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 %Tapuscrit : Denis Vergès merci à Arié Yallouz 
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%%%%   Commandes perso FH
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\psdots(#1,#2)
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}
% permet de placer un point et de marquer son nom en même temps
% abscisse ordonnée emplacement et nom


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\setlength\parindent{0mm}


\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES/L }
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small 7 avril 2014} 
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Pondichéry~  \decofourright\\[10pt]
7 avril 2014 -- Corrigé}} 
\end{center}

%\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}
\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} 

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%Pour chacune des propositions, déterminer si la proposition est vraie ou fausse et justifier la réponse.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  {\bf Proposition fausse.} 
%
%\parbox{0.45\linewidth}{La courbe $\mathcal{C}_{h}$ représentative d'une fonction $h$ définie et dérivable sur $\R$ est représentée  ci-contre.
%
%On a tracé la tangente $T$ à $\mathcal{C}_{h}$ au point A$(- 1~;~3)$.
%
%$T$ passe par le point B$(0~;~- 2)$.
%
%\textbf{Proposition} : le nombre dérivé $h'(- 1)$ est égal à $- 2$.}\hfill
%\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture*}(-2.1,-2.75)(3,4.25)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-2.75)(3,4.25)
%\psgrid[griddots=5,subgriddiv=1]
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.25}{2}{x dup mul 1 add x 3 exp sub}
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-1.25}{0.25}{x 5 neg  mul 2 sub}
%\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](-1,3)(0,-2)
%\uput[ur](1.2,0.5){$\mathcal{C}_{h}$}
%\uput[l](-0.5,0.5){$T$}
%\uput[dl](0,0){O}
%\uput[u](2.9,0){$x$}
%\uput[r](0,4){$y$}
%\uput[ur](-1,3){A}\uput[ur](0,-2){B}
%\end{pspicture*}}

La tangente $T$, passant par les points A et B d'abscisses distinctes, a pour coefficient directeur:

{\centering $\dfrac{y_{\text B} - y_{\text A}}{x_{\text B} - x_{\text A}} = \dfrac{-2-3}{0-(-1)}=\dfrac{-5}{1}=-5$ \par}

\smallskip

La droite $T$ est tangente à la courbe représentant la fonction $h$ au point A d'abscisse $-1$ donc son coefficient directeur est $h'(-1)$.

Donc $h'(-1)=-5 \neq -2$.

\item {\bf Proposition fausse.}

%\parbox{0.45\linewidth}{On désigne par $f$ une fonction définie et deux fois dérivable sur $[0~;~+ \infty[$.
%
%La courbe représentative de la fonction $f''$, dérivée seconde de la fonction $f$, est donnée ci-contre.
%
%Le point de coordonnées (1~;~0) est le seul point d'intersection de cette courbe et de l'axe des abscisses.
%
%\textbf{Proposition} : la fonction $f$ est convexe sur l'intervalle [1~;~4].}\hfill
%\parbox{0.45\linewidth}{\psset{xunit=1cm,yunit=2.5cm}\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(5,1.25)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(5,1.25)
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{ 
% 1 x sub 2.71828 x  exp  div}
% \uput[dl](0,0){O}
% \uput[u](4.9,0){$x$}
% \uput[r](0,1.2){$y$}
%\end{pspicture*}}

Sur l'intervalle $\cd 1\:; 4\cg$, $f''(x) \pp 0$ donc la fonction $f$ est concave sur cet intervalle.


\item \textbf{Proposition vraie.} 

$\e^{5\ln 2} \times \e^{7\ln 4} = \left (\e^{\ln 2}\right )^5 \times \left (\e^{\ln 4}\right )^7 = 2^{5}\times 4^{7} = 2^{5}\times \left (2^2\right )^7 = 2^{5} \times 2^{14} = 2^{5+14}  = 2^{19}$

\item {\bf Proposition vraie.}

%La courbe représentative d'une fonction $g$ définie et continue sur l'intervalle [0~;~2] est donnée en fig. 1.
%
%La courbe représentative d'une de ses primitives, $G$, est donnée sur la fig. 2. La courbe représentative de $G$ passe par les points A(0~;~1), B(1~;~1) et C(2~;~5).
%
%\begin{center}
%
%\begin{tabular}{c c}
%\psset{xunit=2cm,yunit=0.5cm}
%\begin{pspicture*}(-0.4,-2.4)(2.2,8.2)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.4,-0.2)(2.2,8.2)
%\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-0.4,-0.2)(2.2,8.2)
%%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{x dup mul 1.5 mul 2 x mul add 1.5 sub}
%\psgrid[gridlabels=0,griddots=10,subgriddiv=1](0,-1)(2,8)
%\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,0)(0.333,-0.35)(0.666,0)(1,1)(1.21,2)(1.54,4)(1.79,6)(2,8)
%\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
%\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](1,1)(1.21,2)(1.54,4)(1.79,6)(2,8)
%\psline(2,0)(1,0)(1,1)}
%\uput[dl](0,0){O}
%\rput(1,-2){fig. 1}
%\end{pspicture*}
%&\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
%\begin{pspicture*}(-0.3,-1.2)(2.2,5.2)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.2,-0.2)(2.2,5.2)
%\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-0.2,-0.2)(2.2,5.2)
%\psgrid[gridlabels=0,griddots=10,subgriddiv=1](0,0)(2,5)
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{x x 1 sub mul x 2 div 1.5 add mul 1 add}
%\rput(1,-1){fig. 2}
%\uput[dl](0,0){O}
%\end{pspicture*}
%\end{tabular}
%\end{center}
%
%\medskip
%
%\textbf{Proposition} : la valeur exacte de l'aire de la partie grisée sous la courbe de $g$ en fig. 1 est 4 unités d'aires.

