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% Corrigé : Marc Champagne
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\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
%% MODIFICATION
%% Plus simple à taper et aussi clair.
%% Ci : Complexe i
\newcommand{\Ci}{\text{i}}
%%% MODIFICATION
%% Plus simple à taper et aussi clair.
%% \e : exponentielle
\newcommand{\e}{\text{e}}
%%% MODIFICATION
%%% dx avec d en romain
\newcommand*{\dd}{\text{d}\,}
%%% MODIFICATION
%% Une majuscule en italique : elle désigne une intégrale et non un
%% point.
\newcommand*{\I}{\mathit{I}}
%%% MODIFICATION
%% Une majuscule en italique : elle désigne une transformation.
%%
\newcommand*{\transformation}{\mathit{S}}
%% MODIFICATION
%% Titre des exercices + mise en forme !
%% compteur des énoncés :
\newcounter{exoBac} \setcounter{exoBac}{1}
\newcommand{\titreExe}[2][]{\vspace{1cm}\par
 \textbf {\textsc{Exercice} \theexoBac{} #1 \hfill #2 points} \par
 \medskip \par
 \refstepcounter{exoBac}} \newcounter{partieBac}[exoBac]
\newcommand{\partieBac}[1]
{\refstepcounter{partieBac}\vspace{0.5cm}\hfill\textbf{PARTIE
   \Alph{partieBac}. #1}\hfill~\par}%
%% raccourcis vers l'intervalle :
\newcommand*{\intervalleA}{[1\,;\,+\infty[}
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\newcommand*{\intervalleC}{\left[0\,;\,\frac{\pi}{4}\right]}

%repère
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
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%vecteurs
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Pondichéry
16 avril 2013~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie 1}

\[h(t) = \dfrac{a}{1 + b\text{e}^{- 0,04t}}\]

On sait qu'initialement, pour $t = 0$, le plant mesure $0,1$~m et que sa
hauteur tend vers une hauteur limite de $2$~m.

\begin{itemize}
\item Par propriété de la fonction exponentielle,
$\displaystyle{\lim_{t\rightarrow+\infty}}1 + b\text{e}^{- 0,04t}=1$ donc
par quotient $\displaystyle{\lim_{t\rightarrow+\infty}}h(t) = a$,

d'après l'énoncé on a donc $a = 2$.

\item $h(0)=0,1 \Rightarrow \dfrac{a}{1 + b}=0,1\Rightarrow
b=\dfrac{2}{0,1}-1=19$
\end{itemize}

\bigskip

\textbf{Partie 2}


\[f(t) = \dfrac{2}{1 + 19\text{e}^{- 0,04t}}\]

\begin{enumerate}
\item  $f$ est de la  forme $\dfrac{2}{u}$ avec
$u(t)=1+19\text{e}^{-0,04t}$ donc $f'=-\dfrac{u'}{u^2}$ avec $u'(t)=-
0,76\, \text{e}^{-0,04t}$, soit
%%%%%% correction  : $u=1+19\text{e}^{-0,04t}$    ->   $u(t) = ...$      
(confusion à ne pas faire entre fonction $u, u'$ et valeurs en $t$ ...)

\[f'(t)=\dfrac{2 \times 0,76\,
\text{e}^{-0,04t}}{\left({1+19\text{e}^{-0,04t}}\right)^2}.\]

Pour tout $t \in  [0~;~250]$, $f'(t) > 0$ donc $f$ strictement croissante
sur l'intervalle [0~;~250].

