% préambule APMEP - Annales
%
%%% Auteurs
% tapuscrit : Denis Vergès
% relecture : 
% figures TikZ :
% figures pstricks :
% modifications :
% Remerciements :
%%%
\documentclass[10pt,a4paper,french]{article}

%%% codage et police utilisée
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\RequirePackage{iftex}
\iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex
	\usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX)
	% Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX)
	\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système
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%%% chargement des packages utiles
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%%% pour PsTricks
%\usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST
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%%% pour TikZ
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%%% Définitions ou redéfinitions
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% notation en mode mathématique et hors mode mathématique
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%
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%
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%
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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%%% Redéfinitions
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%%% Taille de la zone d'écriture
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%%% Formatage du pdf
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	\usepackage[dvips]{hyperref}
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\hypersetup{%
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	pdfsubject = {1ere générale, Spécialité mathématiques},
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\renewcommand{\arraystretch}{1.9}
\begin{document}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Épreuve anticipée}
\lfoot{\small{Métropole (sujet de secours)}}
\rfoot{\small{12 juin 2026}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Épreuve anticipée de Première Spécialité mathématiques~\decofourright\\[10pt]Voie générale (sujet de secours) -- Métropole -- 12 juin 2026}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\end{center}

\section*{\textbf{\large PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES -- QCM (6 pts)}}
\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.}

Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

\subsubsection*{Question 1}

%La position $p$ d’un objet et la position $p'$ de son image au travers d’une lentille de distance focale $f$ sont liées par la relation :
%\[\dfrac{1}{p'} - \dfrac{1}{p} = \dfrac{1}{f}\]
%
%On a alors :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
%\textbf{a.~} $p' = \dfrac{fp}{f + p}$&\textbf{b.~}$p' = \dfrac{p - f}{fp}$&\textbf{c.~}$p' = \dfrac{p + f}{fp}$&\textbf{d.~}$p' = \dfrac{fp}{f - p}$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
Si $\dfrac{1}{p'} - \dfrac{1}{p} = \dfrac{1}{f}$ alors $\dfrac{1}{p'} = \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{f} = \dfrac{f + p}{pf}$ et en prenant les inverses $p' = \dfrac{pf}{f + p}$.

\subsubsection*{Question 2}

%L’expression :

$\dfrac{2^5 \times 2^3}{2^7} = \dfrac{2^{5+3}}{2^7} = \dfrac{2^8}{2^7} = 2^{8-7} = 2^1 = 2$.

%est égale à :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
%\textbf{a.~} $2^{15}$&\textbf{b.~}$2^8$&\textbf{c.~}$1$&\textbf{d.~}$2$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

\subsubsection*{Question 3}

%Un article coûte 80 euros. Son prix augmente de 20\,\%. Le nouveau prix est :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
%\textbf{a.~} 100 euros&\textbf{b.~}64 euros&\textbf{c.~}96 euros&\textbf{d.~}16 euros\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
Augmenter de 20\,\% revient à multiplier par $1 + \dfrac{20}{100} = 1 + 0,20 = 1,2$.

Le nouveau prix est $80 \times 1,2 = 96$~(\euro).
\subsubsection*{Question 4}

%Le plan est muni d'un repère. On considère la droite $d$ passant par les points A(1~;~3) et B(3~;~7).

%Le coefficient directeur de la droite $d$ est égal à :

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
%\textbf{a.~} $\dfrac12$&\textbf{b.~}4&\textbf{c.~}2&\textbf{d.~} $- 2$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
$\bullet~$ Le coefficient directeur de la droite $d$ est égal à la tangente que de l'angle que fait la droite $(d)$ avec l'axe des abscisses soit : $\dfrac{y_{\text{B}} - y_{\text{A}}}{x_{\text{B}} - x_{\text{A}}} = \dfrac{7 - 3}{3 - 1} = \dfrac42 = 2$.

$\bullet~$ $a$ étant le coefficient directeur cherché l'équation de $d$ est $M(x~;~y) \in d \iff y = ax + b$, avec $b$ réel.

