utiliser le solveur de la calculatrice.}		
		
 	\end{enumerate}
\item%  En déduire le signe de $B'(x)$ sur l'intervalle [1~;~30], et donner le tableau de variation de la fonction bénéfice $B$ sur ce même intervalle.
On peut déduire des questions précédentes que:

\hfill \textbullet\ \  $B'(x) >0$ sur $\cd{}1\,;\,\alpha\cd{}$ \hfill
\textbullet\ \  $B'(x) <0$ sur $\cg{}\alpha\,;\,30\cg{}$ \hfill
\textbullet\ \  $B'(\alpha)=0$\hfill\null

$B(1)=-0,5 +6 -20 +2\ln 1 = -14,5$; 
$B(30)=-0,5\times 30^2 +6\times 30 - 20 +2\times 30\times \ln 30= -290+60\ln 30$

D'où le tableau de variations de la fonction $B$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 1  & \hspace*{\esp} & \alpha & \hspace*{\esp} & 30 \\ 
\hline
B'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{B(\alpha)}  &  &   \\  
B(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{-14,5} &   &  &  &   \Rnode{min2}{-290+60\,\ln 30} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2}
% \rput*(-3,0.9){\Rnode{zero}{\red 0}}
%\rput(-3,2.4){\Rnode{alpha}{\red \alpha}}
%\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}


\item%  Quel est le nombre de pièces à produire, à l'unité près, pour que l'entreprise réalise un bénéfice maximal?
	
%Quel est ce bénéfice maximal (arrondi au millier d'euros)?

L'entreprise réalise un bénéfice maximal quand $x=\alpha$ ce qui correspond à une production de \np{13153} pièces, à l'unité près.

Ce bénéfice maximal vaut $B(\alpha)$. 

Or $\alpha \in \cd{}13,153\,;\,13,154\cg{}$ et $B(13,153)\approx 40,20$ et $B(13,154)\approx 40,20$ milliers d'euros.

On peut donc dire que le bénéfice maximal, arrondi au millier d'euros, est de \np{40000} \euro. 

\end{enumerate}

\end{document}