%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%%%%%%%%%%%%%%% définition escalier
\newcommand{\escalier}[4]{%
\code{/x 1 def}
\moveto(!x 0)
\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=red](!x 0)(!x x)
\multido{\i=0+1}{6}{%
\code{/y 20 x sub x mul 10 div def}
%\moveto(!x 0)
\psline[linewidth=2pt,linestyle=dashed,linecolor=red]{->}(!x 0)(!x x)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.5pt,ArrowInside=->](!x x)(!x y)(!y y)
\code{/x y def}%
\uput[d](!x 0){$A_{\i}$}				% (on place les nom des points)
}
}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat S},
pdftitle = {Pondichéry 16 avril 2008},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}  
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{16 avril 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Pondichéry  
16 avril 2008~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Soit $f$ la fonction définie sur $[1~;~+ \infty[$ par 	$f(x) = 	\dfrac{x}{\text{e}^x - 1}$ et soit $H$ la fonction définie sur $[1~;~+ \infty[$ par $H(x) = \displaystyle\int_{1}^x f(t)\:\text{d}t$.
	\begin{enumerate}
		\item $x \geqslant 1 \Rightarrow \text{e}^x \geqslant \text{e}^1$ ou encore $\text{e}^x \geqslant \text{e} \Rightarrow  \text{e}^x > 1$ (par croissance de la fonction exponentielle). $f$ est donc bien définie pour $x \geqslant 1$.
		
$H$ est bien définie pour $x \geqslant 1$ comme intégrale d'une fonction continue car quotient de deux fonctions continues sur $[1~;~+ \infty[$, le dénominateur ne s'annulant pas comme on l'a vu précédemment.% Justifier que $f$ et $H$ sont bien définies sur $[1~;~+ \infty[$
		\item On sait que $H'(x) = f(x)$ : $H$ est la primitive de $f$ qui s'annule pour $x = 1$. %Quelle relation existe-t-il entre $H$ et $f$ ?

		\item Sur $[1~;~+ \infty[, x > 0$ et $\text{e}^x - 1 > 0$ (voir \textbf{a.}), donc la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[1~;~x]$.

$H(x)$ est donc égale à la mesure (en unités d'aire) de la surface limitée par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites verticales d'équation $X = 1$ et $X = x$.
		
$H(3)$ est donc égale à la mesure (en unités d'aire) de la surface limitée par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites verticales d'équation $x = 1$ et $x = 3$.% Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} du plan. Interpréter en termes d'aire le nombre $H(3)$.
	\end{enumerate}

\item %On se propose, dans cette question, de donner un encadrement du nombre $H(3)$.
	\begin{enumerate}
		\item  Si $x > 0$, l'image $f(x)$ peut s'écrire $\dfrac{x}{\text{e}^x - 1} = \dfrac{x \times \text{e}^{-x}}{\text{e}^{-x} \left(\text{e}^x - 1\right)} = x \times \dfrac{\text{e}^{-x}}{1 - \text{e}^{-x}}$.% Montrer que pour tout réel $x > 0,~  \dfrac{x}{\text{e}^x - 1} = x \times \dfrac{\text{e}^{-x}}{1 - \text{e}^{-x}}$.
		\item  En posant :
		
		$\left\{\begin{array}{l c l}
		u(x)&=&x\\
		v'(x) &=&\dfrac{\text{e}^{-x}}{1 - \text{e}^{-x}}\\
		\end{array}\right.$ d'où  $\left\{\begin{array}{l c l}
		u'(x) &=& 1\\
		v(x) &=&\ln \left(1 - \text{e}^{-x} \right)\end{array}\right.$, on peut, toutes les fonctions étant continues sur [1~;~3], intégrer par parties :
		
$\displaystyle\int_{1}^3 f(x)\:\text{d}x = \left[x\ln \left(1 - \text{e}^{-x} \right)  \right]_{1}^3 - \displaystyle\int_{1}^3 \ln \left(1 - \text{e}^{-x}\right)\:\text{d}x =$

$ 3\ln \left(1 - \text{e}^{-3} \right) - \ln \left(1 - \text{e}^{-1} \right) -	\displaystyle\int_{1}^3 \ln \left(1 - \text{e}^{-x}\right)\:\text{d}x$.	