Il faut donc résoudre le système

\renewcommand{\arraystretch}{1}
$\left\{\begin{array}{l c l}
3 &=& 1a + b\\7&=&3a + b 
\end{array}\right.$ qui donne par différence membres à membres $4 = 2 a \iff 2 = a$.
\subsubsection*{Question 5}

%Dans un lycée, 60\,\% des élèves sont demi-pensionnaires.
%
%Parmi les demi-pensionnaires, un quart sont des garçons.
%
%La proportion de garçons demi-pensionnaires par rapport à l'ensemble des élèves du lycée est égale à :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
%\textbf{a.~} 85\,\%&\textbf{b.~}35\,\%&\textbf{c.~}15\,\%&\textbf{d.~} 1,5\,\%\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
$\dfrac14 = \dfrac{1 \times 25}{4 \times 25} = \dfrac{25}{100} = 0,25$.

Donc un quart de 60\,\% représente : $0,25 \times 0,60 = 0,15 = \dfrac{15}{100} = 15\,\%$.

\subsubsection*{Question 6}

La relation s'écrit : $20 = \dfrac{t^2}{5}$, d'où par produit par 5 : $100 = t^2$. Cette équation a deux solutions $- 10$ et 10.

\subsubsection*{Question 7}

%\begin{minipage}{0.43\linewidth}
%Avec la précision permise par le graphique, une équation de la droite représentée ci-contre est :
%\end{minipage}\hfill
%\begin{minipage}{0.53\linewidth}
%\psset{unit=0.35cm,arrowsize=2pt 3}
%\begin{pspicture}(-11,-11)(11,11)
%\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-10,-10)(10,10)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-11,-11)(11,11)
%\multido{\n=-10+5}{5}{\psline[linewidth=1pt](\n,-10)(\n,10)}
%\multido{\n=-10+5}{5}{\psline[linewidth=1pt](-10,\n)(10,\n)}
%\psplot[plotpoints=600,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-6}{7.3}{1.5 x mul 1 sub}
%\end{pspicture}
%\end{minipage}
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
%\textbf{a.~} $y = - x + \dfrac23$&\textbf{b.~}$y = \dfrac23 x - 1$&\textbf{c.~}$y = - x + \dfrac32$&\textbf{d.~}$y = \dfrac32 x - 1$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
$\bullet~$L'ordonnée à l'origine est égale à $- 1$ ;

$\bullet~$En partant du point de la droite de coordonnées $(0~;~-1)$ on retrouve un point de la droite en se déplaçant de 2 vers la droite et 3 vers le haut : le coefficient directeur est donc égale à $\dfrac32$. L'équation est donc $y = \dfrac32 x - 1$.

\subsubsection*{Question 8}

%$\dfrac{\sqrt{98} + 2\sqrt 8}{\sqrt 2}$ est égal à :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
%\textbf{a.~} $8\sqrt 2$&\textbf{b.~} 9&\textbf{c.~}11 &\textbf{d.~}$9\sqrt 2$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

$\dfrac{\sqrt{98} + 2\sqrt 8}{\sqrt 2} = \dfrac{\sqrt{49 \times 2} + 2\sqrt{4 \times 2}}{\sqrt 2} = \dfrac{\sqrt{49 \times 2} + 2\sqrt{4 \times 2}}{\sqrt 2}  = \dfrac{7\sqrt 2 + 2\sqrt2}{\sqrt2} = \dfrac{9\sqrt 2}{\sqrt 2} = 9$.

