%!TEX TS-program = latex
\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{multirow}
\usepackage{scratch3}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Merci pour le sujet à 
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add,pst-all}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm,headheight=14pt]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\setlength{\headheight}{13.6pt}.
\addtolength{\topmargin}{-1.6pt}.
\renewcommand\arraystretch{1.4}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Première : épreuve anticipée Série technologique}
\lfoot{\small{Métropole sujet de secours}}
\rfoot{\small{12 juin 2026}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé de l'épreuve anticipée de première~\decofourright
\\[7pt]Candidats de la série technologique sujet de secours\\[7pt] Métropole 12 juin 2026}
}
\end{center}

\section*{\textbf{\large PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES QCM (6 points)}}

\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.}

Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

\medskip

\textbf{Question 1}

On considère l'expression $A(x) = 2x - 3x$, alors $A(x)$ est égale à  :

$A(x) = 2x - 3x = x \times (2 - 3) = x \times (- 1) = - x$.

\medskip

\textbf{Question 2}

On considère l'équation $x + 5 = 2x + 6$ sur l'ensemble des réels.

En ajoutant $- x$, on obtient $5 = x + 6$, puis en ajoutant à chaque membre $- 6$, 

$- 1 = x$.

\medskip

\textbf{Question 3}

On considère l'équation $x^2 = 6$ sur l'ensemble des réels.

Il y a deux nombres dont le carré est égal à 6 : $- \sqrt 6$ et $\sqrt 6$.

\medskip

\textbf{Question 4}

Un article qui coûte 200{} diminue de $30\,\%$.

Enlever 30\,\% c'est multiplier par $1 - \dfrac{30}{100} = \dfrac{100 - 30}{100} = \dfrac{70}{100} = 0,70$.

Après réduction le prix est égal à $200 \times 0,7 = 140$~(\euro).

\medskip

\textbf{Question 5}

On considère l'expression $B = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}$. On a :

$B = \dfrac{1\times 4}{3\times 4} + \dfrac{1\times 3}{4\times 3} = \dfrac{4 + 3}{12} = \dfrac{7}{12}$.

\medskip

\textbf{Question 6}

Un robot parcourt 5 m en 20,3 s.

En 1 s il parcourt $\dfrac{5}{20,3}$~(m) et donc en 60 s ou 1 min il parcourt : $ 60 \times \dfrac{5}{20,3} = \dfrac{300}{20,3} \approx 14,78$~(m), donc environ 15~m.
\medskip

\textbf{Question 7}

$10^3 \times 2^3 =$

$10^3 \times 2^3 = (10 \times 2)^3 = 20^3$

\medskip

\textbf{Question 8}

La fréquence cardiaque maximale conseillée $f$ dépend de l'\^age $a$.

Son expression est $f = 208 - 0,7a$. On a alors :

En ajoutant à chaque membre $0,7a$ on obtient : $0,7a + f = 208$, puis en ajoutant $- f$, \:$0,7a = 208 - f$.

Enfin en multipliant chaque membre par $\dfrac{1}{0,7}$, on a finalement : $a = \dfrac{208 - f}{0,7}$.

\newpage

\begin{center}\textbf{DEUXIÈME PARTIE : (14 points)}\end{center}


\textbf{Exercice 1 (3 points)}

\medskip

Dans une clinique d'analyses médicales, on a interrogé les 150 salariés sur leurs
conditions de travail. Les résultats ont été rassemblés dans le tableau ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{~}&Employé de bureau&Employé de laboratoire&Total des salariés\\  \hline
Satisfait &40 &68 &108\\ \hline
\black  Mécontent &\black 2 &\black 4&\red 6\\ \hline
\black Indifférent &\black 8&\red 28 &\red 36\\ \hline
Total &50& 100& 150\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Sur les 50 employés de bureau, 40 sont satisfaits soir un pourcentage de  $\dfrac{40}{50} \times 100 = \dfrac{\np{4000}}{50} = 80$~(\,\%).
\item Il y a $8 + 28 = 36$ salariés indifférents sur 150.
\item On a vu que 80\,\% des employés de bureau étaient satisfaits.

Le pourcentage d'employés de laboratoire satisfaits est $\dfrac{68}{100} \times 100 = 68$~(\,\%).

L'affirmation est exacte.
\item Sur les 6 mécontents, 2 sont des employés de bureau soit une proportion de $\dfrac26 = \dfrac13$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2 (5 points)}

\medskip

En 2026, Monsieur Egg possède un élevage de $800$~poules nourries au blé.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On a $u_0 = 800$.
	\begin{enumerate}
		\item Augmenter de 2\,\% c'est multiplier par $1 + \dfrac{2}{100} = 1 + 0,02 = 1,02$.