La fonction $g$ est positive sur $\cd 1\:; 2\cg$ donc l'aire du domaine grisé est, en unités d'aires, donnée par:
$\ds\int_{1}^{2} g(x) \d x = G(2)-G(1)$ où $G$ est une primitive de $g$ sur $\cd 1\:; 2\cg$.

La courbe représentant la fonction $G$ passe par le point C de coordonnées $(2\:; 5)$ donc $G(2)=5$; 
cette courbe passe par le point B de coordonnées $(1\:; 1)$ donc $G(1)=1$.

Donc $G(2)-G(1)=5-1=4$ et donc l'aire grisée est égale à 4 unités d'aires. 

\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}

%\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}
\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} 

\textbf{Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats L}

%\medskip
%
%Une association décide d'ouvrir un centre de soin pour les oiseaux sauvages victimes de la pollution. Leur but est de soigner puis relâcher ces oiseaux une fois guéris.
% 
%Le centre ouvre ses portes le 1\up{er} janvier 2013 avec 115 oiseaux.
% 
%Les spécialistes prévoient que 40\,\% des oiseaux présents dans le centre au 1\up{er} janvier d'une année restent présents le 1\ier{} janvier suivant et que 120 oiseaux nouveaux sont accueillis dans le centre chaque année.
% 
%On s'intéresse au nombre d'oiseaux présents dans le centre au 1\up{er} janvier des années suivantes. 
%
%La situation peut être modélisée par une suite $\left(u_{n}\right)$ admettant pour premier terme $u_{0} = 115$, le terme $u_{n}$ donnant une estimation du nombre d'oiseaux l'année $2013 + n$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item% Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$. Avec quelle précision convient-il de donner ces résultats ? 
On sait que $u_0=115$; sur ces 115 oiseaux, $40\,\%$ restent présents ce qui en fait $115\times 0,40 = 46$. De plus, 120 nouveaux oiseaux sont accueillis en 2013 donc il y en aura au 1\ier{} janvier 2014: $u_1=46+120=166$.

De même au 1\ier{} janvier de l'année 2015, il y en aura $u_2=166\times 0,4 + 120 \approx 186$.

Il faut donner les résultats à l'unité près puisqu'il s'agit d'un nombre d'oiseaux.


\item% Les spécialistes déterminent le nombre d'oiseaux présents dans le centre au 1\ier{} janvier de chaque année à l'aide d'un algorithme. 

	\begin{enumerate}

		\item Parmi les trois algorithmes proposés ci-dessous, seul l'\textbf{algorithme 3} permet d'estimer le nombre d'oiseaux présents au 1\up{er} janvier de l'année $2013 + n$.
		 
%Expliquer pourquoi les deux premiers algorithmes ne donnent pas le résultat attendu.

\medskip
\begin{footnotesize}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|p{0.1cm}|X|p{0.1cm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5} 
\textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}&&\textbf{Variables :}\\ 
$U$ est un nombre réel&&$U$ est un nombre réel&&$U$ est un nombre réel\\ 
$i$ et $N$ sont des nombres entiers&&$i$ et $N$ sont des nombres entiers&&$i$ et $N$ sont des nombres entiers\\
\textbf{Début}&&\textbf{Début}&&\textbf{Début}\\ 
Saisir une valeur pour $N$&&Saisir une valeur pour $N$&&Saisir une valeur pour $N$\\
Affecter 115 à $U$&&Pour $i$ de 1 à $N$ faire&&Affecter 115 à $U$\\ 
Pour $i$ de 1 à $N$ faire&&\hspace{0.25cm}| Affecter 115 à $U$&&Pour i de 1 à N faire \\ 
\hspace{0.25cm}| Affecter $0,6 \times U + 120$ à $U$&&\hspace{0.25cm}| Affecter $0,4 \times U + 115$ à $U$&&\hspace{0.25cm}| Affecter $0,4 \times U + 120$ à $U$\\
Fin Pour&&Fin Pour&&Fin Pour\\ 
Afficher $U$&&Afficher $U$&&Afficher $U$\\ 
{\bf Fin}&&{\bf Fin}&&{\bf Fin}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5} 
\multicolumn{1}{c}{\textbf{algorithme 1}}&\multicolumn{1}{p{0.15cm}}{~}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{algorithme 2}}&\multicolumn{1}{p{0.15cm}}{~}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{algorithme 3}}\\
\end{tabularx}
\end{footnotesize}

\smallskip

Dans ces trois algorithmes, la variable $U$ contient le nombre d'oiseaux recueillis l'année $2013 + i$, où $i$ est un nombre entier compris entre 1 et $N$.