\subsubsection*{Question 9}

%La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = (2x - 4)(- x + 1)$ admet pour tableau de signes :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{X|}}\hline
%\textbf{a.~} &\textbf{b.~}\\ 
%\psset{xunit=1.6cm}
%\begin{pspicture}(4,1.5)
%\psframe(4,1.5)
%\psline(0,1)(4,1)\psline(1,0)(1,1.5)
%\psline(2,0)(2,1)\psline(3,0)(3,1)
%\uput[u](0.5,0.9){$x$}\uput[u](1.25,0.9){$-\infty$}\uput[u](2,0.9){$-1$}\uput[u](3,0.9){$-2$}\uput[u](3.7,0.9){$+ \infty$}
%\rput(0.5,0.5){$f(x)$}\rput(1.5,0.5){$+$}\rput(2,0.5){$0$}\rput(2.5,0.5){$-$}\rput(3,0.5){$0$}
%\rput(3.5,0.5){$+$}
%\end{pspicture}&
%\psset{xunit=1.6cm}
%\begin{pspicture}(4,1.5)
%\psframe(4,1.5)
%\psline(0,1)(4,1)\psline(1,0)(1,1.5)
%\psline(2,0)(2,1)\psline(3,0)(3,1)
%\uput[u](0.5,0.9){$x$}\uput[u](1.25,0.9){$-\infty$}\uput[u](2,0.9){$-1$}\uput[u](3,0.9){$-2$}\uput[u](3.7,0.9){$+ \infty$}
%\rput(0.5,0.5){$f(x)$}\rput(1.5,0.5){$-$}\rput(2,0.5){$0$}\rput(2.5,0.5){$+$}\rput(3,0.5){$0$}
%\rput(3.5,0.5){$-$}
%\end{pspicture} \\ \hline
%\textbf{c.~}&\textbf{d.~}\\
%\psset{xunit=1.6cm}
%\begin{pspicture}(4,1.5)
%\psframe(4,1.5)
%\psline(0,1)(4,1)\psline(1,0)(1,1.5)
%\psline(2,0)(2,1)\psline(3,0)(3,1)
%\uput[u](0.5,0.9){$x$}\uput[u](1.25,0.9){$-\infty$}\uput[u](2,0.9){$1$}\uput[u](3,0.9){$2$}\uput[u](3.7,0.9){$+ \infty$}
%\rput(0.5,0.5){$f(x)$}\rput(1.5,0.5){$-$}\rput(2,0.5){$0$}\rput(2.5,0.5){$+$}\rput(3,0.5){$0$}
%\rput(3.5,0.5){$-$}
%\end{pspicture}&
%\psset{xunit=1.6cm}
%\begin{pspicture}(4,1.5)
%\psframe(4,1.5)
%\psline(0,1)(4,1)\psline(1,0)(1,1.5)
%\psline(2,0)(2,1)\psline(3,0)(3,1)
%\uput[u](0.5,0.9){$x$}\uput[u](1.25,0.9){$-\infty$}\uput[u](2,0.9){$1$}\uput[u](3,0.9){$2$}\uput[u](3.7,0.9){$+ \infty$}
%\rput(0.5,0.5){$f(x)$}\rput(1.5,0.5){$+$}\rput(2,0.5){$0$}\rput(2.5,0.5){$-$}\rput(3,0.5){$0$}
%\rput(3.5,0.5){$+$}
%\end{pspicture}\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

Le trinôme s'annule pour $2x - 4 = 0 \iff 2x = 4 \iff x = 2$ ou si $-x + 1 = 0 \iff 1 = x$.

Sous forme développée $f(x) = -2x^2 + \ldots$ : ce trinôme est du signe de $- 2$, donc négatif sauf entre ses racines 1 et 2 : tableau \textbf{c.}

\subsubsection*{Question 10}

Une fonction $f$ est représentée ci-dessous :

\psset{unit=0.8cm}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-5.1,-4)(7.5,4.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-5,-4)(7.5,4.5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-5,-4)(7.5,4.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{6}{x 2.3 add x 0.4 add mul x 2.5 sub mul x 5.2 sub mul 0.06 mul neg}
\uput[r](-2.9,-3.5){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}

