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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small{13 avril 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Pondichéry~\decofourright\\  13 avril 2011}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

%Le sujet est composé de 3 exercices indépendants.
% 
%Le candidat doit traiter tous les exercices. 
%
%\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 10 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip
 
Partie I 

%Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormal, les courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ représentatives de deux fonctions $f_{1}$ et $f_{2}$ définies sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$. 
%
%\medskip
%
%\psset{unit=2cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture*}(-0.5,-1.1)(5,3.5)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-1)(5,3.5)
%\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=8000,linecolor=blue]{0.33}{5}{1 x div}
%\uput[u](4.2,2.4){$\mathcal{C}_{1}$}
%\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=8000,linecolor=green]{0.13}{5}{x ln 1  add}
%\uput[u](4.2,0.3){$\mathcal{C}_{2}$}
%\uput[dl](0,0){O}
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,-1)(5,3.5)
%\end{pspicture*}
%\end{center}
%
%On sait que :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item l'axe des ordonnées est asymptote aux courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ 
%\item l'axe des abscisses est asymptote à la courbe $\mathcal{C}_{2}$ 
%\item la fonction $f_{2}$ est continue et strictement décroissante sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ 
%\item la fonction $f_{1}$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ 
%\item la limite quand $x$ tend vers $+\infty$ de $f_{1}(x)$ est $+ \infty$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
% 
%\emph{Pour chacune des quatre questions de cette partie, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse juste rapporte 0,5 point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'est pas sanctionnée.}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %La limite quand $x$ tend vers $0$ de $f_{2}(x)$ est :
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~$}X}} 
%$0$& 	$+ \infty$& 	On ne peut pas conclure\\
%\end{tabularx}
L'axe des ordonnées est asymptote à $\mathcal{C}_{2}$ au voisinage de $0$ ; la fonction étant décroissante sur $]0~;~ +\infty[$, la limite quand $x$ tend vers $0$ de $f_{2}(x)$ est $+ \infty$.
\medskip
 
\item %La limite quand $x$ tend vers $+ \infty$ de $f_{2}(x)$ est :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~$}X}} 
%$0$& 	$0,2$& 	On ne peut pas conclure\\
%\end{tabularx}
De même la limite quand $x$ tend vers $+ \infty$ de $f_{2}(x)$ est  $0$.
\medskip 

\item %En $+ \infty$, $\mathcal{C}_{1}$ admet une asymptote oblique :
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~$}X}} 
%Oui& 	Non& 	On ne peut pas conclure\\
%\end{tabularx}
On ne peut pas savoir.
\medskip   

\item %Le tableau de signes de $f_{2}(x) - f_{1}(x)$ est :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~$}X}} 
%\psset{xunit=0.9cm,yunit=1.2cm}\begin{pspicture}(4.1,1)
%\psframe(4.1,1)\psline(0,0.5)(4.1,0.5)\psline(2,0)(2,1)
%\uput[u](1,0.5){$x$}\uput[u](2.15,0.5){0}\uput[u](3.7,0.5){$+ \infty$}
%\uput[u](1,0){\footnotesize$f_{2}(x) - f_{1}(x)$}\psline(2.1,0)(2.1,0.5)\psline(2.15,0)(2.15,0.5) \uput[u](3,0){$+$}\end{pspicture}&\psset{xunit=0.9cm,yunit=1.2cm}\begin{pspicture}(4.1,1)
%\psframe(4.1,1)\psline(0,0.5)(4.1,0.5)\psline(2,0)(2,1)
%\uput[u](1,0.5){$x$}\uput[u](2.15,0.5){0}\uput[u](3.7,0.5){$+ \infty$}
%\uput[u](1,0){\footnotesize$f_{2}(x) - f_{1}(x)$}\psline(2.1,0)(2.1,0.5)\psline(2.15,0)(2.15,0.5) \uput[u](3,0){$-$}\end{pspicture}&\psset{xunit=0.9cm,yunit=1.2cm}\begin{pspicture}(4.1,1)
%\psframe(4.1,1)\psline(0,0.5)(4,0.5)\psline(2,0)(2,1)
%\uput[u](1,0.5){$x$}\uput[u](2.15,0.5){0}\uput[u](3.7,0.5){$+ \infty$}
%\uput[u](1,0){\footnotesize$f_{2}(x) - f_{1}(x)$}\psline(2.1,0)(2.1,0.5)\psline(2.15,0)(2.15,0.5) \uput[u](2.75,0){$+$}\uput[u](3,0){$0$}\uput[u](3.5,0){$-$}\end{pspicture}\\
%\end{tabularx}
Sur $]0~;~1[$ la fonction différence est positive, s'annule en $1$, puis est négative : c'est donc le troisième tableau.
\medskip 
 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip 