\item Le plant de maïs atteint une hauteur supérieure à $1,5$~m se
traduit par $ h(t) > 1,5$

\[\begin{array}{lrcl}
   &\dfrac{2}{1 + 19\text{e}^{- 0,04t}}&>  &   1,5 \\
 \rule{0pt}{20pt}  \iff  &\dfrac{2}{1,5}-1&>&  
19\text{e}^{-0,04t}\\
       \iff  &\dfrac{1}{57}&>&   \text{e}^{-0,04t}\\
      \rule{0pt}{20pt}        \iff 
&\ln\left(\dfrac{1}{57}\right)&>&  -0,04t\\
\iff &- \ln 57 &>&- 0,04t\\
\iff  &\dfrac{\ln 57}{0,04}&< &t\\
\end{array}\]

Or $\dfrac{\ln 57}{0,04} \approx 101,08$.

Il faut donc un peu plus de 101 jours pour que le plant dépasse $1,5$~m.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout réel $t$ appartenant à l'intervalle [0~;~250] on a

\[\dfrac{2\text{e}^{0,04t}}{\text{e}^{0,04t} +
19}=\dfrac{2\text{e}^{0,04t}}{\text{e}^{0,04t}(1 +
\dfrac{19}{\text{e}^{0,04t}})} =\dfrac{2
\cancel{\text{e}^{0,04t}}}{\cancel{\text{e}^{0,04t}}(1 +19
\text{e}^{-0,04t})} = f(t)\]

$F(t) = 50\ln \left(\text{e}^{0,04t} + 19\right)$ est de la forme $50 \ln
u(t)$ avec $u(t)=\text{e}^{0,04t} + 19$ et $u(t) >0$ sur $\R$.\\
donc $F'=50\dfrac{u'}{u}$ avec $u'(t)=0,04\text{e}^{0,04t}$, soit

\[F'(t)=50\times \dfrac{0,04\text{e}^{0,04t}}{\text{e}^{0,04t} +
19}=\dfrac{2\text{e}^{0,04t}}{\text{e}^{0,04t} + 19}=f(t).\]

$F$ est donc bien une primitive de $f$ sur l'intervalle [0~;~250].
		\item Par définition la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle
[50~;~100] est $\mu=\dfrac{1}{100-50}\; \displaystyle{\int_{50}^{100}
f(t)\text{d} t}$.
		
\[\mu = \dfrac{1}{50}\left[F(t)\right]_{50}^{100} = \ln(\text{e}^{4}+19) -\ln(\text{e}^2+19)\simeq 1,03.\]

La hauteur moyenne du plant entre le 50\up{e} et le 100\up{e} jour est de
$1,03$~m.
	\end{enumerate}
\item D'après le graphique, la vitesse est maximale lorsque la pente
(coefficient directeur) de la tangente à la courbe est maximale, soit à
$t = 80$, la hauteur du plant est environ de $1,15$~m.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}
\begin{center}
Les bonnes réponses sont \textbf{b. \;  c. \; a. \; b.}
\end{center}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormal. $t$ et $t'$ désignent
des paramètres réels.

%PLAN (P)
Le plan (P) a pour équation $x - 2y + 3z + 5 = 0$ et donc, par propriété, il a  pour vecteur normal
$\vect{n}\begin{pmatrix}
1\\
- 2\\
3
\end{pmatrix}$.

%PLAN (S)
Le plan (S) a pour représentation paramétrique
$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&-2 + t + 2t'\\
y& =&\hspace{0.2cm}0  - t - 2t'\\
z &=& -1 - t + 3t'
\end{array}\right.$

Par propriété,  le plan (S) passe par F$(-2~;~0~;~-1)$ et a pour vecteurs de
base $\vect{u}\begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
-1
\end{pmatrix}
$ et $\vect{v}\begin{pmatrix}
  2 \\
 -2\\
  3
\end{pmatrix}$

\bigskip

%DROITE (D)
La droite (D) a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l
c l}
x	&=&-2 + t\\
y 	&=&-t \\
z	&=&-1 - t
\end{array}\right.$
\medskip

Par propriété, la droite (D) passe par F$(-2~;~0~;~-1)$ et a pour vecteur
directeur $\vect{u}\begin{pmatrix}
  1 \\
 -1\\
  -1
\end{pmatrix}$
%%%%%% correction 'contenue dans le plan (D)'
, elle est donc clairement contenue dans le plan (S) pour la
valeur $t'= 0$.\\

On donne les points de l'espace M$(-1~;~2~;~3)$ et N$(1~;~-2~;~9)$.