Dans l'algorithme 1, on multiplie le nombre d'oiseaux de l'année $2013+n$ par $0,6$ ce qui revient à en prendre $60\,\%$ alors qu'il faut en prendre $40\,\%$.

Dans l'algorithme 2, on multiplie le nombre d'oiseaux par le bon coefficient $0,4$ mais on ajoute chaque année 115 alors qu'il faut ajouter 120 oiseaux, comme le dit le texte.

De plus, dans cet algorithme, il ne faudrait pas mettre l'instruction "Affecter 115 à $U$" dans la boucle \textsc{pour}, mais avant d'y entrer. 

		\item% Donner, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$. 
On peut dire que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,4\,u_{n}+120$ avec $u_0=115$.


	\end{enumerate} 

\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} - 200$. 

	\begin{enumerate}

		\item% Montrer que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,4$. Préciser $v_{0}$. 
Pour tout $n$, $v_n=u_n-200$ donc $u_n=v_n+200$.

$v_{n+1}=u_{n+1}-200$; or $u_{n+1}= 0,4\,u_n+120$, donc\\
$v_{n+1}=0,4\,u_n+120-200 = 0,4\,(v_n+200) -80 = 0,4\,v_n+80-80 = 0,4\,v_n$

$v_0=u_0-200 = 115-200 = -85$

Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q=0,4$ et de premier terme $v_0=-85$.


		\item% Exprimer, pour tout entier naturel $n, \:v_{n}$ en fonction de $n$. 
On sait que l'expression  d'une suite géométrique $(v_n)$ de premier terme $v_0$ et de raison $q$ est: $v_n=v_0\times q^n$ pour tout entier $n$.

Donc $v_n=-85\times 0,4^{n}$ pour tout entier $n$.


		\item% En déduire que pour tout entier naturel $n, u_{n} = 200 - 85 \times 0,4^n$. 
On a vu que, pour tout entier $n$, $u_n=v_n+200$; or $v_n = -85\times 0,4^n$, donc pour tout entier naturel $n$, $u_n=200-85\times 0,4^n$.		
		
		\item% La capacité d'accueil du centre est de $200$~oiseaux. Est-ce suffisant ? Justifier la réponse.
L'estimation du nombre d'oiseaux  l'année $2013+n$ est $200-85\times 0,4^n$.

Le nombre $0,4^n$ est positif donc le nombre $200-85\times 0,4^n$ est toujours inférieur à 200.

Une capacité d'accueil de 200 oiseaux est donc suffisante pour ce centre.

		
	\end{enumerate} 

\item% Chaque année, le centre touche une subvention de $20$~euros par oiseau présent au 1\up{er} janvier.
 
%Calculer le montant total des subventions perçues par le centre entre le 1\up{er} janvier 2013 et le 31 décembre 2018 si l'on suppose que l'évolution du nombre d'oiseaux se poursuit selon les mêmes modalités durant cette période. 

On cherche à calculer le nombre total d'oiseaux présents dans le centre entre le 1\ier{} janvier 2013 et le 31 décembre 2018, autrement dit pour $n$ entier entre 0 et 5 puisque $2018=2013+5$; ce nombre est $u_0+u_1+u_2+u_3+u_4+u_5$.

On connaît $u_0$, $u_1$ et $u_2$; il reste à calculer $u_3$, $u_4$ et $u_5$:

\hspace*{2cm} $u_3=0,4\times u_2+120 = 0,4\times 186 + 120 \approx 194$

\hspace*{2cm} $u_4=0,4\times u_3+120 = 0,4\times 194 + 120 \approx 198$

\hspace*{2cm} $u_5=0,4\times u_4+120 = 0,4\times 198 + 120 \approx 199$

$u_0+u_1+u_2+u_3+u_4+u_5 \approx 115+166+186+194+198+199 = \np{1058}$

Entre le 1\ier{} janvier 2013 et le 31 décembre 2018, il y aura $\np{1058}$ oiseaux présents au centre; chacun d'eux rapportant 20\,\euro{}, le montant total de la subvention touchée sera de $\np{1058} \times 20 = \np{21160}$ euros.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

%\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}
\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} 

\textbf{Candidats ES ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

%\medskip
%
%\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

%\medskip
% 
%Deux sociétés, Ultra-eau (U) et Vital-eau (V), se partagent le marché des fontaines d'eau à bonbonnes dans les entreprises d'une grande ville.

