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%Corrigé de Monique Rocher
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{21 avril 2010}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Pondichéry~\decofourright\\21 avril 2010}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissances}

\medskip

$f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $[a~;~b]$ donc $g - f$ est continue sur $[a~;~b]$.
Pour tout $x$ de $[a~;~b],~f(x) \leqslant g(x)$ donc $g(x) - f(x) \geqslant 0$ donc 

$\displaystyle\int_{a}^b [g(x) -  f(x)]\:\text{d}x \geqslant 0$ 

$\displaystyle\int_{a}^b [g(x) -  f(x)]\:\text{d}x = \displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x  - \displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x$ 
et $\displaystyle\int_{a}^b [g(x) -  f(x)]\:\text{d}x \geqslant 0$
donc  

$\displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x  - \displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x \geqslant 0 $ soit $\displaystyle\int_{a}^b g(x)\:\text{d}x \geqslant \displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x$.

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[,~f_{1}(x) = \ln(1 + x)$.
		
Soit $X = 1 + x,~ \displaystyle\lim_{x\to + \infty} X = + \infty$ ; 

$f_1 (x) = \ln X$ or $\displaystyle\lim_{X\to + \infty} \ln X = + \infty$ donc $\displaystyle\lim_{x\to + \infty} f_1(x) = + \infty$.
		\item  $f_1$ est la composée de deux fonctions :
		
$x \longmapsto  1 + x$ continue et dérivable sur $[0~;~+\infty[$, à valeurs dans $[1~;~+ \infty[$ et

$x \longmapsto \ln x$, continue et dérivable sur $[1~;~+\infty[$, donc $f_1$ est continue et dérivable sur $[0~;~+\infty[$.
		
$f'_{1}(x) = \dfrac{1}{x + 1}$ 
donc pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[,~f'_{1}(x) > 0$ donc $f_1$ est strictement croissante sur $[0~;~+\infty[$.
		\item  Soit : $\begin{array}{l @{\quad}  l}
u'(x) = 1& u(x) = x + 1\\
v(x) = \ln(1 + x)& v'(x) = \dfrac{1}{x + 1}
\end{array}$

$u$ et $v$ sont continues et dérivables sur $[0~;~+\infty[$, de m\^eme que $u'$ et $v'$ donc 

$I_{1} = \left[ u(x) v(x)\right]_{0}^1 - \displaystyle\int_{0}^1 u(x)v'(x)\:\text{d}x$ ;

$I_{1} = [(x + 1)\ln (x + 1)]_{0}^1 - \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{x + 1}{x + 1}\:\text{d}x =  [(x + 1)\ln (x + 1)]_{0}^1 - \displaystyle\int_{0}^1 1\:\text{d}x =$

$ 2 \ln 2 - 0  - 1$ ;

\[I_{1} = 2\ln 2 - 1.\]
		
$f_1(0) = 0$ et $f_1$ est strictement croissante sur $[0~;~+\infty[$ donc $f_1$ est positive sur $[0~;~1]$.
		
$f_1$ est continue sur $[0~;~1]$ donc $I_{1}$ est l'aire (en unité d'aires) du domaine limité par l'axe des abscisses, les droites d'équation $x = 0,$

$x = 1$ et la courbe représentative de $f_1$.
 	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Pour tout entier naturel non nul $n,~f_{n}$ est la composée de deux fonctions continues sur $[0~;~ +\infty[$ :
		
$x \longmapsto 1 + x^n$ et $x \longmapsto \ln x$ donc
$f_{n}$ est continue sur $[0~;~+\infty[$.

Pour tout $x$ de $[0~;~1],~0 \leqslant x^n \leqslant 1$ donc $1 \leqslant 1 + x^n \leqslant 2$.

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur $]0~;~+\infty[$  donc $\ln 1 \leqslant \ln \left(1 + x^n\right) \leqslant \ln 2$.

La fonction $f_{n}$ est continue sur $[0~;~1]$ et pour tout $x$ de $[0~;~1],$

$ 0 \leqslant f_{n}(x) \leqslant \ln 2$.

Donc pour tout entier naturel non nul $n,~0 \leqslant I_{n} \leqslant \displaystyle\int_{0}^1 \ln 2 \:\text{d}x$, soit 

$0 \leqslant I_{n} \leqslant \ln 2$.