\medskip

\begin{enumerate}
%Q1
\item La bonne réponse est \textbf{b.~} en excluant les trois autres ou
en vérifiant directement.
\medskip

\textbf{a.~} N'est pas un plan mais une droite.

\textbf{c.~}$\left\{\begin{array}{l c l} 	
x&=&t + t'\\ y&=& 1 - t- 2t'\\z&=& 1 - t - 3t'\end{array}\right.$ passe
par (0~;~1~;~1) $\notin$ (P).

\textbf{d.~}$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& 1 + 2t + t'\\y&=& 1 - 2t + 2t'\\z&=& - 1 - t'\end{array}\right.$
passe par (1; 1; $-1$) $\notin$(P)

\textbf{b.~}$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& t + 2t'\\y&=& 1- t + t'\\z&=& - 1 - t\end{array}\right.$
passe par le point A(0; 1; $-1$) qui est élément de (P) car
$0-2\time1+3\times(-1)+5 = 0$
et a pour vecteurs directeurs $\vect{u}\left( \begin{tabularx}{0.7cm}{X}
1\\
$-1$\\
$-1$
\end{tabularx}  \right)$
et $\vect{v}\begin{pmatrix}2\\1\\0
\end{pmatrix}$. Or
$\vect{n} \cdot \vect{u}= 0$ et  $\vect{n} \cdot \vect{v}= 0$ donc $\vect{n}$
normal à deux vecteurs non colinéaires du plan est normal au plan.
On a bien une représentation paramétrique du plan (P).
%Q2
\item  La bonne réponse est \textbf{c.~} \og La droite (D) est une droite
du plan (P). \fg
\medskip

Remplaçons, pour $t$ quelconque, les coordonnées d'un point de la droite
dans l'équation du plan (P).
Quel que soit $t \in \R$, $-2-t-2\times (-t) + 3\times
(-1 - t) + 5 = -2 - 3 + 5 + t + 2t -3t = 0$,  donc tout point de $\Delta$ appartient à (P), la droite est contenue dans (P).
%Q3	
\item La bonne réponse est \textbf{a.~} \og La droite (MN) et la droite
(D) sont orthogonales. \fg
\medskip

$\V[MN]$  $\left( \begin{tabularx}{0.7cm}{X}
2\\
$- 4$\\
$6$
\end{tabularx}  \right)$  et $\vect{u}\begin{pmatrix}
1 \\- 1 \\-1
\end{pmatrix}$

donc $\V[MN] \cdot \vect{u} = 1 + 2 - 3 = 0$ prouve que (MN) est orthogonale à
(D).
%Q4		
\item La bonne réponse est \textbf{b.~} \og La droite ($\Delta$) et la
droite d'intersection de (P) et (S). \fg
\medskip

On vérifie que la droite $\Delta$ est contenue dans chacun des deux plans
(qui ne sont pas confondus par ailleurs).

\begin{itemize}
\item [.] Pour tout $t \in \R$, $t - 2 \times(-2 - t)+3\times (-3 - t) + 5 =
t+ 4+ 2t - 9 - 3t + 5 = 0$ prouve  $(\Delta) \subset (\text{P})$.
\item [.] Soit E le point de $\Delta$ de paramètre $t = 0$ :  E$(0~;~
-2~;~-3)$ et soit  F le point  de paramètre $t = -2$ : F($- 2~;~0~;~- 1$). On
reconnaît le point de (S) de paramètre $(t = 0,\: t'= 0)$ donc F
$\in(\text{S})$. 

Montrons que E $\in (\text{S})$.

