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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STG Mercatique}
\lfoot{\small La Réunion}
\rfoot{\small{juin 2007}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STG Mercatique ~\decofourright\\La Réunion juin 2007}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  3 points}

\medskip

%Le tableau ci-dessous résume partiellement les échanges extérieurs concernant le tourisme au cours des deux années 2004 et 2005. Il est constitué à partir de données publiées par la Banque de France.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-3}
%\multicolumn{1}{c|}{}& 2004&	2005\\ \hline
%Dépenses, en milliards d'euros, des touristes étrangers en France	&		&33,9\\ \hline
%Dépenses, en milliards d'euros, des touristes français à l'étranger	&23,0	&25,0\\ \hline
%Solde, en milliards d'euros&&		8,9\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%Pour chaque question, donner les calculs effectués.
\begin{enumerate}
\item  %Calculer le taux d'évolution des dépenses des touristes français à l'étranger entre 2004 et 2005. (Arrondir le résultat à 0,1\:\%).
On a $\dfrac{25}{23} \times 100 \approx 10,7\,\%$.
\item 	%Sachant qu'entre 2004 et 2005 les dépenses des touristes étrangers en France ont augmenté de 3,5\:\%, déterminer le montant de ces dépenses en 2004. (Arrondir le résultat au dixième).
On a $\dfrac{33,9}{1,035} \approx 32,8$.
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer le solde pour l'année 2004.
Le solde pour l'année 2004 est $32,8 - 23 = 9,8$.
		\item  %Calculer le taux d'évolution de ce solde entre 2004 et 2005. (Arrondir le résultat à 0,1\:\%).
Le taux d'évolution de ce solde entre 2004 et 2005 est $\dfrac{8,9 - 9,8}{9,8}\times 100 \approx 9,2\,\%$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  6 points}

\medskip

%Le coût moyen journalier, en euros d'un équipement industriel, en fonction de la durée d'utilisation est modélisé par la fonction $C_{m}$ définie sur l'intervalle $[200~;~\np{4000}]$ par \[C_{m}(x) = \np{1500} + 2x + \dfrac{\np{2000000}}{x}\]
%où $x$ est exprimé en jours.

\begin{enumerate}
\item  ~%Sur la calculatrice, faire apparaître la courbe représentant $C_{m}$ dans la fenêtre $200 \leqslant  x  \leqslant \np{4000}$ et $\np{5000} \leqslant  y  \leqslant	\np{12000}$.

%Reproduire, sur la copie, l'allure de la courbe dans la fenêtre considérée.
\begin{center}
\psset{xunit=0.002cm,yunit=0.0005cm}
\begin{pspicture}(190,4000)(4100,12100)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=200,Dx=500,Oy=5000,Dy=1000](190,5000)(4100,12100)
\psplot[plotpoints=4000,linecolor=brown,linewidth=1.25pt]{200}{4000}{x 2 mul 1500 add 2000000 x div add}
\end{pspicture}
\end{center}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %On note $C'_{m}$ la fonction dérivée de la fonction $C_{m}$ sur l'intervalle $[200~;~ \np{4000}]$.

%Calculer $C'_{m}(x)$.
$C'_{m}(x) = 2 - \dfrac{\np{2000000}}{x^2}$.
		\item 	%Montrer que $C'_{m}(x) = 2\dfrac{(x - \np{1000})(x + \np{1000})}{x^2}$.
		
%Déterminer le signe de la fonction $C'_{m}$ sur l'intervalle $[200~;~ \np{4000}]$.
$C'_{m}(x) = 2 - \dfrac{\np{2000000}}{x^2} = \dfrac{2x^2 - \np{2000000}}{x^2} = \dfrac{2\left(x^2 - \np{100000}\right)}{x^2} = \dfrac{2\left(x^2 - \np{1000}^2 \right)}{x^2} = 2\dfrac{(x - \np{1000})(x + \np{1000})}{x^2}$.

Comme 2 et $x^2$ sont des nombres supérieurs à zéro, le signe de $C'_{m}(x)$ est celui du produit $(x - \np{1000})(x + \np{1000})$ et comme $x + \np{1000} > 0$, le signe de $C'_{m}(x)$ est celui de $x - \np{1000}$.

$\bullet~~$Si $x > \np{1000}$, \:$C'_m(x) > 0$ : la fonction $C_m$ est croissante sur [\np{1000}~;~\np{4000}] ;

$\bullet~~$Si $x < \np{1000}$, $\:C'_m(x) < 0$ : la fonction $C_m$ est décroissante sur [200~;~\np{1000}] ;

$\bullet~~$Si $x = \np{1000}$, $\:C'_m(x) = 0$ : la fonction $C_m$ a un maximum en $x = \np{1000}$.
		\item 	~%Donner le tableau des variations de la fonction $C_{m}$ sur l'intervalle $[200~;~\np{4000}]$.
Avec $C_m(200) = \np{1500} + 2\times 200 + \dfrac{\np{2000000}}{200} = \np{1900} + \np{10000} = \np{11900}$.