		 %En déduire que $\displaystyle\int_{1}^3 f(x)\:\text{d}x = 3\ln \left(1 - \dfrac{1}{\text{e}^3}\right) -\ln \left(1 - \dfrac{1}{\text{e}}\right) - \displaystyle\int_{1}^3 \ln \left(1 - \text{e}^{-x} \right)\:\text{d}x$.
		\item  On a $1\leqslant x \leqslant  3 \iff - 3 \leqslant - x \leqslant -1 \iff \text{e}^{-3} \leqslant \text{e}^{-x} \leqslant \text{e}^{-1} \iff$
		
		$ -\text{e}^{-1} \leqslant - \text{e}^{-x} \leqslant - \text{e}^{-3} \iff 1 -\text{e}^{-1} \leqslant 1 - \text{e}^{-x} \leqslant 1 - \text{e}^{-3}$.%Montrer que si $1\leqslant x \leqslant  3$, alors $\ln \left(1 - \dfrac{1}{\text{e}}\right)\leqslant  \ln \left(1 - \text{e}^{-x} \right) \leqslant  \ln \left(1 - \dfrac{1}{\text{e}^3}\right)$.
		
		Par croissance de la fonction $\ln$, on a donc :
		\[ \ln \left(1 -\text{e}^{-1}\right) \leqslant \ln \left(1 - \text{e}^{-x}\right) \leqslant \ln \left(1 - \text{e}^{-3}\right). \]
		\item  En intégrant les trois fonctions de l'inégalité précédente sur [1 ; 3], on obtient :
		
		$\displaystyle\int_{1}^3 \ln \left(1 -\text{e}^{-1} \right)\:\text{d}x \leqslant \displaystyle\int_{1}^3 \ln \left(1 - \text{e}^{-x}\right)\:\text{d}x  \leqslant \displaystyle\int_{1}^3 \ln \left( 1 - \text{e}^{-3}\right) \:\text{d}x$ soit :
		
$2\ln\left(1 - \text{e}^{-1} \right) \leqslant \displaystyle\int_{1}^3 \ln \left(1 - \text{e}^{-x}\right)\:\text{d}x \leqslant 2\ln \left(1 - \text{e}^{-3}\right)$.

On a donc $-2\ln \left(1 - \text{e}^{-3}\right) \leqslant - \displaystyle\int_{1}^3 \ln \left(1 - \text{e}^{-x}\right)\:\text{d}x \leqslant -2\ln \left(1 - \text{e}^{-1}\right)$. Donc finalement en utilisant le résultat de la question \textbf{b.} :

$\ln \left(1 - \text{e}^{-3}\right) - \ln \left(1 - \text{e}^{-1}\right)\leqslant  \displaystyle\int_{1}^3 f(x)\:\text{d}x \leqslant 3\ln \left(1 - \text{e}^{-3}\right)- 3\ln \left(1 - \text{e}^{-1}\right)$.
		%En déduire un encadrement de $\displaystyle\int_{1}^3 \ln \left(1 - \text{e}^{-x} \right)\:\text{d}x$ puis de $\displaystyle\int_{1}^3 f(x)\:\text{d}x$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Cet exercice contient une restitution organisée de connaissances.}
 
\medskip
 
\textbf{Partie A}

%On suppose connus les résultats suivants :

%\begin{enumerate}
%\item Dans le plan complexe, on donne par leurs affixes $z_{A},~z_{B}$  et $z_{C}$ trois points $A,~ B$ et $C$.

%	Alors $\left|\dfrac{z_{B} - z_{C}}{z_{A} - z_{C}}  \right|= \dfrac{CB}{CA}$ et arg$\left(\dfrac{z_{B} - z_{C}}{z_{A} - z_{C}}  \right) = \left(\vect{CA},~\vect{CB} \right) \quad (2\pi)$.
%\item 	Soit $z$ un nombre complexe et soit $\theta$ un réel :

%$z = \text{e}^{\text{i}\theta}$  si et seulement si  $|z| =1$ et arg$(z) = \theta + 2k\pi$, où $k$ est un entier relatif.
%\end{enumerate}
%\emph{Démonstration de cours} :  démontrer que la rotation $r$ d'angle $\alpha$ et de centre $\Omega$ d'affixe $\omega$ est la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que
%\[z' - \omega = \text{e}^{\text{i}\alpha}(z - \omega).\]
% \medskip
 
\textbf{Partie B}

%Dans un repère orthonormal direct du plan complexe \Ouv{} d'unité graphique $2$~cm, on considère les points $A,~ B,~ C$ et $D$ d'affixes respectives 
% \[z_{A} = -\sqrt{3} - \text{i},~ z_{B} = 1 - \text{i}\sqrt{3},~ z_{C} = \sqrt{3} + \text{i}~\text{et}~z_{D} = - 1 +\text{i}\sqrt{3}.\]
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  
		\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $\left|z_{A}\right|^2 = 3 + 1 = 4 = 2^2$, donc  $\left|z_{A}\right| = 2$.

