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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{18 avril 2012}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Pondichéry~\decofourright\\[4pt]18 avril 2012}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les deux parties sont indépendantes.}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
%Un groupe de 50 coureurs, portant des dossards numérotés de 1 à 50, participe à une course cycliste qui comprend 10 étapes, et au cours de laquelle aucun abandon n'est constaté.
% 
%À la fin de chaque étape, un groupe de 5 coureurs est choisi au hasard pour subir un contrôle antidopage. Ces désignations de 5 coureurs à l'issue de chacune des étapes sont indépendantes. Un même coureur peut donc être contrôlé à l'issue de plusieurs étapes.
 
\begin{enumerate}
\item %À l'issue de chaque étape, combien peut-on former de groupes différents de 5 coureurs ? 
Il y a $\displaystyle\binom{50}{5} = \dfrac{50!}{5! \times (50 - 5)!} = \np{2118760}$ groupes différents de 5 coureurs.
\item %On considère l'algorithme ci-dessous dans lequel : 

%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item \og rand(1,~ 50) \fg{} permet d'obtenir un nombre entier aléatoire appartenant à l'intervalle [1~;~50] 
%\item l'écriture \og $x := y$ \fg{} désigne l'affectation d'une valeur $y$ à une variable $x$. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{p{2.2cm}|X}
%Variables& 	$a, b, c, d, e$ sont des variables du type entier\\ 
%Initialisation& $a:= 0\:;\: b := 0\:;\: c := 0\:;\: d := 0 \:;\: e := 0$\\ 
%Traitement& 	Tant que $(a = b)$ ou $(a = c)$ ou $(a = d)$ ou $(a = e)$ ou $(b = c)$ ou $(b = d)$ ou  $(b = e)$ ou $(c = d)$ ou $(c = e)$ ou $(d = e)$\\ 
%&\hspace{1cm}Début du tant que\\ 
%&\hspace{1.5cm}$a := \text{rand}(1,~50) \:;\: b := \text{rand}(1,~50) $\:;\:\\
%&\hspace{1.5cm} $c := \text{rand}(1,~50) \:;\:d := \text{rand}(1,~50)$\:;\\
%&\hspace{1.5cm} $e := \text{rand}(1,~50)$\\ 
%&\hspace{1cm}Fin du tant que \\
%Sortie& 	Afficher $a, b, c, d, e$
%\end{tabularx}
%
%\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item %Parmi les ensembles de nombres suivants, lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme: 

%$L_{1} = \{2~;~ 11~;~44~;~2~;~15\} ; L_{2} = \{8, 17, 41, 34, 6\} ;$ 

%$L_{3} = \{12, 17, 23, 17, 50\} ; L_{4} = \{45, 19, 43, 21, 18\}$ ?
$L_{1}$  et  $L_{3}$ n'ont pu être obtenus avec cet algorithme puisqu'ils contiennent des éléments identiques. Les deux autres oui.
		\item %Que permet de réaliser cet algorithme concernant la course cycliste ?
Cet algorithme permet chaque jour de tirer au sort 5 coureurs pour subir un contrôle antidopage.
	\end{enumerate} 
\item %À l'issue d'une étape, on choisit au hasard un coureur parmi les 50~participants. Établir que la probabilité pour qu'il subisse le contrôle prévu pour cette étape est égale à $0,1$.
Un joueur étant choisi, on peut lui adjoindre $\displaystyle\binom{49}{4}$ groupes de 4 coureurs différents sur les 49 restants.

La probabilité  pour qu'un coureur choisi au hasard subisse le contrôle prévu pour cette étape est donc égale à $\dfrac{\binom{49}{4}}{\binom{50}{5}} = \dfrac{49!}{4! \times 45!}\times \dfrac{5!\times 45!}{50! } = \dfrac{5}{50} = \dfrac{1}{10} = 0,1$. 
\item %On note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de contrôles subis par un coureur sur l'ensemble des 10 étapes de la course. 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ ? Préciser ses paramètres.
Les tirages de groupes de 5 sont chaque jour indépendants les uns des autres et la probabilité d'être choisi pour un des 50 coureurs est égale à 0,1 : la loi $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = 0,1$. 
		\item %On choisit au hasard un coureur à l'arrivée de la course. Calculer, sous forme décimale arrondie au dix-millième, les probabilités des évènements suivants :
		 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item %il a été contrôlé 5 fois exactement ;
On a $p(X = 5) = \displaystyle\binom{10}{5} \times 0,1^5 \times (1 - 0,1)^{10 - 5} = 252 \times 0,1^5 \times 0,9^5 \approx {\np{0,00148}}$ soit environ \np{0,0015}  
\item %il n'a pas été contrôlé ;
$p(X = 0) = 0,1^0 \times 0,9^{10}\approx \np{0,3487}$. 
\item %il a été contrôlé au moins une fois.
On a $p(X \geqslant 1)  = 1 - p(X = 0) = 1 - 0,9^{10} \approx \np{0,6513}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie B}

