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% Tapuscrit : Denis Vergès
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{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{mars 2003}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Pondichéry  avril 2003~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

%On considère la suite numérique $\left(u_n\right)$ définie sur $\N$ par :
%
%\[u_0 = a,\:\text{et,~pour tout entier}\: n,\: u_{n+1} = u_n \left(2 - 
%u_n\right)\]
%
%où $a$ est un réel donné tel que $0 < a < 1$.

\begin{enumerate} 
\item %On suppose dans cette question que $a = \dfrac{1}{8}$
	\begin{enumerate} 
		\item %Calculer $u_1$ et $u_2$.
Ave $n = 0$, la relation de recurrence donne$u_{1} = u_{0}\left(2 - u_{0} \right) = \dfrac{1}{8}\left(2 - \dfrac{1}{8} \right) = \dfrac{1}{8} \times \dfrac{15}{8} = \dfrac{15}{64}$.

Avec $n = 1$, on obtient : $u_{2} = u_{1}\left(2 - u_{1} \right) = \dfrac{15}{64}\left(2 - \dfrac{15}{64}\right) = \dfrac{15}{64}\times \dfrac{113}{64} = \dfrac{\np{1695}}{\np{4096}}$.
		\item %Dans un repère orthonormal (unité graphique 8~cm), tracer, sur l'intervalle [0~;~2], la droite (d) d'équation $y = x$ et la courbe $(\Gamma)$ représentative de la fonction : $f~: x \mapsto x(2 - x)$.
~		
\begin{center}
\psset{unit=5cm}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(2.1,1.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.1,-0.1)(2.1,1.1)
\psline(-0.1,-0.1)(1.1,1.1)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0}{2}{2 x sub x mul}
\psline[arrowsize=2pt 3]{->}(0.125,0)(0.125,0.234375)(0.234375,0.234375)(0.234375,0)(0.234375,0.413818)(0.413818,0.413818)(0.413818,0)(0.413818,.65639)(.65639,.65639)(.65639,0)
\uput[d](.125,0){A$_{0}$}\uput[d](0.234375,0){A$_{1}$}\uput[d](0.413818,0){A$_{2}$}\uput[d](.65639,0){A$_{3}$}
\uput[ul](1,1){(d)}\uput[ur](1.5,0.8){\cyan $(\Gamma)$}
\end{pspicture}		
\end{center}
		\item %Utiliser (d) et $(\Gamma)$ pour construire sur l'axe des abscisses les points A$_1$,~A$_2$,~A$_3$ d'abscisses respectives $u_1,~u_2,~u_3$.
		On part du point A$_{0}$ d'abscisse $u_{0}= \dfrac{1}{8} = 0,125$, on va	 alternativement \og vers \fg{} la courbe $(\Gamma)$(verticalement) puis vers la droite (d) (horizontalement) : les points de la droite et de la courbe ont successivement pour abscisses $u_{1},\:u_{2},\:u_{3},\ldots$. 
	\end{enumerate}
\item %On suppose dans cette question que $a$ est un réel quelconque de l'intervalle ]0~;~1[.
	\begin{enumerate} 
		\item %Montrer par récurrence que, pour tout entier $n,~0 < u_n < 1$.
On a donc $0 < a < 1$ :

$\bullet~~$ la relation est donc vraie au rang $0$ : $0 < a = u_{0} < 1$ ;

$\bullet~~$ Hérédité : supposons qu'il existe un naturel $p$ tel que : $0 < u_{p} < 1$. On a vu que la fonction $f$ est croissante sur [0~;~1], donc :

$0 < u_{p} < 1 \Rightarrow f(0) < f\left(u_{p}\right) < f(1)$ soit 

$0 < u_{p+1} < 1$.

Si $u_{p}$ appartient à [0~;~1], il en est de même pour $u_{p+1}$. L'hérédité est démontrée.

On a donc bien démontré par récurrence que si $a \in [0~;~1]$, alors $u_{n} \in [0~;~1]$ quel que soit le naturel $n$.
		\item %Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
	Calculons la différence $u_{n+1} - u_{n} = u_{n}\left(2 - u_{n} \right) - u_{n} = u_{n}\left(1 - u_{n} \right)$.
	
	Or on vient de démontrer que $u_{n} < 1 \iff 1 - u_{n} > 0$ et comme $u_{n} > 0$, on obtient par produit $u_{n+1} - u_{n} > 0$, ce qui montre que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
		\item %Que peut-on en déduire ?
		La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $1$ : elle est donc convergente vers un nombre $\ell \leqslant 1$.
	\end{enumerate}
\item %On suppose à nouveau dans cette question que $a = 
%\dfrac{1}{8}$. On considère la suite numérique $(v_n)$ définie sur $\N$ par :

%\[v_n = 1 - u_n.\]

	\begin{enumerate} 
		\item %Exprimer, pour tout entier $n,~v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.
Quel que soit $n \in \N, \:v_{n + 1} = 1 - u_{n + 1} = 1 - u_{n}\left(2 - u_{n}\right) = 1 - 2u_{n} + u_{n}^2 = \left(1 - u_{n} \right)^2 = v_{n}^2$.		
		\item %En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
		Pour $n = 0$, on a $v_{0} = 1 - u_{0} = 1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}$.
		