%On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par 
%
%\[f(x) = \ln (x) + 1 - \dfrac{1}{x}.\]
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
On a $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\ x > 0}} - \dfrac{1}{x} = - \infty$ et  $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\ x > 0}} \ln (x) = - \infty$, d'où par somme de limites 

$\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0\\ x > 0}} f(x) = - \infty$.

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}  - \dfrac{1}{x} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln (x) = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = + \infty$.
\item %Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.
$f$ somme de fonctions dérivables sur $]0~;~ +\infty[$ est dérivable sur cet intervalle et :

$f'(x) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}$.

Chacun des termes est positif sur $]0~;~+\infty[$, donc la dérivée est positive sur cet intervalle, donc la fonction est croissante de moins l'infini à plus l'infini. 
\item %En déduire le signe de $f(x)$ lorsque $x$ décrit l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.
On a de façon évidente $f(1) = \ln 1 + 1 - \dfrac{1}{1} = 0$. La fonction étant croissante sur $]0~;~+\infty[$, on a donc :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $f(x) < 0$ sur $]0~;~1[$ ;
\item[$\bullet~~$] $f(1) = 0$ ;
\item[$\bullet~~$] $f(x) > 0$ sur $]1~;~+ \infty[$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\item %Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par $F(x) = x \ln x - \ln x$ est une primitive de la fonction $f$ sur cet intervalle.
$F$ somme de fonctions dérivables sur $]0~;~ +\infty[$ est dérivable et sur cet intervalle :

$F'(x) = \ln x + x \times \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x} = \ln x + 1 - \dfrac{1}{x} = f(x)$.

$F$ est donc une primitive de $f$ sur $]0~;~ +\infty[$. 
\item %Démontrer que la fonction $F$ est strictement croissante sur l'intervalle $]1~;~ +\infty[$.
On vient de voir que $F'(x) = f(x)$ et d'après la question 5, $f(x) > 0$ sur $]1~;~+ \infty[$, donc $F$ est croissante sur cet intervalle. 
\item %Montrer que l'équation $F(x) = 1 - \dfrac{1}{\text{e}}$ admet une unique solution dans l'intervalle $]1~;~+\infty[$ qu'on  note $\alpha$.
On a $F(1) = 1 \times 0 - 0 = 0$ et $F(\text{e}) = \text{e}\ln \text{e} - \ln \text{e} = \text{e} - 1 \approx 1,7$.

D'autre part $1 - \dfrac{1}{\text{e}} \approx 0,63$, donc $0 < 1 - \dfrac{1}{\text{e}} < \text{e} - 1$.

La fonction $F$ est dérivable donc continue sur $\left[1~;~\text{e}\right]$ : il existe donc un unique réel $\alpha \in \left[0;~\text{e}\right]$ tel que $F(\alpha) = 1 - \dfrac{1}{\text{e}}$.

 
\item %Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$.
La calculatrice donne : $F(1,9) - 1 + \dfrac{1}{\text{e}} \approx - 0,05$ et $F(2,0) - 1 + \dfrac{1}{\text{e}} =  0,06$, donc :

$1,9 < \alpha < 2,0$.  
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie III}