On a donc $z_{A} = 2\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{2}\text{i} \right) = 2\left(\cos \frac{-5\pi}{6}\right) + \text{i}\left(\sin \frac{-5\pi}{6}\right) = 2\text{e}^{\frac{-5\text{i}\pi}{6}}$.

Le module est égal à 2 et un argument à  $\frac{-5\pi}{6}$.
\item[$\bullet~$] De même,  $\left|z_{B}\right| = 2$ et $z_{\text{B}} = 2\left(\dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2\left[\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \text{i}\sin \left(-\frac{\pi}{3}\right)\right] = 2\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$.

Le module est égal à 2 et un argument à  $-\frac{\pi}{3}$.
\item[$\bullet~$] $z_{\text{C}} = 2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i} \right)  = 2\text{e}^{\frac{\pi}{6}}$.

Le module est égal à 2 et un argument à  $\frac{\pi}{6}$.
\item[$\bullet~$] $z_{\text{D}} = 2\left(-\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2\text{e}^{\frac{2\pi}{3}}$.
Le module est égal à 2 et un argument à  $\frac{2\pi}{3}$.
\end{itemize}
%Donner le module et un argument pour, chacun des quatre nombres complexes $z_{A},~z_{B},~z_{C}$ et $z_{D}$.
		\item En utilisant le cercle centré en O de rayon 2 et en traçant des médiatrices :
		
\bigskip
		
\psset{unit=1.1cm}
\begin{pspicture}(-4,-4.5)(4,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-4)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\pscircle(0,0){2}
\psline[linestyle=dashed](1,-2)(1,2) \psline[linestyle=dashed](-2,-1)(2,-1)
\psline[linestyle=dashed](-2,1)(2,1) \psline[linestyle=dashed](-1,-2)(-1,2)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](-1.732,-1)(1,-1.732)(1.732,1)(-1,1.732)
\uput[dl](-1.732,-1){$A$} \uput[dr](1,-1.732){$B$} \uput[ur](1.732,1){$C$}
\uput[ul](-1,1.732){$D$}\uput[dr](0,0){O}\uput[d](0.85,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.85){$\vect{v}$}
\psline(-1.732,-1)(1.732,1) \psline(1,-1.732)(-1,1.732)
\pscircle(1,-1.732){2.828} 	\pscircle(1.732,1){2.828} 
\pscircle(1,-1.732){2.828} 	\pscircle(-1.732,-1){2.828}
\uput[r](3.732,-1){$F$} \uput[u](0.267,1){$E$}
\pspolygon[linecolor=blue](1,-1.732)(1.732,1)(3.72,-1)
\pspolygon[linecolor=blue](1,-1.732)(-1.732,-1)(0.22,1) 
\uput[ur](2,0){$J$} \psline	(0.267,1)(3.732,-1)	
\end{pspicture}
		%Comment construire à la règle et au compas les points $A,~ B,~ C$ et $D$ dans le repère \Ouv ?
		\item $A$ et $C$ d'une part, $B$ et $D$ d'autre part ont leurs coordonnées opposées : ils sont donc symétriques autour de O, donc $ABCD$ est un parallélogramme ;
		
		Les arguments de $B,~ C$ et $D$ sont respectivement $-\frac{\pi}{3},~\frac{\pi}{6}$ et $\frac{2\pi}{3}$, donc les droites ($OB$) et ($OC$) sont perpendiculaires, de même que ($OC$) et ($OD$). Le parallélogramme $ABCD$ a ses diagonales perpendiculaires : c'est un losange :
		
		Comme [$AC$] et [$BD$] sont des diamètres le quadrilatère $ABCD$ est un rectangle.
		
Conclusion : $ABCD$ est un carré.%Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ?
	\end{enumerate}
\item %On considère la rotation $r$ de centre $B$ et d'angle $- \dfrac{\pi}{3}$. Soient $E$ et $F$ les points du plan définis par :
%$E = r(A)$ et $F = r(C)$.
	\begin{enumerate}
		\item  Dans la rotation $r$ le point $B$, un point et son image sont les trois sommets d'un triangle équilatéral (triangle isocèle ayant un angle au sommet de $\frac{\pi}{3}$).
		