D'o\`u $v_{1} = v_{0}^2 = \left(\dfrac{7}{8} \right)^2$.

Puis $v_{2} = v_{1}^2 = \left[\left(\dfrac{7}{8} \right)^2 \right]^2 = \left(\dfrac{7}{8} \right)^{2^2}$.

On va montrer par récurrence que $v_{n} = \left(\dfrac{7}{8} \right)^{2^n}$.

$\bullet~~$ La relation est vraie au rang zéro (et un).

$\bullet~~$ Hérédité : supposons qu'il existe $p \in \N$ tel que $v_{p} =  \left(\dfrac{7}{8} \right)^{2^p}$.

Comme $v_{p+1} = v_{p}^2 = \left[\left(\dfrac{7}{8} \right)^{2^p} \right]^2 =  \left(\dfrac{7}{8} \right)^{2 \times 2^p} = \left(\dfrac{7}{8} \right)^{2^{p + 1}}$. La relation est vraie au rang $p + 1$.
		\item %Déterminer la limite de la suite $(v_n)$, puis celle de la suite 
%$\left(u_n\right)$.
On a donc pour tout naturel 
$n, \:v_{n} = \left(\dfrac{7}{8} \right)^{2^n}$. Comme $- 1 < \dfrac{7}{8} < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac{7}{8}\right)^n = 0$ et a fortiori $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac{7}{8}\right)^{2^n} = 0$.

Conclusion : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_{n} = 0$.

Comme $v_{n} = 1 - u_{n} \iff u_{n} = 1 - v_{n}$; on en déduit que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip
 
\textbf{Première partie}

\medskip

%On considère dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation 
%suivante :
%
%\[\text{(E)}\quad z^3 + 2z^2 - 16 = 0.\]

\begin{enumerate} 
\item %Montrer que 2 est solution de (E), puis que (E) peut s'écrire sous la forme : $(z - 2)\left(az^2 + bz + c\right) = 0$, où $a,~b$  et $c$ sont trois réels que l'on déterminera.
On a : $2^3 + 2\times 2^2 - 16 = 8 + 8 - 16 = 0$ qui signifie que $2$ est solution de (E).

Le polynôme est donc factorisable par $(z - 2)$ et il existe donc trois réels $a,\:b,\: c$ tels que :

$z^3 + 2z^2 - 16 = (z - 2)\left(az^2 + bz + c\right)$.

En comparant les termes de plus haut degré on en déduit que $a = 1$ ; en comparant les termes constants on trouve que $c = 8$. On a donc :

$z^3 + 2z^2 - 16 = (z - 2)\left(z^2 + bz + 8\right)$.

En comparant les termes en $z^2$, on obtient : $2 = b - 2 \iff b = 4$.

On a donc : $z^3 + 2z^2 - 16 = (z - 2)\left(z^2 + 4z + 8\right)$.
\item %En déduire les solutions de l'équation (E) sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle.
On a donc $(E) \iff (z - 2)\left(z^2 + 4z + 8\right) = 0 \iff$

z - 2 = 0 \quad \text{ou}\quad z^2 + 4z + 8 = 0$.

On retrouve la solution $2$ ; d'autre part :

$z^2 + 4z + 8 = 0 \iff (z + 2)^2 - 4 + 8 = 0 \iff (z + 2)^2 + 4 = 0 \iff (z + 2)^2 - (2\text{i})^2 = 0 \iff \left(z + 2 + 2\text{i} \right)\left(z + 2 - 2\text{i} \right) = 0 \iff$ 

$\left\{\begin{array}{l c l}
z + 2 + 2\text{i} &=& 0\\
z + 2 - 2\text{i} &=& 0
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
z  &=& - 2 - 2\text{i}\\
z  &=& - 2 + 2\text{i}
\end{array}\right.$

Dans $\C$ les solutions de l'équation (E) sont donc :

\left{2\quad ;\quad - 2 - 2\text{i}\quad ;\quad - 2 + 2\text{i} \right}$.
\end{enumerate}

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Oij.

\begin{enumerate} 
\item %Placer les points A, B et D d'affixes respectives 

%\[ z_{\text{A}} = - 2 - 2\text{i},~z_{\text{B}} = 2 \quad \text{et} 
%\quad  z_{\text{D}} = - 2 + 2\text{i}.\]
On reconnait les trois solutions précédentes.