%Avec la précision permise par le graphique, l’ensemble des solutions de l’inéquation $f(x) \geqslant 1$ est:
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{X|}}\hline
%\textbf{a.~} $[- \infty~;~- 2] \cup[- 3~;~3]\cup [5~;~+ \infty]$&\textbf{b.~} $[- 2~;~- 1] \cup [3~;~5]$\\ \hline
%\textbf{c.~} $[- \infty~;~- 2] \cup]- 3~;~3[\cup ]5~;~+ \infty[$&\textbf{d.~} $[- 2~;~- 1] \cup ]3~;~5[$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
Graphiquement la bonne réponse est \textbf{d.}

\subsubsection*{Question 11}

%On considère ci-dessous une série statistique :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Valeurs		& 0	&1	&2	&3	&4\\ \hline
%Effectifs	& 10& 6	& 4	& 6	&4\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%La médiane de cette série est :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
%\textbf{a.~} 2 &\textbf{b.~} 1 &\textbf{c.~} 1,6 &\textbf{a.~} 0\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
Il y a 30 données ; la 15\up{e} et la 16\up{e} sont égales à 1 : c'est donc la médiane.

\subsubsection*{Question 12}

%Parmi les expressions ci-dessous, laquelle \textbf{n'est pas égale} à $4x^2 - 1$ ?
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%\textbf{a.~}&\textbf{b.~}&\textbf{c.~}&\textbf{d.~}\\ 
%$(2x - 1)(1 + 2x)$&$(1 -2x)^2 + 4x - 2$&$(2x - 1)^2$&
%$4(x + 1)^2 - 5 - 8x$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
Réponse \textbf{c.} : $(2x - 1)^2 \ne 4x^2 - 1$ (identités $(a - b)^2 \ne a^2 - b^2)$.
\bigskip

\begin{center}\textbf{\Large DEUXIÈME PARTIE (14 pts)}\end{center}

\section*{Exercice 1 (6 points)}

\textbf{Partie A : Étude graphique}

\medskip

%On précise également que :
%\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
%\item $\mathcal{C}$ coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0~;~9) et tangente l’axe
%des abscisses au point de coordonnées (3~;~0),
%\item $\mathcal{C}'$ coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0~;~3) et l’axe des
%abscisses aux points de coordonnées (1~;~0) et (3~;~0).
%\end{itemize}
%
%\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.5cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture*}(-2,-10)(7,15)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=3,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2,-10)(7,15)
%\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,griddots=10](-2,-10)(7,15)
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{7}{x dup mul 4 x mul sub 3 add 2.71828 x exp mul}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2}{7}{x dup mul 6 x mul sub 9 add 2.71828 x exp mul}
%\uput[d](-1,3){\blue $\mathcal{C}'$}\uput[u](-1,6){\red $\mathcal{C}$}
%\end{pspicture*}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Donner un argument graphique qui montre que c’est bien la courbe $\mathcal{C}'$ qui représente la dérivée de la fonction représentée par la courbe $\mathcal{C}$, et non l’inverse.
Si $\mathcal{C}$ était la représentation graphique de la fonction $f'$ la positivité de celle-ci sur l'intervalle $[-2~;~3]$ entraînerait la croissance de $f$ sur cet intervalle : ce qui est faux.

La fonction $f$ est donc représentée par $\mathcal{C}$ et sa dérivée par la courbe $\mathcal{C}'$.
\item %$On note $f$ la fonction représentée par la courbe $\mathcal{C}$. Montrer qu’une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse 0 est $y = 3x + 9$.
Une équation de cette tangente est $y - f(0) = f'(0)(x - 0)$.

Or on lit $f(0) = 9$ et $f'(0) = 3$.

Une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse 0 est donc $y = 3x + 9$.
\end{enumerate}

\medskip

%Afin d’établir l’efficacité d’un antibiotique, un biologiste étudie l'évolution d'une population de bactéries dans un milieu de culture.
%
%À l’instant $t = 0$, le milieu contient une population initiale de bactéries et l’antibiotique est introduit dans le milieu.
%
%La densité de population bactérienne (en milliers de bactéries par millilitre) peut être modélisée par la fonction $f$ représentée par $\mathcal{C}$ dans la partie 1 et définie pour tout réel $t$ par :

\[f(t) = \e^t\left(t^2 - 6t + 9\right)\]

où $t$ représente le temps écoulé depuis le début de l'observation, exprimé en heure.