		Pour construire F il suffit de construire le cercle de centre $B$ et de rayon $BC$ et le cercle de centre C et de rayon $CB$.
		
		De même pour $E$, on trace le cercle de centre $B$ et de rayon $BA$ et le cercle de centre $A$ et de rayon $AB$.%Comment construire à la règle et au compas les points $F$ et $E$ dans le repère précédent ?
		\item On a $z' - \left(1 - \text{i}\sqrt{3} \right) = \text{e}^{-\frac{\text{i}\sqrt{3}}{2}}\left[z - \left(1 - \text{i}\sqrt{3} \right) \right] \iff\\ z' = 1 - \text{i}\sqrt{3}  + \left(\dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\left[z - \left(1 - \text{i}\sqrt{3} \right) \right] \iff\\ z' = 1 - \text{i}\sqrt{3} + \left(\dfrac{1}{2}- \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)z - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{3}{2}.$
		\[z' = \left(\dfrac{1}{2}- \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)z + 2 .\]
		\item  En remplaçant $z$ par $-\sqrt{3} - \text{i}$, on obtient :\\
		$z_{E} = \left(\dfrac{1}{2}- \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)\left(-\sqrt{3} - \text{i} \right) + 2  = 2 - \sqrt{3} + \text{i}$.
% Déterminer l'affixe du point $E$.
	 \end{enumerate}
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Partie A}

%On suppose connu le résultat suivant :\\
%Une application $f$ du plan muni d'un repère orthonormal direct dans lui-même est une similitude directe si et seulement si $f$ admet une écriture complexe de la forme $z'= az +b$, où $a \in \C^*$ et $b \in \C$.\\

%\medskip

%\emph{Démonstration de cours} :  on se place dans le plan complexe. Démontrer que si $A, B, A'$ et $B'$ sont quatre points tels que $A$ est distinct de $B$ et $A'$ est distinct de $B'$, alors il existe une unique similitude directe transformant $A$ en $A'$ et $B$ en $B'$.

\medskip

\textbf{Partie B}

%Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} on considère les points $A,~ B,~C,~ D$ d'affixes respectives 
% \[z_{A} = -\sqrt{3} - \text{i},~ z_{B} = 1 - \text{i}\sqrt{3},~ z_{C} = \sqrt{3} + \text{i}~\text{et}~z_{D} = - 1 +\text{i}\sqrt{3}.\]
 \begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Voir la partie obligatoire.% Donner le module et un argument-de chacun des quatre nombres complexes $z_{A},~ z_{B},~ z_{C}$ et $z_{D}$.
		\item  Voir la partie obligatoire.% Construire à la  règle et au compas les points $A,~ B,~ C$ et $D$ (on prendra pour unité graphique $2$~cm).
		\item Comme vu plus haut O est le milieu de [$AC$] et le milieu de [$BD$].
		
$\dfrac{z_{B}}{z_{A}} = \dfrac{1 - \text{i}\sqrt{3}}{-\sqrt{3} - \text{i}} = \dfrac{\left(1 - \text{i}\sqrt{3}\right)\left(- \sqrt{3} + \text{i} \right)}{\left(-\sqrt{3} - \text{i}\right)\left(- \sqrt{3} + \text{i} \right)} = \dfrac{-\sqrt{3} + \sqrt{3} + \text{i} + 3\text{i}}{3 + 1} = \text{i}$.

Donc les droites (O$B$) et (O$C$) sont perpendiculaires : le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme (ses diagonales ont le même milieu O), un rectangle (ses diagonales sont deux diamètres) et un losange (ses diagonales sont perpendiculaires) : c'est un carré.% Déterminer le milieu du segment $[AC]$, celui du segment $[BD]$. Calculer le quotient $\dfrac{z_{B}}{z_{A}}$. En déduire la nature du quadrilatère $ABCD$.
	\end{enumerate}
\item %On considère la similitude directe $g$ dont l'écriture complexe est $z' = \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}z + 2$.
	\begin{enumerate}
		\item  Cherchons les points invariants en résolvant l'équation $z' = z \iff$
		
$z = \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}z + 2 \iff z\left(1 -  \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}\right) = 2 \iff z\left(1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{\text{i}\sqrt{3}}{2} \right) \iff$

$z\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{\text{i}\sqrt{3}}{2}\right) = 2 \iff z = \dfrac{2}{\frac{1}{2} + \frac{\text{i}\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{4}{1 + \text{i}\sqrt{3}} = 1 - \text{i}\sqrt{3} = z_{B}$.