		\item  Pour tout $x$ de $[0~;~1],~ 0 \leqslant x \leqslant 1$ donc par produit par $x^n \geqslant 0,$
		
$0 \leqslant x^{n+1}  \leqslant x^n$ puis  $1 \leqslant 1 + x^{n+1}  \leqslant 1 + x^n$.
		
La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur $]0~;~+\infty[$  donc $\ln 1 \leqslant \ln \left(1 + x^{n+1}\right) \leqslant \ln \left(1 + x^n\right)$, soit $0 \leqslant f_{n+1} \leqslant f_{n}$.

Les fonctions $f_{n+1}$ et $f_{n}$ sont continues sur $[0~;~1]$ et pour tout $x$ de $[0~;~1]$,

$ 0 \leqslant f_{n + 1} \leqslant f_{n}$ donc $0 \leqslant I_{n + 1} \leqslant I_{n}$.

La suite $\left(I_{n}\right)$ est décroissante et minorée par $0$.
		\item  La suite $\left(I_{n}\right)$  décroissante et minorée par $0$   est donc convergente vers un nombre positif.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  $g$ est la différence de deux fonctions continues dérivables sur $[0~;~+\infty[$ : $x \longmapsto x$ et $x \longmapsto f_1(x)$ donc $g$ est continue et dérivable
sur $[0~;~+\infty[$ et $g'(x) = \dfrac{1}{x + 1} - 1 = \dfrac{- x}{x + 1}$.

Pour tout $x > 0,~ g'(x) < 0$ et $g'(0) = 0$ donc $g$ est strictement décroissante sur $[0~;~+\infty[$.
		\item  $g$ est strictement décroissante sur $[0~;~+\infty[$ et $g(0) = 0$ donc $g$ est strictement négative sur $[0~;~+\infty[$.
		
Si $x$ est un réel positif alors pour tout entier naturel $n$ non nul, $x^n$ est un réel positif donc $g\left(x^n\right) \leqslant 0$ donc pour tout entier naturel $n$ non nul, et pour tout $x$ réel positif, on a : $\ln \left(1 + x^n\right) - x^n \leqslant 0$ soit $\ln \left(1 + x^n\right) \leqslant x^n$.
		\item  Les fonctions $f _{n}$ et $x \longmapsto x^n$ sont continues sur $[0~;~+\infty[$ et pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[$ on a : 
		
$0 \leqslant \ln \left(1 + x^n\right) \leqslant x^n$ ;
donc $0 \leqslant I_{n} \leqslant \displaystyle\int_{0}^1 x^n\:\text{d}x$, soit  
$0 \leqslant I_{n} \leqslant \left[\dfrac{1}{n + 1}x^{n+1}\right]_{0}^1$,  ou encore  $0 \leqslant I_{n} \leqslant \dfrac{1}{n + 1}$.

Comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{n + 1} = 0$
 d'après le théorème des gendarmes appliqué aux suites, $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}I_{n} = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\begin{enumerate}
\item  Un vecteur directeur de la droite D de représentation paramétrique 

$\left\{\begin{array}{l c l}x& =& \phantom{-2}t + 2\\
y &=& -2t\\
z &=& \phantom{-}3t - 1
\end{array}\right.$ est $\vect{u}$ de coordonnées
 $(1~;~ - 2~;~3)$.
 
Un vecteur normal au plan P est $\vect{n}$
 de coordonnées (1~;~2~;~1). Or 
 
$\vect{u} \cdot \vect{n} = 1 \times  1 + (- 2) \times 2 + 3 \times 1 = 0$ donc $\vect{u}$ et $\vect{n}$ sont orthogonaux, la droite D  est parallèle au plan P dont une équation cartésienne est : $x + 2 y + z - 3 = 0$.

Il était possible aussi de chercher le(s) point(s) d'intersection de D et de P et chercher $t$ tel que $(t + 2) + 2 (- 2 t) + (3 t - 1) = 0$
ceci est équivalent à $1 = 0$ ce qui est impossible,  donc D et P n'ont pas de point commun, D est strictement parallèle à P. \textbf{VRAI}
\item Pour chercher les points communs à ces trois plans il faut résoudre le système :