%\textbf{Données :} $\e^1 \approx 2,7 ; \e^3 \approx 20,1$.

\begin{enumerate}
\item %Montrer que pour tout réel $t$, on a : $f(t) = \e^t(t - 3)^2$.
On a pour tout réel $t$, $(t - 3)^2 = t^2 - 2 \times 3 \times t + (-3)^2 = t^2 - 6t + 9$, donc $f(t) = \e^t(t - 3)^2$.

%En déduire le signe de la fonction $f$ sur $\R$.
On sait que pour tout réel $t$, $\e^t > 0$ et que $(t - 3)^2 \geqslant 0$ donc le produit $\e^t(t - 3)^2 \geqslant 0$.
\item %Calculer $f(0)$ et interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
$f(0) = \e^0(0 - 3)^2 = 1 \times (- 3)^2 = 9$.
\item %Montrer que la fonction dérivée de la fonction $f$ est définie, pour tout réel $t$, par :
La fonction $f$ est dérivable comme produit de fonctions dérivables sur $\R$ et sur cet intervalle en dérivant  comme un produit :

$f'(t) = \e^t\left(t^2 - 6t + 9\right) + \e^t(2t - 6) = \e^t(t^2 - 6t + 9 + 2t - 6) = \e^t\left(t^2 - 4t + 3\right)$.
%\[f'(t) = \e^t\left(t^2 - 4t + 3\right)\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Étudier le signe de $f'$ sur $\R$.
On sait que pour tout réel $t$, $\e^t > 0$, le signe de $f'(t)$ est donc celui du trinôme $t^2 - 4t + 3$. Or sur le graphique de l'énoncé on voit que $f'(t)$ s'annule pour $t = 1$ et $t = 3$ effectivement $(t - 1)(t - 3) = t^2 - 4t + 3$.

Sur le graphique on voit aussi que $f'(t) \geqslant 0$ sauf sur l'intervalle ]1~;~3[.

On en déduit que la fonction $f$ est croissante sauf sur l'intervalle ]1~;~3[.
		\item %Dresser le tableau des variations complet de la fonction $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
On a $f(0) = 9, \:f(1) = \e(1 - 6 + 9) = 4\e \approx 10,8, \:f(3) = 0$. D'où le tableau de variations de $f$ : 

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.1,2.4){0} \uput[u](3,2.4){1} \uput[u](5,2.4){3} \uput[u](6.5,2.4){$+\infty$} 
\uput[u](0.5,1.9){$f'(x)$}\uput[u](2,1.9){$+$}\uput[u](3,1.9){$0$}\uput[u](4,1.9){$-$}\uput[u](5,1.9){$0$}\uput[u](6,1.9){$+$}\rput(0.5,1){$f$}
\psline{->}(1.25,0.25)(2.75,1.75)\psline{->}(3.25,1.75)(4.75,0.25)\psline{->}(5.25,0.25)(6.75,1.75)
\uput[u](1.1,0){9}\uput[d](3,2){$\e^4$}\uput[u](5,0){0}
\end{pspicture}

\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\section*{Exercice 2 (4 points)}

\begin{minipage}{0.49\linewidth}
On considère un château de cartes à $N$ étages, représenté ci-contre dans le cas $N = 3$.