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-5,-3)(7,6.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labels=none](0,0)(-5,-3)(7,6.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\psdots(2,0)(-2,-2)(-2,2)(2,4)(6,0)(-4,6)(1,3)%BADCEFI
\uput[d](-2,-2){A} \uput[dr](2,0){B} \uput[ur](2,4){C} 
\uput[dr](-2,2){D} \uput[dr](6,0){E} \uput[ul](-4,6){F}
\uput[ur](1,3){I}
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\pspolygon(-2,-2)(6,0)(-4,6)
\pspolygon(2,0)(-2,-2)(-2,2)(2,4)
\psline(-2,2)(-4,6)
\end{pspicture}
\end{center}

\item  %Calculer l'affixe $z_{\text{C}}$ du point C tel que ABCD soit un parallélogramme. Placer C.
ABCD est un parallélogramme si et seulement si $\vect{\text{AB}} = \vect{\text{DC}} \iff$

$z_{\text{B}} - z_{\text{A}} = z_{\text{C}} - z_{\text{D}} \iff z_{\text{C}} = z_{\text{B}} - z_{\text{A}} + z_{\text{D}} = 2 - (- 2 - 2\text{i}) + (- 2 + 2\text{i}) = 2 + 4\text{i}$. 
\item %Soit E l'image de C par la rotation de centre B et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$ et F l'image de C par la rotation de centre D et d'angle  $\dfrac{\pi}{2}$.

	\begin{enumerate} 
		\item %Calculer les affixes des points E et F, notées $z_{\text{E}}$ 
%et $z_{\text{F}}$.
L'écriture complexe de la rotation de centre B et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$ est :

$z' - z_{\text{B}} = \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{2}}\left(z - z_{\text{B}}\right) = - \text{i}\left(z - z_{\text{B}}\right) \iff $

$z' = - \text{i}z + 2\text{i} + 2$.

L'image du point C est donc le point E tel que :

$z_{\text{E}} = - \text{i}z_{\text{C}} + 2\text{i} + 2 = - \text{i}(2 + 4\text{i}) +  2\text{i} + 2 = 6$.

De même l'écriture complexe de la rotation de centre D et d'angle $ \dfrac{\pi}{2}$ est :

$z' - z_{\text{D}} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}\left(z - z_{\text{D}}\right) =  \text{i}\left(z - z_{\text{D}}\right) \iff z' =  \text{i}z + 4\text{i}$.

L'image F du point C par cette rotation est donc tel que  :

$z_{\text{F}} = \text{i}(2 + 4\text{i}) + 4\text{i} = - 4 + 6\text{i}$

		\item %Placer les points E et F.
		Voir la figure.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Vérifier que : $\dfrac{z_{\text{F}} - 
%z_{\text{A}}}{z_{\text{E}} - z_{\text{A}}} = \text{i}$.
On calcule : $\dfrac{z_{\text{F}} - 
z_{\text{A}}}{z_{\text{E}} - z_{\text{A}}} = \dfrac{- 4 + 6\text{i}- (- 2 - 2\text{i}}{6 - (- 2 - 2\text{i}} = \dfrac{- 2 + 8\text{i}}{8 + 2\text{i}} = \dfrac{- 1 + 4\text{i}}{4 + \text{i}} = \dfrac{\text{i}(\text{i} + 4)}{4 + \text{i}} = \text{i}$ (car $\text{i} + 4 \neq 0$.
		\item %En déduire la nature du triangle AEF.
L'égalité précédente donne en prenant le module des deux nombres :

$\left|\dfrac{z_{\text{F}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{E}} - z_{\text{A}}}  = |\text{i}|  \right| \iff \dfrac{\text{AF}}{\text{AE}} = 1 \iff \text{AF} = \text{AE}$.

En prenant les arguments de deux mêmes complexes on obtient :

$\left(\vect{\text{AE}},~\vect{\text{AF}} \right) = \dfrac{\pi}{2}\quad + 2k\pi$.

Conclusion : le triangle AEF est un triangle isocèle rectangle en B. 
	\end{enumerate}
\item %Soit  I le milieu de [EF]. Déterminer l'image du triangle EBA par la rotation de centre I et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$.
Dans le triangle isocèle rectangle en B, AEF, I est le pied de la médiane, de la hauteur, donc $\left(\vect{\text{IA}},~\vect{\text{IE}} \right) = \dfrac{\pi}{2}\quad + 2k\pi$ et IA = IE = IF, donc :

- l'image de A dans la rotation de centre I et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$ est le point F,

- l'image de E dans la rotation de centre I et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$ est le point A.