Résolvons le système
$\left\{\begin{array}{l c l}
0	&=	&-2 + t + 2t'\\
-2	& =	&\hspace{0.4cm} - t - 2t'\\
- 3 &=	& -1 - t + 3t'
\end{array}\right.$ \\

En additionnant les lignes (1) et (3) on obtient $5t'= 0$ donc $t'= 0$ et en
remplaçant dans les trois équations on obtient bien une seule valeur de
$t=2$.

Cela prouve que E $\in (\text{P})$ pour ($t=2$, $t'=0$).

Conclusion : les points E et F sont dans (S),  donc la droite ($\Delta$)
est entièrement contenue dans (S).
\end{itemize}
\medskip

La droite ($\Delta$) étant simultanément contenue dans les deux plans
(non confondus) est la droite d'intersection.
\end{enumerate}

(\emph{Remarque}: Les réponses  \textbf{a.~} et  \textbf{c.~} pouvaient
être éliminées de manière directe,  mais la réponse \textbf{b.~}
exclut aussi la réponse  \textbf{d.~}).

%%%%%%%%%   EXERCICE 3 OBLIGATOIRE
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend
$z_{M} = 2\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}$.

\begin{enumerate}
		\item  $z_{M}=2\times\left(\dfrac{1}{2}-\IM
\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=1-\IM \sqrt{3}$.
		\item  $z_{M'} = -\IM z_M=-\IM(1-\IM \sqrt{3})=-\IM+\IM^2\sqrt{3}= -
\sqrt{3} - \text{i}$.
	
\medskip
Module et argument méthode algébrique :

%%%% correction : ajout de modulo 2pi

$|z_{M'}|=\sqrt{(-\sqrt{3})^2+(-1)^2}=2$ et si l'on nomme $\theta$ un
argument de $z_{M'}$ alors, par propriété, $\left\{ \begin{array}{rcl}
\cos \theta& =   & -\dfrac{\sqrt{3}}{2}   \\
\rule{0pt}{20pt}  \sin \theta & =& -\dfrac{1}{2}
\end{array} \right.$

On reconnaît $\theta = -\dfrac{5\pi}{6}$  (modulo $2\pi$).
\medskip

Module et argument par la forme exponentielle :

%%%% correction : ajout de parenthèses

$|z_{M'}|=|-\IM|\times|z_M|= 1\times  |2\text{e}^{-
\text{i}\frac{\pi}{3}}|=2$

$\arg(z_{M'})=\arg{(-\IM)}+\arg{(z_M)}=-\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{5\pi}{6}$
(module $2\pi$).

		\item

\begin{minipage}{8cm}La figure n'est pas à l'échelle. \par

Graphiquement on vérifie les propriétés 1 et 2.
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
%\begin{pdfdisplay}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.7 0.3 0.7}
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\begin{pspicture*}(-2.32,-2.09)(3.2,1.28)
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\psplot{-2.32}{3.2}{(-0--0.87*x)/-1}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*](1,0)
\rput[bl](1.02,0.1){$A$}
\psdots[dotstyle=*](0,1)
\rput[bl](0.1,1.03){$B$}
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\rput[bl](1.02,-0.84){$I$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
%\end{pdfdisplay}
\end{minipage}
\medskip

	\end{enumerate}
\item Cas général en prenant $z_{M} = x + \text{i}y$ avec $y \neq 0$.
	\begin{enumerate}
		\item $z_I = \dfrac{z_A + z_M}{2}=\dfrac{x + 1}{2} + \text{i}\;
\dfrac{y}{2}$.
		\item $z_{M'} = - \IM (x + \IM y)=y - \IM \; x$.
		\item $I\left(\dfrac{x + 1}{2}~;~\dfrac{y}{2}\right)$, B$(0~;~1)$ et $M'(y~;~-x)$.
		\item $\vect{\text{O}I}\cdot
\vect{\text{B}M'} =\left(\dfrac{x+1}{2}\right)\times
y+\left(\dfrac{y}{2}\right)\times(- x -1) = \dfrac{xy}{2} + \dfrac{1}{2}-\dfrac{xy}{2}- \dfrac{1}{2}=0$
donc les droites (O$I$) et  (B$M'$) sont perpendiculaires.
		