%\medskip
%\textbf{Partie A}
\subsubsection*{Partie A}
%\medskip
 
%En 2013, l'entreprise U avait 45\,\% du marché et l'entreprise V le reste. 
%Chaque année, l'entreprise U conserve 90\,\% de ses clients, les autres choisissent l'entreprise V. Quant à l'entreprise V, elle conserve 85\,\% de ses clients, les autres choisissent l'entreprise U.
% 
%On choisit un client au hasard tous les ans et on note pour tout entier naturel $n$ : 
%
%\begin{description}
%\item $u_{n}$ la probabilité qu'il soit un client de l'entreprise U l'année $2013 + n$, ainsi 
%$u_{0} = 0,45$;
%\item $v_{n}$ la probabilité qu'il soit un client de l'entreprise V l'année $2013 + n$.
%
%\end{description}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}

\item On représente la situation par un graphe probabiliste de sommets U et V:

\hspace*{1cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(6,1.2)
\Rnode{U}{U} \hskip 4cm \Rnode{V}{V}% définition des sommets
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%       différents paramètres
\ncarc{->}{U}{V} \Aput{0,1}%                 arc pondéré partant de U
\ncarc{->}{V}{U} \Aput{0,15}%                 arc pondéré arrivant à V
\nccircle[angleA=90]{->}{U}{4mm}   \Bput{0,9}%   boucle autour de U
\nccircle[angleA=-90]{->}{V}{.4cm} \Bput{0,85}%  boucle autour de V
\end{pspicture}

\item Comme un client est soit client de la société U, soit client de la société V, on peut dire que, pour tout entier $n$, $u_n+v_n=1$.

$v_{0} = 1-u_0 = 1-0,45 = 0,55$

$u_{1} = 0,9\times u_0+ 0,15\times v_0 = 0,9\times 0,45 + 0,15 \times 0,55 = 0,485 + \np{0,0825} = \np{0,4875}$

$v_{1} = 1- u_1 = 1- \np{0,4875} = \np{0,5125}$ 

On aurait pu dire aussi que $v_1 = 0,1\times 0,45 + 0,85 \times 0,55 = \np{0,5125}$.

\item L'algorithme incomplet donné dans le texte doit donner en sortie les valeurs de $u_{n}$ et $v_{n}$ pour un entier naturel $n$ saisi en entrée; 
on complète les lignes (L5) et (L8) de cet algorithme:

\begin{center}
\begin{tabularx}{.85\linewidth}{|l X |c|}\hline
\textbf{Variables :}&$N$ est un nombre entier naturel non nul&L1\\
&$U$ et $V$ sont des nombres réels&L2\\
\textbf{Traitement :}&Saisir une valeur pour $N$&L3\\
&Affecter à $U$ la valeur 0,45&L4\\
&Affecter à $V$ la valeur {\red \bf 0,55} &L5\\
&Pour $i$ allant de 1 jusqu'à $N$&L6\\
&\hspace{0,2cm} | affecter à $U$ la valeur $0,9 \times U + 0,15 \times V$  &L7\\
&\hspace{0,2cm} | affecter à $V$ la valeur {\red \boldmath $1-U$} &L8\\
&Fin Pour&L9\\
\textbf{Sortie :}&Afficher $U$ et Afficher $V$&L10\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
\item On admet que, pour tout nombre entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0, 75\,u_{n} + 0,15$.

On note, pour tout nombre entier naturel $n$, $w_{n} = u_{n} - 0,6$. 

	\begin{enumerate}

		\item% Montrer que la suite $\left(w_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,75$. 

Pour tout entier $n$, $w_n=u_n-0,6$; donc $u_n=w_n+0,6$.

$w_{n+1}=u_{n+1}-0,6 = 0,75\,u_n+0,15 -0,6 = 0,75\,(w_n+0,6) -0,45 = 0,75\,w_n +0,45-0,45 = 0,75\,w_n$

$w_0=u_0 - 0,6 = 0,45 - 0,6 = -0,15$

Donc la suite $(w_n)$ est une suite géométrique de raison $0,75$ et de premier terme $w_0=-0,15$.

		\item% Quelle est la limite de la suite $\left(w_{n}\right)$ ? En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. Interpréter le résultat dans le contexte de cet exercice.

La suite $(w_n)$ est géométrique de raison $0,75$; or $0<0,75 < 1$, donc la suite $(w_n)$ est convergente et a pour limite 0.

Pour tout $n$, $u_n = w_n + 0,6$ donc, d'après les théorèmes sur les limites de suites, on peut dire que la suite $(u_n)$ est convergente et a pour limite 0,6.