D'autre part l'image de la demi-droite [EB) par la rotation est la demi-droite d'origine A (image de E) et faisant un angle de $- \frac{\pi}{2}$ avec [EB) : c'est donc la demi-droite [AD) ; d'autre part la rotation conserve les longueurs donc l'image de B est le point A, car EB = AD = 4.

Conclusion : l'image du triangle EBA par la rotation de centre I et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$ est le triangle ADF.

\emph{Rem. : pour trouver l'image du point B on aurait pu utiliser l'écriture complexe de la rotation.}
\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
%
%\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
%
%\textbf{Enseignement de spécialité}
%
%\medskip
%
%\emph{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}
%
%\vspace{0,25cm}
%
%\textbf{Première partie}
%
%%ABC est un triangle direct du plan orienté.
%%
%%On désigne respectivement par I, J et K les milieux de 
%%[AB], [BC] et [CA].
%%
%%Soit $\alpha$ un réel qui conduit à la réalisation de la figure 
%%jointe sur laquelle on raisonnera. Cette figure sera jointe à la copie.
%%
%%d$_{1}$ est l'image de la droite (AB) par la rotation de 
%%centre I et d'angle $\alpha$.
%%
%%d$_{2}$ est l'image de la droite (BC) par la rotation de 
%%centre J et d'angle $\alpha$.
%%
%%d$_{3}$ est l'image de la droite (CA) par la rotation de 
%%centre K et d'angle $\alpha$.
%%
%%A$_{1}$ est le point d'intersection de d$_{1}$ et d$_{3}$, 
%%B$_{1}$ celui de d$_{1}$ et d$_{2}$ et C$_{1}$ celui de d$_{2}$ et 
%%d$_{3}$.
%
%\begin{enumerate} 
%\item %On appelle H le point d'intersection de (BC) et d$_{1}$. Montrer que les triangles HIB et HB$_{1}$J sont semblables.
%
%\item En déduire que les triangles ABC et A$_{1}$B$_{1}$C$_{1}$ sont semblables.
%\end{enumerate}
%
%\vspace{0,25cm}
%
%\textbf{Deuxième partie}
%
%\medskip
%
%Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct  \Ouv.
%
%\textbf{A - Construction de la figure}
%
%\medskip
%
%\begin{enumerate} 
%\item Placer les points A($- 4 - 6\text{i}$), B(14), 
%C($-4 + 6\text{i}$), A$_{1}(3 - 7\text{i}$), B$_{1}(9 + 5\text{i}$) 
%et C$_{1}(- 3 - \text{i}$).
%\item Calculer les affixes des milieux I, J et K des 
%segments [AB], [BC] et [CA]. Placer ces points sur la figure.
%\item Montrer que A$_{1}$, I, B$_{1}$ sont alignés.
%
%\emph{On admettra que } B$_{1}$, J, C$_{1}$ \emph{d'une 
%part et} C$_{1}$, K, A$_{1}$ \emph{d'autre part sont alignés.}
%\item  Déterminer une mesure en radians de l'angle $\left(\vect{\text{IB}},~\vect{\text{IB}_{1}} \right)$.
%
%\emph{On admettra que } 
%$\left(\vect{\text{KA}},~\vect{\text{KA}_{1}} \right) = \dfrac{\pi}{4}$ \emph{et que} 
%$\left(\vect{\text{JC}},~\vect{\text{JC}_{1}} \right) = \dfrac{\pi}{4}$.
%\item Quelle est l'image de la droite (AB) par la rotation de centre I et d'angle  $\dfrac{\pi}{4}$ ?
%\end{enumerate}
%
%\vspace{0,25cm}
%
%\textbf{B - Recherche d'une similitude directe transformant 
%ABC en A$_{1}$B$_{1}$C$_{1}$}
%
%\medskip
%
%On admet qu'il existe une similitude directe $s$ transformant 
%les points A,  B et  C en A$_{1}$, B$_{1}$ et C$_{1}$.
%
%\medskip
%
%\begin{enumerate} 
%\item  Montrer que l'écriture complexe de $s$ est 
%$z' = \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}\right)z + 2 - 
%2\text{i}$, où $z$ et $z'$ désignent respectivement les affixes d'un 
%point et de son image par $s$.
%\item 
%	\begin{enumerate} 
%		\item Déterminer le rapport et l'angle de $s$.
%		\item Déterminer l'affixe du centre $\Omega$ de $s$.
%	\end{enumerate}
%\item Que représente le point $\Omega$ pour ABC ?
%\end{enumerate}
%
%\vspace{2cm}
%
%\begin{center}Le candidat joindra cette figure à sa copie
%    
%\vspace{0,8cm}
%    
%\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(14,11)
%\psline(3,3.8)(11.3,3.8)(5.1,9.65)(3,3.8)
%\psline(0,1.1)(14,6.3)
%\psline(14,4.2)(0,10.2)
%\psline(4.2,0)(4.2,11)
%\uput[dl](3,3.8){A} \uput[dr](11.3,3.8){B} \uput[u](5.1,9.65){C}
%\uput[dl](4.2,2.7){A$_{1}$} \uput[u](11.4,5.3){B$_{1}$} 
%\uput[ul](4.2,8.5){C$_{1}$}
%\uput[d](7.15,3.8){I} \uput[ur](8.2,6.725){J} 
%\uput[l](4.2,6.9){K} \uput[u](13,6){d$_{1}$} 
%\uput[u](2,9.2){d$_{2}$} \uput[r](4.2,1){d$_{3}$}
%\psarc(7.15,3.8){1.1}{0}{21} \psarc(8.2,6.725){1}{139}{162}
%\psarc(4.2,6.725){1}{246}{270}
%\uput[u](8.45,3.8){$\alpha$} \uput[u](7.2,7.2){$\alpha$} 
%\uput[u](3.8,5){$\alpha$} 
%\end{pspicture} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

