%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{eucal}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{textcomp} 
\usepackage{enumerate} 
\usepackage{colortbl} 
\usepackage{variations}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text}
\usepackage{pst-eucl}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\everymath{\displaystyle}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat S},
pdftitle = {Centres étrangers - 13 juin 2017},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S }
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{13 juin 2017}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S   de Centres étrangers~\decofourright\\13 juin 2017}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}



\subsection{\textcolor{blue}{\hfill 5 points}}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (Q.C.M.).\\ Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte.\\
 Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapportent aucun point.}
 
\medskip 

On étudie la production d'une usine qui fabrique des bonbons, conditionnés en sachets. 

\smallskip

On choisit un sachet au hasard dans la production journalière. La masse de ce sachet, exprimée en gramme, est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 175$. De plus, une observation statistique a montré que 2\,\% des sachets ont une masse inférieure ou égale à 170~g, ce qui se traduit dans le modèle considéré par : $P(X \leqslant 170) = 0,02$. 
\smallskip

\textbf{Question 1} : Quelle est la probabilité, arrondie au centième, de l'évènement \og la masse du sachet est comprise entre 170 et 180 grammes\fg{} ? 

\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
%\textbf{Réponse a} : 0,04&\textbf{Réponse b} : 0,96\\ \textbf{Réponse c} : 0,98 &\textbf{Réponse d} : On ne peut pas répondre car il manque des données.
%\end{tabularx}
%\medskip 
On sait que $P(X\leqslant 70)=0,02$ ; par symétrie par rapport à l'espérance $\mu=175$, on en déduit que $P(X\geqslant 180)=0,02$.

Alors $P(170\leqslant X\leqslant 180)=1-2\times 0,02=0,96$ : $\boxed{\textcolor{red}{P(170\leqslant X\leqslant 180)=0,96}}$ (réponse b.)

\bigskip

Les différents bonbons présents dans les sachets sont tous enrobés d'une couche de cire comestible. 

Ce procédé, qui déforme certains bonbons, est effectué par deux machines A et B. 

Lorsqu'il est produit par la machine A, la probabilité qu'un bonbon prélevé aléatoirement soit déformé est égale à $0,05$. 

\smallskip

\textbf{Question 2}: Sur un échantillon aléatoire de 50 bonbons issus de la machine A, quelle est la probabilité, arrondie au centième, qu'au moins 2 bonbons soient déformés ? 

\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
%\textbf{Réponse a} : 0,72&\textbf{Réponse b} : 0,28\\
%\textbf{Réponse c} : 0,54&\textbf{Réponse d} : On ne peut pas répondre car il manque des données 
%\end{tabularx}
Notons $N$ la variable aléatoire qui compte le nombre de bonbons déformés. On a répétition de 50 expériences aléatoires, identiques et indépendantes à deux issues. $N$ suit donc la loi binomiale $\mathscr{B}(n=50~;~p=0,05)$.

$P(N\geqslant 2)=1-p\left(X\leqslant 1\right)$.

On calcule $P(N\leqslant 1)$ avec la fonction de répartition de la loi binomiale de la calculatrice.

On trouve $\boxed{\textcolor{red}{P(N\geqslant 2)\approx 0,72}}$ (réponse a.)

\bigskip

Autre méthode : on sait que $P(N=k)=\binom{50}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ donc :

$P(N\geqslant 2)=1-\left[\binom{50}{0}0.05^0(1-0,05)^{50-0}+\binom{50}{1}0,05^1(1-0,05)^{50-1}\right]=1-\left[0,95^{50}+50\times 0,05\times 0,95^{49}\right]\\
\boxed{\textcolor{red}{\approx 0,72}}$.

\medskip

La machine A produit un tiers des bonbons de l'usine. Le reste de la production est assuré par la machine B. Lorsqu'il est produit par la machine B, la probabilité qu'un bonbon prélevé aléatoirement soit déformé est égale à $0,02$. 

Dans un test de contrôle, on prélève au hasard un bonbon dans l'ensemble de la production. Celui-ci est déformé. 

\smallskip

\textbf{Question 3} : Quelle est la probabilité, arrondie au centième, qu'il soit produit par la machine B ? 