On souhaite déterminer combien de cartes sont nécessaires pour construire un tel château.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.47\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,0)(3.3,3)
%\psgrid
\def\carte{\psline(1,0)}
\def\bicarte{\psline(0;0)(1;60)(1;0)}
\multido{\n=-1.5+1.0}{3}{\rput(\n,0){\bicarte}}
\multido{\n=-1+1}{2}{\rput(\n,1.1){\bicarte}}
\rput(-0.5,2.2){\bicarte}
\rput(-1.05,1){\carte}\rput(0.05,1){\carte}\rput(-0.5,2.1){\carte}
\multido{\n=0.5+1.0,\na=1+1}{3}{\rput(2.6,\n){Étage \na}}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\item %Combien de triangles \og pointe en haut \fg{} peut-on dénombrer à l’étage 1 dans un château à $N$ étages ?
Il y a $N$ triangles \og pointe en haut \fg{} à l’étage 1 dans un château à $N$ étages.
\item %Combien de triangles \og pointe en haut \fg{} sont nécessaires pour construire tout le château à $N$ étages ?
Il y a en tout $S = 1 + 2 + \ldots + N$ triangles \og pointe en haut \fg{} dans tout le château à $N$ étages. Or 

$S = 1 + 2 + \ldots + N$ ou

$S = N + N-1 + + \ldots +1$ et en faisant la somme membres à membres des deux lignes :

$2S = (N + 1) + (N + 1) + \ldots + (N + 1) = N(N+1)$. Finalement il y a $\dfrac{N(N+1)}{2}$ 
triangles \og pointe en haut \fg{} dans tout le château à $N$ étages
\item %Justifier que le nombre de cartes nécessaires pour construire ce château à $N$ étages est égal à :
$\bullet~$ Les triangles \og pointe en haut \fg{} dans tout le château à $N$ étages contiennent $2 \times \dfrac{N(N+1)}{2} = N(N+1)$ cartes ;

$\bullet~$ Les cartes horizontales nécessaires sont en nombre égal à :

$1 + 2 + \ldots N - 1 = \dfrac{N(N - 1}{2}$.

Il faut donc pour un château à $N$ étages :

$N(N+1) + \dfrac{N(N - 1)}{2} = + \dfrac{2N(N + 1}{2} + \dfrac{N(N - 1)}{2} = \dfrac{N}{2}(2(N + 1) + (N - 1) = \dfrac{N}{2}(2N + 2 + N - 1) = $

$\dfrac{N}{2}(3N + 1) = \dfrac{3N^2 + N}{2}$.
%\[\dfrac{3N^2 + N}{2}\]
\item %On dispose d’un paquet de 54 cartes ; combien d’étages peut comporter au maximum un château construit avec ces cartes ? Justifier la réponse.
Avec 54 cartes on peut construire $N$ étages, $N$ vérifiant l'inéquation :

$\dfrac{3N^2 + N}{2} \leqslant 54 \iff 3N^2 + N \leqslant 108 \iff 3N^2 + N -108 \leqslant 0$.

Or le trinôme $3N^2 + N -108$ a deux racines ($\Delta = 1 + 4 \times 3 \times 108 = \np{1297} > 0$) : 

$N_1 = \dfrac{-1 +\sqrt{\np{1297}}}{6} \approx 5,8$ et $N_2 = \dfrac{-1 -\sqrt{\np{1297}}}{6} \approx -6,2$.

Le trinôme est négatif sur l'intervalle $[-6,2~;~5,8]$ : le plus grand naturel appartenant à cet intervalle0 est 5 : on peut donc faire avec 54 cartes au maximum 5 étages.
\end{enumerate}

\bigskip
\renewcommand{\arraystretch}{1.}

\section*{Exercice 3 (4 points)}

\begin{minipage}{0.49\linewidth}
%Le plan est muni d’un repère orthonormé \Oij. Le rectangle OABC représenté ci-contre modélise une scène de spectacle vue de dessus.
%
%On place un projecteur au point F qui permet d’éclairer la partie du plan délimitée par le polygone ABEFD.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Donner sans justification les coordonnées des points A, B, C, D, E, F dans le repère \Oij.
A(0~;~10),\: B(5~;~10),\: C(5~;~0),\: D(0~;~3),\: E(5~;~6),\: F(4~;~0).
\item %Un visiteur affirme que la partie du plan éclairée par ce projecteur représente plus de 80\,\% de l’aire totale de la scène.