 $\left\{\begin{array}{l c l r}
x - 2y + 3z	&=&3 	&L_{1}\\
2x + 3y - 2z&=&6	&L_{2}\\
4x - y + 4z	&=&12	&L_{3}
\end{array}\right. L_{1} + L_{2} + L_{3}$ et $L_{3} - L_{1}$ conduisent au système :
$\left\{\begin{array}{l c l }
x - 2y + 3z&=&3\\
7x + 5z&=&21\\
7x + 5z&=&21\\
\end{array}\right.$ soit $\left\{\begin{array}{l c l }
x - 2y + 3z	&=&3\\
7x + 5z 	&=&21
\end{array}\right.$

L'intersection de deux plans est une droite donc \textbf{FAUX}.
\item Pour déterminer l'éventuel point d'intersection des droites citées, il faut chercher des réels $t$ et $u$ tels que

$\left\{\begin{array}{l c l }
x=&2 - 3t=	&7 + 2u\\
z=&-3 + 2t=	&-6-u\\
y=&1 + t= 	&2 + 2u\\
\end{array}\right.$ donc résoudre le système
$\left\{\begin{array}{l c l }
3t + 2u	&=&-5\\
2t + u	&=&-3\\
t - 2u	&=&1
\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l c l }
2t + u	&=&-3\\
t - 2u	&=&1
\end{array}\right. $

$\iff \left\{\begin{array}{l c l }
5t		&=	&-5\\
t - 2u 	&=	& 1
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l }
t	&=	&-1\\
u	&=	&-1
\end{array}\right.$ et dans ce cas on a bien $3 t + 2 u = - 5$ donc les deux droites sont sécantes et leur point d'intersection est A$(5~;~0~;~-5)$. \textbf{VRAI}

\item On considère les points A, de coordonnées $(-1~;~0~;~2)$, B de coordonnées (1~;~4~;~0), et C, de coordonnées $(3~;~- 4~;~- 2)$. Le plan (ABC) a pour équation $x + z = 1$.

$\vect{\text{AB}}$ a pour coordonnées $(2~;~4~;~- 2)$

$\vect{\text{AC}}$ a pour coordonnées $(4~;~- 4~;~- 4)$

Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc le plan (ABC) existe.
Les coordonnées de A, B et C vérifient $x + z = 1$ donc le plan (ABC) a pour équation $x + z = 1$. \textbf{VRAI}.
\item $\vect{\text{AB}}$ a pour coordonnées $(3~;~0~;~-3)$

$\vect{\text{AC}}$ a pour coordonnées $(5~;~- 2~;~2)$

Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc C n'appartient pas à la droite (AB).

On ne peut pas écrire C comme barycentre des points A et B donc \textbf{FAUX}.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Le joueur tire deux fois successivement et sans remise une boule de l'urne donc on est en situation d'équiprobabilité.

Le nombre initial de boules est $n + 10$, le joueur choisit une boule donc a 

$(n + 10)$ choix possibles et ne remet pas cette boule dans
l'urne donc le nombre de boules possibles lors du second tirage est $(n + 9)$.
	\begin{enumerate}
		\item  Lors d'un tirage de deux boules,
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item soit le joueur tire deux boules blanches, et gagne 4~\euro{}

\item soit le joueur tire une boule blanche et une boule rouge, et gagne  

$2 - 3 = - 1$~\euro
\item soit le joueur tire deux boules rouges, et gagne $- 6$~\euro.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Si le joueur tire une boule rouge au premier tirage, l'urne contient 10~boules blanches et $n - 1$~boules rouges.

Si le joueur tire une boule blanche au premier tirage, l'urne contient 9~boules blanches et $n$~boules rouges.

D'où l'arbre de choix :

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(6,4)
\rput(1.3,3.6){1\up{er} tirage}  \rput(2.6,3.6){2\up{e} tirage} \rput(4,3.6){Gain}
\rput(4,3.1){$-6$~\euro}
\rput(4,2.3){$-1$~\euro}
\rput(4,1.65){$-1$~\euro}
\rput(4.1,0.95){$4$~\euro}
\rput(2,2){\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\Tdot}
{
	\pstree{\TR{$R_{1}$}\taput{$\frac{n}{n+10}$}}
		{
\TR{$R_{2}$}\taput{$\frac{n-1}{n+9}$}
\TR{$B_{2}$}\tbput{$\frac{10}{n+9}$}
 		}
	\pstree{\TR{$B_{1}$}\tbput{$\frac{10}{n+10}$}}
		{
\TR{$R_{2}$}\taput{$\frac{n}{n+9}$}
 \TR{$B_{2}$}\tbput{$\frac{9}{n+9}$}
 		}
}}
\end{pspicture}		
		 \end{center}


$p(X = - 1) = \dfrac{n}{n + 10} \times \dfrac{10}{n + 9} + \dfrac{10}{n + 10} \times \dfrac{n}{n + 9} = \dfrac{20n}{(n + 10)(n + 9)}$.
		\item  $p(X = - 6) = \dfrac{n}{n + 10} \times \dfrac{n - 1}{n + 9} = \dfrac{n(n - 1)}{(n + 10)(n + 9)}$.