\medskip
 
%Soit $g$ et $h$ les fonctions définies sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par : 
% 
%\[g(x) = \dfrac{1}{x}\quad  \text{et} \quad  h(x) = \ln (x) + 1.\] 
%
%Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormal, les courbes $\mathcal{C}_{g}$ et $\mathcal{C}_{h}$ représentatives des fonctions $g$ et $h$. 
%
%\medskip
%
%\psset{unit=2cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture*}(-0.5,-1.1)(5,3.5)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-1)(5,3.5)
%\uput[dl](0,0){O}\uput[ul](0.3679,0){A}\uput[u](1,1){P}\uput[d](2.4,0){$t$}
%\pscustom[fillstyle=hlines,linecolor=white,linewidth=0.0pt]
%{% linecolor=white,linewidth=0.0pt permet de ne pas avoir de trait en diagonales 
%% reliant les deux  points d'intersections
%\psplot{1}{2.4}{x ln 1  add} % courbe du haut
%\psplot{2.4}{1}{1 x div} % courbe du bas
%}
%\pscustom[fillstyle=hlines,linecolor=white,linewidth=0.0pt]
%{% linecolor=white,linewidth=0.0pt permet de ne pas avoir de trait en diagonales 
%% reliant les deux  points d'intersections
%\psplot{1}{2.4}{1 x div} % courbe du haut
%\psline(2.4,0.416)(1,1) % courbe du bas
%}
%\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=8000,linecolor=blue]{0.33}{5}{1 x div}
%\uput[u](4.2,2.4){$\mathcal{C}_{h}$}
%\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=8000,linecolor=green]{0.13}{5}{x ln 1  add}
%\uput[u](4.2,0.3){$\mathcal{C}_{g}$}
%\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=8000,linecolor=blue]{0.3679}{1}{1 x div}
%\uput[u](4.2,2.4){$\mathcal{C}_{h}$}
%\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=8000,linecolor=green]{1}{0.3679}{x ln 1  add}}
%\psline[linestyle=dashed](2.4,0)(2.4,1.875)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,-1)(5,3.5)
%\end{pspicture*}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item %A est le point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_{h}$ et de l'axe des abscisses. Déterminer les coordonnées du point A.
L'ordonnée de A est égale à $0$ ; il faut donc résoudre l'équation :

$\ln x + 1 = 0 \iff \ln x = - 1 \iff \text{e}^{\ln x} = \text{e}^{- 1}$ (par croissance de la fonction exponentielle) $\iff x = \text{e}^{- 1}$.

On a donc A$\left(\text{e}^{- 1}~;~0 \right)$. 
\item %P est le point d'intersection des courbes $\mathcal{C}_{g}$ et $\mathcal{C}_{h}$. Justifier que les coordonnées du point P sont (1 ; 1).
P étant commun aux deux courbes son abscisse vérifie :

$g(x) = h(x) \iff \dfrac{1}{x} = \ln (x) + 1 \iff f(x) = 0$, d'après la partie II. Or dans cette partie on a vu que $f$ s'annule en $1$ et $g(1) = h(1) = 1$. Donc le point commun aux deux courbes est le point P$(1~;~1)$. 
\item %On note $\mathcal{A}$ l'aire du domaine délimité par les courbes $\mathcal{C}_{g}$, $\mathcal{C}_{h}$ et les droites d'équations respectives  $x = \dfrac{1}{\text{e}}$ et $x = 1$ (domaine grisé sur le graphique).
	\begin{enumerate}
		\item %Exprimer l'aire $\mathcal{A}$ à l'aide de la fonction $f$ définie dans la partie II.
On a vu que sur $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~1\right],\, f(x) \geqslant 0$ , c'est-à-dire que $g(x) \geqslant h(x)$ (la courbe $\mathcal{C}_{g}$ est au dessus de la courbe $\mathcal{C}_{h}$), donc 

$\mathcal{A} = \displaystyle\int_{\frac{1}{\text{e}}}^{1} [g(x) - h(x)]\:\text{d}x = \displaystyle\int_{\frac{1}{\text{e}}}^{1} -f(x)\:\text{d}x$. 
		\item %Montrer que $\mathcal{A} = 1 - \dfrac{1}{\text{e}}$.
On a vu qu'une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$, donc en particulier sur $\left[\frac{1}{\text{e}}~;~1\right]$ est $F(x) = x\ln (x) - \ln (x)$.

On a donc :

$\mathcal{A} = \left[- F(x) \right]_{\frac{1}{\text{e}}}^1 = - F(1) + F\left(\frac{1}{\text{e}}\right) =$

$0 + \frac{1}{\text{e}}\ln \left(\frac{1}{\text{e}} \right) - \ln \left(\frac{1}{\text{e}} \right) =
 \frac{1}{\text{e}}\times \left(- \ln (\text{e}) \right) -  \left(- \ln (\text{e}) \right) = 1 - \dfrac{1}{\text{e}}$. 
	\end{enumerate} 
\item %Soit $t$ un nombre réel de l'intervalle $]1~;~+\infty[$. On note $\mathcal{B}_{t}$ l'aire du domaine délimité par les droites d'équations respectives $x = 1,~ x = t$ et les courbes $\mathcal{C}_{g}$ et $\mathcal{C}_{h}$ (domaine hachuré sur le graphique).
 