%Cette affirmation est-elle exacte ?
On calcule l'aire du pentagone ABEFD :

$\bullet~\mathcal{A}(\text{ABCO}) = 5 \times 10 = 50$ ;

$\bullet~\mathcal{A}(\text{ODF}) = \dfrac{3 \times 4}{2} = 6$ ;

$\bullet~\mathcal{A}(\text{CEF}) = \dfrac{1 \times 6}{2} = 3$ ;

Donc $\mathcal{A}(\text{ODF}) + \mathcal{A}(\text{CEF}) = 6 + 3 = 9$.

Donc $\mathcal{A}(\text{ABEFD}) = 50 - 9 = 41$.

Finalement le pourcentage de scène éclairée est $\dfrac{\mathcal{A}(\text{ABEFD})}{\mathcal{A}(\text{ABCO})} \times 100  = \dfrac{41}{50} \times 100 = 82$~(\%) : le visiteur a raison.
\item %Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{FD}}$ et $\vect{\text{FE}}$ et calculer le produit scalaire 

%$\vect{\text{FD}} \cdot \vect{\text{FE}}$.
On a $\vect{\text{FD}}\begin{pmatrix}-4\\ 3\end{pmatrix}$, \: $\vect{\text{FE}}\begin{pmatrix}1\\ 6\end{pmatrix}$, puis 

$\vect{\text{FD}} \cdot \vect{\text{FE}} = -4\times 1 + 3 \times 6 = -4 + 18 = 14$.
\item %En déduire une valeur exacte du cosinus de 
%l’angle $\widehat{\text{DFE}}$.
Par définition du produit scalaire :

$\vect{\text{FD}} \cdot \vect{\text{FE}} = \text{FD} \times \text{FE} \times \cos \widehat{\text{DFE}}$ \quad (1). On a :

$\bullet~$$\vect{\text{FD}} \cdot \vect{\text{FE}} = 14$ ;

$\bullet~$$\text{FD}^2 = (-4)^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$, donc FD $= 5$ ;

$\bullet~$$\text{FE}^2 = 1^2 + 6^2 = 1 36 = 37$, donc DE $= \sqrt{37}$ ;

L'égalité (1) s'écrit donc :

$14 = 5 \times \sqrt{37} \times \cos \widehat{\text{DFE}}$, d'où $\cos \widehat{\text{DFE}} = \dfrac{14}{5\sqrt{37}}$.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.47\linewidth}
\psset{unit=0.9cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(6,10.5)
\psframe[linewidth=1.25pt](5,10)%OCBA
\psline[linewidth=1.25pt](0,3)(4,0)(5,6)%DFE
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(6,10.5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt,gridlabels=0](0,0)(6,10.5)
\uput[ur](0,0){O} \uput[ur](0,10){A} \uput[ur](5,10){B} 
\uput[ur](5,0){C} \uput[ur](0,3){D} \uput[r](5,6){E} \uput[dl](4,0){F}
\pspolygon[linecolor=red](6,7.333)(3,0.75)(1.76,1.68)
\rput{54}(1.76,1.68){\psframe(0.25,0.25)}
\uput[d](1.76,1.68){M}
\end{pspicture*}
\end{minipage}

\begin{enumerate}[resume]
\item %Expliquer comment construire à l’aide d’une équerre le point M appartenant au segment [DF] tel que $\vect{\text{FD}} \cdot \vect{\text{FM}} = 14$.
On sait que le produit scalaire ne change pas si l'on remplace l'un des vecteurs par son projeté orthogonal sur l'autre vecteur, donc 

$\vect{\text{FD}} \cdot \vect{\text{FE}} = \vect{\text{FD}} \cdot \vect{\text{FM}}$ avec M projeté orthogonal de E sur la droite (FD).

Il suffit donc de faire passer l'un des côtés perpendiculaires de l'équerre par le point E, l'autre côté perpendiculaire coïncidant avec la droite (DF) (voir la figure).
\end{enumerate}
\end{document}