		\item  B$M' = \sqrt{y^2+(-x -1)^2}=\sqrt{(x + 1)^2+y^2}$ et  d'autre part,
		2$
\text{O}I=2\sqrt{\left(\dfrac{x+1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{y}{2}\right)^2}=\dfrac{2}{2}\sqrt{(x+1)^2+y^2}$
donc 

\[2\text{O}I=\text{B}M'.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  EXERCICE 3   SPECIALITE
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

%\medskip
%
%On étudie l'évolution dans le temps du nombre de jeunes et d'adultes
%dans une population d'animaux.
%
%Pour tout entier naturel $n$, on note $j_{n}$ le nombre d'animaux jeunes
%après $n$ années d'observation et $a_{n}$ le nombre d'animaux adultes
%après $n$ années d'observation.
%
%Il y a au début de la première année de l'étude, 200 animaux jeunes
%et 500 animaux adultes.
%
%Ainsi $j_{0} = 200$ et $a_{0} = 500$.
%
%On admet que pour tout entier naturel $n$ on a :
%
%\[\left\{\begin{array}{l c l}
%j_{n+ 1}& =&0,125j_{n} + 0,525a_{n}\\
%a_{n+1} &=& 0,625j_{n} + 0,625a_{n}
%\end{array}\right.\]
%
%On introduit les matrices suivantes :
%
%$A = \begin{pmatrix} 0,125 &0,525\\ 0,625& 0,625\\
%\end{pmatrix}$ et, pour tout entier naturel $n, U_{n} =
%\begin{pmatrix}j_{n}\\a_{n}\end{pmatrix}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item 
		%Montrer que pour tout entier naturel $n, U_{n+ 1} = A \times U_{n}$.
On a $A \times U_{n} = \begin{pmatrix}0,125j_{n} + 0,525
a_{n}\\0,625j_{n} + 0,625a_{n}\end{pmatrix} = U_{n+1}$.
		\item %Calculer le nombre d'animaux jeunes et d'animaux adultes après
un an d'observation puis après deux ans d'observation (résultats arrondis
à l'unité près par défaut).
$U_{1} = A \times U_{0} = \begin{pmatrix} 0,125 &0,525\\ 0,625& 0,625\\
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}200\\500\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix} 25 + 262,5\\125 + 312,5\end{pmatrix} =   \begin{pmatrix}
287,5\\437,5\end{pmatrix}$.

Au bout de 1 an il y aura 287 jeunes et 437 adultes.

$U_{2} = A \times U_{1} = \begin{pmatrix} 0,125 &0,525\\ 0,625& 0,625\\
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}287,5\\437,5\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 35,9375 + 229,688\\179,688 + 273,438\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}265,625\\453,125  \end{pmatrix}$.

Au bout de 2 ans il y aura 265 jeunes et 453 adultes.
		\item %Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $U_{n}$ en
fonction de $A^n$ et de $U_{0}$.
		Une récurrence simple permet de montrer que quel que soit le naturel
$n,\: U_{n} = A^n \times U_{0}$.
	\end{enumerate}
\item %On introduit les matrices suivantes $Q = \begin{pmatrix}7&3\\-5&5\\
%\end{pmatrix}$ et $D = 	\begin{pmatrix}- 0,25&0\\0& 	1\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item %On admet que la matrice $Q$ est inversible et que $Q^{- 1} =
%\begin{pmatrix} 0,1&-0,06\\0,1& 0,14\end{pmatrix}$.