%On souhaite déterminer une valeur de $t$ telle que $\mathcal{A} = \mathcal{B}_{t}$.
 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $\mathcal{B}_{t} = t\ln (t) - \ln (t)$.
On a vu que sur $[1~;~+ \infty[,\, h(x) \geqslant g(x)$, donc puisque $t \geqslant 1$, l'aire $\mathcal{B}_{t}$ est égale à :

$\mathcal{B}_{t} = \displaystyle\int_{1}^t [h(x) - g(x)]\:\text{d}x = \displaystyle\int_{1}^t  - f(x)\:\text{dx} =  - F(t) + F(1) = - F(t) = t\ln (t) -  \ln t$. 
		\item %Conclure.
On a vu que $\mathcal{B}_{t} = 1 - \dfrac{1}{\text{e}}$ ou encore $t\ln (t) -  \ln t = 1 - \dfrac{1}{\text{e}}$ soit $F(t) = 1 - \dfrac{1}{\text{e}}$ équation qui a été résolue à la question 6 de la partie II et qui a pour solution $\alpha \approx 1,9$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 
 
\textbf{Partie 1}

\medskip
 
%Dans cette partie, ABCD est un tétraèdre régulier, c'est-à-dire un solide dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux.
%
%\medskip
%
%\psset{unit=1cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(7,7)
%\uput[u](3.4,6.7){A}\uput[l](0.3,1.2){B}\uput[d](5,0.1){C}\uput[ur](6.8,2.9){D}
%\uput[ur](4.2,1.3){A$'$}
%\pspolygon(6.8,2.9)(3.4,6.7)(0.3,1.2)(5,0.1)(6.8,2.9)
%\psline[linestyle=dotted,linewidth=2pt](3.4,6.7)(4.2,1.3)
%\psline[linestyle=dotted,linewidth=2pt](0.3,1.2)(6.8,2.9)
%\end{pspicture}
%\end{center} 
%
%\medskip
%
%A$'$ est le centre de gravité du triangle BCD.
% 
%Dans un tétraèdre, le segment joignant un sommet au centre de gravité de la face opposée est appelé médiane. Ainsi, le segment [AA$'$] est une médiane du tétraèdre ABCD.
 
\begin{enumerate}
\item %On souhaite démontrer la propriété suivante :
 
%$\left(\mathcal{P}_{1}\right)$ : \emph{Dans un tétraèdre régulier, chaque médiane est orthogonale à la face opposée.} 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $\vect{\text{AA}'} \cdot \vect{\text{BD}} = 0$ et que $\vect{\text{AA}'}\cdot \vect{\text{BC}} = 0$. (On pourra utiliser le milieu I du segment [BD] et le milieu J du segment [BC]).
Soit I le milieu de [BD]. [CI] médiane du triangle équilatéral BCD est aussi hauteur issue de C. Donc (CI) ou (A$'$I) est perpendiculaire à (BD).

De même [AI] médiane du triangle équilatéral ABD est aussi hauteur, donc (AI) est perpendiculaire à (BD).

Or $\vect{\text{AA}'} \cdot \vect{\text{BD}} = \vect{\text{AI}} \cdot \vect{\text{BD}} + \vect{\text{IA}'} \cdot \vect{\text{BD}} = 0 + 0 = 0$.

De même avec J milieu de [BC], on montre que (AJ) est perpendiculaire à (BC) et (AA$'$) (ou (JA$'$)) est perpendiculaire à (BC).

Donc $\vect{\text{AA}'}\cdot \vect{\text{BC}} = \vect{\text{AJ}}\cdot \vect{\text{BC}} + \vect{\text{JA}'}\cdot \vect{\text{BC}} = 0 + 0 = 0$.  
		\item %En déduire que la médiane (AA$'$) est orthogonale à la face BCD.
La question précédente a montré que la droite (AA$'$) est perpendiculaire à deux droites sécantes du plan (BCD) : (BD) et (BC) : elle est donc perpendiculaire à ce plan.
		 
%Un raisonnement analogue montre que les autres médianes du tétraèdre régulier ABCD sont également orthogonales à leur face opposée.