$p(X = 4) = \dfrac{10}{n + 10} \times \dfrac{9}{n + 9} = \dfrac{90}{(n + 10)(n + 9)}$.
		\item  E$(X) = 4 p(X = 4) + (- 1) p(X = - 1) + (- 6) p(X = - 6)$ donc 
		
E$(X) = \dfrac{360}{(n +10) (n + 9)} - \dfrac{20n}{(n +10) (n + 9)} - \dfrac{6n(n - 1)}{(n +10) (n + 9)}$.

E$(X) = \dfrac{-6n^2 + 6n - 20n + 360}{(n +10) (n + 9)} = \dfrac{-6n^2  - 14n + 360}{(n +10) (n + 9)}$.

		\item  E$(X) > 0 \iff  - 6 n^2 - 14 n + 360 > 0$.
		
$-6 x^2 - 14 x + 360 = 0$ or $\Delta = 14^2 + 4 \times 6 \times 360 = 94^2$,  donc les solutions sont $x_{1} = - 9,~x_{2} =
\dfrac{20}{3}$. Le trinôme est négatif sauf entre les racines, donc  $n$ étant un entier supérieur ou égal à 2, l'espérance mathématique est strictement positive si $2 \leqslant n \leqslant  6$.
	\end{enumerate}
\item  Les évènements \og obtenir au moins une boule rouge au cours de ces 20 tirages \fg{} et \og obtenir 20 boules blanches au cours de
ces 20 tirages \fg{} sont contraires donc : $p = 1 - \left(\dfrac{10}{n + 10} \right)^{20}$.

$p > 0,999 \iff \left(\dfrac{10}{n + 10} \right)^{20} < 1 - 0,999 \iff 
\left(\dfrac{10}{n + 10} \right)^{20} < 0,001 \iff$

$ \dfrac{10}{n + 10} < \sqrt[20]{0,001} \iff  n + 10 > \dfrac{10}{\sqrt[20]{0,001}}
\iff  n > \dfrac{10}{\sqrt[20]{0,001}} - 10 \iff n \geqslant  5$.
\item  $P(Z \leqslant k) = \displaystyle\int_{0}^k 0,01\text{e}^{-0,01x}\:\text{d}x = \left[-\text{e}^{-0,01x}  \right]_{0}^k$  donc $P(Z \leqslant k) = 1 - \text{e}^{-0,01k}$.
	\begin{enumerate}
		\item  $P(Z \leqslant 50) = 1 - \text{e}^{-0,01 \times 50}  = 1 - \text{e}^{-0,5}$ donc $P(Z \leqslant 50) \approx  0,39$.

		\item $P (Z \leqslant 60 / Z > 50) = \dfrac{P(50 < Z \leqslant 60)}{P(Z >  50)}$.

$P(50 < Z \leqslant 60) = \displaystyle\int_{50}^{60} 0,01 \text{e}^{-0,01x}\:\text{d}x = \left[- \text{e}^{-0,01x} \right]_{50}^{60} = \text{e}^{-0,5} - \text{e}^{-0,6}$.

$P(Z \leqslant 50) = 1 -  \text{e}^{-0,5}$ donc $P(Z > 50) = 1 - P(Z \leqslant 50) = \text{e}^{-0,5}$,  donc 

$P(Z \leqslant 60 / Z > 50) =
\dfrac{\text{e}^{-0,5} - \text{e}^{-0,6}}{\text{e}^{-0,5}} = 1 -  \text{e}^{-0,1}$.