\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
%\textbf{Réponse a}: 0,02 &\textbf{Réponse b} : 0,67\\
%\textbf{Réponse c} : 0,44 & \textbf{Réponse d} : 0,01 
%\end{tabularx}
Visualisons la situation par un arbre pondéré :
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$A$}\taput{ $\frac13$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$D$}\taput{ $0,05$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{D}$}\tbput{ $0,95$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{A}$}\tbput{ $\frac23$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$D$}\taput{ $0,02$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{D}$}\tbput{ $0,98$}
}
}
\end{center}

\medskip
Alors : $P_D\left(\overline{A}\right)=\dfrac{P\left(D\cap \overline{A}\right)}{P(D)}=\dfrac{P_{\overline{A}}(D)\times p\left(\overline{A}\right)}{P(D)}=\dfrac{P_{\overline{A}}(D)\times p\left(\overline{A}\right)}{P_A(D)\times p(A)+P_{\overline{A}}(D)\times p\left(\overline{A}\right)}=$

$\dfrac{0,02\times \frac23}{0,05\times \frac13+0,02\times \frac23}
=\dfrac{\frac4{300}}{\frac9{300}}=\dfrac{4}{9}\approx 0,44$ : $\boxed{\textcolor{red}{P_D\left(\overline{A}\right)\approx 0,44}}$ (réponse c.)

\bigskip

La durée de vie de fonctionnement, exprimée en jour, d'une machine servant à l'enrobage, est modélisée par une variable aléatoire Y qui suit la loi exponentielle dont l'espérance est égale à 500 jours. 

\smallskip

\textbf{Question 4} : Quelle est la probabilité, arrondie au centième, que la durée de fonctionnement de la machine soit inférieure ou égale à 300 jours ? 

\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
%\textbf{Réponse a} : 0,45 &\textbf{Réponse b} : 1 \\
%\textbf{Réponse c} : 0,55 &\textbf{Réponse d} : On ne peut pas répondre car il manque des données 
%\end{tabularx}

$P(Y\leqslant 300)=\int_0^{300}\mathrm{e}^{-\lambda x}\text{ d}x=1-\mathrm{e}^{-200\lambda}$ où $\lambda$ est le paramètre de la fonction densité liée à cette loi exponentielle.

On sait que l'espérance vaut $E(Y)=\dfrac{1}{\lambda}=500$ donc $\lambda=\dfrac{1}{500}$.

Par conséquent : $P(Y\leqslant 300)=1-\mathrm{e}^{-\frac35}\approx 0,45$ : $\boxed{\textcolor{red}{P(Y\leqslant 300)\approx 0,45}}$ (réponse a.)
\medskip   

 L'entreprise souhaite estimer la proportion de personnes de plus de 20 ans parmi ses clients, au niveau de confiance de 95\,\%, avec un intervalle d'amplitude inférieure à $0,05$. Elle interroge pour cela un échantillon aléatoire de clients. 

\smallskip

\textbf{Question 5} : Quel est le nombre minimal de clients à interroger ? 

\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
%\textbf{Réponse a} : 40&\textbf{Réponse b} : 400\\
%\textbf{Réponse c} : 1600 &\textbf{Réponse d} : 20 
%\end{tabularx}
On sait que l'intervalle de confiance au niveau 0,95 est $I=\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ qui a pour amplitude $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.

L'entreprise veut donc que $\dfrac{2}{\sqrt{n}}\geqslant 0,05$ : on obtient $\sqrt{n}\geqslant \dfrac{2}{0,05}=40$ donc il faut que $\boxed{\textcolor{red}{n\geqslant \numprint{1600}}}$ (réponse c;)
\vspace{0,5cm}


\newpage


\subsection{\textcolor{blue}{\hfill 4 points}}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$. 

On considère deux droites $d_1$ et $d_2$ définies par les représentations paramétriques : 

\[d_1 : \left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 2 + t \\
y &=& 3 - t\\
z&=&t
\end{array}\right., t \in  \R\quad \text{e†} \quad  
\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& - 5 + 2 t '\\ 
y&=& -1 + t ' \\
 z&=&5 
\end{array}\right., t '\in  \R.\]

On admet que les droites $d_1$ et $d_2$ sont non coplanaires. 

Le but de cet exercice est de déterminer, si elle existe, une troisième droite $\Delta$ qui soit à la fois sécante avec les deux droites $d_1$ et $d_2$ et orthogonale à ces deux droites. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Vérifier que le point A(2~;~3~;~0) appartient à la droite $d_1$. 
Pour $t=0$ dans la représentation paramétrique de $d_1$, on obtient $x=2~;~y=3$ et $z=0$ donc \textbf{\textcolor{red}{$\mathbf{A(2~;~3~;~0)}$ appartient à $\mathbf{d_1}$}}.

\item %Donner un vecteur directeur $\vect{u_1}$ de la droite $d_1$ et un vecteur directeur $\vect{u_2}$ de la droite $d_2$.
On sait que dans la représentation paramétrique d'une droite, les coefficients de $x$, $y$ et $z$ donnent les coordonnées d'un vecteur directeur de cette droite.

On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{u_1}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}}}$ est un vecteur directeur de $d_1$ et $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{u_2}\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}}}$ est un vecteur directeur de $d_2$.

% Les droites $d_1$ et $d_2$ sont-elles parallèles ? 