$C_m(\np{1000}) = \np{1500} + 2\times \np{1000} + \dfrac{\np{2000000}}{\np{1000}} = \np{3500} + \np{2000} = \np{5500}$.

$C_m(\np{4000}) = \np{1500} + 2\times \np{4000} + \dfrac{\np{2000000}}{\np{4000}} = \np{9500} + 500 = \np{10000}$.

La fonction $C_m$ décroit donc de \np{11900} à \np{5500} puis croit jusqu'à \np{10000}.
		\item 	%En déduire, en jours, la durée d'utilisation de l'équipement qui correspond à un coût moyen journalier minimum et donner, en euros, ce coût moyen journalier minimum.
D'après le résultat précédent le coût journalier minimum est égal à  \np{5500} et ce minimum a eu lieu pour $x = \np{1000}$ jours d'utilisation.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  6 points}

\medskip

%Paul possède \np{1100}~\euro{} d'économies.
%
%Il décide de placer cette somme dans une banque qui lui propose deux placements :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item Proposition 1 : placement de la totalité de la somme à intérêts composés sur un \og livret jeune \fg, au taux annuel dc 4,5\:\%.
%\item Proposition 2 : placement de $900$~euros à intérêts composés au taux de 5,4\:\%
% par an et versement des $200$~euros restants sur an compte non rémunéré.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%On note $c(n)$ le capital qu'il aura acquis au bout de $n$ années s'il choisit la proposition 1 et $u(n)$ le capital qu'il aura acquis au bout den années s'il choisit la proposition 2.
%
%On définit ainsi deux suites $c$ et $u$. 
% 
%Il réalise la feuille de calcul ci-dessous et choisit un format d'affichage numérique à deux décimales.
% 
%\medskip
% 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%&A&	B&	C & D &E\\ \hline
%1&		&	Proposition 1 &\multicolumn{3}{|c|}{	Proposition 2}\\ \hline
%2&	\footnotesize Rang de l'année $n$& \footnotesize	Capital disponible $c(n)$& \footnotesize	Partie rénumérée& \footnotesize	Partie non rémunérée	& \footnotesize	Capital disponible $u(n)$\\ \hline
%3&0	&\np{1100,00}&900,00		&200,00	&\np{1100,00}\\ \hline
%4&1	&\np{1149,50}&948,60		&200,00	&\np{1148,60}\\ \hline
%5&2	&\np{1201,23}&999,82		&200,00	&\np{1199,82}\\ \hline
%6&3	&\np{1255,28}&\np{1053,81}	&200,00	&\np{1253,81}\\ \hline
%7&4	&\np{1311,77}&\np{1310,72}	&200,00	&\np{1380,72}\\ \hline
%8&5	&\np{1370,80}&\np{1170,70}	&200,00	&\np{1370,70}\\ \hline
%9&6	&\np{1432,49}&\np{1233,92}	&200,00	&\np{1433,92}\\ \hline
%10&7&\np{1496,95}&\np{1300,55}	&200,00	&\np{1500,55}\\ \hline
%11&8&\np{1564,31}&\np{1370,78}	&200,00	& \np{1570,78}\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que la suite $c$ est une suite géométrique de premier terme \np{1100} et de raison $1,045$.
Ajouter chaque année 4,5\,\% d'intérêts sur la somme acquise, c'est multiplier cette somme par 1,045. On a donc $c_{n+1} = c_n \times 1,045$, ce qui montre que la suite $c$ est une suite géométrique de premier terme \np{1100} et de raison 1,045.
		\item %Donner une formule à entrer dans la cellule B4 permettant par recopie vers le bas d'obtenir la plage B5:B11.
En B4 : =B3*1,045
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner une expression permettant de calculer le terme $u(1) = \np{1148,60}$.
$u_1 = u_0\times 1,054 + 200$.
		\item %Donner des formules, à recopier vers le bas, à entrer dans les cellules C4, D4 et E4 pour obtenir la plage C5:E11.
Dans C4 : =C3*1,054 ; dans D4 : =200 ; dans E4 : = C4 + D4.
	\end{enumerate}
\item %Indiquer en fonction de la durée du placement la proposition la plus avantageuse. Justifier.
On constate que de 1 à 3 ans le placement le plus intéressant est le placement 1 et ensuite c'est le placement 2.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  5 points}