Le seul point invariant est le point $B$.
		
De $z' = \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}z + 2$ et 

$1 - \text{i}\sqrt{3} = \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}\left(1 - \text{i}\sqrt{3} \right) + 2$, on obtient par différence :

\[z' - \left(1 - \text{i}\sqrt{3} \right) = \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}\left[z - \left(1 - \text{i}\sqrt{3} \right)  \right]\]
$g$ est donc la similitude directe de centre $B$ et d'angle $- \dfrac{\pi}{3}$. C'est la rotation de centre $B$.
		% Déterminer les éléments caractéristiques de $g$. 
		\item  Voir la partie obligatoire.
		
		Pour le point $J$ image de O c'est le point d'affixe 2%  Construire à la règle et au compas les images respectives $E,~ F$ et $J$ par $g$ des points $A,~ C$ et $O$. 
		\item  O est le milieu de [$AC$], donc la rotation conservant les milieux $J$ est le \`milieu de [$EF$].%Que constate-t-on concernant ces points $E,~ F$ et $J$ ? Le démontrer.
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%On considère un tétraèdre $ABCD$.\\
%On note $I,~ J,~ K,~ L,~ M,~ N$ les milieux respectifs des arêtes $[AB],~ [CD],~[BC],~[AD],~[AC]$ et $[BD]$.\\
%On désigne par $G$ l'isobarycentre des points
%$A,~B,~C$ et $D$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(5,4.5)
\pspolygon(0,1.25)(3.25,4)(4.4,0.7)(2.2,0)%ABCD
\psline(3.25,4)(2.2,0) \psline[linestyle=dashed](0,1.25)(4.4,0.7)
\uput[dl](0,1.25){A} \uput[ul](3.25,4){B} \uput[dr](4.4,0.7){C} \uput[d](2.2,0){D}
\uput[ul](1.625,2.625){$I$} \uput[dr](3.3,0.35){$J$}
\uput[ur](3.825,2.35){$K$} \uput[dl](1.1,0.625){$L$}
\uput[u](2.2,0.975){$M$}  \uput[r](2.725,2){$N$}
\psdots[dotstyle=o](1.625,2.625)(3.3,0.35)(3.825,2.35)(1.1,0.625)(2.725,2)(2.2,0.975)
\pspolygon[linecolor=blue](1.625,2.625)(3.825,2.35)(3.3,0.35)(1.1,0.625) 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  $G = \text{bar}\left\{(\text{A},~1),~(\text{B},~1),~(\text{C},~1),~(\text{D},~1)  \right\} = \text{bar}\left\{I, 2),~(J, 2)\right\}$. Donc $G$ est le milieu de $[IJ]$.

Toujours en utilisant l'associativité du barycentre et en associant $A$ et $C$ d'une part $B$ et $D$ d'autre part on trouve que $G$ est le milieu de $[MN]$.

Enfin en associant $B$ et $C$ d'une part $A$ et $D$ d'autre part on trouve que $G$ est l'isobarycentre de $[KL]$.

Les segments $[KL], [MN]$ et $[IJ]$ ont le même milieu.% Montrer que les droites $(IJ),~(KL)$ et $(MN)$ sont concourantes en $G$.

\medskip

Dans la suite de l'exercice, on suppose que $AB =  CD,~ BC = AD$ et $AC = BD$.

(On dit que le tétraèdre $ABCD$ est équifacial, car ses faces sont isométriques).

\medskip

\item
	\begin{enumerate}
		\item  En utilisant le théorème de la droite des milieux dans les triangles $ABC$ et $ACD$, on a 
		
$\vect{IK} = \dfrac{1}{2}\vect{AC}$ et $\vect{LJ} = \dfrac{1}{2}\vect{AC}$. On en déduit que $\vect{IK} = \vect{LJ} \iff IKJL$ est un parallélogramme.
		
En utilisant le même théorème dans les triangles $ABD$  et $BCD$, on trouve que $\vect{LI} = \vect{JK}$.
		
On a donc en prenant les normes $IK = \dfrac{1}{2}AC$ et $LI = \dfrac{1}{2}BD$. Or $AC = BD$. Conclusion : $LI = IK$.
		