Ceci démontre donc la propriété $\left(\mathcal{P}_{1}\right)$.
	\end{enumerate} 
\item %G est l'isobarycentre des points A, B, C et D.
 
%On souhaite démontrer la propriété suivante:
 
%$\left(\mathcal{P}_{2}\right)$ : \emph{Les médianes d'un tétraèdre régulier sont concourantes en} G. 
 
%En utilisant l'associativité du barycentre, montrer que G appartient à la droite (AA$'$), puis conclure.
On a G = bar.\begin{tabular}{|*{4}{c|}}
A&B&C&D\\ \hline
1&1&1&1\\
\end{tabular} = (par associativité des trois derniers points) bar.\begin{tabular}{|*{2}{c|}}
A&A$'$\\ \hline
1&3\\
\end{tabular}\quad et par propriété du barycentre G appartient à la droite (AA$'$).

On démontre de la même façon que G appartient aux trois autres médianes. Finalement les quatre médianes sont concourantes en G.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie II}

\medskip
 
%On munit l'espace d'un repère orthonormal \Oijk.
 
%On considère les points P(1 ; 2 ; 3), Q$(4~;~2~;~- 1)$ et R$(-2~;~3~;~0)$. 

\begin{enumerate}
\item %Montrer que le tétraèdre OPQR n'est pas régulier.
On a $\text{OP}^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14$.

$\text{OQ}^2 = 4^2 + 2^2 + (- 1)^2 = 16 + 4 + 1 = 21$.

Donc la face OPQ n'est pas équilatérale et le tétraèdre n'est pas régulier. 
\item %Calculer les coordonnées de P$'$, centre de gravité du triangle OQR.
On traduit la propriété vectorielle :

$\vect{\text{P}'\text{O}} + \vect{\text{P}'\text{Q}} + \vect{\text{P}'\text{R}} = \vect{0} \iff \left\{\begin{array}{l c l}
0 - x + 4 - x - 2 - x&=&0\\
0 - y + 2 -y + 3 -y&=&0\\
0 - z - 1 - z  + 0 - z&=&0\\
\end{array}\right. \iff  \left\{\begin{array}{l c l}
2&=&3x\\
5&=&3y\\
- 1&=&3z\\
\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l c l}
\frac{2}{3}&=&x\\
\frac{5}{3}&=&y\\
- \frac{1}{3}&=&z\\
\end{array}\right.$

Donc P$'\left(\frac{2}{3}~;~\frac{5}{3}~;~- \frac{1}{3}\right)$.
\item %Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (OQR) est : $3x + 2y + 16z = 0$.
On a $M(x~;~y~;~z) \in(\text{OQR}) \iff ax + by + cz + d = 0$.

Puisque O$(0~;~0~;~0)\in(\text{OQR})$ on a $d = 0$.

Écrivons que les coordonnées de Q et de R vérifient l'équation :

$\left\{\begin{array}{l c l}
\text{Q}(4~;~2~;~-1) \in(\text{OQR}) &\iff&4a + 2b - c=0\\
\text{R}(- 2~;~3~;~0) \in(\text{OQR})&\iff& - 2a + 3b = 0
\end{array}\right. \iff  \left\{\begin{array}{l c l}
4a + 2b - c &=& 0\\
- 4a + 6b 	&=& 0
\end{array}\right.$ d'où par somme $8b - c = 0 \iff b = \dfrac{c}{8}$ puis en remplaçant dans la deuxième équation du départ : $2a = 3b = \dfrac{3c}{8} \iff a = \dfrac{3c}{16}$.

On a donc $M(x~;~y~;~z) \in(\text{OQR}) \iff \dfrac{3c}{8}x + \dfrac{c}{8}y + cz  = 0$

$\iff \dfrac{3}{16}x + \dfrac{1}{8}y + z  = 0 \iff 3x + 2y + 16z = 0$.
\item %La propriété $\left(\mathcal{P}_{1}\right)$ de la partie 1 est-elle vraie dans un tétraèdre quelconque ?
La droite (PP$'$) est la médiane relative à la face (OQR).

Cette droite a pour vecteur directeur : $\vect{\text{PP}'}\left(\frac{2}{3} - 1~;~\frac{5}{3} - 2~;~- \frac{1}{3} - 3 \right)$ ou $\left(-\frac{1}{3}~;~-\frac{1}{3}~;~-\frac{10}{3}\right)$ ou encore $(1~;~1~;~10)$.