%On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) = x^2 \text{e}^{x - 1} - \dfrac{x^2}{2}.\]

%Le graphique ci-dessous est la courbe représentative de 
%cette fonction telle que l'affiche une calculatrice dans un repère 
%orthonormal.
%
%\parbox[l]{0.5\textwidth}{\textbf{Conjectures}\\
%À l'observation de cette courbe, quelles conjectures pensez-vous 
%pouvoir faire concernant\\
%\textbf{a.} le sens de variations de $f$ sur [$-3$~;~ 2] ?\\
%\textbf{b.} la position de la courbe par rapport à l'axe $(x'x)$ ? } 
%\hfill \parbox[r]{0.45\textwidth}{\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(-2.25,-1.5)(2.25,1.5)
%\psline(-2.25,0)(2.25,0) \psline(0,-1.5)(0,1.5)
%\psframe(-2.25,-1.5)(2.25,1.5)
%\psplot[plotpoints=200]{-1.843}{1.313}{x dup mul 2.71828 x 1 sub exp mul x 
%dup mul 2 div sub}
%\psline(-2,0)(-2,0.2) \psline(-1,0)(-1,0.2) \psline(1,0)(1,0.2) \psline(2,0)(2,0.2) \end{pspicture}}
%
%Dans la suite de ce problème, on se propose de valider ou non ces conjectures et de les complèter.

%\medskip

\textbf{Partie A : contrôle de la première conjecture}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item %Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$, et 
%l'exprimer à l'aide de l'expression $g(x)$ où $g$ est la fonction 
%définie sur $\R$ par $g(x) = (x + 2)\text{e}^{x - 1} - 1$.
$f$ somme de produits de fonctions dérivable sur $\R$ est dérivable sur $\R$et 

$f'(x) = 2x\text{e}^{x - 1} + x^2\text{e}^{x - 1} - 2 x \times \dfrac{1}{2} = x(x + 2)\text{e}^{x - 1} - x = x\left[(x + 2)\text{e}^{x - 1} - 1 \right] = x g(x)$.
\item Étude du signe de $g(x)$ pour $x$ réel.
	\begin{enumerate} 
		\item %Calculer les limites de $g(x)$ quand $x$ tend vers $+ 
%\infty$, puis quand $x$ tend vers $- \infty$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^{x - 1} = \dfrac{1}{\text{e}}\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^{x} = + \infty$ et comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} (x + 2) = + \infty$, par produit de limites :

\[\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = + \infty.\]

$g(x) = x\text{e}^{x - 1} + 2\text{e}^{x - 1} - 1$.

Or $x\text{e}^{x - 1} = \dfrac{1}{\text{e}}x\text{e}^{x}$ ; or on sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}x\text{e}^{x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\dfrac{1}{\text{e}}x\text{e}^{x} = 0$.

Comme $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{x - 1} = 0$, par somme de limites, on obtient finalement :

\[\displaystyle\lim_{x \to - \infty} g(x) = - 1.\]
		\item %Calculer $g'(x)$ et étudier son signe suivant les valeurs 
%de $x$.
$g$ est un produit de fonctions dérivables sur $\R$, donc pour tout réel $x$, on a :

$g'(x) = \text{e}^{x - 1} + (x + 2)\text{e}^{x - 1} = (x + 3)\text{e}^{x - 1}.$

Quel que soit le réel $x$, $\text{e}^{x - 1} > 0$, donc le signe de $g'(x)$ est celui de $(x + 3)$.