$\dfrac{2}{1}\neq\dfrac{1}{-1}$ donc les coordonnées ne sont pas proportionnelles : les deux vecteurs $\overrightarrow{u_1}$ et $\overrightarrow{u_2}$ ne sont pas colinéaires donc les deux droites $d_1$ et $d_2$ ne sont \textbf{\textcolor{red}{pas parallèles}}.

\item %Vérifier que le vecteur $\vect{v}(1~;~-2~;~-3)$ est orthogonal aux vecteurs $\vect{u_1}$  et $\vect{u_2}$. `
Soit le vecteur $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}1\\-2\\-3\end{pmatrix}$.

$\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{u_1}=1+2-3=0$ donc $\overrightarrow{v}\perp \overrightarrow{u_1}$.

$\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{u_2}=2-2+0=0$ donc $\overrightarrow{v}\perp \overrightarrow{u_2}$.

$\overrightarrow{v}$ est bien orthogonal aux deux vecteurs $\overrightarrow{u_1}$ et $\overrightarrow{u_2}$.

\item Soit $P$ le plan passant par le point A, et dirigé par les vecteurs $\vect{u_1}$ et $\vect{v}$. 

On étudie dans cette question l'intersection de la droite $d_2$ et du plan $P$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer qu'une équation cartésienne du plan $P$ est : $5x + 4 y - z - 22 = 0$. 
		Soit $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}5\\4\\-1\end{pmatrix}$.
		
$\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{u_1}=1\times 5+(-1)\times 4+1\times (-1)=5-4-1=0$ donc $\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{u_1}$.

$\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{v}=1\times 1+(-1)\times (-2)+1\times (-3)=1+2-3=0$ donc $\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{v}$.

$\overrightarrow{n}$ est \textbf{\textcolor{red}{orthogonal à deux vecteurs non colinéaires }}de plan $P$ donc $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal à ce plan. 

$P$ passe par $A$ donc une équation cartésienne de $P$ est : 

$5\left(x-x_A\right)+4\left(y-y_A\right)-\left(z-z_A\right)=0\iff 5(x-2)+4(y-3)-z=0\\
\iff 5x+4y-z-22=0$ : $P$ a pour équation cartésienne $\boxed{\textcolor{red}{\mathbf{5x+4y-z-22=0}}}$

		\item %Montrer que la droite $d_2$ coupe le plan $P$ au point B (3~;~3~;~5) . 
		On cherche l'intersection de $d_2$ et de $P$ :
		
		on injecte les expressions de $x$, $y$ et $z$ de la représentation paramétrique de $d_2$ dans l'équation cartésienne de $P$ :
		
		On obtient : $5(-5+2t')+4(-1+t')-5-22=0\iff 14t'-56=0\iff t'=4$.
		
		On remplace $t'$ par 4 : on obtient $x=-5+2\times 4=3$~;~$y=-1+4=3$ et $z=5$.
		
		$d_2$ et $P$ ont un seul point commun : $\boxed{\textcolor{red}{B(3~;~3~;~5)}}$.
	\end{enumerate}
	
\item  On considère maintenant la droite $\Delta$ dirigée par le vecteur $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}1\\- 2\\- 3\end{pmatrix}$, et passant par le point B (3~;~3~;~5). 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner une représentation paramétrique de cette droite $\Delta$. 
		$\Delta$ a pour représentation paramétrique : $\boxed{\textcolor{red}{\begin{cases}x=3+k\\3-2k\\5-3k\end{cases},~k\in\mathbb{R}}}$.
		
		\item %Les droites $d_1$ et $\Delta$ sont-elles sécantes? Justifier la réponse. 
		On cherche si $d_1$ et $\Delta$ sont sécantes. Si c'est le cas, il existe $t$ et $k$ réels tels que :
		
		$\begin{cases}2+t=3+k\\3-t=3-2k\\t=5-3k\end{cases}\iff \begin{cases}t=5-3k\\2+5-3k=3+k\\3+3k-5=3-2k\end{cases}\iff \begin{cases}t=5-3k\\k=1\\k=1\end{cases}\iff \begin{cases}k=1\\t=2\end{cases}$.
		
		En remplaçant $k$ par 1 ou $t$ par 2, on obtient que les deux droites ont un seul point d'intersection : $\boxed{\textcolor{red}{C(4~;~1~;~2)}}$.
		
		\item %Expliquer pourquoi la droite $\Delta$ répond au problème posé. 
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item D’après la question (3.) la droite $\Delta$ dirigée par le vecteur $\overrightarrow{v}$ est orthogonale aux droites $d_1$ et $d_2$.

\item D’après la question (5b.) les droites $d_1$ et $\Delta$ sont sécantes en un point $C(4~;~1~;~2)$.