%On aurait pu dire plus simplement que $Z$ suit une loi de durée de vie sans vieillissement donc l'évènement \og le joueur a tiré au
%maximum 60~boules pour tirer une boule blanche sachant qu'il a tiré plus de 50~boules pour tirer une boule blanche \fg{} a la même
%probabilité que \og le joueur a tiré 10 boules pour tirer une boule blanche \fg,
%donc $P (Z \leqslant 60 / Z > 50) = P(Z \leqslant 10) = 1 - \text{e}^{- 0,1}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Si $n = 0,~ u_{n + 1} = \dfrac{1}{3}u_n + n - 2$ devient :

$u_{1} =\dfrac{1}{3}u_{0} + 0 - 2$ soit $u_{1} = \dfrac{1}{3} -  2 = -
\dfrac{5}{3}$ ;

Si $n = 1,~ u_{n + 1} = \dfrac{1}{3}u_n + n - 2$ devient :
$u_{2} = \dfrac{1}{3}u_{1} + 1 - 2$ soit $u_{2} = - \dfrac{14}{9}$.

Si $n = 2,~u_{n + 1} = \dfrac{1}{3}u_n + n - 2$ devient :
$u_{3} = \dfrac{1}{3}u_{2} + 2 - 2$ soit $u_{3} = - \dfrac{14}{27}$.

\item
	\begin{enumerate}
		\item  \emph{Initialisation} : si $n = 3,~u_{n + 1} = \dfrac{1}{3}u_n + n - 2$ devient :
		$u_{4} = \dfrac{1}{3}u_{3} + 3 - 2$ soit $u_{4} = \dfrac{67}{81}$, 
donc $u_{4} \geqslant 0$.
		
La propriété est vraie pour $n = 4$.
		
\emph{Hérédité} Montrons que la propriété est héréditaire.

Soit $n \in \N$ et $n \geqslant 4$  tel que  $u_n \geqslant 0$.
		
$u_{n + 1} = \dfrac{1}{3}u_n + n - 2$ ; comme 
 $n \geqslant 4,~ n - 2 > 0$,  de plus $\dfrac{1}{3}u_n \geqslant 0$.
		
La somme de nombres positifs étant un nombre positif, donc

$\dfrac{1}{3}u_n + n - 2 \geqslant 0$ soit $u_{n + 1} \geqslant 0$.
		
La propriété est héréditaire donc vraie pour tout entier naturel 

$n \geqslant 4$.
		\item  En déduire que pour tout entier naturel $n \geqslant 5,~ u_n \geqslant n - 3$.
		
$u_{5} = \dfrac{1}{3}u_4 + 4 -2 = \dfrac{553}{243}$,  soit $u_{5} \approx  2,28$ donc $u_{5} \geqslant 5 - 3$.
		
La propriété est vraie pour $n = 5$ ;
		
Montrons que la propriété est héréditaire c'est-à-dire que pour tout $n \geqslant 5$, si $u_n \geqslant n - 3$ alors $u_{n + 1} \geqslant n + 1 - 3$ ou encore $u_{n + 1} \geqslant n - 2$.
		
$u_{n + 1} = \dfrac{1}{3}u_n + n - 2,~n \geqslant 5$ donc $u_n \geqslant n - 3$ donc

$u{_n + 1} \geqslant \dfrac{1}{3}(n - 3) + n - 2$ soit $u_{n + 1} \geqslant \dfrac{1}{3}n + n - 1 - 2$ ; comme 
$n \geqslant 5,$

$\dfrac{1}{3}n \geqslant 1$ donc $u_{n + 1} \geqslant 1 + n - 1 - 2$ soit $u_{n + 1} \geqslant n - 2$.
		
La propriété est héréditaire donc vraie pour tout entier naturel 
$n \geqslant 5$.

\emph{Remarque :} On peut également montrer que l'on vient de démontrer que pour $n \geqslant 4,~u_{n}\geqslant 0$, d'où $\dfrac{1}{3}u_{n} \geqslant 0 \Rightarrow \dfrac{1}{3}u_{n} + n - 2  \geqslant n - 2 \iff $
$u_{n+1} \geqslant n - 2 \iff u_{n+1} \geqslant (n + 1)  - 3 \iff u_{n}\geqslant n - 3$. 
		\item  $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} (n - 3) = + \infty$ et pour tout entier naturel $n \geqslant 5,~ u_n \geqslant n - 3$ donc d'après le théorème de comparaison :
$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = + \infty$.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  $v_{n + 1} = - 2 u_n + 1 + 3(n + 1) - \dfrac{21}{2} \iff$
		 
$v_{n + 1} = - 2 \left(\dfrac{1}{3}u_{n} + n - 2\right) + 3 n + 3 - \dfrac{21}{2}$ ;
$v_{n + 1} = - \dfrac{2}{3}u_n - 2 n + 4 + 3 n + 3 - \dfrac{21}{2} = - \dfrac{2}{3}u_n + n - \dfrac{7}{2} \iff $
$v_{n + 1} = \dfrac{1}{3} \times (-2 u_{n}) + \dfrac{1}{3}\times 3n - \dfrac{1}{3} \times \dfrac{21}{2}$ ;
$v_{n + 1} = \dfrac{1}{3}\left(-2u_{n} + 3n - \dfrac{21}{2} \right) \iff v_{n + 1} = \dfrac{1}{3}v_{n}$.

