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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{avril 2005}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Pondichéry~\decofourright\\ avril 2005}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sur $[1~;~+\infty[$ la fonction exponentielle  et la fonction $t \mapsto t$ sont continues  et la seconde ne s'annulant pas sur $[1~;~+\infty[$, leur quotient  est continu.
		\item La fonction $f$ est de la forme : $f = \dfrac{u}{v}$ où $u(t) = \text{e}^t,~v(t) = t$. Ces deux fonctions sont dérivables et la seconde ne s'annule pas sur $[1~;~ +\infty[$, donc $f$ est dérivable  et sur $[1~;~+\infty[,~f'(t) = \dfrac{\text{e}^t \times t - \text{e}^t}{t^2} = \dfrac{\text{e}^t(t - 1)}{t^2}$. 
		
L'exponentielle et la fonction carré sont strictement positives sur $[1~;~ +\infty[$, donc le signe de $f^{\prime}$ est, celui de $t - 1$. Donc sur $[1~;~+\infty[$, on a $f^{\prime}(t) \geqslant 0$. Conclusion : la fonction $f$ est croissante sur $[1~;~+\infty[$.
\end{enumerate}
\item Restitution organisée de connaissances
	\begin{enumerate}
		\item $\mathcal{A}(1)$ est l'aire (exprimée en u.a.) du domaine délimité par la courbe ($\mathcal{C}$) représentant $f$, l'axe des abscisses et les droites verticales d'équations respectives $x = 1$ et $x = 1$. Donc $\mathcal{A}(1) = 0$.
		\item Soit $x_{0}$ tel que $1 \leqslant x_{0}$. La fonction $f$ étant croissante sur $[1~;~+\infty[$, on a $f(x_{0}) < f(x_{0}+ h)$. L'aire de la surface limitée par la courbe, l'axe des abscisses, les droites d'équation $x = x_{0}$ et $x = x_{0} + h$ est supérieure à l'aire de la surface (rectangle) limitée par la droite d'équation $y = f(x_{0})$ et inférieure à l'aire de la surface (rectangle) limitée par la droite d'équation $y = f(x_{0}+h)$. On a donc :
		
\[f(x_{0})h < \mathcal{A}(x_{0}+ h) - \mathcal{A}(x_{0}) < f(x_{0} + h).\]

D'où par division par $h > 0$, le résultat :

\[f(x_{0} < \dfrac{\mathcal{A}(x_{0}+ h) - \mathcal{A}(x_{0})}{h} < f(x_{0} + h) \] 

\item Avec $1 < x_{0},~h < 0$ et $1 \leqslant x_{0}+ h \leqslant x_{0}$. La fonction $f$ étant croissante pour $x \geqslant 1$, on a $f(x_{0} + h) < f(x_{0})$. On encadre de la même façon l'aire limitée par la courbe par l'aire des deux rectangles. On a donc 

\[ f(x_{0}+ h) \times (- h) < \mathcal{A}(x_{0} - \mathcal{A}(x_{0}+ h) < f(x_{0}\times (- h)\]

et par division par $- h$ qui est positif :

\[f(x_{0} + h) < \dfrac{\mathcal{A}(x_{0}+ h) - \mathcal{A}(x_{0})}{h} < f(x_{0}) \] 

\item D'après la continuité de $f$ en  $x_{0}$, on a  $\displaystyle\lim_{h \to 0} f(x_{0} + h) = f(x_{0}$. Donc d'après le théorème des \og gendarmes \fg, le taux d'accroissement de la fonction $\mathcal{A}$ admet pour limite $f(x_{0})$ en $x_{0}$. Cette fonction $\mathcal{A}$ est donc dérivable en $x_{0} > 1$ et $\mathcal{A}'(x_{0}) = f(x_{0})$. 
\item Le raisonnement fait ci-dessus est vrai pour tout $x_{0} > 1$. Donc la fonction $\mathcal{A}$ est dérivable sur $[1~;~+ \infty[$ et $\mathcal{A}' = f$.  
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le centre $\Omega$ du cercle ($\mathcal{C}$) est le milieu du diamètre [AB]. Son affixe est donc 
$z_{\Omega} = \dfrac{1 - 2\text{i} - 2 + 2\text{i}}{2} = -\dfrac{1}{2}$.