\item Par ailleurs , le point B(3~;~3~;~3) appartient à la droite $\Delta$ par définition (5.) et à la droite $d_2$ d’après la question (4b.)

\item Donc la droite $\Delta$ est sécante avec les deux droites $d_1$ et $d_2$ et orthogonale à ces deux droites ce qui répond au problème posé.
\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{\hfill 6 points}}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip 

La pharmacocinétique étudie l'évolution d'un médicament après son administration dans l'organisme, en mesurant sa concentration plasmatique, c'est-dire sa concentration dans le plasma. 

On étudie dans cet exercice l'évolution de la concentration plasmatique chez un patient d'une même dose de médicament, en envisageant différents modes d’administration.

\medskip 

\textbf{Partie A : administration par voie intraveineuse}

\medskip 

On note $f(t)$ la concentration plasmatique, exprimée en microgramme par litre ($\mu$g.L$^{-1}$), du médicament, au bout de $t$ heures après administration par voie intraveineuse. 

Le modèle mathématique est : $f(t) = 20\mathrm{e}^{-0,1t}$, avec $ t \in  [0~;~ +\infty[$. 

La concentration plasmatique initiale du médicament est donc $f(0) = 20\: \mu$g.L$^{-1}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item La demi-vie du médicament est la durée (en heure) après laquelle la concentration plasmatique du médicament est égale à la moitié de la concentration initiale. 

%Déterminer cette demi-vie, notée $t_{0,5}$. 
On résout l'équation $f(t)=10\iff 20\mathrm{e}^{-0,1t}=10\iff \mathrm{e}^{-0,1t}=\dfrac{1}{2}\iff )0,1t=\ln\dfrac{1}{2}\\\iff t=-\dfrac{\ln\frac12}{0,1}=\dfrac{\ln 2}{0,1}\approx \boxed{\textcolor{red}{6,9}}$.

La demi-vie est d'environ 6,9 h, soit 6 h 54 min.

\item On estime que le médicament est éliminé dès que la concentration plasmatique est inférieure à $0,2 \mu$g.L$^{-1}$.

%Déterminer le temps à partir duquel le médicament est éliminé. On donnera le résultat arrondi au dixième. 
On résout alors l'inéquation $f(t)\leqslant 0,2\iff 20\mathrm{e}^{-0,1t}\leqslant 0,2\iff \mathrm{e}^{-0,1t}\leqslant 0,01\\
\iff -0,1t\leqslant \ln 0,01\iff t\geqslant -\dfrac{\ln 0,01}{0,1}\boxed{\textcolor{red}{\approx 46,1}}$.

Le médicament est éliminé au bout de 46,1 h (soit 46 h 6 min).

\item En pharmacocinétique, on appelle ASC (ou \og aire sous la courbe \fg), en $\mu$g.L$^{-1}$, le nombre $\lim_{x\rightarrow +\infty}\int_0^x  f(t)\:\text{d}t$. 

%Vérifier que pour ce modèle, l' ASC est égal à $200\: \mu$g.L$^{-1}$. 
$\int_0^xf(()\text{ d}t=\int_0^x20\mathrm{e}^{-0,1t}\text{ d}t=20\left[-10\mathrm{e}^{-0,1}t\right]_0^x=200\left(1-\mathrm{e}^{-0,1x}\right)$.

$\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(200\left(1-\mathrm{e}^{-0,1x}\right)\right)=200$ car $\lim_{x\rightarrow =\infty}\mathrm{e}^{-0,1x}=0$ donc \fbox{\textcolor{red}{l'ASC est égale 200}}.
\end{enumerate}

\medskip 

\textbf{Partie B : administration par voie orale}

\medskip 

On note g(t) la concentration plasmatique du médicament, exprimée en microgramme par litre (µg.L$^{-1}$), au bout de $t$ heures après ingestion par voie orale. 

Le modèle mathématique est : $g(t) = 20 \left(\mathrm{e}^{- 0,1t} - \mathrm{e}^{-t}\right)$ , avec $t \in  [0~;~ + \infty[ $. 

Dans ce cas, l'effet du médicament est retardé, puisque la concentration plasmatique initiale est égale à: $g(0) = 0 \mu$g.L$^{-1}$. 


\medskip

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que, pour tout t de l'intervalle $[0~;~ + \infty[$, on a : 

%$g’(t) = 20 \mathrm{e}^{-0,1t}\left (1 - 0,1 \mathrm{e}^{0,9t}\right)$. 
On a : $g(t) = 20 \left(\mathrm{e}^{- 0,1t} - \mathrm{e}^{-t}\right)$.