Or un vecteur normal au plan (OQR) est $\vect{n}(3~;~2;~16)$ qui n'est pas colinéaire au vecteur $10\vect{\text{PP}'}$, ce qui signifie que la droite (PP$'$) n'est pas perpendiculaire au plan (OQR).

Conclusion : la propriété $\left(\mathcal{P}_{1}\right)$ de la partie 1 n'est pas  vraie dans un tétraèdre quelconque. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 

\textbf{Partie A}

%\medskip
% 
%On considère, dans un repère \Oijk{} de l'espace, la surface $\mathcal{S}$ d'équation : 
%
%\[z = (x - y)^2.\]

\begin{enumerate}
\item %On note $\mathcal{E}_{1}$ l'intersection de $\mathcal{S}$ avec le plan $\mathcal{P}_{1}$ d'équation $z = 0$.
 
%Déterminer la nature de $\mathcal{E}_{1}$.
Les points de $\mathcal{E}_{1}$ ont des coordonnées qui vérifient le système $\left\{\begin{array}{l c l}
z &=& (x - y)^2\\
z&=&0
\end{array}\right. \Rightarrow (x - y)^2 = 0 \iff x - y = 0$ qui est l'équation de la droite $y = x$ dans le plan $z = 0$.
%On note $\mathcal{E}_{2}$ l'intersection de $\mathcal{S}$ avec le plan $\mathcal{P}_{2}$ d'équation $x = 1$.
 
%Déterminer la nature de $\mathcal{E}_{2}$.
Les points de $\mathcal{E}_{2}$ ont des coordonnées qui vérifient le système $\left\{\begin{array}{l c l}
z &=& (x - y)^2\\
x&=&1
\end{array}\right. \Rightarrow z = (1 - y)^2  $ qui est l'équation d'une parabole $z = (1 - y)^2$ dans le plan $x = 1$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
%On considère, dans un repère \Oijk{} de l'espace, la surface $\mathcal{S}'$ d'équation :
%
%\[z = xy.\]
 
\begin{enumerate}
\item %On note $\mathcal{E}_{3}$ l'intersection de $\mathcal{S}'$ avec le plan $\mathcal{P}_{1}$ d'équation $z = 0$.
 
%Déterminer la nature de $\mathcal{E}_{3}$.
Les points de $\mathcal{E}_{3}$ ont des coordonnées qui vérifient le système $\left\{\begin{array}{l c l}
z &=& xy\\
z&=&0
\end{array}\right. \Rightarrow z = xy = 0  \iff x = 0\quad \text{ou} \quad y = 0$ qui sont les équations des axes de coordonnées  dans le plan horizontal $z = 0$. 
\item %On note $\mathcal{E}_{4}$ l'intersection de $\mathcal{S}'$ avec le plan $\mathcal{P}_{3}$ d'équation $z = 1$.
 
%Déterminer la nature de $\mathcal{E}_{4}$.
Les points de $\mathcal{E}_{3}$ ont des coordonnées qui vérifient le système $\left\{\begin{array}{l c l}
z &=& xy\\
z&=&1
\end{array}\right. \Rightarrow $

$ xy = 1  \iff y = \dfrac{1}{x}\quad \text{si}\quad x \neq 0$ qui est l'équation d'une hyperbole  dans le plan horizontal $z = 1$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
%On note $\mathcal{E}_{5}$  l'intersection de $\mathcal{S}$ et de $\mathcal{S}'$.
% 
%Dans cette partie, on souhaite démontrer que le seul point appartenant à $\mathcal{E}_{5}$ dont les coordonnées sont des entiers naturels est le point O(0~;~0~;~0).
% 
%On suppose qu'il existe un point $M$ appartenant à $\mathcal{E}_{5}$ et dont les coordonnées $x,~y$ et $z$ sont des entiers naturels.
 
\begin{enumerate}
\item %Montrer que si $x = 0$, alors le point $M$ est le point O.
Si $M(x~;~y~;~z) \in \mathcal{E}_{5}$\, (avec $(x~;~y~;z) \in \N^3$), alors $z = (x - y)^2 = xy$.

Si son abscisse est nulle, alors $z = (0 - y)^2 = 0y = 0 \Rightarrow y^2 = 0 \Rightarrow y = 0$.