Le centre $\Omega$ du cercle ($\mathcal{C}$) a pour coordonnées $\left(-\dfrac{1}{2}~;~0\right)$.

De plus AB$^2 = (- 3)^2 + 4^2 = 5^2$. Donc $R = \dfrac{\text{AB}}{2} = \dfrac{5}{2}$.
\item On a $z_{\text{D}} = \dfrac{3 + 9\text{i}}{4 + 2\text{i}} = 
\dfrac{(3 + 9\text{i})(4 - 2\text{i})}{(4 + 2\text{i})(4 - 2\text{i})} =
 \dfrac{30 + 30\text{i}}{20} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2}\text{i}$.

Calcul de  la distance $\Omega$D =  $|z_{\text{D}} - z_{\Omega}| =\left|\dfrac{3}{2} +  \dfrac{3}{2}\text{i} + \dfrac{1}{2}\right| = \left|2 + \dfrac{3}{2}\text{i}\right| = \sqrt{4 + \dfrac{9}{4}} = \dfrac{5}{2} = R$. Donc D est bien un point du cercle ($\mathcal{C}$).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Par hypothèse arg$\left(z_{\text{E}} + \dfrac{1}{2}\right)= \dfrac{\pi}{4}$ et comme  E $\in (\mathcal{C}) \left|z_{\text{E}} + \dfrac{1}{2}\right| = \dfrac{5}{2}$.
		\item Donc $z_{\text{E}} + \dfrac{1}{2} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} \iff z_{\text{E}} = - \dfrac{1}{2}+ \dfrac{5}{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = \dfrac{5\sqrt{2} - 2}{4} + \text{i}\dfrac{5\sqrt{2}}{4}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $z' + \dfrac{1}{2}= \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} \left(z + \dfrac{1}{2} \right) \iff \vect{\Omega M'} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} \vect{\Omega M}$. Donc $r$ est une rotation de centre $\Omega$ et d'angle $+ \dfrac{\pi}{4}$.
		\item Avec $z = 2$, on a $z_{K'} = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \iff z_{K'} = \dfrac{5\sqrt{2} - 2}{4} + \text{i}\dfrac{5\sqrt{2}}{4} = z_{\text{E}}.$

Géométriquement : K est un point de ($\mathcal{C}$) car $\Omega\text{K} = \dfrac{5}{2}$. Son image est donc un point de ($\mathcal{C}$) telle que $\left(\vect{\Omega \text{I}},~\vect{\Omega K'}\right) = \dfrac{\pi}{4}$ : c'est donc le point E.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 de spécialité}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $z' = \dfrac{3 + 4\text{i}}{5}\overline{z} + \dfrac{1 - 2\text{i}}{5} \iff  x' + \text{i}y' = \dfrac{3 + 4\text{i}}{5}(x - \text{i}y) + \dfrac{1 - 2\text{i}}{5} = \dfrac{3x + 4y + 1 + \text{i}(4x - 3y - 2)}{5}$. Par identification :
 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x' & = & \dfrac{3x + 4y + 1}{5}\\
y' & = & \dfrac{4x - 3y - 2}{5}\\
\end{array}\right.\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  $M$ est invariant si et seulement si  $\left\{\begin{array}{l c l}
x' & = & x\\
y' & = & y\\
\end{array}\right.  \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x & = &  \dfrac{3x + 4y + 1}{5}\\
y & = &  \dfrac{4x - 3y - 2}{5}\\
\end{array}\right. $\\
$\iff \left\{\begin{array}{l c l}
2x - 4y - 1 & = & 0\\
4x - 8y - 2&=& 0\\
\end{array}\right. \iff 2x - 4y - 1 = 0.$
Conclusion : les points $M$ invariants appartiennent à la droite d'équation $2x - 4y - 1 = 0.$
		\item  L'application $f$ a une écriture complexe de la forme $z' = a \overline{z} + b$ avec $|a| = 1$ :  c'est donc une symétrie axiale d'axe la droite d'équation $2x - 4y - 1 = 0.$
	\end{enumerate}
\item Le  complexe $z'$ est réel si et seulement si $y' = 0 \iff 4x - 3y - 2 = 0$. L'ensemble $D$ est donc la droite d'équation $4x - 3y - 2 = 0$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Le couple  (2~;~2) $\in \Z^2$ vérifie l'équation  $4x - 3y - 2 = 0$.
	\item Si $(x~;~y)\in \Z^2$ est une solution quelconque de l'équation $4x - 3y - 2 = 0$, alors