On dérive : $g'(t)=20\times \left[-0,1\mathrm{e}^{-0,1t}-(-1)\mathrm{e}^{-t}\right]=20\left[-0,1\mathrm{e}^{-0,1t}+\mathrm{e}^{-t}\right]=$

$\boxed{\textcolor{red}{20\mathrm{e}^{-t}\left[1-0,1\mathrm{e}^{0,9t}\right]}}$

\item %Étudier les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$. (On ne demande pas la limite en $+\infty$.) 
On étudie le signe de $g'$ :

Quel que soit le réel $t$, \:$20\mathrm{e}^{-0,1t}>0$ donc $g'(t)$ est du signe de $1-0,1\mathrm{e}^{0,9t}$.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $1-0,1\mathrm{e}^{0,9t}=0\iff 1=0,1\mathrm{e}^{0,9t}\iff \mathrm{e}^{0,9t}=\dfrac{1}{0,1}=10\iff 0,9t=\ln{10}\iff t=\dfrac{\ln10}{0,9}\approx 2,56$.

\item $1-0,1\mathrm{e}^{0,9t}>0\iff 1>0,1\mathrm{e}^{0,9t}\iff \mathrm{e}^{0,9t}<\dfrac{1}{0,1}=10\iff 0,9t<\ln{10}\iff t>\dfrac{\ln10}{0,9}\approx 2,56$.

\item $g\left(\dfrac{\ln 10}{0,9}\right)\approx 13,94$
\end{enumerate}
On en déduit le tableau de variation

\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&\dfrac{\ln 10}{0,9}\approx 2,56&&\pI\\
\hline
g'(x)&&+&\z&-&\\
\hline
\m{g(x)}&0&\c&\h{g\left(\dfrac{\ln 10}{0,9}\right)\approx 13,94}&\d&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

%En déduire la durée après laquelle la concentration plasmatique du médicament est maximale. On donnera le résultat à la minute près. 
La durée après laquelle la concentration est maximale est $\dfrac{\ln 10}{0,9}$ h, soit environ 2 h 34~min.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : administration répétée par voie intraveineuse}

\medskip 

On décide d'injecter à intervalles de temps réguliers la même dose de médicament par voie intraveineuse. L'intervalle de temps (en heure) entre deux injections est choisi égal à la demi-vie du médicament, c'est-à-dire au nombre $t_{0,5}$ qui a été calculé en A - 1. 

Chaque nouvelle injection entraîne une hausse de la concentration plasmatique de $20 \mu$g.L$^{-1}$. 

On note $u_n$ la concentration plasmatique du médicament immédiatement après la $n$-ième injection. 

Ainsi, $u_1 = 20$ et, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, on a : $u_{n+1} = 0,5 u_n + 20$. 

On remarque qu'avec ce modèle, la concentration initiale du médicament après la première injection, soit $20 \mu$g.L$^{-1}$, est analogue à celle donnée par le modèle de la partie A, soit $f(0)$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n \geqslant 1$ :  $u_n = 40 - 40 \times 0,5^n$. 
Démontrons par récurrence que, pour tout entier $n \geqslant 1$ :  $u_n = 40 - 40 \times 0,5^n$. 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} :  Pour $n=1$, $40 - 40 \times 0,5^1=40-40\times 0,5=40-20=20=u_1$ donc la propriété est \textbf{\textcolor{red}{vraie au rang $n=1$}}.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : on suppose que $u_n=40 - 40 \times 0,5^n$ pour une valeur de $n$ quelconque.

Alors $u_{n+1}=0,5u_n+20=0,5\times \left[40 - 40 \times 0,5^n\right]+20=20-40\times 0,5\times 0,5^n+20=40-40\times 0,5^{n+1}$ c.q.f.d.

La propriété est \textbf{\textcolor{red}{héréditaire}}.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\geqslant 1$.

\item %Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$.
$-1<0,5<1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}0,5^n=0$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=40}}$.

 \item On considère que l'équilibre est atteint dès que la concentration plasmatique dépasse 38 $\mu$g.L-$^{-1}$. 

%Déterminer le nombre minimal d'injections nécessaires pour atteindre cet équilibre. 
On cherche l'entier $n$ minimum tel que $u_n\geqslant 38$.

$u_n\geqslant 38\iff 40-40\times 0,5^n\geqslant  38\iff -40\times 0,5^n\geqslant -2\iff 0,5^n \leqslant  0,05\iff n\ln(0,5) \leqslant  \ln(0,05)$ (en appliquant la fonction $\|n$, croissante sur $]0~;~+\infty[$).

On obtient : $n\geqslant \dfrac{\ln(0,05)}{\ln(0,5)}\approx 4,3$ (en divisant par $\ln 0,5$ qui est négatif).

Il faut donc au \textbf{\textcolor{red}{minimum 5 injections}}.
\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{\hfill 5 points}}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas choisi la spécialité mathématique }

\medskip 

Le plan est muni d'un repère orthonormé \Ouv. 