%\medskip
% 
%\emph{Dans cette partie, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.\\ 
%On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.}
%
%\medskip
% 
%Pour un coureur choisi au hasard dans l'ensemble des 50 coureurs, on appelle $T$ l'évènement : \og le contrôle est positif \fg, et d'après des statistiques, on admet que $P(T) = 0,05$.
% 
%On appelle $D$ l'évènement: \og le coureur est dopé \fg.
% 
%Le contrôle anti-dopage n'étant pas fiable à 100\,\%, on sait que : 
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item si un coureur est dopé, le contrôle est positif dans 97\,\% des cas ; 
%\item si un coureur n'est pas dopé, le contrôle est positif dans 1\,\% des cas. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer $P(D)$.
En notant $p(D) = p$, on peut construire l'arbre suivant :

\begin{center}\psset{}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=3.5pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$D$}\taput{$p$}}
	  { 
		  \TR{$T$}\taput{0,97}
		  \TR{$\overline{T}$}\tbput{0,03}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{D}$}\tbput{$1 - p$}}
	  {
		  \TR{$T$}\taput{0,01}
		  \TR{$\overline{T}$}\tbput{0,99}	  
	  }
	}
\end{center}

D'après la loi des probabilités totales :

$p(T) = p_{D}(T) \times p(D)  + p_{\overline{D}}(T) \times p\left(\overline{D}\right)$ ou encore  $0,05  = 0,97p + 0,01(1 - p) \iff $

$0,05 = 0,97p + 0,01 - 0,01p \iff 0,96p = 0,04 \iff p = \dfrac{4}{96} = \dfrac{1}{24}$. (un peu plus de 2 coureurs sur 50)   
\item %Un coureur a un contrôle positif. Quelle est la probabilité qu'il ne soit pas dopé ?
Il faut calculer $p_{T}\left(\overline{D} \right) = \dfrac{p\left(T \cap \overline{D}\right)}{p(T)} = \dfrac{0,01\left(1 - \frac{1}{24} \right)}{0,05} = \dfrac{1}{5} \times \dfrac{23}{24} = \dfrac{23}{120} \approx 0,19$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

%\medskip
%
%Dans le repère orthonormé \Oijk{} de l'espace, on considère : 
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ d'équations : 
%
%\[\mathcal{P} \::\: x - y - z - 2 = 0\quad \text{et}\quad \mathcal{P}'\::\: x + y + 3z = 0.\]
% 
%\item la droite $\mathcal{D}$ ayant pour représentation paramétrique : 
%
%\[\left\{\begin{array}{l c l}
%x&= &	-3 - 2t \\
%y&=& 	2t\\ 
%z &=& 1 + 2t
%\end{array}\right. \quad t \in \R.\] 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm} 
% 
%Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et justifier la réponse. Une justification est attendue pour chaque réponse.

\medskip
 
\textbf{Proposition 1}
 
%La droite $\mathcal{D}$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$.
Un vecteur directeur $\vect{d}$ de la droite $\mathcal{D}$ a pour cordonnées $(-2~;~2~;~2)$ ;

Un vecteur $\vect{u}$ normal au plan $\mathcal{P}$ a pour cordonnées $(1~;~- 1~;~- 1)$.

Comme $\vect{d} = - 2\vect{u}$, les vecteurs $\vect{d}$ et $\vect{u}$  sont  colinéaires, donc la droite $\mathcal{D}$ est  orthogonale au plan $\mathcal{P}$. VRAIE

\textbf{Proposition 2}
 
%La sphère $\mathcal{S}$ de centre O et de rayon 2 est tangente au plan $\mathcal{P}$.
Calculons la distance de O au plan $\mathcal{P}$ :
$d(\text{O},~\mathcal{P}) = \dfrac{|- 2|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \neq 2$

La distance n'étant pas égale au rayon de la sphère, la sphère $\mathcal{S}$ de centre O et de rayon 2 n'est pas tangente au plan $\mathcal{P}$.

\emph{Rem.} Comme $\dfrac{2}{\sqrt{3}} < 2$, on peut dire que la sphère et le plan  sont  sécants.
 
\textbf{Proposition 3 }

%L'intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ est la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est : 

%\[\left\{\begin{array}{l c l}
%x&= &	1 - t' \\
%y&=	& - 1 -	2t'\\ 
%z&=	&t'
%\end{array}\right. \quad t' \in \R.\] 
Un point $M(x~;~y~;~z)$ appartient à  $\mathcal{P}$ et à $\mathcal{P}'$ si ses coordonnées vérifient les deux équations :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x - y - z - 2 &=& 0\\
x + y + 3z &=& 0
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x - y &=& z + 2\\
x + y &=& - 3z
\end{array}\right. \Rightarrow $ (par somme) $2x = - 2z + 2 \iff$

$ x = - z + 1$.

En reportant dans la première équation on obtient :

$- z + 1 - y = z + 2 \iff - 2z - 1 = y$.