\[\left\{\begin{array}{l c l}
4x - 3y - 2 &=& 0\\
4\times 2 - 3\times 2 - 2 & = & 0\\
\end{array}\right.,\]

d'où par différence $4(x - 2) - 3(y - 2) = 0 \iff 4(x - 2) = 3(y - 2) \quad (1)$. Donc 3 divise $4(x - 2)$ mais étant premier avec 4, divise $x - 2$, d'après le théorème de Gauss. Il existe donc $k \in \Z$ tel que $x - 2 = 3k \iff x = 3k + 2$. En reportant dans (1) on obtient $4k = y - 2 \iff y = 4k + 2$.

Inversement $4(3k + 2) - 3(4k + 2) - 2 = 12k + 8 - 12k - 6 - 2 = 0$ ; donc les   couples $(3k + 2~;~ 4k + 2),~k \in \Z$ sont les couples solutions de l'équation  $4x - 3y - 2 = 0$.

	\end{enumerate}
\item Si $x = 1,~x'$ et  $ y'$ sont des  entiers $\iff \left\{\begin{array}{l c l}
3x + 4y + 1 &\equiv & 0\quad  \text{mod}~5\\
4x - 3y - 2 & \equiv &  0 \quad  \text{mod}~5\\
\end{array}\right.$\\
$  \iff \left\{\begin{array}{l c l}
4y + 4 &\equiv & 0 \quad  \text{mod}~5\\
2 - 3y &\equiv & 0 \quad  \text{mod}~5\\
\end{array}\right. \longleftrightarrow y + 6 \equiv 0 \quad  \text{mod}~5 \iff y \equiv - 1 \quad  \text{mod}~5 \iff y \equiv 4 \quad  \text{mod}~5\iff y = 5k + 4$.

Inversement, si $x = 1$ et $y = 5k + 4$, alors $x' = \dfrac{4 + 4(5k + 4)}{5} = \dfrac{20k + 20}{5} =$\\
$ 4k + 4 \in \Z$et $y' = \dfrac{2 - 3(5k + 4)}{5} = \dfrac{-15k - 10}{5} \in \Z$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On a $\vect{\text{AB}}\begin{pmatrix}0\\1\\2\\
 \end{pmatrix}~\vect{\text{AC}}\begin{pmatrix}-2\\1\\-1\\\end{pmatrix}$. Ces vecteurs ne sont pas colinéaires. Conclusion A, B et C ne sont pas alignés.
		\item On a : $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{n} = \begin{pmatrix}0\\1\\2\\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}3\\4\\- 2\\\end{pmatrix} = 0 + 4 - 4 = 0$ et $\vect{\text{AC}} \cdot \vect{n} = \begin{pmatrix}2\\1\\-1\\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}3\\4\\- 2\\\end{pmatrix} $\\$= -6 + 4 + 2 = 0$. Donc $\vect{n}$ normal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) est un vecteur normal à ce plan. On a donc $M(x~;~y~;~z) \in (\text{ABC}) \iff \vect{\text{A}M} \cdot \vect{n} = 0 \iff \begin{pmatrix}x - 1\\ y - 0\\ z - 2\\\end{pmatrix} \cdot  \begin{pmatrix}3 \\ 4\\ -2\\ \end{pmatrix} = 0 \iff 3x - 3 4y - 2z + 1 = 0 \iff \\
 3x + 4y - 2z + 1 = 0 \iff M(x~;~y~;~z) \in (\text{ABC})$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Les plans P$_{1}$ et P$_{2}$ ont respectivement pour vecteurs normaux  \\$\begin{pmatrix} 2\\1\\2\\\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 1\\ - 2\\ 6\\\end{pmatrix}$. les coordonnées de ces vecteurs   ne sont pas proportionnelles, donc les plans ne sont pas parallèles donc sécants en une droite $D$ dont les coordonnées de chaque point vérifient les système :
		