%Montrer que $Q \times D \times Q^{- 1} = A$.
$Q \times D = \begin{pmatrix}- 1.75&3\\1,25& 5\end{pmatrix}$, puis

$(Q \times D) \times Q^{- 1} = \begin{pmatrix}-0,175 + 0,3& 0,105 +
0,42\\0,125 + 0,5&- 0,075 + 0,7\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}0,125&0,525\\0,625&0,625 \end{pmatrix} = A$.
		\item %Montrer par récurrence sur $n$ que pour tout entier naturel $n$
%non nul : 
$A^n = Q \times D^n \times Q^{- 1} ?$

\emph{Initialisation} : On a bien $A^1 = Q \times D^1 \times Q^{- 1}$ (question
précédente).

\emph{Hérédité} : Supposons que pour tout entier  $p > 1$,\: $A^p = Q \times D^p
\times Q^{- 1}$.

Alors $A^{p+1} = A^p \times A = \left(Q \times D^p \times Q^{- 1} \right)
\times \left(Q \times D \times  Q^{- 1} \right) = Q \times D^p \times
\left(Q^{- 1} \times Q \right) \times D \times Q^{- 1} =$

$Q \times D^p \times I \times D \times  Q^{- 1} = Q \times \left(D^p \times D
\right)\times  Q^{- 1} = Q \times D^{p+1}\times  Q^{- 1}$. 

La formule est donc vraie au rang $p + 1$.

$A^1 = Q \times D^1 \times Q^{- 1}$ et pour tout entier $p > 1$,\:$A^p = Q \times D^p
\times Q^{- 1}$ entraîne $A^{p+1} = Q \times D^{p+1}\times  Q^{- 1}$  donc  par le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ non
nul : 

$A^n = Q \times D^n \times Q^{- 1}$.
		\item %Pour tout entier naturel $n$ non nul, déterminer $D^n$ en
%fonction de $n$.
La matrice $D$ est diagonale, donc :
		
$D^n  = \begin{pmatrix}- 0,25&0\\0& 1\end{pmatrix}^n  =
	\begin{pmatrix}(- 0,25)^n&0\\0& 	1\end{pmatrix}$.
	\end{enumerate}
\item %On admet que pour tout entier naturel $n$ non nul,

%\[A^n = \begin{pmatrix}0,3 + 0,7 \times (- 0,25)^n&0,42 - 0,42 \times (-
%0,25)^n \\
%0,5 - 0,5 \times (- 0,25)^n& 0,7\phantom{0} + 0,3\phantom{0} \times (-
%0,25)^n\\
%\end{pmatrix}\]

	\begin{enumerate}
		\item %En déduire les expressions de $j_{n}$ et $a_{n}$ en fonction de
%$n$ et déterminer les limites de ces deux suites.
Quel que soit le naturel $n$ :

$U_{n} = A^n \times U_{0} = $

$\begin{pmatrix}0,3 + 0,7 \times (-
0,25)^n&0,42 - 0,42 \times (- 0,25)^n 0,5 - 0,5 \times (- 0,25)^n& 0,7\phantom{0} + 0,3\phantom{0} \times (-
0,25)^n\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 200\\500\end{pmatrix} =$

$\begin{pmatrix}60 + 140 \times (- 0,25)^n + 210 - 210 \times (-
0,25)^n\\
100 +- 100 \times (- 0,25)^n + 350 + 150 \times (- 0,25)^n \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}270 - 70 \times (- 0,25)^n\\
450 + 50 \times (- 0,25)^n\end{pmatrix}$.

Conclusion $\left\{\begin{array}{l c l}
j_{n} &=&270 - 70 \times (- 0,25)^n\\
a_{n}&=&450 + 50 \times (- 0,25)^n
\end{array}\right.$
		\item %Que peut-on en conclure pour la population d'animaux étudiée ?
Comme $- 1 < - 0,25 < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to +
\infty}(- 0,25)^n = 0$, donc :
		
$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} j_{n} = 270$ et
$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 450$.