Finalement en posant $z = t'$, on a :

$M(x~;~y~;~z) \in \mathcal{P} \cap \mathcal{P}' \iff \left\{\begin{array}{l c r}
x&=&\phantom{-}1 - \phantom{2}t'\\
y&=&- 1 - 2t'\\
z&=&t'
\end{array}\right.$ VRAIE

\emph{Remarque} : on peut aussi vérifier que les points de $\Delta$ appartiennent aux deux plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$.

\textbf{Proposition 4}
 
%Les droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$ sont coplanaires. 
Un vecteur directeur $\vect{d}$ de la droite $\mathcal{D}$ a pour cordonnées $(-2~;~2~;~2)$ ;

Un vecteur directeur $\vect{v}$ de la droite $\Delta$ a pour cordonnées $(-1~;~- 2~;~1)$ ;

$\vect{d}$ et $\vect{v}$ ne sont pas colinéaires, donc $\mathcal{D}$ et $\Delta$ ne sont pas parallèles ; si elles sont sécantes il existe un point $M(x~;~y~:~z)$ dont les cordonnées vérifient  les deux représentations paramétriques soit :

$\left\{\begin{array}{l c l}
-3 - 2t&=&1 - t' \\
2t&=&- 1 - 2t'\\ 
1 + 2t&t'
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
t'&=&2t + 4 \\
2t' &=&- 1 - 2t\\ 
t'&=&1 + 2t
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
1 + 2t&=&2t + 4 \\
2(1 + 2t) &=&- 1 - 2t\\ 
t'&=&1 + 2t
\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l c l}
0t&=&\phantom{-}3 \\
6t&=&- 3\\ 
t'&=&\phantom{-}1 + 2t
\end{array}\right.$

Ce système n'a pas de solution : les droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$ n'étant ni parallèles ni sécantes ne sont pas coplanaires. FAUSSE
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

%\medskip
%
%On considère les suites $\left(I_{n}\right)$ et $\left(J_{n}\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ par : 
%
%\[I_{n} = \int_{0}^1 	\dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x}\:\text{d}x\quad \text{et} \quad  J_{n} = 	\int_{0}^1 	\dfrac{\text{e}^{- nx}}{(1 + x)^2}\:\text{d}x.\] 
% 
\begin{enumerate}
\item %Sont représentées ci-dessous les fonctions $f_{n}$ définies sur l'intervalle [0~;~1] par 
%
%\[f_{n}(x) =  \dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x}\]
%
%pour différentes valeurs de $n$ : 
%
%\medskip
%
%\psset{unit=9cm,comma=true}
%\begin{center}
%\begin{pspicture*}(-0.1,-0.1)(1.1,1.2)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.1,Dy=0.1]{->}(0,0)(-0.,-0.0)(1.1,1.2)
%\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.25pt,subgridwidth=0.15pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,subgriddiv=10](0,0)(1.1,1.2)
%\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue,linewidth=1.2pt]{0}{1}{1 1 x add div}
%\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue,linewidth=1.2pt,linestyle=dotted]{0}{1}{2.71828 x neg exp 1 x add div}
%\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue,linewidth=1.2pt,linestyle=dotted]{0}{1}{2.71828 x 2 mul  neg exp 1 x add div}
%\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue,linewidth=1.2pt,linestyle=dotted]{0}{1}{2.71828 x 3 mul neg exp 1 x add div}
%\uput[u](0.9,0.53){$f_{0}$}\uput[u](0.9,0.22){$f_{1}$}\uput[u](0.9,0.1){$f_{2}$}\uput[u](0.9,0.02){$f_{3}$}\uput[dl](0,0){O}
%\end{pspicture*}
%\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item %Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite $\left(I_{n}\right)$ en expliquant la démarche.
Les fonctions représentées sont positives ; $I_{n}$ représente donc l'aire de la surface limitée par le représentation de $f_{n}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$. Le dessin suggère que la suite $\left(I_{n}\right)$  est décroissante. 
		\item  %Démontrer cette conjecture.
%On a $f_{n+1}(x) - f_{n}(x) = \dfrac{\text{e}^{- (n+1)x}}{1 + x} - \dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x} = \dfrac{\text{e}^{- nx}\times \text{e}^{- x}}{1 + x} - \dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x} = \dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x}\left(\text{e}^{- x} - 1 \right)$.
%		
%Or $0 \leqslant x \leqslant 1 \Rightarrow 1 \leqslant 1 + x \leqslant 2$ : donc $1 + x > 0$ ;
%
%D'autre part on sait que $\text{e}^{- x} > 0$.
%Enfin $0\leqslant x \leqslant 1 \iff - 1\leqslant  - x \leqslant  0 \Rightarrow$ (par croissance de la fonction exponentielle) $\text{e}^{- 1} \leqslant \text{e}^{- x} \leqslant \text{e}^0$.
%
%Donc $\text{e}^{- x} \leqslant 1 \iff \text{e}^{- x} - 1 \leqslant 0$ et finalement par produit 
%
%$f_{n+1}(x) - f_{n}(x) \leqslant 0 \iff f_{n+1}(x) \leqslant f_{n}(x)$ : la suite $\left(f_{n}\right)$ est décroissante.
%
%Par intégration sur l'intervalle [0~;~1] des fonctions positives $f_{n+1}$ et $ f_{n}$ :
%
%$f_{n+1}(x) \leqslant f_{n}(x) \Rightarrow I_{n+1} \leqslant I_{n}$ : la suite $\left(I_{n}\right)$ est décroissante.