La suite $\left(v_{n}\right)_{n \in \N}$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{3}$ et de premier terme $v_{0} = - 2 u_{0} + 3 \times  0 - \dfrac{21}{2} = v_0 =  - \dfrac{25}{2}$. 

Donc $v_{n} = - \dfrac{25}{2}\left(\dfrac{1}{3} \right)^n$.
		\item $v_{n} = - 2 u_n + 3 n - \dfrac{21}{2} = - \dfrac{25}{2}\left(\dfrac{1}{3} \right)^n$ donc $- 2 u_n = -  \dfrac{25}{2}\left(\dfrac{1}{3} \right)^n - 3n + \dfrac{21}{2}$
soit $2 u_n = \dfrac{25}{2}\left(\dfrac{1}{3} \right)^n + 3n - \dfrac{21}{2}$ ;

$u_n = \dfrac{1}{2}\left[\dfrac{25}{2}\left(\dfrac{1}{3} \right)^n + 3n - \dfrac{21}{2}  \right]$ donc pour tout $n \in \N,$

\[u_n =  \dfrac{25}{4}\left(\dfrac{1}{3} \right)^n + \dfrac{3n}{2} - \dfrac{21}{4}.\]

		\item $S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^{k = n} u_{k} = u _{0} + u_{1} + \ldots  + u_{n} = \dfrac{25}{4}\dfrac{1 - \left(\dfrac{1}{3} \right)^{n+1}}{1 - \dfrac{1}{3}} + \dfrac{3}{2}\dfrac{n(n + 1)}{2}- \dfrac{21}{4}(n + 1)$, 
soit $S_{n} = \dfrac{75}{8}\left[1 - \left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1} \right] + \dfrac{3n^2}{4} -\dfrac{9n}{2}- \dfrac{21}{4}$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 
 
\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $(a,~b)$ un tel couple et $d = \text{PGCD}(a,~b)$. Il existe deux entiers $u$ et $v$ premiers entre eux tels que $a = d u$ et $b = d v$.

Donc en remplaçant : $(d u)^2 = (dv)^3$ soit $d^2 u^2 = d^3 v3$ et comme 

$d \neq 0,~u^2 = dv^3$.
\item  $u^2 = d v^3$ donc $v$ divise $u^2$, soit $v$ divise $u \times u$ ; 
d'après le théorème de Gauss, $v$ divise $u \times u$ et $v$ et $u$ sont premiers entre eux, donc $v$ divise $u$.

PGCD$(u~;~v) = 1$ or si $v$ divise $u,~ \text{PGCD}(u~;~v) = v$ donc $v = 1$.
\item  si $a^2 = b^3$, d'après la question précédente $v = 1$ donc en remplaçant dans $b = d v$ et $u^2 = d v^3$, on obtient $b = d$ et $u^2 = d$ donc
$a = d u = u^3$ et $b = u^2$ donc $a$ et $b$ sont respectivement le cube et le carré d'un même entier.

Réciproquement :

Si $a$ et $b$ sont respectivement le cube et le carré d'un même entier $d$, alors  $a = d^3$ et $b = d^2$
donc $a^2 = \left(d^3\right)^2 = d^6$ et $b^3 = \left(d^2\right)^3 = d^ 6$ donc $a^2 = b^3$.

Conclusion :  $a^2 = b^3$ si et seulement si $a$ et $b$ sont respectivement le cube et le carré d'un même entier.
\item  Montrer que si $n$ est le carré d'un nombre entier naturel et le cube d'un autre entier, alors $n \equiv 0\quad  [7]$ ou $n \equiv  1 \quad [7]$.