\medskip

%Une résidence de vacances propose deux types d'appartements (studio ou duplex) à louer à la semaine. Le locataire peut décider de nettoyer lui-même son appartement ou peut choisir de souscrire à l'une des deux formules d'entretien suivantes :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item  la formule Mini (nettoyage de l'appartement en fin de semaine par le personnel d'entretien) ;
%\item  la formule Confort (nettoyage quotidien du logement durant la semaine et nettoyage complet en fin de semaine par le personnel d'entretien).
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%  
%On suppose que chaque locataire ne reste qu'une semaine. Le gestionnaire de la résidence fait une étude sur le fichier de tous les locataires des semaines des mois de juillet et d'août 2006.
%Il constate dans ce fichier que :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\blacktriangleright$] 70\:\% des locataires ont loué un studio ; parmi ceux-ci, 20\:\% n'ont souscrit à aucune formule d'entretien, 45\:\% ont souscrit à la formule Mini et les autres ont souscrit à la formule Confort.
%\item[$\blacktriangleright$]	55\:\% des locataires de duplex ont souscrit à la formule Mini.
%\item[$\blacktriangleright$]	23\:\% des locataires n'ont souscrit à aucune formule d'entretien.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%On choisit au hasard une fiche d'un locataire de ce fichier. On admet que toutes les fiches ont la même probabilité d'être choisies.
%
%On note :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\blacktriangleright$]	$S$ l'évènement \og la fiche est celle d'un locataire qui a loué un studio \fg et son événement contraire \og la fiche est celle d'un locataire qui a loué un duplex \fg{} ;
%\item[$\blacktriangleright$]	$M$ l'évènement \og la fiche est celle d'un locataire a souscrit à la formule Mini \fg{} ;
%\item[$\blacktriangleright$]	$C$ l'évènement \og la fiche est celle d'un locataire quia souscrit à la formule Confort \fg{} ;
%\item[$\blacktriangleright$]	$R$ l'évènement \og la fiche est celle d'un locataire qui n'a souscrit à aucune formule d'entretien \fg.\\
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%Ainsi, $P(S)$ la probabilité de l'évènement $S$ est égale à $0,70$ et $P_{S}(R)$ la probabilité, sachant que la fiche est celle d'un locataire qui a loué un studio, qu'il n'ait souscrit à aucune formule d'entretien est égale à $0,20$.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %On note $P_{S}(M)$ la probabilité, sachant $S$, de l'évènement $M$.
		
%On note $P_{\overline{S}}(M)$ la probabilité, sachant $\overline{S}$ de l'évènement $M$.

%Donner grâce à l'énoncé $P_{S}(M)$  et $P_{\overline{S}}(M)$.
Dans l'énoncé $P_{S}(M) = 0,45$ et $P_{\overline{S}}(M) = 0,55$.
		\item %Calculer la probabilité $P\left(\overline{S}\right)$.
$P\left(\overline{S}\right) = 1 - P(S) = 1 - 0,70 = 0,30$.
	 \end{enumerate}
\item  Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous avec les probabilités déjà connues.
 
\medskip

\begin{center}\psset{arrows=->,levelsep=4cm,nodesep=2.5pt}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$S$}\taput{0,70}}
	  { 
		  \TR{R}\taput{0,20}
		  \TR{M}\taput{0,45}
		  \TR{C}\tbput{0,35}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{S}$}\tbput{0,30}}
	  {
		  \TR{R}\taput{0,30}
		  \TR{M}\taput{0,55}
		  \TR{C}\tbput{0,15}	  
	  }	
}
\end{center} 
 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Donner grâce à l'énoncé $P(R)$.
On sait que $P(R) = 0,23$.
		\item %Calculer $P(R \cap S)$.
On a $P(R \cap S) = P(S) \times P_S(R) = 0,7 \times 0,2 = 0,14$.
		\item %Montrer que $P\left(R \cap  \overline{S}\right) =  0,09$.
		
On a 
$P(R) = P(R \cap S) + P\left(R \cap \overline{S}\right)$, soit $0,23 = 0,14 + P\left(R \cap \overline{S}\right)$,

donc $P\left(R \cap \overline{S}\right) = 0,23 - 014 = 0,09$.
	\end{enumerate}
\item %Calculer $P_{\overline{S}}(R)$ la probabilité, sachant que la fiche est celle d'un locataire qui a loué un duplex, qu'il n'ait souscrit à aucune formule d'entretien.
On a $P\left(R \cap \overline{S}\right) = P\left(\overline{S}\right) \times P_{\overline{S}}(R)$, soit 

$0,09 = 0,3 \times  P_{\overline{S}}(R)$, donc $P_{\overline{S}}(R) = \dfrac{0,09}{0,3} =  \dfrac{9}{30} = \dfrac{3}{10} = 0,30.$

\emph{Rem.} On peut calculer par complément à 1 la probabilité :

$P_{\overline{S}}(C) = 1 - (0,30 + 0,55) = 1 - 0,85 = 0,15$.
\end{enumerate}
\end{document}