$f_{n+1}(x) = \dfrac{\text{e}^{- (n+1)x}}{1 + x} = \dfrac{\text{e}^{- nx} \times \text{e}^{- x}} {1 + x} = \dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x} \times \text{e}^{- x} = f_{n}(x) \times \text{e}^{- x}$.

Or $0\leqslant x \leqslant 1 \iff - 1\leqslant  - x \leqslant  0 \Rightarrow$ (par croissance de la fonction exponentielle) $\text{e}^{- 1} \leqslant \text{e}^{- x} \leqslant \text{e}^0$. En multipliant chaque membre de cette dernière inégalité par $f_{n}(x) > 0$, on obtient :

$f_{n}(x)\times \text{e}^{- x} \leqslant  f_{n}(x) \times 1$, soit finalement :

$f_{n+1}(x)\leqslant  f_{n}(x)$.

Par intégration sur l'intervalle [0~;~1] des fonctions continues $f_{n+1}$ et $f_{n}$ :

$f_{n+1}(x) \leqslant f_{n}(x) \Rightarrow I_{n+1} \leqslant I_{n}$ : la suite $\left(I_{n}\right)$ est décroissante.


	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item 
		%Montrer que pour tout entier $n \geqslant 0$ et pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] : 

%\[0 \leqslant 	\dfrac{\text{e}^{- nx}}{(1 + x)^2} 	\leqslant \dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x} \leqslant \text{e}^{- nx}.\]
$0 \leqslant x \leqslant 1 \Rightarrow 1 \leqslant 1 + x \leqslant 2 \iff \dfrac{1}{2} \leqslant \dfrac{1}{1 + x} \leqslant \dfrac{1}{1}$ et par produit par le nombre positif $\text{e}^{- nx}$, on obtient :
$\dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x} \leqslant \text{e}^{- nx}$.

D'autre part on sait que pour $1 + x \geqslant 1$, on a $(1 + x)^2 \geqslant 1 + x \iff$

$ \dfrac{1}{(1 + x)^2} \leqslant \dfrac{1}{1 + x}$ et par produit par le nombre positif $\text{e}^{- nx}$, on obtient :


$\dfrac{\text{e}^{- nx}}{(1 + x)^2} 	\leqslant \dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x}$.

Enfin il est évident que $\dfrac{\text{e}^{- nx}}{(1 + x)^2} > 0$, donc finalement :

\[0 \leqslant 	\dfrac{\text{e}^{- nx}}{(1 + x)^2} 	\leqslant \dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x} \leqslant \text{e}^{- nx}.\] 
		\item %Montrer que les suites $\left(I_{n}\right)$ et $\left(J_{n}\right)$ sont convergentes et déterminer leur limite.
Par intégration sur l'intervalle [0~;~1] des inégalités précédentes on obtient 
		
$\displaystyle\int_{0}^1 0\:\text{d}x  \leqslant \displaystyle\int_{0}^1	\dfrac{\text{e}^{- nx}}{(1 + x)^2}\:\text{d}x 	\leqslant \displaystyle\int_{0}^1\dfrac{\text{e}^{- nx}}{1 + x}\:\text{d}x \leqslant \displaystyle\int_{0}^1\text{e}^{- nx}\:\text{d}x$ soit encore 

$0 \leqslant J_{n} \leqslant I_{n} \leqslant \left[- \dfrac{1}{n}\text{e}^{- nx}  \right]_{0}^1$ c'est à dire :

$0 \leqslant J_{n} \leqslant I_{n} \leqslant - \dfrac{1}{n}\left(\text{e}^{- n} - 1 \right)$.

Or $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \text{e}^{- n} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}- \dfrac{1}{n}\left(\text{e}^{- n} - 1 \right) = 0$.

Conclusion d'après le théorème des \og gendarmes \fg{}, les suites $\left(I_{n}\right)$ et $\left(J_{n}\right)$ convergent vers $0$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer, en effectuant une intégration par parties, que pour tout entier $n \geqslant 1$ : 
		
%\[I_{n} = \dfrac{1}{n}\left(1 - \dfrac{\text{e}^{- n}}{2} - J_{n} \right).\]
Posons $\left\{\begin{array}{l c l l c l}
u(x)&=&\dfrac{1}{1 + x}&v^{\prime}(x) &=& \text{e}^{- nx}\\
u^{\prime}(x)&=&- \dfrac{1}{(1 + x)^2}&v(x)&=&- \dfrac{1}{n} \text{e}^{- nx}
\end{array}\right.$

Toutes ces fonctions sont continues car dérivables sur [0~;~1] ; en intégrant par parties on a donc :

$I_{n} = \left[- \dfrac{1}{n(1 + x)}\text{e}^{- nx}   \right]_{0}^1 - \dfrac{1}{n}\displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{1}{(1 + x)^2}\text{e}^{- nx}\:\text{d}x$ ;

$I_{n} = \left[- \dfrac{\text{e}^{- n}}{2n} + \dfrac{1}{n}  \right] - \dfrac{1}{n}J_{n}$ ou encore 

$I_{n} = \dfrac{1}{n}\left(1 - \dfrac{\text{e}^{- n}}{2} - J_{n} \right).$
		
		\item %En déduire $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} nI_{n}$.
Le résultat précédent peut s'écrire en multipliant par $n \neq 0$ :

$nI_{n} = 1 - \dfrac{\text{e}^{- n}}{2} - J_{n}$.