Autrement dit, à long terme, le pourcentage de clients de l'entreprise U tendra vers $60\,\%$ et donc celui de l'entreprise V tendra vers $40\,\%$.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}
 
%\bigskip
%\textbf{Partie B}
\subsubsection*{Partie B}
%\medskip 

L'entreprise U fournit ses clients en recharges pour les fontaines à eau et dispose des résultats antérieurs suivants :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Nombre de recharges en milliers& 1 &3 &5\\ \hline 
Coût total annuel de production en centaines d'euros& 11 &27,4 &83\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
Le coût total de production est modélisé par une fonction $C$ définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $\cd 0~;~10\cg$ par
$C(x) = ax^3 + bx^2 + cx + 10$ où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels.
	 
Lorsque le nombre $x$ désigne le nombre de milliers de recharges produites, $C(x)$ est le coût total de production en centaines d'euros.
 
On admet que le triplet $(a, b, c)$ est solution du système $(S)$. 

\[(S)\quad \left\{\begin{array}{l c l} 
a+b+c&=&1\\ 
27a + 9b + 3c &=& 17,4\\ 
125a + 25b + 5c &=& 73
\end{array}\right. 
 \text{et on pose}\: X = \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}.\] 

\begin{enumerate}

\item 

	\begin{enumerate}

		\item% Écrire ce système sous la forme $MX = Y$ où $M$ et $Y$ sont des matrices que l'on précisera. 
Soit $M$ la matrice 
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 27 & 9 & 3 \\ 123 & 25 & 5 \end{pmatrix}$ et $Y$ la matrice $\begin{pmatrix} 1 \\ 17,4 \\ 73 \end{pmatrix}$;

alors le système $(S)$ est équivalent à $MX=Y$.  

		\item On admet que la matrice $M$ est inversible.
On appelle $M^{-1}$ la matrice inverse de $M$.

Alors $MX=Y \iff X = M^{-1}Y$.

En faisant les calculs à la calculatrice, on trouve:
$M^{-1}Y = \begin{pmatrix} 0,5 \\ 0,4 \\ 0,1 \end{pmatrix}$;
donc
$\left\lbrace 
\begin{array}{@{} l @{\;=\;} l}
a & 0,5\\
b & 0,4\\
c & 0,1
\end{array}
\right. $

	\end{enumerate} 

\item En utilisant cette modélisation, le coût total annuel de production pour \np{8000} recharges d'eau produites serait $C(8)\times 100$.

On remplace $a$, $b$ et $c$ respectivement par $0,5$ $0,4$ et $0,1$ donc: $C(x)= 0,5\,x^3 + 0,4\,x^2 + 0,1\,x + 10$.

$C(8)= 0,5\times 8^3 + 0,4\times 8^2 + 0,1\times 8 + 10 = 292,4$; $292,4 \times 100= \np{29240}$

Le coût total annuel de production pour \np{8000} recharges est de  \np{29240} \euro.

\end{enumerate}

%\textbf{Annexe à l'exercice 2}
%\subsubsection*{Annexe à l'exercice 2}
%
%Recopier sur la copie la  partie \og traitement \fg{ } (lignes L3 à L9) en complétant les lignes L5 et L8.
%
%\vspace{0,5cm}

%\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}
\subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} 

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%\emph{Les parties A, B et C sont indépendantes}

%\medskip
 
%\textbf{Partie A}
\subsubsection*{Partie A}

%\medskip
 
%Une société s'est intéressée à la probabilité qu'un de ses salariés, choisi au hasard, soit absent durant une semaine donnée de l'hiver 2014. 
%
%On a évalué à $0,07$ la probabilité qu'un salarié ait la grippe une semaine donnée. Si le salarié a la grippe, il est alors absent.
% 
%Si le salarié n'est pas grippé cette semaine là, la probabilité qu'il soit absent est estimée à $0,04$.
% 
%On choisit un salarié de la société au hasard et on considère les évènements suivants :
%
%\begin{itemize}
%\item $G$ : le salarié a la grippe une semaine donnée ; 
%\item $A$ : le salarié est absent une semaine donnée.
%\end{itemize}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On complète l'arbre en tenant compte des données fournis dans le texte:

\bigskip

\begin{center}
\psset{treesep=.75cm,levelsep=4cm,nodesepB=4pt, treesep=10mm}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$G$}\taput{0,07}}
	  { 
		  \TR{$A$}\taput{1}
	  }
	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{G}$}\tbput{$1-0,07=0,93$}}
	  {
		  \TR{$A$}\taput{0,04}
		  \TR{$\overline{A}$}\tbput{$1-0,04=0,96$}	  
	  }
}
\end{center}
 
\bigskip 
 
\item% Montrer que la probabilité $p(A)$ de l'évènement $A$ est égale à \np{0,1072}. 
D'après la formule des probabilités totales: $p(A)=p(G \cap A) + p(\overline G \cap A)$.