$\bullet~~$ $g'(x) > 0$ sur $]- 3~;~+ \infty[$ ;

$\bullet~~$ $g'(x) < 0$ sur $]- \infty~;~3[$ ;

$\bullet~~$ $g'(- 3) = 0$.
		\item %En déduire le sens de variations de la fonction $g$, puis 
%dresser son tableau de variations.
Du signe de la dérivée on déduit que $g$ est décroissante sur $]- \infty~;~3[$ puis croissante sur $]- 3~;~+ \infty[$. $g(- 3)$ est le minimum de la fonction sur $\R$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3) \psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.5,2.4){$- \infty$} \uput[u](4,2.4){$- 3$} \uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$}
\uput[u](0.5,1.9){$g'(x)$} \uput[u](2.5,1.9){$-$} \uput[u](4,1.9){$0$} \uput[u](5.5,1.9){$+$}
\rput(0.5,1){$g$}
\psline{->}(1.7,1.5)(3.5,0.5) \psline{->}(4.5,0.5)(6.3,1.5)
\uput[d](1.5,2){$- 1$}\uput[u](4,0){\small $- \text{e}^{- 4} - 1$}\uput[d](6.5,2){$+ \infty$}  
\end{pspicture}
\end{center}
		\item %Montrer que l'équation $g(x) = 0$ possède une unique 
%solution dans $\R$. On note $\alpha$ cette solution. Montrer que 
%$0,20 < \alpha < 0,21$.
On a $g(1) = 2$. D'après l'étude des variations de $g$, sur l'intervalle $[- 3~;~1]$elle est croissante de $f(- 3) < 0$ à $f(1) > 0$. Comme elle est continue sur cet intervalle il existe un réel unique $\alpha .in ]- 3~;~1[$ tel que $f(\alpha) = 0$. 

La calculatrice donne $g(0,20) \approx - 0,011$ et $g(0,21) \approx 0,003$.

Pour les mêmes raisons on en déduit que $0,20 < \alpha < 0,21$.
		\item %Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
D'après les deux questions précédentes on a donc :

$\bullet~~$ $g(x) < 0$ sur $]- \infty~;~\alpha[$ ;

$\bullet~~$ $g(\alpha) = 0 ; 

$\bullet~~$ $g(x) > 0$ sur $]\alpha ~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item Sens de variations de la fonction $f$ sur $\R$.
	\begin{enumerate} 
		\item %Étudier, suivant les valeurs de $x$, le signe de $f'(x)$.
		On a vu que $f'(x) = xg(x)$. On peut donc dresser le tableau de signes suivant :
		
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,2)
\psframe(7,2) \psline(0,0.5)(7,0.5)\psline(0,1)(7,1)\psline(0,1.5)(7,1.5)
\psline(1,0)(1,2)
\uput[u](0.5,1.4){$x$} \uput[u](1.5,1.4){$- \infty$} \uput[u](3,1.4){$0$} \uput[u](5,1.4){$\alpha$}\uput[u](6.5,1.4){$+ \infty$} 
\uput[u](0.5,0.9){$x$} \uput[u](2,0.9){$-$} \uput[u](3,0.9){$0$} \uput[u](4,0.9){$+$} \uput[u](6,0.9){$+$} 
\uput[u](0.5,0.4){$g(x)$} \uput[u](2,0.4){$-$} \uput[u](4,0.4){$-$} \uput[u](5,0.4){$0$} \uput[u](6,0.4){$+$} 
\uput[u](0.5,0){$f'(x)$} \uput[u](2,0){$+$} \uput[u](3,0){$0$} \uput[u](4,0){$-$} \uput[u](5,0){$0$} \uput[u](6,0){$+$} 
\end{pspicture}
\end{center}		
		
		\item %En déduire le sens de variations de la fonction $f$.
Comme $f'(x) < 0$ sur $]0~;~\alpha[$ la fonction est strictement décroissante sur cet intervalle et croissante ailleurs.
		\item %Que pensez-vous de votre première conjoncture ?
La première conjoncture est fausse puisque $f$ n'est pas croissante sur $[- 3~;~2]$.		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : contrôle de la deuxième conjoncture}

\medskip

%On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans 
%un repère orthonormal \Oij. 
%
%On se propose de contrôler la position de la courbe par rapport  à
%l'axe $(x'x)$.
%
%\medskip

\begin{enumerate} 
\item %Montrer que $f(\alpha) = \dfrac{-\alpha ^3}{2(\alpha + 2)}$.
On sait que $\alpha$ vérifie $g(\alpha) = 0 \iff (\alpha + 2)\text{e}^{\alpha - 1} - 1 = 0 \iff (\alpha + 2)\text{e}^{\alpha - 1} = 1 \iff \text{e}^{\alpha - 1} = \dfrac{1}{\alpha + 2}$ (car $\alpha +2 \neq 0$).