Donc en 2027 M. Egg aura $800 \times 1,02 = 816$ poules.
		\item Chaque année le nombre de poules élevées est multiplié par 1,02 ; on a donc 

$u_{n+1} = 1,02u_n$.
		\item La relation précédente est la caractéristique d'une suite géométrique de raison 1,02 de premier terme 800.
	\end{enumerate}
\item En améliorant la qualité de ses cultures, il estime qu'il peut nourrir au maximum
10 poules de plus chaque année.
	\begin{enumerate}
		\item $v_1 = v_0 + 10 = 900 + 10 = 910$.
		\item Chaque année le nombre de poules élevées est augmenté de 10 : on a donc $u_{n+1} = u_n + 10$.
		\item La relation précédente est la caractéristique d'une suite arithmétique de raison 10 de premier terme 900.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{minipage}{0.65\linewidth}
On donne, dans le tableau ci-contre, les valeurs des
premiers termes de chacune des suites $(u_n)$ et $(v_n)$.

Les valeurs obtenues sont arrondies à l'unité.

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item 
Pour $n = 13$, soit en 2039 M. Egg devrait avoir \np{1035} poules mais ne devrait pouvoir nourrir que \np{1030} poules.

Monsieur Egg ne pourra plus nourrir toutes ses poules à partir de 2039.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.32\linewidth}
\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
Indice $n$& $u_n$& $v_n$\\ \hline
0 &800 &900\\ \hline
1 &816 &910\\ \hline
2 &832 &920\\ \hline
\ldots &\ldots &\ldots\\ \hline
8 &937 &980\\ \hline
9 &956 &990\\ \hline
10& 975 &\np{1000}\\ \hline
11& 995 &\np{1010}\\ \hline
12& \np{1015} &\np{1020}\\ \hline
13& \np{1035} &\np{1030}\\ \hline
14& \np{1056} &\np{1040}\\ \hline
15& \np{1077} &\np{1050}\\ \hline
\end{tabular}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 (6 points)}

\medskip

\[C(x) = 2x^2 + 4x + 530.\]

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&B&C&D\\ \hline
1&\footnotesize Nombre d'enceintes (en milliers)&\footnotesize Coût de production (en milliers d'euros)&\footnotesize Recette (en milliers d'euros)&\footnotesize Bénéfice (en milliers d'euros)\\ \hline
2&0&530&0&$-530$\\ \hline
3&5&600&480&$- 120$\\ \hline
4&10&770&960&190\\ \hline
5&15&\np{1040}&\np{1440}&400\\ \hline
6&20&\np{1410}&\np{1920}&510\\ \hline
7&25&\np{1880}&\np{2400}&520\\ \hline
8&30&\np{2450}&\np{2880}&430\\ \hline
9&35&\np{3120}&\np{3360}&240\\ \hline
10&40&\np{3890}&\np{3840}&$-50$\\ \hline
\end{tabularx}

\end{center}

\begin{enumerate}
\item $\bullet~$Pour \np{1000} enceintes vendues, la recette sera de $\np{10000} \times 96 = \np{960000}$~(\euro), soit 960 milliers d'euros

$\bullet~$Le bénéfice réalisé pour la vente  de ces \np{1000} enceintes vendues est la différence entre la recette et le coût de production soit : $\np{960000} - \np{770000} = \np{190000}$~(\euro), soit 190 milliers d'euros.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item ligne 8, colonne B : \np{2450} milliers d'euros
		\item ligne 3, colonne D le bénéfice est négatif : l'entreprise perd de l'argent.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

$B(x) = - 2x^2 + 92x - 530$.

\begin{enumerate}[resume]
\item La fonction polynôme $B$ est dérivable pour tout réel $x$ et $B'(x) = 2 \times (- 2x) + 92 = 92 - 4x$.
\item $\bullet~$$B'(x) \geqslant 0$ si $92 - 4x \geqslant 0$ ou $92 \geqslant 4x$ ou $4 \times 23 \geqslant 4 \times x$ soit enfin $23 \geqslant x$. Comme $x \geqslant 0$, on a $B'(x) \geqslant 0$ sur l'intervalle [0~;~23].

$\bullet~$On trouve de même que $B'(x) \leqslant 0$ sur l'intervalle [23~;~40]
\item
	\begin{enumerate}
		\item D'après le résultat précédent la fonction $B$ est croissante sur l'intervalle [0~;~23] et décroissante sur l'intervalle [23~;~40].

On a $B(0) = -530$, \quad $B(23) = -2 \times 23^2 + 92 \times 23 - 530 = 528$, \quad $B(40) = - 50$.
		\item Voir ci-dessous.
\item ~

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$}\uput[u](1.15,2.4){$0$}\uput[u](4,2.4){$23$}\uput[u](6.8,2.4){$40$}
\uput[u](0.5,2){$B'(x)$}\uput[u](2.5,2){+}\uput[u](4,2){0}\uput[u](5.5,2){$-$}
\uput[u](1.4,0){$-530$}\uput[d](4,2){$528$}\uput[u](6.7,0){$-50$}
\rput(0.5,1){$B(x)$}
\psline{->}(1.8,0.25)(3.5,1.75)\psline{->}(4.5,1.75)(6.2,0.25)
\end{pspicture}
\end{center}

\end{enumerate}

Le bénéfice maximal est $B(23) = 528$~(milliers d'\euro).
\end{enumerate}
\end{document}