$p(G \cap A) = p(G) \times p_G(A)=0,07 \times 1 = 0,07$

$p(\overline G \cap A) = p(\overline G) \times p_{\overline G}(A)=0,93 \times 0,04 = \np{0,0372}$

$p(A)= 0,07 + \np{0,0372} = \np{0,1072}$

\item La probabilité qu'un salarié ait la grippe sachant qu'il  est absent est:

$p_A(G) = \dfrac{p(G \cap A)}{p(A)} = \dfrac{0,07}{\np{0,1072}} \approx 0,653$.

\end{enumerate}

%\bigskip
 
%\textbf{Partie B}
\subsubsection*{Partie B}
%\medskip
 
On admet que le nombre de journées d'absence annuel d'un salarié peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu = 14$ et d'écart type $\sigma = 3,5$.

%\medskip
 
\begin{enumerate}

\item% Justifier, en utilisant un résultat du cours, que $p(7 \leqslant X \leqslant 21) \approx 0,95$. 
$\mu-2\sigma = 14-2\times 3,5 = 7$ et $\mu+2\sigma = 14+2\times 3,5 = 21$

On sait que si une variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart type $\sigma$ que: $p(\mu - 2\sigma \pp X \pp \mu+2\sigma) \approx 0,95$; comme la variable aléatoire $X$ suit la loi normale de paramètres $\mu=14$ et $\sigma=3,5$, on peut dire que $p(7 \pp X \pp 21) \approx 0,95$.


\item La probabilité qu'un salarié comptabilise au moins $10$ journées d'absence dans l'année est $p(X \pg 10)$.
\`A la calculatrice, on trouve $p(X \pg 10) \approx 0,873$.

\end{enumerate} 

%\bigskip
 
%\textbf{Partie C}
\subsubsection*{Partie C}
%\medskip

%Une mutuelle déclare que 22\,\% de ses adhérents ont dépassé 20 journées d'absence au travail en 2013.
% 
%Afin d'observer la validité de cette affirmation, un organisme enquête sur un échantillon de 200 personnes, choisies au hasard et de façon indépendante, parmi les adhérents de la mutuelle. 
%
%Parmi celles-ci, $28$ ont comptabilisé plus de 20 journées d'absence en 2013. 
%
%Le résultat de l'enquête remet-il en question l'affirmation de la mutuelle ? Justifier la réponse. On pourra s'aider du calcul d'un intervalle de fluctuation. 
%

Pour une proportion $p$ et un échantillon de taille $n$, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% est:

\hfill $\left[ p- 1,96 \dfrac{\ds \sqrt{p\left(1-p\right)}}{\ds \sqrt{n}}\:; p + 1,96\dfrac{\ds \sqrt{p\left(1-p\right)}}{\ds\sqrt{n}} \right]$\hfill\, 

\medskip

L'échantillon de l'enquête est de taille $n=200$ et la mutuelle déclare que 22\,\% de ses adhérents ont dépassé 20 journées d'absence au travail donc $p = 0,22$.

Comme $n = 200$, \:$np = 200 \times 0,22 = 44$ et $n\times (1 - p) = 200 \times 0,78 = 156$, les conditions pour utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

\medskip

L'intervalle est alors:
$I = \left[ 0,22 - 1,96 \dfrac{\ds \sqrt{0,22\left(1-0,22\right)}}{\ds \sqrt{200}}\:; 0,22 + 1,96\dfrac{\ds\sqrt{0,22\left(1-0,22\right)}}{\ds\sqrt{200}} \right] \approx \cd 0,16\:; 0,28\cg$.

\medskip

L'enquête a montré que 28 personnes ont comptabilisé plus de 20 journées d'absence, ce qui fait une proportion de $\dfrac{28}{200\rule[-5pt]{0pt}{12pt}}=0,14$; 
or $0,14 \not\in I$ donc on peut penser que le résultat de l'enquête remet en question l'affirmation de la mutuelle. 

%\vspace{0,5cm}

\newpage

%\textbf{Exercice 4 \hfill 6 points}
\subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} 

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%\emph{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment}
%
%\medskip
% 
%Un artisan glacier commercialise des \og sorbets bio \fg. Il peut en produire entre 0 et 300 litres par semaine. Cette production est vendue dans sa totalité.
% 
%Le coût total de fabrication est modélisé par la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle I = [0~;~3] par 
%
%\[f(x) = 10x^2 - 20x \ln x.\]
% 
%Lorsque $x$ représente le nombre de centaines de litres de sorbet, $f(x)$ est le coût total de fabrication en centaines d'euros.
% 
%La recette, en centaines d'euros, est donnée par une fonction $r$ définie sur le même intervalle I.
%
%\medskip
 
%\textbf{Partie A}
\subsubsection*{Partie A}

%\medskip
% 
%La courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ et la droite $D$ représentative de la fonction linéaire $r$ sont données en \textbf{annexe}.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Répondre aux questions suivantes par lecture graphique et sans justification. 
	\begin{enumerate}

		\item% Donner le prix de vente en euros de $100$~litres de sorbet. 
La droite $D$ passe par le point de coordonnées $(1\:; 10)$; 1 représente 100~litres et 10 représentent \np{1000}~euros. Donc la vente de 100 litres de sorbet rapporte \np{1000}~euros.