Comme  $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \text{e}^{- n}  = \displaystyle\lim_{n \to + \infty} J_{n} = 0$, on a donc :

\[\lim_{n \to + \infty} nI_{n} = 1\]

\emph{Remarque} : on a donc pour $n$ assez grand  $I_{n} \approx \dfrac{1}{n}$.

Exemple : pour $n = 10$, la calculatrice donne $I_{10} \approx 0,091 \approx \dfrac{1}{10}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
\textbf{Partie A \quad Restitution organisée de connaissances}

%\medskip
% 
%Soit $z$ un nombre complexe. On rappelle que $\overline{z}$ est le conjugué de $z$ et que $|z|$ est le module de $z$. On admet l'égalité : $|z|^2 = z\overline{z}$.
% 
%Montrer que, si $z_{1}$ et $z_{2}$ sont deux nombres complexes, alors $\left|z_{1}z_{2}\right| = \left|z_{1}\right|\left|z_{2}\right|$.

\bigskip
 
\textbf{Partie B : \quad Étude d'une transformation particulière }

%\medskip
% 
%Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, on désigne par A et B les points d'affixes respectives $1$ et $- 1$.
% 
%Soit $f$ la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z \neq 1$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que: 
%
%\[z' = \dfrac{1 - z}{\overline{z} - 1}\] 
 
\begin{enumerate}
\item %Soit C le point d'affixe $z_{\text{C}} = - 2 + \text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer l'affixe $z_{\text{C}'}$ du point C$'$ image de C par la transformation $f$, et placer les points C et C$'$ dans le repère donné en annexe.
On a  $z_{\text{C}'} = \dfrac{1 - (- 2 + \text{i})}{\overline{- 2 + \text{i}} - 1} = \dfrac{3 - \text{i}}{- 3 - \text{i}} = \dfrac{(3 -  \text{i})(-3 + \text{i})}{(-3 - \text{i})(-3 + \text{i})} = \dfrac{-9 + 1 + 3\text{i} + 3\text{i}}{9 + 1} = \dfrac{-8 + 6\text{i}}{10} = - \dfrac{4}{5} + \text{i}\dfrac{3}{5}$.
		\item %Montrer que le point C$'$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 1.
De $\left|z_{\text{C}'} \right|^2  = \left(\dfrac{4}{5} \right)^2 + \left(\dfrac{3}{5} \right)^2 = \dfrac{16}{25} + \dfrac{9}{25} = 1$, on déduit que le point C$'$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 1.

$\left|z_{\text{C}'} \right| = \text{OC}' = 1$ ce qui montre que C$'$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 1.	
	\item %Montrer que les points A, C et C$'$ sont alignés.
	Calculons $\dfrac{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{C}'} - z_{\text{A}}} = \dfrac{- 2 + \text{i} - 1}{\frac{- 4 + 3\text{i}}{5 }- 1} = \dfrac{- 15 + 5\text{i}}{- 9 + 3\text{i}} = \dfrac{5(- 3 + \text{i})}{3( - 3 + \text{i})} = \dfrac{5}{3} \in \R$.
	
L'argument de ce quotient est donc nul, soit $\left(\vect{\text{AC}},~\vect{\text{AC}'} \right) = 0 \pmod{2\pi}$, ce qui signifie que les points A, C et C$'$ sont alignés.
	\end{enumerate} 
\item %Déterminer et représenter sur la figure donnée en annexe l'ensemble $\Delta$ des points du plan qui ont le point A pour image par la transformation $f$.
Les points qui ont pour image le point A d'affixe 1 ont une affixe $z \neq 1$ telle que :

$z' = 1 =  \dfrac{1 - z}{\overline{z} - 1}$.

En posant $z = x + \text{i}y$, l'équation précédente s'écrit :

$1 = \dfrac{1 - x - \text{i} y}{x - \text{i} y - 1} \iff x - \text{i} y - 1 = 1 - x - \text{i} y \iff 2x - 2 = 0 \iff x = 1$

Les points solutions ont donc pour affixe $z = 1 + \text{i} y$ avec $y \neq 0$ : ce sont les points de la droite $\Delta$ d'équation $x = 1$ privée du point A.
\item %Montrer que, pour tout point $M$ distinct de A, le point $M'$ appartient au cercle $\mathcal{C}$.
On a pour $z \neq 1, \quad \left|z' \right|  = \left|\dfrac{1 - z}{\overline{z} - 1}\right| = \dfrac{\left|1 - z \right|}{\left|\overline{z} - 1 \right|} = \dfrac{|1 - x - \text{i}y|}{|x - \text{i}y - 1|} = \dfrac{\sqrt{(1 - x)^2 + y^2}}{\sqrt{(x - 1)^2 + y^2}} = 1$.