Le nombre d'animaux jeunes va tendre vers 270 et celui des adultes vers
450	au bout de quelques années.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%%%%%%%%%  EXERCICE 4

\newpage
%EXERCICE 4
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

Dans une entreprise, on s'intéresse à la probabilité qu'un salarié
soit absent durant une période d'épidémie de grippe.

\medskip
\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Un salarié malade est absent
\item[$\bullet~~$] La première semaine de travail, le salarié n'est pas
malade.
\item[$\bullet~~$] Si la semaine $n$ le salarié n'est pas malade, il
tombe malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité égale à $0,04$.
\item[$\bullet~~$] Si la semaine $n$ le salarié est malade, il reste
malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité égale à $0,24$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On désigne, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, par
$E_{n}$ l'évènement \og le salarié est absent pour cause de maladie la
$n$-ième semaine \fg. On note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement
$E_{n}$.

On a ainsi : $p_{1} = 0$ et, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou
égal à 1 : $0 \leqslant  p_{n} < 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur de $p_{3}$ à l'aide d'un arbre de
probabilité.

\begin{center}


\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{ \TR{$E_1$}\taput{0}
\pstree{\TR{$\overline E_1$}\tbput{1}}
{
		\pstree{\TR{$E_{2}$}\taput{$0,04$}}
		  {
			  \TR{$E_{3}$}\taput{0,24}
			  \TR{$\overline{E_{3}}$}\tbput{0,76}	
		  }
		\pstree{\TR{$\overline{E_{2}}$}\tbput{0,96}}
		  {
			  \TR{$E_{3}$}\taput{0,04}
			  \TR{$\overline{E_{3}}$}\tbput{0,96}		
		  }
}
}

\end{center}
Théorème des probabilités totales : $E_3 = E_2\cap E_3 \;  \cup \;
\overline{E_2}\cap E_3 $ (union d'évènements disjoints)

$p_3=P(E_3)=0,04\times 0,24+0,96\times 0,04=0,048$.
		
		\item Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la
troisième semaine, déterminer la probabilité qu'il ait été aussi
absent pour cause de maladie la deuxième semaine.

		\[\text{P}_{E_3}(E_2)=\dfrac{\text{P}(E_2\cap
E_3)}{\text{P}(E_3)}=\dfrac{0,04\times 0,24}{0,048}= \dfrac{1}{5} = 0,2.\]

	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Complétons l'arbre\\
		
\begin{center}
%\begin{pdfdisplay}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$E_{n}$}\taput{$p_{n}$}}
	  {
		  \TR{$E_{n+1}$}\taput{0,24}
		  \TR{$\overline{E_{n+1}}$}\tbput{0,76}	
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{E_{n}}$}\tbput{($1-p_n$)}}
	  {
		  \TR{$E_{n+1}$}\taput{0,04}
		  \TR{$\overline{E_{n+1}}$}\tbput{0,96}		
	  }
}
%\end{pdfdisplay}
\end{center}

		\item En appliquant le théorème des probabilités totales :
         \[ \begin{aligned}&E_{n+1} = E_n\cap E_{n+1} \;  \cup \;
\overline{E_n}\cap E_{n+1} \text{(union d'évènements disjoints)} \\
		     & p_{n+ 1} = 0,24p_{n} +
0,04(1-p_n)=(0,24-0,04)p_n+0,04=0,2p_n+0,04 \end{aligned}\]
		\item Pour tout $n\in\N^*$,		
\[u_{n+1} = p_{n+1} -
0,05=0,2p_n+0,04-0,05=0,2p_n-0,01=0,2(p_n-0,05)=0,2u_n\]
		donc $(u_n)$ est la suite géométrique de premier terme $u_1=-0,05$ et
la raison $r=0,2$.\\
		
Par propriété, pour tout $n\in\N^*$ :  \; $u_{n}=u_1\times r^{n - 1}=-
0,05\times 0,2^{n-1}$

et donc :  $ p_{n}=u_n+0,05=0,05(1-0,2^{n-1})$ .