$\left\{\begin{array}{l c l}
2x + y + 2z + 1&=&0\\
x - 2y + 6z&=&0\\
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
2x + y &=&-2z - 1\\
x - 2y &=&-6z\\
\end{array}\right.\\
\iff \left\{\begin{array}{l c l}
2x + y + &=&-2t - 1\\
x - 2y &=&- 6t\\
z &=& t\\
\end{array}\right. 
\iff \left\{\begin{array}{l c l}
4x + 2y  &=&-4t - 2\\
x - 2y &=&- 6t\\
z &=& t \\
\end{array}\right. \\
\iff \left\{\begin{array}{l c l}
5x &=& -10t - 2\\
x - 2y &=&- 6t\\
z &=& t \\
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x &= & - 2t - \dfrac{2}{5}\\
y & =& 2t - \dfrac{1}{5}\\
z &=& t\\
\end{array}\right.$

On reconnait l'équation d'une droite contenant le point $\left(-\dfrac{2}{5}~;~- \dfrac{1}{5}~;~0\right)$ et de vecteur directeur $\vect{u}\begin{pmatrix} -2\\2\\1\\\end{pmatrix}$.

Or $\vect{u} \cdot \vect{n} = - 2 \times 3 + 2 \times 4 + 1 \times (- 2) = 0$. Les vecteurs $\vect{u}$ et $\vect{n}$ sont orthogonaux, donc la droite (D) est parallèle au plan (ABC). Comme

$3 \times \left(- \dfrac{2}{5}\right) + 4 \times \left(- \dfrac{1}{5}\right) - 2 \times 0 + 1 = 0 \iff - 1 = 0$ est faux, la droite et le plan sont parallèles et distincts.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item $t \geqslant 0 \iff t + 3 \geqslant 3 > 0$. La somme des coefficients est non nulle, donc $G$ existe.

I est le barycentre des points A et B affect\'es respectivement des coefficients 1 et 2, donc on a :
 
$\vect{\text{OA}} + 2 \vect{\text{OB}} = 3\vect{\text{OI}} \iff \vect{\text{OI}} = \dfrac{1}{3}\left(\vect{\text{OA}} + 2 \vect{\text{OB}} \right)$.
On a donc I$\left(1~;~\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{10}{3}\right)$.

On a d'une part $\vect{G\text{A}} + 2\vect{G\text{B}} + t\vect{G\text{C}} = \vect{0}$ et d'autre part $\vect{I\text{A}}  + 2\vect{I\text{B}} = \vect{0}$. La relation de Chasles appliquée à la première égalité donne 

$\vect{GI} + \vect{I\text{A}} + 2\vect{GI} + 2\vect{I\text{B}} + t\vect{GI} + t\vect{I\text{C}} = \vect{0} \iff (3 + t)\vect{GI} + t\vect{I\text{C}} = \vect{0} \iff $

$\vect{IG}  = \dfrac{t}{3 + t}\vect{I\text{C}}$.
		\item L'égalité vectorielle précédente obtenue montre que le point $G$ appartient à la droite (IC) et que l'abscisse du point  $G$ pour le repère (I, C) est le réel $\dfrac{t}{3 + t}$.