Pour tout entier $n \geqslant 4$, on considère $P_n$ un polygone régulier à $n$ côtés, de centre O et dont l'aire est égale à  1. On admet qu'un tel polygone est constitué de $n$ triangles superposables à un  triangle OA$_n$B$_n$ donné, isocèle en O. 

On note $r_n = \text{OA}_n$ la distance entre le centre O et le sommet A$_n$ d'un tel polygone. 

\bigskip

\textbf{Partie A : étude du cas particulier \boldmath $n = 6$\unboldmath} 

On a représenté ci-contre un polygone $P_6$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Justifier le fait que le triangle OA$_6$B$_6$ est équilatéral, 
Pour $n=6$, l'angle $\left(\overrightarrow{OA_6}~;~\overrightarrow{OB_6}\right)=\dfrac{2\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}$.
Le triangle OA$_6$B$_6$ est isocèle et a un angle principal de $\dfrac{\pi}{3}$ : il est \textbf{\textcolor{red}{équilatéral}}.

%et que son aire est égale à $\dfrac{1}{6}$.
Son aire vaut $\dfrac{1}{6}$ car le polygone est formé de six triangles identiques et son aire vaut 1.

\item %Exprimer en fonction de $r_6$ la hauteur du triangle OA$_6$B$_6$ issue du sommet B$_6$. 
$OA_6=0B_6=r_6$ ; la hauteur $h_6$ du triangle OA$_6$B$_6$ vaut $\boxed{\textcolor{red}{r_6\sin\dfrac{\pi}{3}=r_6\dfrac{\sqrt{3}}{2}}}$.

\item %En déduire que $r_6 = \sqrt{\dfrac{2}{3\sqrt{3}}}$. 
L'aire du triangle vaut $\mathscr{A}_6=\dfrac{r_6\times h_6}{2}=\dfrac{1}{6}$ donc $\dfrac{r_6^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{1}{6}$.

On en déduit : $r_6^2=\dfrac{2}{3\sqrt{3}}$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{r_6=\sqrt{\dfrac{2}{3\sqrt{3}}}}}$
\end{enumerate}
\bigskip

\parbox{0.54\linewidth}{\textbf{Partie B : cas général avec \boldmath $n \geqslant 4$ \unboldmath} 

\medskip

Dans cette partie, on considère le polygone $P_n$ avec $n :\geqslant 4$, construit de telle sorte que le 
point A$_n$ soit situé sur l'axe réel, et ait pour affixe $r_n$. 

On note alors $r_n \mathrm{e}^{\text{i}\theta_n}$ l’affixe de B$_n$ où $\theta_n$ est un réel de l'intervalle $\left]0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.} \hfill
\parbox{0.54\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(4,2.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(4,2.2)
\psarc(0,0){3}{0}{32}\psarc(0,0){0.5}{0}{32}
\psline(3;32)
\uput[d](3,0){A$_n$}\uput[ur](3;32){B$_n$}
\uput[r](0.5;18){$\theta_n$}\uput[d](1.5,0){$r_n$}
\uput[ul](1.5;32){$r_n$}
\end{pspicture}} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Exprimer en fonction de $r_n$ et $\theta_n$ la hauteur issue de B$_n$ dans le triangle OA$_n$B$_n$ puis établir 
%que l'aire de ce triangle est égale à $\dfrac{r_n^2}{2} \sin \left(\theta_n \right)$. 
La hauteur $h_n$ du triangle OA$_n$B$_n$ est $h_n=OB_n\sin\theta_n=\boxed{\textcolor{red}{r_n\sin\theta_n}}$.

L'aire de ce triangle est alors : $\mathscr{A}_n=\dfrac{r_n\times h_n}{2}=\dfrac{r_n^2\sin\theta_n}{2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{r_n^2}{2}\sin\theta_n}}$.

\item On rappelle que l'aire du polygone $P_n$ est égale à 1. 

%Donner, en fonction de $n$, une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{OA}_n},~\vect{\text{OB}_n}\right)$, puis démontrer que :  
Puisque l'on a $n$ triangles identiques superposables, on a $n\theta_n=2\pi$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\theta_n=\dfrac{2\pi}{n}}}$
%\[r_n = \sqrt{\dfrac{2}{n \sin \left(\dfrac{2\pi}{n}\right)}}.\] 

L'aire de chaque triangle vaut $\dfrac{1}{n}$ donc $\dfrac{r_n^2}{2}\sin\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)=\dfrac{1}{n}$ d'où 
$r_n^2=\dfrac{2}{n\sin\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)}$ et donc $\boxed{\textcolor{red}{r_n=\sqrt{\dfrac{2}{n\sin\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)}}}}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : étude de la suite \boldmath$\left(r_n\right)$\unboldmath} 

\medskip

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~\pi[$ par 

\[f(x) = \dfrac{x}{\sin x}.\] 

Ainsi, le nombre $r_n$, défini dans la partie B pour $n \geqslant 4$, s'exprime à l'aide de la fonction $f$ par : $\boxed{\textcolor{red}{r_n=\sqrt{\dfrac{1}{\pi}f\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)}}}$ (facile à montrer !)