Finalement $M(0~;~0~;0)$.
\item %On suppose dorénavant que l'entier $x$ n'est pas nul. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que les entiers $x,\, y$ et $z$ vérifient $x^2 - 3xy + y^2 = 0$.
On a vu que les coordonnées d'un point de $\mathcal{E}_{5}$ vérifient

 $z = (x - y)^2 = xy$ ; en particulier 
 
 $(x - y)^2 = xy \iff x^2 + y^2 - 2xy = xy \iff 	x^2 + y^2 - 3xy = 0 \quad (1)$. 
%En déduire qu'il existe alors des entiers naturels $x'$ et $y'$ premiers entre eux tels que $x'^2 - 3x'y' + y'^2 = 0$.

Soit $d$ le pgcd de $x$ et de $y$ ; on a $x = dx'$ et $y = dy'$ avec $x'$ et $y'$ premiers entre eux.

En remplaçant dans l'égalité (1) :

$d^2x'^2 + d^2y'^2 - 3dx'dy' = 0 \iff  x'^2 + y'^2 - 3x'y' = 0 \quad (2)$.
		\item  %Montrer que $x'$ divise $y'^2$, puis que $x'$ divise $y'$.
L'égalité précédente s'écrit :

$ 3x'y' - x'^2 = y'^2 \iff x'(3y' - x') = y'^2 $ : cette dernière égalité montre que $x'$ divise $y'^2$, mais les diviseurs premiers de $y'^2$ étant les mêmes que ceux de $y'$, on en déduit que $x'$ divise $y'$.
 				\item  %Établir que $y'$ vérifie la relation $1 - 3y' + y'^2 = 0$.
Comme $x'$ et $y'$ sont premiers entre eux la question précédente montre que  $x' = 1$ soit en remplaçant dans l'égalité (2) : $1  + y'^2 - 3y' = 0$. 
		\item  %Conclure.
On a donc une équation du second degré ; $\Delta = 9 - 4 = 5$ : les solutions sont donc $\dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}$ et $\dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}$ qui ne sont ni l'un ni l'autre des naturels. 

Conclusion : l'hypothèse $x$ est non nul est fausse et d'après la question 1. le seul point commun aux deux surfaces est l'origine. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

%Un jeu consiste à lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs, comme indiqué sur la figure ci-dessous.
%
%\medskip
%
%\psset{unit=1cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
%\SpecialCoor
%\pscircle(0;0){3}
%\psline(0;0)(3;-30)\psline(0;0)(3;60)\psline(0;0)(3;120)\psline(0;0)(3;210)
%\rput(1.75;0){0 point}\rput(1.75;90){5 points}\rput(1.75;180){0 point}\rput(1.75;-90){3 points}
%\end{pspicture}
%\end{center} 
% 
%On suppose que les lancers sont indépendants et que le joueur touche la cible à tous les coups.
% 
\begin{enumerate}
\item %Le joueur lance une fléchette.
% 
%On note $p_{0}$ la probabilité d'obtenir 0 point.
%
%On note $p_{3}$ la probabilité d'obtenir 3 points.
%
%On note $p_{5}$ la probabilité d'obtenir 5 points.
% 
%On a donc $p_{0} + p_{3} + p_{5} = 1$. Sachant que $p_{5} = \dfrac{1}{2}p_{3}$ et que $p_{5} = \dfrac{1}{3}p_{0}$ déterminer les valeurs de $p_{0},\, p_{3}$ et $p_{5}$·

On a donc $p_{3} = 2p_{5}$ et $p_{0} = 3p_{5}$, donc $p_{0} + p_{3} + p_{5} = 1 \iff 3p_{5} + 2p_{5} + p_{5} = 1 \iff 6p_{5} = 1 \iff p_{5} = \dfrac{1}{6}$.

Il en résulte que $p_{3} = 2p_{5} = 2 \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{3}$ et $p_{0} = 3p_{5} = 3 \times p_{0} = 3 \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{2}$.

Remarque: il ne devait pas être très difficile de voir que les probabilités étaient proportionnelles à l'aire des secteurs, donc à des angles au centre de 180\,\degres{} (deux angles droits), un angle de 60\,\degres\, et un angle de 120\,\degres\, pour un total de 360\,\degres.