On a donc $f(\alpha) = \alpha^2 \text{e}^{\alpha - 1} - \dfrac{\alpha^2}{2} = \alpha^2 \times \dfrac{1}{\alpha + 2} - \dfrac{\alpha^2}{2} = \dfrac{\alpha^2}{\alpha + 2} - \dfrac{\alpha^2}{2} = \dfrac{2\alpha^2 - (\alpha + 2)\alpha^2}{2(\alpha + 2)} = f(\alpha) = - \dfrac{\alpha^3}{2(\alpha + 2)}$.
\item %On considère la fonction $h$ définie sur  l'intervalle [0~;~1] par $h(x) = \dfrac{- x^3}{2(x + 2)}$.
	\begin{enumerate} 
		\item %Calculer $h'(x)$ pour $x$ élément de [0~;~1], puis déterminer le sens de variations de $h$ sur [0~;~1].
		$h$ quotient de fonctions dérivables le dénominateur ne s'annulant pas sur [0~;~1], est dérivable et sur cet intervalle :
		
$h'(x) = \dfrac{- 3x^2 \times 2(x + 2) + x^3 \times 2}{4(x + 2)^2} = \dfrac{- 3x^3 - 6x^2 + x^3}{2(x + 2)^2} = \dfrac{- 2x^3 - 6x^2}{2(x + 2)^2} = - \dfrac{x^2(x + 3)}{2(x + 2)^2}$.

Comme sur [0~;~1], $x^2 > 0$, $2(x + 2) > 0$ et $(x + 3) > 0$, on en déduit que $h'(x) < 0$ : la fonction $h$ est donc strictement décroissante sur [0~;~1] et donc en particulier sur [0,20~;~0,21].
		\item %En déduire un encadrement de $f(\alpha)$.
		On sait que $0,20 < \alpha < 0,21$ d'o\`u par décroissance de la fonction $h$, 
		
		$h(0,20) > h(\alpha) > h(0,21)$.
		
La calculatrice livre  $h(0,20) \approx \np{- 0,0018}$ et  $h(0,21) \approx \np{- 0,0021}$, d'o\`u

$\np{-0,0021} < \f(\alpha) < \np{- 0,0018}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe $(x'x)$.
Les abscisses des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe $(x'x)$ sont les solutions de l'équation $f(x) = 0$, soit 

\[x^2\left\left(\text{e}^{x - 1} - \frac{1}{2} \right) \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x^2&=&0\\
\text{e}^{x - 1}&=&\frac{1}{2}\right. \end{array}\]

On obtient d'une part la solution double $x = 0$ et $x - 1 = \ln \frac{1}{2}$ par croissance de la fonction ln, soit $x = 1 + \ln \frac{1}{2} = 1 - \ln 2 \approx 0,31$.

Les abscisses des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe $(x'x)$ sont donc $x = 0$ et $x = 1 - \ln 2$. 		
		\item %Préciser alors la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à l'axe des abscisses.
La position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à l'axe des abscisses est donnée par le signe de $f(x)$.

Comme $x^2 > 0$, quel que soit $x$ le signe de $f(x)$ est celui de $\text{e}^{x - 1} - \frac{1}{2}$.

La courbe $\mathcal{C}$ est au-dessus de l'axe des abscisses si et seulement si 

$\text{e}^{x - 1} - \frac{1}{2} > 0 \iff \text{e}^{x - 1} > \frac{1}{2} \iff x - 1 > \ln \frac{1}{2}$ (par croissance de la fonction ln) et enfin $x > 1 + \ln \frac{1}{2}$.

Conclusion : La courbe $\mathcal{C}$ est au-dessus de l'axe des abscisses sur l'intervalle $\left]1 - \ln 2~;~+ \infty[$, en dessous ailleurs sauf aux deux points de contact en $x = 0$ et $x = 1 - \ln 2$.
		\item %Que pensez-vous de votre deuxième conjecture ?
La deuxième conjecture est également fausse car $\mathcal{C}$ est au dessous de $(x'x)$ pour des réels $x$ strictement positifs.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie C : tracé de la courbe}

\medskip

%Compte tenu des résultats précédents, on se propose de tracer la 
%partie $\Gamma$ de $\mathcal{C}$ correspondant à l'intervalle 
%$[-0,2~;~0,4]$, dans le repère orthonormal \Oij{} avec les unités suivantes :
%
%\setlength\parindent{5mm} 
%\begin{itemize}
%\item sur l'axe des abscisses 1 cm représentera 0,05.
%\item sur l'axe des ordonnées 1 cm représentera 0,001.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate} 
\item ~%Recopier le tableau suivant et complèter celui-ci à l'aide de la calculatrice en indiquant les valeurs approchées sous la forme $n \times 10^{-4}$ ($n$ entier relatif).

