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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small{Corrigé du baccalauréat SMS}}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat SMS Métropole juin 2007~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} \hfill 8 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 700 femmes sur \nombre{60000} représentent un pourcentage de $\dfrac{700}{\nombre{60000}} \times 100 \approx 1,1666 \approx 1,17\:\%$.
\end{enumerate}
\item~

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\footnotesize \centering \arraybackslash}X|}}\hline
&Femmes n'ayant jamais fumé&Fumeuses ou anciennes fumeuses&Total \\ \hline
Femmes consommant beaucoup de béta-carotène	&7	&35	&42 \\ \hline
Femmes consommant peu de béta-carotène		&322&336&658 \\ \hline
Total										&329&371&700 \\ \hline
\end{tabularx}
\item
	\begin{enumerate}
		\item $P(A) = \dfrac{42}{700} = 0,06$ et $P(B) = \dfrac{371}{700} = 0,53$.
		\item $A \cap B$ est l'évènement : \og la femme choisie consomme beaucoup d'aliments riches en béta-carotène et est une fumeuse ou une ancienne fumeuse \fg.
		
		$P(A \cap B) = \dfrac{35}{7000} = 0,05$.
		\item $A \cup \overline{B}$ est l'évènement : \og la femme choisie consomme beaucoup d'aliments riches en béta-carotène ou n'a jamais fumé \fg.
		
$P\left(A \cup \overline{B} \right) = \dfrac{7}{700} + \dfrac{35}{700} + \dfrac{322}{700} = \dfrac{364}{700} = 0,52
	\end{enumerate}
\item La probabilité de choisir une femme consommant beaucoup de béta-carotène parmi les fumeuses ou les anciennes fumeuses est de $\dfrac{35}{371} \approx 0,094$.$
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $f(t) = 2 + 15t\text{e}^{- 0,8t}$
	\begin{enumerate}
		\item $f'(t) = 15\text{e}^{- 0,8t} - 0,8 \times 15t\text{e}^{- 0,8t} = 15\text{e}^{- 0,8t} - 12t\text{e}^{- 0,8t} = 12\text{e}^{- 0,8t}(1,25 - t)$.
		\item Comme $12\text{e}^{- 0,8t} > 0$, quel que soit $t$, $f'(t)$ est du signe de $(1,25 - t)$.
		
En particulier $1,25 - t > 0 \iff 1,25 > t$. Donc la fonction est croissante sur l'intervalle $[0~;~1,25]$. D'où le tableau de variations :

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)\psline(2,0)(2,3)\psline(0,2)(8,2)\psline(0,2.5)(8,2.5)
\uput[u](1,2.5){$t$}\uput[u](2.15,2.5){$0$}\uput[u](5,2.5){$1,25$}\uput[u](7.8,2.5){$12$}
\uput[u](1,2){$f'(t)$}\uput[u](3.5,2){$+$} \uput[u](5,2){$0$}\uput[u](6.5,2){$-$}
\rput(1,1){$f(t)$} \uput[u](2.15,0){2} \uput[d](5,2){$\approx 8,90$} \uput[u](7.5,0){$\approx 2,01$}
\psline{->}(2.3,0.3)(4.5,1.8) \psline{->}(5.5,1.8)(7.5,0.5) 
\end{pspicture}
\end{center}

Avec $f(1,25) = 2 + 18,75\text{e}^{-1} \approx 8,90$ (maximum) et 
$f(12) = 2 + 180\text{e}^{9,6} \approx 2,01
	\end{enumerate}
\item	On a donc A(0~ ;~2) et $f'(0) = 12 \times 1,25 = 15$.
		
		Une équation de $T$ est donc $y - f(0) = f'(0)(t - 0)$ soit $y - 2 = 15t \iff y = 15t + 2$.
		
Pour construire $T$ on peut utiliser A et le point de coordonnées (0,5~;~9,5)
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Tableau de valeurs :
		
\medskip
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$&0&0,5&1&1,5&2&3&5&7&9&12\\ \hline
$f(t)$&2&7&8,7&8,8&8,1&6,1&3,4&2,4&2,1&2\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
		\item Figure
		
\medskip

\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(12,9)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.5pt,subgridwidth=0.25pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(12,9)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,0)(12,9)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(0,0)(12,9)
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{12}{15 x mul 2.71828 0.8 x mul exp div 2 add}
\psplot{0}{0.466}{15 x mul 2 add}
\uput[r](3,6){\blue $\mathcal{C}$}\uput[r](0.42,8.8){$T$}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=2pt]{->}(0,3)(5.5,3)(5.5,0)
\end{pspicture}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le taux de produit dopant dans le sang au bout de 2 heures 30 minutes est $f(2,5) = 2 + 15 \times 2,5\text{e}^{-0,8 \times 2,5} = 2 + 42,5\text{e}^{-2} \approx 7,1$~($\mu$g/l).
\item D'après la partie A, le taux est maximal au bout de 1,25~h soit 1 heure et 15 minutes.
\item On trace sur le graphique précédent la droite d'équation $y = 3$ qui coupe $\mathcal{C}$ approximativement au point d'abscisse 5,5.

Le taux de produit dopant sera donc sous les 3~$\mu$g/l au bout de 5 heures et demie.

\end{enumerate}


\end{document}