Le quadrilatère $IKJL$ est un parallélogramme dont deux côtés consécutifs ont la même longueur : c'est un losange. On démontre de la même façon que $IMJN$ et $KNLM$ sont des losanges.% Quelle est la nature du quadrilatère $IKJL$ ? Préciser également la nature des quadrilatères $IMJN$ et $KNLM$.
		\item  $IKJL,~IMJN$ et $KNLM$ sont des  losanges donc $(IJ)$ et $(KL)$ sont orthogonales de même que $(IJ)$ et $(MN)$ ainsi que  $(KL)$ et $(MN)$.%En déduire que $(IJ)$ et $(KL)$ sont orthogonales. On admettra que, de même, les droites $(IJ)$ et $(MN)$ sont orthogonales et les droites $(KL)$ et $(MN)$ sont orthogonales.
	 \end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  La droite $(IJ)$ est orthogonale à deux droites $(KL)$ et $(MN)$ du plan du losange $KNLM$ : elle est donc orthogonale à ce plan  $(MKN)$.%Montrer que la droite $(IJ)$ est orthogonale au plan $(MKN)$.
		\item   $(IJ)$ orthogonale au plan $(MKN)$ est orthogonale à toute droite de ce plan donc en particulier à la droite $(MK)$. Les vecteurs $\vect{IJ}$ et $\vect{MK}$ sont donc orthogonaux et par conséquent $\vect{IJ}{}\cdot{}\vect{MK} = 0.$
		
Or dans le triangle $ABC$ la droite $(MK)$ (droite des milieux) est parallèle à $(AB)$. Conclusion $(IJ)$ est perpendiculaire à la droite $(AB)$.
		
De même $(IJ)$ est orthogonale à $(NK)$ qui est parallèle à $(CD)$, donc $(IJ)$ est perpendiculaire à $(CD)$.% Quelle est la valeur du produit scalaire $\vect{IJ}\cdot \vect{MK}$ ? En déduire que $(IJ)$ est orthogonale à la droite $(AB)$. Montrer de même que $(IJ)$ est orthogonale à la droite $(CD)$.
		\item  On a vu que $G \in (IJ)$ et $(IJ)$ est perpendiculaire à $[AB]$, donc $G$ appartient à la médiatrice de $[AB]$. Conclusion $G$ est équidistant de $A$ et de $B$, donc appartient au plan médiateur de $[AB]$. On démontre de même que $G$ appartient au plan médiateur de $[CD]$.%Montrer que $G$ appartient aux plans médiateurs de $[AB]$ et $[CD]$.
		\item  On sait déjà que $GA = GB$ et que $GC = GD$.
		
On démontre de la même façon qu'à la question précédente que $G$ appartient au plan médiateur de $[AD]$, donc que $GA = GD$.
		
Finalement on a $GA = GB = GC = GD$ ce qui montre que $G$ est le centre de la sphère contenant les quatre points $A, B, C$ et $D$.
%		 \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

%Comment démontrerait-on que $G$ est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre $ABCD$ ?
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

%\emph{On cherche à modéliser de deux façons différentes l'évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat, en fonction de l'année.}

\medskip

Les parties A et B sont indépendantes

\medskip

\textbf{Partie A : un modèle discret}

%Soit $u_{n}$ le nombre, exprimé en millions, de foyers possédant un téléviseur à écran plat l'année $n$.\\
% On pose $n =0$ en 2005, $u_{0} = 1$  et, pour tout $n \geqslant 0,$
% \[u_{n+1} = \dfrac{1}{10}u_{n}\left(20 - u_{n } \right).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Soit $f$ la fonction définie sur [0 ; 20] par
%\[ f(x)= \dfrac{1}{10}x(20 - x ).\]
	\begin{enumerate}
		\item  On a $f(x) = 2x - \dfrac{x^2}{10}$, donc $f'(x) = 2 - \dfrac{x}{5}$. On a $f'(x) \leqslant 0 \iff x \leqslant 10$ et $f'(x) \geqslant 0 \iff x \geqslant 10$. La fonction $f$ est donc croissante sur [0~;~10] et décroissante sur [10~;~20].

		% Étudier les variations de $f$ sur [0 ; 20].
		\item Sur [0~;~20], le maximum de $f$ est donc $f(10) = 10,~f(0) = 0$ et $f(20) = 0$ sont les minimums de $f$.
		
On a donc quel que soit $x \in [0~;~20],~ f(x) \in [0~;~10]$. % En déduire que pour tout $x \in [0~;~20],~ f(x) \in [0~;~10]$.
		\item Voir ci-dessous. %On donne en \textbf{annexe} la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans un repère orthonormal.
		