On admet que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $]0~;~\pi[$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que la suite $\left(r_n\right)$ est décroissante. On pourra pour cela commencer par démontrer que pour tout $n \geqslant 4$, on a : $0 < \dfrac{2\pi}{n+1} < \dfrac{2\pi}{n} < \pi$. 

Pour tout $n\geqslant 4$, $0 < 3 < n < n + 1\Rightarrow 0 < \dfrac{1}{n+1}< \dfrac{1}{n} <\dfrac{1}{3}\Rightarrow 0 < \dfrac{2\pi}{n+1}<\dfrac{2\pi}{n}<\dfrac{2\pi}{3} < \pi$.

Comme la fonction $f$ est croissante sur $]0~;~\pi[$, on en déduit : 

$0 < f\left(\dfrac{2\pi}{n+1}\right) < f\left(\dfrac{2\pi}{n}\right) \Rightarrow 0 <\dfrac{1}{\pi}f\left(\dfrac{2\pi}{n+1}\right) < \dfrac{1}{\pi}f\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)$ $\Rightarrow 0 < \sqrt{\dfrac{1}{\pi}f\left(\dfrac{2\pi}{n+1}\right)} < \sqrt{\dfrac{1}{\pi}f\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)}\Rightarrow $

$\boxed{\textcolor{red}{0<r_{n+1}<r_n}}$.
La suite $\left(r_n\right)$ est bien \textbf{\textcolor{red}{décroissante}} pour $n \geqslant 4$.

\item %En déduire que la suite $\left(r_n\right)$ converge. On ne demande pas de déterminer sa limite $L$, et on 
%admet dans la suite de l'exercice que $L = \dfrac{1}{\sqrt{\pi}}$.
La suite $\left(r_n\right)$ est décroissante et minorée par 0, donc \textbf{\textcolor{red}{convergente}} vers un réel $L\geqslant 0$.

\item On considère l'algorithme suivant. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l X|}\hline
VARIABLES:		& $n$ est un nombre entier\\ 
TRAITEMENT :&$n$ prend la valeur 4 \\
							&Tant que  $\sqrt{\dfrac{2}{n \sin \left(\dfrac{2\pi}{n}\right)}}> 0,58$ faire\\
							&\hspace{1cm} $n$ prend la valeur $n + 1$\\
							& Fin Tant que\\
SORTIE : 			&Afficher $n$\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}

%Quelle valeur numérique de $n$ va afficher en sortie cet algorithme ? 
À la calculatrice, on obtient :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $r_{10}\approx 0,5833 > 0,58$

\item $r_{11} \approx 0,5799 < 0,58$

\end{enumerate}
L'algorithme va donc afficher $\boxed{\textcolor{red}{n = 11}}$.
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice IV (spécialité)\hfill 5 points}}
\textbf{Candidats ayant  choisi la spécialité mathématique }

\medskip 

L'arbre de Stern-Brocot a été découvert séparément par le mathématicien allemand Moritz Abraham Stern (1858) et par Achille Brocot (1861), horloger français qui l'a utilisé pour concevoir des systèmes d'engrenages avec un rapport entre rouages proche d'une valeur souhaitée. 

Cet exercice aborde la méthode avec des matrices carrées. 

On considère les deux matrices $G = \begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$.

\smallskip

\parbox{0.7\linewidth}{On construit un arbre descendant à partir d'une matrice initiale, de la façon suivante : de chaque matrice carrée $M$ de l'arbre partent deux nouvelles branches vers les deux autres matrices $M \times G$ (à gauche) et $M \times D$ (à droite). Ces deux nouvelles matrices sont appelées les matrices filles de $M$.}\hfill \parbox{0.28\linewidth}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(2.8,1.8)
\psframe(2.8,1.8)
\rput(1.4,1.6){$M$}
\psline(0.5,0.5)(1.4,1.2)(2.3,0.5)
\rput(0.5,0.2){$M \times G$}\rput(2.3,0.2){$M \times D$}
\end{pspicture}
}

\smallskip

Dans la méthode considérée, on prend comme matrice initiale la matrice $I = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.

