%!TEX TS-program = latex \documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{enumitem} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow} \usepackage{scratch3} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Merci pour le sujet à %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add,pst-all} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \setlength{\headheight}{13.6pt}. \addtolength{\topmargin}{-1.6pt}. \renewcommand\arraystretch{1.4} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Première : épreuve anticipée Série technologique} \lfoot{\small{Métropole sujet de secours}} \rfoot{\small{12 juin 2026}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé de l'‰épreuve anticipée de première~\decofourright \\[7pt]Candidats de la série technologique sujet de secours\\[7pt] Métropole 12 juin 2026} } \end{center} \section*{\textbf{\large PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES QCM (6 points)}} \textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'€™est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.} Une réponse fausse ou l'€™absence de réponse n'€™enlève aucun point. \medskip \textbf{Question 1} On considère l'expression $A(x) = 2x - 3x$, alors $A(x)$ est égale à  : $A(x) = 2x - 3x = x \times (2 - 3) = x \times (- 1) = - x$. \medskip \textbf{Question 2} On considère l'équation $x + 5 = 2x + 6$ sur l'ensemble des réels. En ajoutant $- x$, on obtient $5 = x + 6$, puis en ajoutant à chaque membre $- 6$, $- 1 = x$. \medskip \textbf{Question 3} On considère l'équation $x^2 = 6$ sur l'ensemble des réels. Il y a deux nombres dont le carré est égal à 6 : $- \sqrt 6$ et $\sqrt 6$. \medskip \textbf{Question 4} Un article qui coûte 200{} diminue de $30\,\%$. Enlever 30\,\% c'est multiplier par $1 - \dfrac{30}{100} = \dfrac{100 - 30}{100} = \dfrac{70}{100} = 0,70$. Après réduction le prix est égal à $200 \times 0,7 = 140$~(\euro). \medskip \textbf{Question 5} On considère l'expression $B = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}$. On a : $B = \dfrac{1\times 4}{3\times 4} + \dfrac{1\times 3}{4\times 3} = \dfrac{4 + 3}{12} = \dfrac{7}{12}$. \medskip \textbf{Question 6} Un robot parcourt 5 m en 20,3 s. En 1 s il parcourt $\dfrac{5}{20,3}$~(m) et donc en 60 s ou 1 min il parcourt : $ 60 \times \dfrac{5}{20,3} = \dfrac{300}{20,3} \approx 14,78$~(m), donc environ 15~m. \medskip \textbf{Question 7} $10^3 \times 2^3 =$ $10^3 \times 2^3 = (10 \times 2)^3 = 20^3$ \medskip \textbf{Question 8} La fréquence cardiaque maximale conseillée $f$ dépend de l'\^age $a$. Son expression est $f = 208 - 0,7a$. On a alors : En ajoutant à chaque membre $0,7a$ on obtient : $0,7a + f = 208$, puis en ajoutant $- f$, \:$0,7a = 208 - f$. Enfin en multipliant chaque membre par $\dfrac{1}{0,7}$, on a finalement : $a = \dfrac{208 - f}{0,7}$. \newpage \begin{center}\textbf{DEUXIÈME PARTIE : (14 points)}\end{center} \textbf{Exercice 1 (3 points)} \medskip Dans une clinique d'analyses médicales, on a interrogé les 150 salariés sur leurs conditions de travail. Les résultats ont été rassemblés dans le tableau ci-dessous. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{~}&Employé de bureau&Employé de laboratoire&Total des salariés\\ \hline Satisfait &40 &68 &108\\ \hline \black Mécontent &\black 2 &\black 4&\red 6\\ \hline \black Indifférent &\black 8&\red 28 &\red 36\\ \hline Total &50& 100& 150\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Sur les 50 employés de bureau, 40 sont satisfaits soir un pourcentage de $\dfrac{40}{50} \times 100 = \dfrac{\np{4000}}{50} = 80$~(\,\%). \item Il y a $8 + 28 = 36$ salariés indifférents sur 150. \item On a vu que 80\,\% des employés de bureau étaient satisfaits. Le pourcentage d'employés de laboratoire satisfaits est $\dfrac{68}{100} \times 100 = 68$~(\,\%). L'affirmation est exacte. \item Sur les 6 mécontents, 2 sont des employés de bureau soit une proportion de $\dfrac26 = \dfrac13$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Exercice 2 (5 points)} \medskip En 2026, Monsieur Egg possède un élevage de $800$~poules nourries au blé. \medskip \begin{enumerate} \item On a $u_0 = 800$. \begin{enumerate} \item Augmenter de 2\,\% c'est multiplier par $1 + \dfrac{2}{100} = 1 + 0,02 = 1,02$. Donc en 2027 M. Egg aura $800 \times 1,02 = 816$ poules. \item Chaque année le nombre de poules élevées est multiplié par 1,02 ; on a donc $u_{n+1} = 1,02u_n$. \item La relation précédente est la caractéristique d'une suite géométrique de raison 1,02 de premier terme 800. \end{enumerate} \item En améliorant la qualité de ses cultures, il estime qu'il peut nourrir au maximum 10 poules de plus chaque année. \begin{enumerate} \item $v_1 = v_0 + 10 = 900 + 10 = 910$. \item Chaque année le nombre de poules élevées est augmenté de 10 : on a donc $u_{n+1} = u_n + 10$. \item La relation précédente est la caractéristique d'une suite arithmétique de raison 10 de premier terme 900. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \begin{minipage}{0.65\linewidth} On donne, dans le tableau ci-contre, les valeurs des premiers termes de chacune des suites $(u_n)$ et $(v_n)$. Les valeurs obtenues sont arrondies à l'unité. \medskip \begin{enumerate}[resume] \item Pour $n = 13$, soit en 2039 M. Egg devrait avoir \np{1035} poules mais ne devrait pouvoir nourrir que \np{1030} poules. Monsieur Egg ne pourra plus nourrir toutes ses poules à partir de 2039. \end{enumerate} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.32\linewidth} \begin{tabular}{|c|c|c|}\hline Indice $n$& $u_n$& $v_n$\\ \hline 0 &800 &900\\ \hline 1 &816 &910\\ \hline 2 &832 &920\\ \hline \ldots &\ldots &\ldots\\ \hline 8 &937 &980\\ \hline 9 &956 &990\\ \hline 10& 975 &\np{1000}\\ \hline 11& 995 &\np{1010}\\ \hline 12& \np{1015} &\np{1020}\\ \hline 13& \np{1035} &\np{1030}\\ \hline 14& \np{1056} &\np{1040}\\ \hline 15& \np{1077} &\np{1050}\\ \hline \end{tabular} \end{minipage} \bigskip \textbf{Exercice 3 (6 points)} \medskip \[C(x) = 2x^2 + 4x + 530.\] \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A&B&C&D\\ \hline 1&\footnotesize Nombre d'enceintes (en milliers)&\footnotesize Coût de production (en milliers d'euros)&\footnotesize Recette (en milliers d'euros)&\footnotesize Bénéfice (en milliers d'euros)\\ \hline 2&0&530&0&$-530$\\ \hline 3&5&600&480&$- 120$\\ \hline 4&10&770&960&190\\ \hline 5&15&\np{1040}&\np{1440}&400\\ \hline 6&20&\np{1410}&\np{1920}&510\\ \hline 7&25&\np{1880}&\np{2400}&520\\ \hline 8&30&\np{2450}&\np{2880}&430\\ \hline 9&35&\np{3120}&\np{3360}&240\\ \hline 10&40&\np{3890}&\np{3840}&$-50$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item $\bullet~$Pour \np{1000} enceintes vendues, la recette sera de $\np{10000} \times 96 = \np{960000}$~(\euro), soit 960 milliers d'euros $\bullet~$Le bénéfice réalisé pour la vente de ces \np{1000} enceintes vendues est la différence entre la recette et le coût de production soit : $\np{960000} - \np{770000} = \np{190000}$~(\euro), soit 190 milliers d'euros. \item \begin{enumerate} \item ligne 8, colonne B : \np{2450} milliers d'euros \item ligne 3, colonne D le bénéfice est négatif : l'entreprise perd de l'argent. \end{enumerate} \end{enumerate} $B(x) = - 2x^2 + 92x - 530$. \begin{enumerate}[resume] \item La fonction polynôme $B$ est dérivable pour tout réel $x$ et $B'(x) = 2 \times (- 2x) + 92 = 92 - 4x$. \item $\bullet~$$B'(x) \geqslant 0$ si $92 - 4x \geqslant 0$ ou $92 \geqslant 4x$ ou $4 \times 23 \geqslant 4 \times x$ soit enfin $23 \geqslant x$. Comme $x \geqslant 0$, on a $B'(x) \geqslant 0$ sur l'intervalle [0~;~23]. $\bullet~$On trouve de même que $B'(x) \leqslant 0$ sur l'intervalle [23~;~40] \item \begin{enumerate} \item D'après le résultat précédent la fonction $B$ est croissante sur l'intervalle [0~;~23] et décroissante sur l'intervalle [23~;~40]. On a $B(0) = -530$, \quad $B(23) = -2 \times 23^2 + 92 \times 23 - 530 = 528$, \quad $B(40) = - 50$. \item Voir ci-dessous. \item ~ \begin{center} \psset{unit=1.25cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(7,3) \psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3) \uput[u](0.5,2.4){$x$}\uput[u](1.15,2.4){$0$}\uput[u](4,2.4){$23$}\uput[u](6.8,2.4){$40$} \uput[u](0.5,2){$B'(x)$}\uput[u](2.5,2){+}\uput[u](4,2){0}\uput[u](5.5,2){$-$} \uput[u](1.4,0){$-530$}\uput[d](4,2){$528$}\uput[u](6.7,0){$-50$} \rput(0.5,1){$B(x)$} \psline{->}(1.8,0.25)(3.5,1.75)\psline{->}(4.5,1.75)(6.2,0.25) \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} Le bénéfice maximal est $B(23) = 528$~(milliers d'\euro). \end{enumerate} \end{document}