On vient donc de démontrer que pour tout point $M$ d'affixe $z \neq 1,\:$

$ \left|z' \right| = \text{O}M' = 1$.

Tous les points $M'$ appartiennent au cercle $\mathcal{C}$.
\item %Montrer que, pour tout nombre complexe $z \neq 1, \quad \dfrac{z' -1}{z - 1}$ est réel. 
Calculons pour $z \neq 1$,  le quotient $\dfrac{z' - 1}{z - 1} = \dfrac{\frac{1 - z}{\overline{z} - 1} - 1}{z - 1} = \dfrac{1 - z - \overline{z} + 1}{(z - 1)(\left(\overline{z} - 1 \right)}$.

Le numérateur : $1 - z - \overline{z} + 1 = 2 - \left(z + \overline{z}\right) = 2 - 2x \in \R$ ; 

Le dénominateur : $(z - 1)(\left(\overline{z} - 1 \right) = (z - 1)\overline{z - 1} = |z - 1|^2 \in \R_{+}$ (réel positif).
%Que peut-on en déduire pour les points A, $M$ et $M'$  ? 
Finalement $\dfrac{z' - 1}{z - 1} \in \R$ signifie qu'il existe un réel $k$ tel que $z' - 1 = k(z - 1)$ ou encore $\vect{\text{A}M'} = k\vect{\text{A}M}$, ce qui signifie que les points A, $M$ et $M'$ sont alignés.
\item %On a placé un point D sur la figure donnée en annexe. Construire son image D$'$ par la transformation $f$.
D'après la question précédente, D$'$ est aligné avec A et D, donc 

- D$'$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ ;

- D$'$ est sur la droite (AD).

La construction est donc évidente. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
\textbf{Partie A \quad	Restitution organisée de connaissance}

%\medskip
% 
%Soit $a, b, c, d$ des entiers relatifs et $n$ un entier naturel non nul. 
%
%Montrer que si $a \equiv b \pmod n$ et $c \equiv d \pmod n$ alors $ac \equiv bd \pmod n$. 
%

\bigskip

\textbf{Partie B \quad Inverse de 23 modulo 26}

\medskip
 
%On considère l'équation 
%
%\[(E) \::\quad  23x - 26y = 1,\]
%
%où $x$ et $y$ désignent deux entiers relatifs.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Vérifier que le couple $(-9~;~-8)$ est solution de l'équation $(E)$.
$23 \times (- 9) - 26 \times (- 8) = - 207 + 208 = 1$ :  le couple $(-9~;~-8)$ est solution de l'équation $(E)$.
\item %Résoudre alors l'équation $(E)$.
$\left\{\begin{array}{l c l}
23x - 26y &=& 1\\
23\times (- 9) - 26 \times (- 8) &=& 1 
\end{array}\right.\Longrightarrow $ (par différence membre à membre)

$23(x + 9) - 26(y + 8) = 0 \iff 23(x + 9) = 26(y + 8) \quad (1)$

Donc 23 divise $26(y + 8)$ et comme il est premier avec 26; il divise $y + 8$ (théorème de Gauss) : il existe donc un entier $k$ tel que $y + 8 = 23k \iff y = - 8 + 23k$.

En remplaçant dans (1) $y + 8$ par $23k$, on obtient :

$23(x + 9) = 26 \times 23k \iff x + 9 = 26 \iff x = - 9 + 26k$.

Réciproquement les couples $(- 9 + 26k~;~- 8 + 23k)$ vérifient $(E)$ car 

$23(- 9 + 26k) - 26(- 8 + 23k) = - 207 + 23 \times 26k + 208  - 26 \times 23k = 1$.

Les couples solutions de $(E)$ sont donc de la forme : $(-9 + 26k~;~- 8 + 23k), \: k \in n\Z$.
\item %
%En déduire un entier $a$ tel que $0 \leqslant a \leqslant 25$ et $23a \equiv 1 \pmod {26}$.
Il faut trouver un (ou des) couple(s) de premier terme $a$ tel que $0 \leqslant a \leqslant 25$, donc vérifiant :

$0 \leqslant - 9 + 26k \leqslant 25 \iff 9 \leqslant 26k \leqslant 34$. La solution $k = 1$ est évidente ce qui donne $a = - 9 + 26 = 17$.