\medskip
\begin{enumerate}
\item %Déterminer les deux matrices manquantes $A$ et $B$, dans la troisième ligne de l'arbre de Stern-Brocot ci-dessous. 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $A=G\times D=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}$

\item $B=D\times G=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$

On peut alors compléter les deux matrices manquantes dans la troisième ligne de l'arbre de Stern-Brocot.
\end{enumerate}

\begin{center}
\pstree[nodesep=2.5pt]{\TR{$\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$}}
{
\pstree{\TR{$\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$}}
	   {\TR{$\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}$}
		\TR{$\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}$}
		}
\pstree{\TR{$\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$}}  
	   {\TR{$\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$}
		\TR{$\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$}
		}
}


\end{center}

Dans la suite de l'exercice, on admet que pour toute matrice $M = \begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}$  de l'arbre de Stern- 
Brocot, les nombres $a$, $b$, $c$, $d$ sont des entiers vérifiant : \\
$b + d \ne 0$. 
\item On associe à une matrice $M = \begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}$ de l'arbre de Stern-Brocot la fraction $\dfrac{a + c}{b + d}$. 
%Montrer que, dans cette association, le trajet \og  gauche-droite-gauche \fg{} à partir de la matrice initiale dans l'arbre, aboutit à une matrice correspondant à la fraction $\dfrac{3}{5}$. 
Le trajet \og{}gauche-droite-gauche\fg{} à partir de la matrice initiale dans l’arbre, aboutit à une matrice :

$C=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}$.

La fraction associée est $\dfrac{2+1}{3+2}=\dfrac{3}{5}$.

\item Soit $M = \begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}$ une matrice de l'arbre. On rappelle que $a$, $b$, $c$, $d$ sont des entiers. 

On note $\Delta_M = ad - bc$, la différence des produits diagonaux de cette matrice. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que si $ad - bc =  1$, alors $d(a + c) - c(b+ d) = 1$. 
		$d(a + c) - c(b+ d)=ad+cd-bc-cd=ad-bc$ donc, si $ad-bc=1$, $d(a + c) - c(b+ d)=1$.
		
		\item On suppose que  $M = \begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}$ est une matrice de l'arbre de Stern-Brocot telle que $\Delta_M = ad-bc = 1$.
		
Alors $M\times G=\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}110\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+c&D\\b+d&d\end{pmatrix}$.\\
		Alors : $\Delta_{M\times G} =d(a+c)-c(b+d)=1$ d'après la question précédente.

On admet de même que $\Delta_{M \times D} = 1$, et que toutes les autres matrices $N$ de l'arbre de Stern-Brocot vérifient l'égalité $\Delta_N = 1$. 
	\end{enumerate}
	
\item %Déduire de la question précédente que toute fraction associée à une matrice de l'arbre de Stern-Brocot est irréductible. 
Soit $N$ une matrice de l'arbre de Stern-Brocot. On a : $\Delta_N=d(a+c)+(-c)(b+d)=1$.

D'après le théorème de Bézout, les entiers $(a+c)$ et $(b+d)$ sont premiers entre eux ; la fraction associée $\dfrac{a+c}{b+d}$ est donc irréductible.

\item Soit $m$ et $n$ deux entiers naturels non nuls premiers entre eux. Ainsi la fraction $\dfrac{m}{n}$ est irréductible. On considère l'algorithme suivant, que l'on complète

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l X|}\hline
VARIABLES :& $m$ et $n$ sont des entiers naturels non nuls et premiers entre eux \\
TRAITEMENT :& Tant que $m \ne n$, faire \\
							&\hspace{1cm}Si $m < n$\\
							&\hspace{2cm} Afficher \og Gauche \fg\\ 
							&\hspace{2cm} $n$ prend la valeur $n - m$\\
							&\hspace{1cm} Sinon \\
							& \hspace{2cm}Afficher \og Droite \fg{}\\
							& \hspace{2cm} $m$ prend la valeur $m - n$\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau suivant, indiquer ce qu'affiche l'algorithme lorsqu'on le fait fonctionner avec les valeurs $m = 4$ et $n = 7$. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 Affichage&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad} &Gauche&Droite&Gauche&Gauche\\ \hline
$m$&4&4 &1&1&1\\ \hline
$n$& 7&3&3&2&1\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item %Conjecturer le rôle de cet algorithme. Vérifier par un calcul matriciel le résultat fourni avec les valeurs $m = 4$ et $n = 7$. 
		On peut émettre la conjecture suivante :
\og{}L’algorithme fournit le chemin à suivre à partir de la matrice unité pour obtenir une fraction $\dfrac{m}{n}$ donnée\fg{}.


Par exemple, pour obtenir la fraction associée $\dfrac{4}{7}$, il faut suivre le chemin :
\og{}Gauche-Droite-Gauche-Gauche\fg{}

\textbf{\textcolor{blue}{Vérification}} : $\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}$ ; la matrice associée est bien $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{4}{7}}}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}