		\item% Donner l'expression de $r(x)$ en fonction de $x$. 
La droite $D$ passe par l'origine donc représente une fonction linéaire $r$ avec $r(x)=ax$.

Cette droite passe par le point de coordonnées $(1\:; 10)$ donc $r(1)=10 \iff a=10$.

Donc $r(x)=10x$.

		\item% Combien l'artisan doit-il produire au minimum de litres de sorbet pour que l'entreprise dégage un bénéfice?
Pour que l'entreprise réalise un bénéfice, il faut que la droite $D$ représentant la recette soit au dessus de la courbe $\mathcal C$ représentant le coût; la droite et la courbe se coupent au point d'abscisse 1. Il faut donc que $x > 1$ pour réaliser un bénéfice, donc que l'artisan produise au moins 100 litres de sorbet.

	\end{enumerate} 
\item On admet que $\displaystyle\int_{1}^3 20x \ln x\:\text{d}x = 90 \ln 3 - 40$. 

	\begin{enumerate}

		\item% En déduire la valeur de $\displaystyle\int_{1}^3 f(x)\:\text{d}x$. 
$\displaystyle\int_{1}^3 f(x)\d x = \ds\int_1^3 \left ( 10x^2-20x \ln x\right ) \d x = \ds \int_1^3 10x^2 \d x - \ds\int_1^3 20x \ln x \d x$

La fonction $x \longmapsto 10 x^2$ a pour primitive $x \longmapsto 10 \dfrac{x^3}{3}$ donc \\
$\ds \int_1^3 10x^2 \d x = \left[ 10\dfrac{x^3}{3} \right]_1^3 = \left ( 10 \times \dfrac{27}{3}\right ) - \left ( 10 \times \dfrac{1}{3}\right ) = \dfrac{260}{3}$

$\displaystyle\int_{1}^3 f(x)\d x = \dfrac{260}{3}-\left (90 \ln 3 - 40\right ) = \dfrac{260}{3} - 90 \ln 3 + 40 = \dfrac{380}{3}-90 \ln 3$

		\item La valeur moyenne de la fonction $f$ entre 1 et 3 est $\dfrac{1}{3-1}\displaystyle\int_{1}^3 f(x)\d x \approx 13,90$.
		
Donc pour une production comprise entre $100$ et $300$~litres, la valeur moyenne du coût total de production est égale à \np{1390} euros. 
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\bigskip
 
%\textbf{Partie B}
\subsubsection*{Partie B}

%\medskip
 
On note $B(x)$ le bénéfice réalisé par l'artisan pour la vente de $x$ centaines de litres de sorbet produits. D'après les données précédentes, pour tout $x$ de l'intervalle $\cd 1~;~3 \cg$, on a : 
$B(x) = - 10x^2 + 10x + 20x \ln x$
où $B(x)$ est exprimé en centaines d'euros. 

%\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$; 
%Montrer que, pour tout nombre $x$ de l'intervalle [1~;~3], on a : $B'(x) = - 20x +20 \ln x + 30$. 
$B(x) = - 10x^2 + 10x + 20x \ln x$ donc\\ 
$B'(x)=-20x +10 +20 \left ( 1\times \ln x + x\times \dfrac{1}{x}\right ) =
-20x+10 +20\ln x + 20 = -20x +20\ln x + 30$.


\item On donne le tableau de variation de la fonction dérivée $B'$ sur l'intervalle $\cd 1~;~3\cg$:

\begin{center}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,2.5)
\psframe(6,2.5)
\psline(0,2)(6,2) \psline(1,0)(1,2.5)
\uput[u](0.5,1.95){$x$}
\uput[u](1.5,1.95){$1$}
\uput[u](5.5,1.95){$3$}
\rput(0.5,1){$B'(x)$}
\uput[d](1.6,2){\Rnode{max}{$B'(1)$}}
\uput[u](5.4,0){\Rnode{min}{$B'(3)$}}
%\psline{->}(1.5,1.5)(5.5,0.5)
\ncline{->}{max}{min}
\end{pspicture} 
\end{center}


	\begin{enumerate}
		\item% Montrer que l'équation $B'(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle [1~;~3], Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$. 
$B'(1)=10>0$ et $B'(3) \approx -8 <0$ donc $B'(1)>0>B'(3)$.
%La fonction $B'$ est continue et strictement décroissante sur l'intervalle $\cd 1\:; 3\cg$; elle passe d'une valeur positive à une valeur négative donc elle passe une fois et une seule par 0.