Donc comme $26b \equiv 0 \pmod {26}$, on a $23 \times 17 \equiv 1 \pmod {26}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C \quad Chiffrement de Hill}

\medskip
 
%On veut coder un mot de deux lettres selon la procédure suivante :
%
%\medskip
% 
%\fbox{
%\begin{minipage}{\textwidth}
%\textbf{Étape 1} Chaque lettre du mot est remplacée par un entier en utilisant le tableau ci-dessous :
%
%\medskip
% 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{26}{>{\centering\arraybackslash \scriptsize}X|}}\hline
%A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M&N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\ \hline
%0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%On obtient un couple d'entiers $\left(x_{1}~;~x_{2}\right)$ où $x_{1}$ correspond à la première lettre du mot et $x_{2}$ correspond à la deuxième lettre du mot.
% 
%\textbf{Étape 2} $\left(x_{1}~;~x_{2}\right)$ est transformé en $\left(y_{1}~;~y_{2}\right)$ tel que :
%
%\[\left(S_{1}\right)\:\: \left\{\begin{array}{l c l l}
%y_{1} &\equiv& 11x_{1} + 3x_{2} &\pmod {26}\\ 
%y_{2} &\equiv& 	7x_{1} + 4x_{2} &\pmod {26}
%\end{array}\right.\quad  	\text{avec}\: 0 \leqslant  y_{1} \leqslant 25\:\: \text{et}\:\: 0 \leqslant y_{2} \leqslant 25.\]
%
%\textbf{Étape 3} $\left(y_{1}~;~y_{2}\right)$ est transformé en un mot de deux lettres en utilisant le tableau de correspondance donné dans l'étape 1.
%\end{minipage}}
%
%\medskip
% 
%Exemple : $\underbrace{\text{TE}}_{{\text{mot en clair}}}\stackrel{\text{étape} 1}{\Longrightarrow}   
%(19,4) \stackrel{\text{étape}\: 2}{\Longrightarrow} (13,19) \stackrel{\text{étape}\: 3}{\Longrightarrow}
%\underbrace{\text{NT}}_{{\text{mot codé}}}$
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Coder le mot ST. 
$\underbrace{\text{ST}}_{{\text{mot en clair}}}\stackrel{\text{étape} 1}{\Longrightarrow}   
(18,~19) \stackrel{\text{étape}\: 2}{\Longrightarrow} (21,~20) \stackrel{\text{étape}\: 3}{\Longrightarrow}
\underbrace{\text{VU}}_{{\text{mot codé}}}$
\item %On veut maintenant déterminer la procédure de décodage: 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que tout couple $\left(x_{1}~;~x_{2}\right)$ vérifiant les équations du système $\left(S_{1}\right)$, vérifie les équations du système :

%\[\left(S_{2}\right)\:\: \left\{\begin{array}{l c l l}
%23x_{1} &\equiv& 4y_{1} + 23y_{2} &\pmod {26}\\ 
%23x_{2}&\equiv& 19y_{1} + 11y_{2} &\pmod {26}
%\end{array}\right.\]
~
$\left(S_{1}\right)\:\: \left\{\begin{array}{l c r l}
y_{1} &\equiv& 11x_{1} + 3x_{2} &\pmod {26}\\ 
y_{2} &\equiv& 	7x_{1} + 4x_{2} &\pmod {26}
\end{array}\right. \Longrightarrow$

$ \left\{\begin{array}{r c r l}
- 44x_{1} - 12x_{2}&=& - 4y_{1}&\pmod {26}\\
21x_{1} + 12x_{2}&=&3y_{2}&\pmod {26}
\end{array}\right.\Rightarrow$ (par somme) 

$- 23x_{1}= - 4y_{1} + 3y_{2}\quad  \pmod {26}$.

De même :

$\left(S_{1}\right)\:\: \left\{\begin{array}{l c r l}
y_{1} &\equiv& 11x_{1} + 3x_{2} &\pmod {26}\\ 
y_{2} &\equiv& 	7x_{1} + 4x_{2} &\pmod {26}
\end{array}\right. \Longrightarrow$
$ \left\{\begin{array}{r c r l}
- 77x_{1} - 21x_{2}&=&- 7y_{1}&\pmod {26}\\
77x_{1} + 44x_{2}&=&11y_{2}&\pmod {26}
\end{array}\right.$

$\Longrightarrow$ (par somme) 
$23x_{2} = - 7y_{1} + 11y_{2} \pmod{26}$ ou encore puisque

$- 7 \equiv 19 \pmod{26}$ :
$23x_{2} = 19y_{1} + 11y_{2} \pmod{26}$.

Donc, tout couple $\left(x_{1}~;~x_{2}\right)$ vérifiant les équations du système $\left(S_{1}\right)$, vérifie les équations du système :

\[\left(S_{2}\right)\:\: \left\{\begin{array}{l c r l}
23x_{1} &\equiv& 4y_{1} + 23y_{2} &\pmod {26}\\ 
23x_{2}&\equiv& 19y_{1} + 11y_{2} &\pmod {26}
\end{array}\right.\]

		\item %À l'aide de la partie B, montrer que tout couple $\left(x_{1}~;~x_{2}\right)$ vérifiant les équations du système $\left(S_{2}\right)$, vérifie les équations du système
		