S'il existe deux entiers $a$ et $b$ tels que $n = a^2 = b^3$ alors d'après la question précédente il existe un entier $d$ tel que $a = d^3$ et $b = k^2$ donc tel que 

$n = d^6$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$d$ &0 &1& 2& 3& 4& 5& 6\\ \hline
$d^6$&  0& 1& 64& 729& \nombre{4096}&\nombre{15625}& \nombre{46656}\\ \hline
$d^6 \equiv \ldots \quad [7]$&0&1&1&1&1&1&1\\
\hline
\end{tabularx}

\medskip

donc $n \equiv  0\quad  [7]$ ou $n \equiv  1 \quad  [7]$.

\emph{Remarque : } On peut également dire :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] si $d = 0$, alors $n \equiv 0 \quad[7]$ ;
\item[$\bullet~$] si $d = 1$, alors $n \equiv 1 \quad[7]$ ;
\item[$\bullet~$] si $d > 1$ et $n$ multiple de 7, alors $n \equiv 0 \quad [7]$ ;
\item[$\bullet~$] si $d > 1$ et $d$  non multiple de $7$, donc $d$ premier, alors d'après le petit théorème de Fermat :

$d^{7 - 1} \equiv 1 \quad [7]$ ou encore $d^6 = n \equiv 1 \quad [7]$.   
\end{itemize}

\end{enumerate}

\medskip 
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk{}  on considère 1a surface $S$ d'équation

 $x^2 \times y^2 = z^3$.

Pour tout réel $\lambda$, on note $\mathcal{C}_{\lambda}$ la section de $S$ par le plan d'équation $z = \lambda$.

\begin{enumerate}
\item  $\mathcal{C}_{\lambda}$ a pour équations : $x^2 \times y^2 = \lambda^3$ et $z = \lambda$.

Si $\lambda < 0$ il est impossible que $x^2 \times y^2$ qui est positif ou nul, soit égal à $\lambda$ donc $\mathcal{C}_{\lambda}$ est le graphique 2.

Si $\lambda = 0$ alors $x^2 \times y^2 = 0 \iff x = 0$ ou $y = 0$ donc $\mathcal{C}_{\lambda} = \mathcal{C}_{0}$ est le graphique 1, $\mathcal{C}_{\lambda}$ est la réunion des deux axes dans le plan d'équation $z = \lambda = 0$.

Si $\lambda > 0$ par élimination, le graphique 3 représente la courbe $\mathcal{C}_{\lambda}$.

Si $\lambda > 0,~\mathcal{C}_{\lambda}$ est l'ensemble des points du plan d'équation $z = \lambda$ tels que 

$x^2 \times y^2 = \lambda^3$
ce qui se décompose en deux parties : $x y = \sqrt{\lambda^3}$ et $x y = - \sqrt{\lambda^3}$ soit $y = \dfrac{\sqrt{\lambda^3}}{x}$ et $y = - \dfrac{\sqrt{\lambda^3}}{x}$.

$\mathcal{C}_{\lambda}$, quand $\lambda > 0$, est donc la réunion de deux hyperboles équilatères.
\item
	\begin{enumerate}
		\item  $\mathcal{C}_{25}$ a pour équations : soit $y = \dfrac{\sqrt{25^3}}{x}$ soit $y = - \dfrac{\sqrt{25^3}}{x}$
dans le plan d'équation $z = 25$.

Donc  $\mathcal{C}_{25}$ a pour équations : soit $y = \dfrac{125}{x}$
soit $y = -\dfrac{125}{x}$ dans le plan d'équation $z = 25$.

Si les coordonnées des points de $\mathcal{C}_{25}$ sont des nombres entiers strictement positifs alors $y > 0$ et $\dfrac{125}{x}$
est un entier strictement positif donc $x$ est un entier strictement positif qui divise 125, soit $x = 1$ ou $x = 5$ ou $x = 25$ ou $x = 125$.

Les points cherchés ont donc pour coordonnées $(1~;~125~;~25)$,

$(5~;~25~;~25)$,~$(25~;~5~;~25)$ et $(125~;~1~;~25)$
		\item $\mathcal{C}_{\nombre{2010}}$ a pour équations : $(x y)^2 = z^3$ avec $z = \nombre{2010}$.
	
D'après la question  3. a. : $a^2 = b^3$ si et seulement si $a$ et $b$ sont respectivement le cube et le carré d'un même entier, avec ici $a = x y$ et $b = z$ ; 
or \nombre{2010} n'est pas le carré d'un nombre entier 
	
($\nombre{2010} = 2\times 3 \times 5 \times 67$) donc l'équation $(x y)^2 = 2010^3$ n'a pas de solutions entières.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}