\hspace{-0,5cm} {\footnotesize \begin{array}{|l|*{8}{c|}}\hline
x 		&-0,2 	&-0,15 	&-0,1 	&-0,05 	&0 		&0,05&0,10 \\\hline
f(x) 	&-0,008 &-0,0041&-0,0017&-0,0004&0 		&- 0,003&- 0,0009 \\ \hline\cline{1-7}
x 		&0,15 	&0,2 	&0,25 	&0,3 	&0,35 	&0,4&\multicolumn{1}{c}{~}\\\cline{1-7}
f(x) 	&- 0,0016 &-0,002&-0,0017&-0,003  &0,0027 &0,0078 & \multicolumn{1}{c}{~}\\\cline{1-7}
\end{array}}
\item ~%Tracer alors $\Gamma$ dans le repère choisi.

\begin{center}
\psset{xunit=20cm,yunit=750cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.21,-0.008)(0.41,0.008)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.1,Dy=0.002]{->}(0,0)(-0.2,-0.008)(0.4,0.008)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.1,Dy=0.002](0,0)(-0.2,-0.008)(0.4,0.008)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.2}{0.4}{2.71828 x 1 sub exp 0.5 sub x dup mul mul}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie D : calcul d'aire}

\medskip

%On désire maintenant calculer l'aire du domaine $\mathcal{D}$ délimité par la courbe $\Gamma$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x =  1 - \ln 2$.

%\medskip

\begin{enumerate} 
\item %À l'aide d'une double intégration par parties, déterminer une primitive sur $\R$ de la fonction  :

%\[x \mapsto x^2\text{e}^x.\]
La fonction $x \longmapsto x^2\text{e}^x$ est continue sur $\R$ : elle admet donc des primitives sur $\R$.

On pose $u(t) = t^2$ et $v'(t) = \text{e}^t$ ;

on a donc $u'(t) = 2t$ et on choisit $v(t) = \text{e}^t$.

Les fonctions $u, v, u'$ et $v'$ sont continues sur $\R$, on peut donc intégrer par parties :

$P(t) = \left[t^2 \text{e}^t\right]_{0}^x - \displaystyle\int_{0-}^x 2t\text{e}^t\:\text{d}t = x^2 \text{e}^x - 2\displaystyle\int_{0-}^x t\text{e}^t\:\text{d}t$.

On intègre à nouveau par parties en posant :

$u_{1}(t) t,\:v'_{1}(t) = \text{e}^t$, d'o\`u :

$u'_{1}(t) = 1,\: v_{1}(t) = \text{e}^t$.

Toutes ces fonctions étant continues sur $\R$, on obtient :

$P(t) = x^2 \text{e}^x - 2\displaystyle\int_{0-}^x t\text{e}^t\:\text{d}t = $x^2 \text{e}^x - 2\left(\left[t\text{e}^t \right]_{0}^x - \displaystyle\int_{0-}^x \text{e}^t\:\text{d}t\right) = x^2 \text{e}^x - 2x \text{e}^x + 2\text{e}^x - 2$.

Une primitive de la fonction $x \longmapsto x^2 \text{e}^x$ est la fonction définie sur $\R$ par 

$x \longmapsto \left(x^2 - 2x + 2 \right)\text{e}^x + K$ avec $K \in \R$ quelconque.

\item %En déduire une primitive $F$ sur $\R$ de la fonction $f$.
Une primitive sur $\R$ de la fonction $f$ est alors la fonction $F$ définie sur $\R$ par :

$F(x) = \left(x^2 - 2x + 2 \right)\text{e}^x  - \dfrac{x^3}{6} + K$ avec $K \in \R$ quelconque.
\item %Calculer alors, en unités d'aire, l'aire du domaine  $\mathcal{D}$ puis en donner une valeur approchée en cm$^2$.
On a vu que sur $[0~;~1 - \ln 2]$ la courbe $\Gamma$ est située au dessous de l'axe des abscisses. L'aire du domaine $\mathcal{D}$ limitée par $\Gamma$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1 - \ln 2$ est donc égale, en unité d'aire à :

$\mathcal{A} = - \displaystyle\int_{0}^{1 - \ln 2} f(x)\:\text{d}x =
 - [F(x)]_{0}^{1 - \ln 2} = - F(1 - \ln 2) + F(0) =$
 
$ - [(1 - \ln 2)^2 - 2(1 - \ln 2) + 2]\text{e}^{1 - \ln 2 - 1} + \dfrac{1}{6}(1 - \ln 2)^3 + 2\text{e}^{- 1} =$

$\mathcal{A} = - \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2}\ln 2 - \dfrac{1}{6}(\ln 2)^3 + \dfrac{2}{\text{e}}$~(u. a.).

Or en abscisse l'unité est de 20~cm et en ordonnées de \np{1000}~cm, donc l'unité d'aire est égale à \np{20000}~cm$^2$. On a donc

\[\mathcal{A} \approx 6,96~\text{cm}^2.\]
\end{enumerate}
\end{document}