%\[\left(S_{3}\right)\:\: \left\{\begin{array}{l c l l}
%x_{1}&\equiv& 	16y_{1} + y_{2} &\pmod {26}\\
%x_{2}&\equiv& 11y_{1} + 5y_{2} &\pmod {26}
%\end{array}\right.\]		
On a vu à la partie B que $23 \times 17 \equiv 1 \:\pmod{26}$ (23 a pour inverse 17 	modulo 26), donc en multipliant chaque membre du système $\left(S_{2}\right)$ par 17, on obtient 

$\left(S_{2}\right)\:\: \iff  \left\{\begin{array}{l c l l}
23x_{1}\times 17 &\equiv& 4y_{1}\times 17 + 23y_{2}\times 17 &\pmod {26}\\ 
23x_{2}\times 17&\equiv& 19y_{1}\times 17 + 11y_{2}\times 17 &\pmod {26}
\end{array}\right. \Longrightarrow $

$\left\{\begin{array}{l c l l}
x_{1}&\equiv& 68y_{1} + 391y_{2}&\pmod {26}\\
x_{2}&\equiv &323y_{1} + 187y_{2}&\pmod {26}
\end{array}\right.$

Or $68 \equiv 16\:\pmod{26}, \quad 391 \equiv 1 \:\pmod{26}, \quad 323 \equiv 11 \:\pmod{26},$

$187 \equiv 5 \:\pmod{26}$, donc finalement tout couple $\left(x_{1}~;~x_{2}\right)$ vérifiant les équations du système $\left(S_{2}\right)$, vérifie les équations du système

\[\left(S_{3}\right)\:\: \left\{\begin{array}{l c l l}
x_{1}&\equiv& 16y_{1} + y_{2} &\pmod {26}\\
x_{2}&\equiv& 11y_{1} + 5y_{2} &\pmod {26}
\end{array}\right.\]
  
		\item %Montrer que tout couple $\left(x_{1}~;~x_{2}\right)$  vérifiant les équations du système $\left(S_{3}\right)$, vérifie les équations du système $\left(S_{1}\right)$.
On calcule $11x_{1} +  3x_{2} = 11\left(16y_{1} + y_{2}\right) + 3\left(11y_{1} + 5y_{2}\right) = $

$176y_{1} + 11y_{2} + 33y_{1} + 15y_{2} = 209y_{1} + 26y_{2}$.

Or $209 \equiv 1 \:\pmod{26}$ et $26 \equiv 0 \: \pmod{26}$, donc 
$11x_{1} +  3x_{2} \equiv 1y_{1} + 0y_{2} \:\pmod{26}$.

De même $7x_{1} + 4x_{2} = 7\left(16y_{1} + y_{2}\right) + 4\left(11y_{1} + 5y_{2}\right) = 112y_{1} + 7y_{2} + 44y_{1} + 20y_{2} = 156y_{1} + 27y_{2}$.

Or $146 \equiv 0 \:	\pmod{26}$ et $27 \equiv 1 \:\pmod{26}$, donc 
$7x_{1} + 4x_{2} \equiv 0y_{1} + 1y_{2} \: 	\pmod{26}$.

Conclusion :  tout couple $\left(x_{1}~;~x_{2}\right)$  vérifiant les équations du système $\left(S_{3}\right)$, vérifie les équations du système $\left(S_{1}\right)$.

Finalement les systèmes $\left(S_{1}\right)$ et $\left(S_{3}\right)$ sont équivalents.
		\item %Décoder le mot \textbf{YJ}.
Pour YJ le couple $\left(y_{1}~;~y_{2}\right) = (24~;~9)$. En appliquant les équations de  $\left(S_{3}\right)$ on obtient :

$\left\{\begin{array}{l c l l}
x_{1}&\equiv&16 \times 24 + 9&\pmod{26}\\
x_{2}&\equiv&11 \times 24 + 5 \times 9&\pmod{26}
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l l}
x_{1}&\equiv&393&\pmod{26}\\
x_{2}&\equiv&309&\pmod{26}
\end{array}\right.$

Or $393 = 26 \times 15 + 3$, donc $393 \equiv 3 \: \pmod{26}$ ;

$309 = 26 \times 11 + 23$, donc $269 \equiv 23 \: \pmod{26}$.

On a donc $\left(x_{1}~;~x_{2}\right) = (3~;~23)$ et en utilisant le tableau le mot décodé est donc \textbf{DX}.

	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\newpage
\fbox{Annexe à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\textbf{EXERCICE 4 }

\vspace{2cm}

\begin{center} 
\psset{unit=1.5cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange]
\pscircle(0,0){2}
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-4,-4)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](1,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,1){$\vect{v}$}\uput[ul](0,0){O}\uput[dl](-175,-1){$\mathcal{C}$}
\psdots(-1,-0.3)(-4,2)(-1.6,1.2)(-1.95,-0.4)
\uput[d](-1,-0.3){D}\uput[l](-4,2){C}\uput[u](-1.6,1.2){C$'$}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](2,-4)(2,4)
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](2,0){3pt}
\uput[r](2,-3.7){$\Delta$}\uput[ur](2,0){A}\uput[ul](-2,0){B}
\uput[dl](-1.9,-0.4){D$'$}
\psline(2,0)(-3,-0.5)\psline(2,0)(-4,2)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}