%Représenter, sur l'axe des abscisses,  à l'aide de ce graphique, les cinq premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant 0}$.
 	\end{enumerate}
\item \emph{Initialisation} : On a $u_{1} = f\left(u_{0} \right) = f(1) = 2 - 0,1 = 1,9$

On a bien  $0 \leqslant u_{0} \leqslant u_{1} \leqslant 10$.

\emph{Hérédité} : soit un naturel  $n$ et supposons que  $0 \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 10$.

On a vu que sur l'intervalle [0~;~10], le fonction $f$ est croissante, donc 

$\leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \Rightarrow f\left(u_{n} \right) \leqslant  f\left(u_{n+1} \right) \iff u_{n+1} \leqslant u_{n+2}.$

De plus d'après la question \textbf{1. b.} quel que soit un nombre dans l'intervalle [0 ; 20] et \emph{a fortiori} dans l'intervalle [0~;~10], son image par $f$ et elle aussi dans l'intervalle [0~;~10]. On a donc bien $0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 10$.

La relation est vraie au rang $0$ et si elle est vraie au rang $n$, elle est vraie au rang $n + 1$ ; on a démontré par récurrence  que pour tout $n \in  \N,\: 0 \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 10$.
\item On vient en fait de démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant 0}$ est croissante. Comme elle majorée par $10$, elle converge vers une limite $\ell$ inférieure ou égale à $10$.

Comme la fonction $f$ est continue on obtient par passage à la limite :
\[\ell = 2\ell - \dfrac{\ell^2}{10} \iff 10\ell - \ell^2 = 0 \iff \ell(10 - \ell) = 0 \iff  \ell = 0\quad \text{ou} \quad \ell = 10.\]

$\ell = 0$ n'est pas possible car $u_{0} = \ell$ et la suite est croissante.

Donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 10$.  %Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant 0}$ est convergente et déterminer sa limite.
	\end{enumerate}
	
\medskip
	
\textbf{Partie B : un modèle continu}

%Soit $g(x)$ le nombre, exprimé en millions, de tels foyers l'année $x$.\\
% On pose $x = 0$ en 2005,  $g(0) = 1$
%et $g$ est une solution, qui ne s'annule pas sur $[0~; ~+\infty[$, de l'équation différentielle

%\[(\text{E})\quad ;~~y' = \dfrac{1}{20}y(10 - y)\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item % On considère une fonction $y$ qui ne s'annule pas sur $[0~; ~+\infty[$ et on pose $z = \dfrac{1}{y}$.
	\begin{enumerate}
		\item  $z = \dfrac{1}{y} \iff y \dfrac{1}{z}$. $z$ est dérivable et $z' = - \dfrac{y'}{y^2} = -y'z^2 \iff y' = -\dfrac{z'}{z^2}$. On a donc :
		
$y' = \dfrac{1}{20}y(10 - y) \iff  -\dfrac{z'}{z^2} = \dfrac{1}{20}\dfrac{1}{z}\left(10 - \dfrac{1}{z}\right) \iff z' = - \dfrac{1}{2}z + \dfrac{1}{20}$.% Montrer que $y$ est solution de (E) si et seulement si $z$ est solution de l'équation différentielle :
%		\[(\text{E}_{1})\quad  : ~~z' = - \dfrac{1}{2}z + \dfrac{1}{20}.\]
		\item  Une solution constante évidente de E$_{1}$ est $z = \dfrac{1}{10}$.
		
Les solutions de l'équation différentielle $z' = - \dfrac{1}{2}z$ sont les fonctions 
$x \longmapsto K\text{e}^{- \frac{x}{2}}$.
		
Les solutions de l'équation E$_{1}$ sont donc les fonctions \\$x \longmapsto z(x) = K\text{e}^{- \frac{x}{2}} + \dfrac{1}{10}.$
		
Les solutions de (E) sont donc les fonctions $x \longmapsto \dfrac{1}{K\text{e}^{- \frac{x}{2}} + \frac{1}{10}}$.
		%Résoudre l'équation (E$_{1}$) et en déduire les solutions de l'équation (E).
		\end{enumerate}
\item $g$ est une solution de (E) telle que $g(0) = 1 \iff \dfrac{1}{K\text{e}^{- \frac{0}{2}} + \dfrac{1}{10}} = 1 \iff \dfrac{1}{K + 0,1} = 1 \iff$

$ 1 = K + 0,1 \iff K = 0,9 = \dfrac{9}{10}$.