On complète le tableau de variations de $B'$ sur $\cd 1\:; 3\cg$:

\begin{center}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,2.5)
\psframe(6,2.5)
\psline(0,2)(6,2) \psline(1,0)(1,2.5)
\uput[u](0.5,1.95){$x$}
\uput[u](1.5,1.95){$1$}
\uput[u](5.5,1.95){$3$}
\rput(0.5,1){$B'(x)$}
\uput[d](1.6,2){\Rnode{max}{$B'(1)$}}
\uput[u](5.4,0){\Rnode{min}{$B'(3)$}}
%\psline{->}(1.5,1.5)(5.5,0.5)
\ncline{->}{max}{min}
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](3.5,1)(3.5,1.9)
\rput*(3.5,1){\red 0}
\uput[u](3.5,1.95){\red $\alpha$}
\end{pspicture} 
\end{center}

D'après ce tableau de variations, on peut dire que l'équation $B'(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $\cd 1\:; 3\cg$.

$\left. 
\begin{array}{@{\hspace*{1cm}} c @{\;\approx\;} l}
B'(2) & 3,9 >0\\
B'(3) & -8 <0
\end{array}
\right\rbrace 
\Rightarrow \alpha \in \cd 2\:; 3\cg$

$\left. 
\begin{array}{@{\hspace*{1cm}} c @{\;\approx\;} l}
B'(2,3) & 0,7 >0\\
B'(2,4) & -0,5 <0
\end{array}
\right\rbrace 
\Rightarrow \alpha \in \cd 2,3\:; 2,4\cg$

$\left. 
\begin{array}{@{\hspace*{1cm}} c @{\;\approx\;} l}
B'(2,35) & 0,09 >0\\
B'(2,36) & -0,03 <0
\end{array}
\right\rbrace 
\Rightarrow \alpha \in \cd 2,35\:; 2,36\cg$
 
Donc $\alpha \approx 2,35$.

		\item% En déduire le signe de $B'(x)$ sur l'intervalle [1~;~3] puis dresser le tableau de variation de la fonction $B$ sur ce même intervalle.

\begin{tabular}[t]{@{} l @{\hspace*{1cm}\textbullet\hspace*{0.3cm}} l}
D'après la question précédente: & $B'(x)>0$ sur $\cd 1\:; \alpha\cd$;\\
 & $B'(\alpha)=0$;\\
 & $B'(x)<0$ sur $\cg \alpha\:; 3\cg$.
\end{tabular}

S'il n'y a aucune production, il n'y a pas de bénéfice donc $B(1)=0$;
$B(3) \approx 5,92$.

D'où le tableau de variations de la fonction $B$ sur $\cd 1\:; 3\cg$:

\begin{center}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 1  & \hspace*{2.5cm} & \alpha & \hspace*{2.5cm} & 3 \rule[-8pt]{0pt}{22pt}\\ 
\hline
B'(x) &  &  \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} &  \rule[-6pt]{0pt}{18pt} \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{B(\alpha)}  &  &    \rule{0pt}{12pt} \\  
B(x) & &     &  &  &    \\ 
 & \Rnode{min1}{0} &   &  &  &   \Rnode{min2}{5,92}   
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $	
\end{center}	
		
	\end{enumerate} 

\item% L'artisan a décidé de maintenir sa production dans les mêmes conditions s'il peut atteindre un bénéfice d'au moins $850$~euros. Est-ce envisageable?
Le bénéfice maximum est obtenu pour $x=\alpha$ avec $\alpha \in \cd 2,35\:; 2,36\cg$.

\`A la calculatrice on obtient $B(2,35) \approx \np{8,4325}$ et $B(2,36) \approx  \np{8,4328}$, correspondant respectivement à des bénéfices de 843,25~\euro{} et de 843,28~\euro{}. 

Il ne semble donc pas envisageable d'atteindre un bénéfice d'au moins 850~\euro{}.  


\end{enumerate} 

%\newpage
%\begin{center}
%{\Large ANNEXE }
%\subsubsection*{ANNEXE}
%
%\vspace{1cm}
%
%Annexe à l'exercice 4 
%%\subsubsection*{Annexe à l'exercice 4}
%
%\vspace{1cm}
%
%\psset{xunit=3cm,yunit=0.4cm,comma=true}
%\begin{pspicture}(-0.2,-2)(3.2,32)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.2,Dy=2](0,0)(-0.19,-1.9)(3.2,32)
%\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0.01}{3}{x dup mul 10 mul x ln x mul 20 mul sub}
%\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{3}{x 10 mul}
%\uput[u](2.8,0){centaines de litres}
%\uput[r](0,31.5){centaine d'euros}
%\uput[u](2,20){$D$}\uput[u](2,12){$\mathcal{C}$}
%\uput[dl](0,0){O}
%\end{pspicture}
%\end{center}

\end{document} 