Soit $f$ la fonction réelle de la variable$t$ définie par $f(t) = \dfrac{t}{3 + t}$ sur $\R^{+}$. On a $f'(t) = \dfrac{3}{(3 + t)^2} > 0$. La fonction $f$ est donc croissante de 0  à 1 (exclu car limite en plus l'infini de $f(t)$ qui sont respectivement les abscisses de I et de C. L'ensemble des points $G$ est donc le segment ouvert [IC[.

On a $G$ = J $\iff f(t) = \dfrac{1}{2} \iff \dfrac{t}{3 + t} = \dfrac{1}{2} \iff 2t = 3 + t \iff t = 3.$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, 
$u_{n+1}  \leqslant  0,95u_{n} \iff \dfrac{(n + 1)^{10}}{2^{n+1}} \leqslant 0,95 \dfrac{n^{10}}{2^n} $

$\iff (n + 1)^{10} \leqslant 1,9 n^{10} \iff \left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{10} \leqslant 1,9 \iff \left(1+ \dfrac{1}{n}\right)^{10} \leqslant 1,9$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  La fonction $1 + \dfrac{1}{x}$ étant dérivable sur $[1~;~+ \infty[$, la fonction $f$ l'est aussi et $f'(x) = 10\left(1 + \dfrac{1}{x} \right)^9 \times \left(- \dfrac{1}{x^2} \right) < 0$. 

Donc $f$ est décroissante sur $[1~;~+ \infty[$. On a $f(1) = 2^{10},~\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 1 + \dfrac{1}{x} = 1$, d'où $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^{10} = 1$.
		\item Conclusion $f$ est continue (car dérivable) et décroissante de $2^{10}$ à $1$, donc bijective. Il existe donc un unique réel $\alpha$ de $[1~;~+ \infty[$ tel que $f(\alpha) = 1,9$.
		\item Avec la calculatrice on trouve que $f(15) > 1,9$ et $f(16) < 1,9$. Donc 
		
$n_{0} = 16$.
		\item On a  $n \geqslant  16  \geqslant \alpha \Rightarrow f(n) \leqslant f(16) \leqslant f(\alpha)$ soit $\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{10} \leqslant 1,9 \Rightarrow$
		
$u_{n+1} \leqslant u_{n}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item D'après la question \textbf{1.} et pour tout entier $n$ supérieur à 16\\ $\left(1+ \dfrac{1}{n}\right)^{10} \leqslant 1,9 \iff u_{n+1}  \leqslant  0,95u_{n}$.
 
Donc la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante  à partir du rang 16.
		\item Comme de plus  $u_{n} \geqslant 0$  la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers un réel supérieur ou égal à zéro.
	\end{enumerate}
\item $\bullet~$ \emph{Initialisation} : on a $u_{16} \leqslant 0,95^0 u_{16}$. La relation est vraie pour $n = 16$.

$\bullet~$ \emph{Hérédité} : Soit un naturel $n \geqslant 16$  et supposons que $0  \leqslant u_{n} \leqslant 0,95^{n - 16}u_{16}$. D'après la question \textbf{1.} 

$0 \leqslant u_{n+1} \leqslant 0,95u_{n} \leqslant 0,95 \times 0,95^{n - 16}u_{16} \iff  0 \leqslant u_{n+1}\leqslant 0,95^{n - 15}u_{16}$. Donc la propriété est vraie au rang $n + 1$.

La relation est vraie pour $n = 16$ et si elle est vraie pour $n$ naturel tel que $n \geqslant 16$, elle est vraie au rang suivant. On a donc démontré par récurrence que 
 pour tout  naturel $n$ supérieur ou égal à 16 : $0 \leqslant u_{n} \leqslant 0,95^{n - 16}u_{16}$.

Or $0,95^{n - 16}$ est le terme général d'une suite géométrique de raison telle que $-1 < 0,95 < 1$. Donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,95^{n - 16} = 0$. D'après l'encadrement démontré par récurrence et d'après le théorème des \og gendarmes \fg

\[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 0.\]

\end{enumerate}
\end{document}