		\item Limite de la suite $\left(p_{n}\right)$.
		
Comme $|0,2|<1$ alors par théorème : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \; (0,2)^{n-1}=0$ et donc
$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p_n=0,05$.
		
		\item Le nombre $J$ qui est affiché en sortie d'algorithme est le rang
du premier terme de la suite $(p_n)$ qui s'approche de la limite 0,05 à
$10^{-K}$ près, où $K$ est un entier fixé au départ.
		
La convergence de l'algorithme est assurée par l'existence de la limite
vue en (d).
\end{enumerate}
	\medskip	
\item
\begin{enumerate}
		\item $\bullet$  Une semaine donnée, on peut définir une épreuve de
Bernoulli, où le succès est l'évènement $E$ \og un salarié est absent
pour maladie.\fg

$\bullet$ L'état de chaque salarié étant supposé indépendant de
l'état des autres, on obtient donc un Schéma de Bernoulli sur les 220
salariés de l'entreprise.

$\bullet$ La variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de succès dans
ce schéma de Bernoulli suit, par propriété, la loi binomiale
$\mathcal{B}(220~;~0,05)$.

Par propriété, 

\[\mu=\text{E}(X) = np = 220 \times 0,05 = 11 \hspace{0.5cm}
\text{et} \hspace{0.5cm} \sigma=\sqrt{np(1-p)} = \sqrt{220\times
0,05\times0,95} \approx 3,23.\]
		
		\item On a bien :
		
$n \geqslant 30, np \geqslant 5$ et $n(1 - p) \geqslant 5$, donc la loi de $X$ peut être approchée par la loi normale $\mathcal{N}\left(\mu, \sigma^2\right)$. Donc la loi de $\dfrac{X - \mu}{\sigma}$ peut être approchée par une loi normale $\mathcal{N}(0~;~1)$.
		 
La probabilité de l'évènement : \og le nombre de salariés absents
dans l'entreprise au cours d'une semaine donnée est supérieur ou égal 
à 7 et inférieur ou égal à 15 \fg \;  se note

P($7\leqslant X \leqslant 15)$.
\medskip
		
		$\left. {\begin{array}{l}
		 \dfrac{7-11}{3,23} \simeq - 1,238\\
		  \\
		   \dfrac{15-11}{3,23} \simeq 1,238
\end{array} }\right\}$ \quad donc  \quad
		$ \text{P}(7\leqslant X \leqslant 15) \approx  \text{P}(-1,24 < Z < 1,24)$\\
		
Au moyen de la table fournie  : 

\[\text{P}(- 1,24 < Z < 1,24) = \text{P}(Z <
1,24) - \text{P}( Z < - 1,24)= 0,892 - 0,108 = 0,784.\]

À $10^{-2}$ près, on a donc  $\text{P}(7\leqslant X \leqslant
15)\simeq 0,78$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexe (Exercice 1)}

\bigskip
\psset{xunit=0.05cm,yunit=4cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-5,-0.2)(230,2.2)
\multido{\n=0+20}{12}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,2.2)}
\multido{\n=0.0+0.2}{12}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(230,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=0.2]{->}(0,0)(-5,-0.18)(230,2.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=0.2]{->}(0,0)(0,0)(230,2.2)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{230}{2 19
2.71828 0.04 x mul exp div 1 add div}
\psline(-5,2)(230,2)\uput[d](10,2){$y = 2$}
\uput[u](210,0){temps $t$ (en jours)}
\uput[r](0,2.15){hauteur (en mètres)}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=red](80,1.13) %%%%  point de pente maximale
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red,linewidth=1pt](60, 0.73)(100,1.53)  
%%% tangente de pente maximale : y ~ 0.02x - 0.47
\rput{57}(77,1.2){Tangente de pente maximale en $t = 80$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document} 