On a donc $p_{0} = \dfrac{180}{360}  = \dfrac{1}{2},~p_{3} = \dfrac{120}{360}  =   \dfrac{1}{3}$ et $p_{5} = \dfrac{60}{360}  = \dfrac{1}{6}$ \ldots 
\item %Une partie de ce jeu consiste à lancer trois fléchettes au maximum. Le joueur gagne la partie s'il obtient un total (pour les 3 lancers) supérieur ou égal à 8 points. Si au bout de 2 lancers, il a un total supérieur ou égal à 8 points, il ne lance pas la troisième fléchette.
 
%On note $G_{2}$ l'évènement : \og le joueur gagne la partie en 2 lancers \fg. 
 
%On note $G_{3}$ l'évènement: \og le joueur gagne la partie en 3 lancers \fg.

%On note $P$ l'évènement: \og le joueur perd la partie \fg.
 
%On note $p(A)$ la probabilité d'un évènement $A$. 
	\begin{enumerate}
		\item ~%Montrer, en utilisant un arbre pondéré, que $p\left(G_{2}\right) = \dfrac{5}{36}$.

\medskip
\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{0~}\taput{$\frac{1}{2}$}}
	  { 
		  \TR{0}\taput{\small$1/2$}
		  \TR{3}\taput{\small$1/3$}
		  \TR{5}\tbput{\small$1/6$}	   
	  }
	\pstree{\TR{3~}\taput{$\frac{1}{3}$}}
	  {
		  \TR{0}\taput{\small$1/2$}
		  \TR{3}\taput{\small$1/3$}
		  \TR{5}\tbput{\small$1/6$} 
	  }
	\pstree{\TR{5~}\tbput{$\frac{1}{6}$}}
	  {
		  \TR{0}\taput{\small$1/2$}
		  \TR{3}\taput{\small$1/3$}
		  \TR{5}\tbput{\small$1/6$}
	  }	
}
\end{center}

On obtient un total d'au moins 8 points en deux lancers à la 6\up{e},\, 8\up{e} et 9\up{e} branche. Donc 

$p\left(G_{2}\right) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{6}  + \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{18} + \dfrac{1}{18} + \dfrac{1}{36} = \dfrac{5}{36}$.		
%On admettra dans la suite que $p\left(G_{3}\right) = \dfrac{7}{36}$
		\item En déduire $p(P)$.
On a $p(P) = 1 - p\left(G_{2}\right) - p\left(G_{3}\right)  = 1 - \dfrac{5}{36} - \dfrac{7}{36} =$
$\dfrac{36}{36} - \dfrac{12}{36} = \dfrac{24}{36} = \dfrac{2}{3}$.
	\end{enumerate} 
\item %Un joueur joue six parties avec les règles données à la question 2.
Les lancers sont indépendants ; on a une schéma de Bernoulli de paramètres $n = 6$ et de probabilité $p = \dfrac{2}{3}$.

La probabilité de ne gagner aucune partie est $\left(\dfrac{2}{3}\right)^6$, donc la probabilité de gagner au moins une partie est $1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^6 = \dfrac{3^6 - 2^6}{3^6} = \dfrac{665}{729}$ 
%Quelle est la probabilité qu'il gagne au moins une partie ? 
\item %Pour une partie, la mise est fixée à 2~\euro.
 
%Si le joueur gagne en deux lancers, il reçoit 5~\euro. S'il gagne en trois lancers, il reçoit 3~\euro. S'il perd, il ne reçoit rien.
 
%On note $X$ la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur pour une partie. Les valeurs possibles pour $X$ sont donc: $-2$, 1 et 3. 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner la loi de probabilité de $X$.
On a le tableau de loi de probabilité de $X$ suivant :
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$X$&$-2$&1&3\\ \hline
\rule[-5mm]{0mm}{12mm}$p(X= x_{i})$&$\dfrac{24}{36}$&$\dfrac{7}{36}$&$\dfrac{5}{36}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}		 
		\item %Déterminer l'espérance mathématique de $X$. Le jeu est-il favorable au joueur ? 
		E$(X) = - 2 \times \dfrac{24}{36} + 1\times \dfrac{7}{36} + 3 \times \dfrac{5}{36} = \dfrac{-48 + 7 + 15}{36} = - \dfrac{26}{36} = - \dfrac{13}{18} \approx - 0,72$~(\euro).
		
Un joueur perd en moyenne sur un grand nombre de parties 72~centimes par partie.

Le jeu est défavorable au joueur.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}