Finalement $g(x) = \dfrac{1}{\frac{9}{10}\text{e}^{- \frac{x}{2}} + \dfrac{1}{10}} = \dfrac{10}{9\text{e}^{- \frac{x}{2}}+1}.$   %Montrer que $g$ est définie sur $[0~; ~+\infty[$ par $g(x) = \dfrac{10}{9\text{e}^{-\frac{1}{2}x} + 1}$.
\item On a $g'(x) = - \dfrac{10 \times 9 \times \left(- \frac{1}{2} \right)\text{e}^{- \frac{x}{2}}}{\left(9\text{e}^{- \frac{x}{2}}+1 \right)^2} = \dfrac{45\text{e}^{- \frac{x}{2}}}{\left(9\text{e}^{- \frac{x}{2}}+1 \right)^2}$. Cette dérivée ne comportant que des termes positifs est positive : la fonction $g$ est donc croissante sur $[0~;~+ \infty[$.% Étudier les variations de $g$ sur $[0~; ~+\infty[$.
\item On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{- \frac{x}{2}} = 0 $, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = 10$.

Ceci signifie qu'à long terme le nombre de foyers équipés de téléviseurs à écran plat va se rapprocher de 10 millions.%Calculer la limite de $g$ en $+ \infty$ et interpréter le résultat.
\item Il faut résoudre l'inéquation $g(x) > 5 \iff \dfrac{10}{9\text{e}^{- \frac{x}{2}}+1} > 5 \iff 2 > 9\text{e}^{- \frac{x}{2}}+1 \iff 1 > 9\text{e}^{- \frac{x}{2}} \iff \dfrac{1}{9} > \text{e}^{- \frac{x}{2}}  \iff - \ln 9 > - \frac{x}{2} \iff \frac{x}{2} > \ln 9 \iff x > 2\ln 9$ soit environ 4,3 ans ou en 5 ans à 1 an près soit en  2010.%En quelle année le nombre de foyers possédant un tel équipement dépassera-t-il $5$~millions ?
\end{enumerate}

\newpage

%\begin{center}
%\textbf{ANNEXE}
%
%\bigskip
%
%\textbf{À rendre avec la copie}
%
%\bigskip
%
%\psset{unit=0.545cm}
%\begin{pspicture}(-1,-3)(21,14)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-3)(21,14)
%\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(-4,-3)(24,14)
%\psplot[linecolor=blue,plotpoints=1500]{0}{20}{20 x sub x mul 10 div}
%\psplot{0}{13}{x}
%\psline[linecolor=red](1,0)(1,1.9)(1.9,1.9)(1.9,0)(1.9,3.439)(3.439,3.439)(3.439,0)(3.439,5.69533)(5.69533,5.69533)(5.69533,0)(5.69533,8.14698)(8.14698,8.14698)(8.14698,0)
%\uput[d](1,-1){\scriptsize $u_{0}$}\uput[d](1.9,-1){\scriptsize $u_{1}$}
%\uput[d](3.439,-1){\scriptsize $u_{2}$}
%\uput[d](5.69533,-1){\scriptsize $u_{3}$}\uput[d](8.14698,-1){\scriptsize $u_{4}$}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\bigskip

\textbf{À rendre avec la copie}

\bigskip

\psset{unit=0.545cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(21,14)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(21,14)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(21,14)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{20}{20 x sub x mul 10 div}
\psplot{0}{13}{x}
%\psline[linecolor=red](1,0)(1,1.9)(1.9,1.9)(1.9,0)(1.9,3.439)(3.439,3.439)(3.439,0)(3.439,5.69533)(5.69533,5.69533)(5.69533,0)(5.69533,8.14698)(8.14698,8.14698)(8.14698,0)
\uput[d](1,-1){\scriptsize $u_{0}$}\uput[d](1.9,-1){\scriptsize $u_{1}$}
\uput[d](3.439,-1){\scriptsize $u_{2}$}
\uput[d](5.69533,-1){\scriptsize $u_{3}$}\uput[d](8.14698,-1){\scriptsize $u_{4}$}
\SpecialCoor
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{20}{20 x sub x mul 10 div} 
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=black]{0}{14}{x}
\pscustom[linewidth=0.5pt]{%le tracé des pts 
\escalier{20 x sub x mul 10 div}{1}{5}{$A$}
}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}