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%Tapuscrit Jean-Claude Souque
%Corrigé : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  Sciences et Technologies de la santé et du social}
\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}}
\rfoot{\small{27 novembre 2020}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{ \textbf{\Large \decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S~\decofourright\\[6pt] Nouvelle Calédonie 27 novembre 2020  }}
\end{center}

L’annexe page \pageref{reg}/\pageref{LastPage} est à rendre avec la copie

L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.

L’usage de la calculatrice sans mémoire, \og type collège \fg{} est autorisé.

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}  

\medskip
 
%Ces dernières années, la rougeole a fait son retour suite à la diminution du nombre de
%personnes vaccinées.
%
%Dans une région française, une étude statistique a montré que :
%
%\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
%\item 79\,\% de cette population est vaccinée contre la rougeole ;
%\item parmi les personnes vaccinées contre la rougeole, 0,1\,\% d’entre elles a contracté cette maladie ;
%\item parmi les personnes non vaccinées contre la rougeole, 10\,\% d’entre elles ont contracté cette maladie.
%\end{itemize}
%
%On choisit au hasard une personne concernée par cette enquête. Chaque personne a la
%même probabilité d’être choisie.
%
%Pour tout évènement $A$, on note $\overline{A}$ l’évènement contraire de $A$.
%
%Pour tout évènement $A$, si $B$ est un évènement de probabilité non nulle, la probabilité de $A$ sachant $B$ est notée $P_B(A)$.
%
%On considère les évènements suivants :
%
%\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
%\item $R$ : \og la personne choisie est atteinte de la rougeole \fg{} ;
%\item $V$ : \og la personne choisie est vaccinée contre la rougeole\fg.
%\end{itemize}

\emph{Les résultats des calculs de probabilités seront arrondis à $10^{-4}$.}

\begin{enumerate}
\item %En utilisant les données fournies par l’énoncé, donner :
\begin{enumerate}
\item %la probabilité de l’évènement $V$, notée $P (V)$.
L'énoncé donne $P(V) = 0,79$.
\item %les probabilités $P_V(R)$   et $P_{\overline{V}}(R)$.
$P_V(R) = 0,001$ et $P_{\overline{V}}(R) = 0,10$. 
\end{enumerate}
\item %Recopier et compléter l’arbre pondéré de probabilités ci-dessous qui traduit la situation :
\begin{center}

\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt,levelsep=3.25cm}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$V$~~}\taput{$0,79$}}
	{
	\TR{$R$}\taput{$0,001$}
	\TR{$\overline{R}$}\tbput{$0,999$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{V}$~~}\tbput{$0,21$}}
	{\TR{$R$}\taput{$0,10$}
	\TR{$\overline{R}$}\tbput{$0,90$}
	}
}
\end{center}
\item \begin{enumerate}
\item %Décrire par une phrase l’évènement $\overline{V} \cap R$.
$\overline{V} \cap R$ : \og la personne choisie n'est pas vaccinée et est atteinte de la variole \fg.
\item %Calculer la probabilité de cet évènement.
$P\left(\overline{V} \cap R\right) = P\left(\overline{V}\right) \times P_{\overline{V}}(R) = 0,21 \times 0,1 = 0,021$.
\end{enumerate}
\item %Démontrer que la probabilité de l’évènement $R$ est égale à 0,0218.
D'après la loi des probabilités totales :

$P(R) = P(V \cap R) + P\left(\overline{V} \cap R \right)$.

Or $P(V \cap R) = P(V) \times P_V(R) = 0,79 \times 0,001 = \np{0,00079}$.

Donc $P(R) = 0,00079 + 0,021 = \np{0,02179} \approx \np{0,0218}$ à $10^{-4}$ près.
\item %La personne choisie est atteinte de la rougeole. Calculer la probabilité qu’elle ne soit pas vaccinée.
Il faut trouver $P_R\left(\overline{V} \right) = \dfrac{P\left(R \cap \overline{V} \right)}{P\left(R\right)} = \dfrac{0,021}{0,02179} \approx \np{0,96374}$ soit \np{0,9637} à $10^{-4}$ près.
\item %La région française dans laquelle l’étude a été menée compte 2 millions d’habitants. Un journal régional affirme dans l’un de ses articles : \og Recrudescence des cas de rougeole :plus de \np{40000} malades dans notre région \fg. Cette affirmation est-elle correcte ?
La probabilité d'avoir la rougeole est de \np{0,0218} ; il y a donc en moyenne : 

$\np{2000000} \times \np{0,0218} = \np{43600}$ malades dans cette région : l'affirmation est correcte.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}  

\medskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes.}
\bigskip

\textbf{Partie A : évolution du nombre de trottinettes électriques vendues en France}  

\medskip


%On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle [0~;~10], par 

\[f(x) = \np{100000}\times 2,29^x.\]

%On admet que la fonction $f$ a le même sens de variation sur l’intervalle [0 ;10] que la
%fonction $g$ définie par $g(x) = 2,29^x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Quel est le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle [0 ;10] ? Justifier la réponse.
Comme $2,29 > 1$, on sait que la fonction $x \longmapsto 2,29^x$ est croissante sur $[0~;~+ \infty[$. Il en est de même pour la fonction $f$.
\item %Pour tout entier naturel $n$ inférieur ou égal à 10, on admet que le nombre de trottinettes électriques vendues en France au cours de l’année $2014 + n$ est la valeur de $f(n)$ arrondie à l’unité.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer le nombre de trottinettes électriques vendues au cours de l’année 2015.
		2015 correspond à $n = 1$, donc $f(1) = \np{100000} \times 2,29^1 = \np{229000}$ trottinettes vendues en 2015.
	\item %Déterminer à l’aide de la résolution d’une inéquation, l’année au cours de laquelle le nombre de trottinettes électriques vendues en France dépassera un million.
	Il faut résoudre l'inéquation :
	
$\np{100000}\times 2,29^x > \np{1000000}$ ou $2,29^x > 10$ ou par croissance de la fonction logarithme népérien $x \ln 2,27 > \ln 10$ et enfin $x > \dfrac{\ln 10}{\ln 2,27}$.

Or $\dfrac{\ln 10}{\ln 2,27} \approx 2,8$ : la première année où le nombre de trottinettes électriques vendues en France dépassera un million est $2014 + 3 = 2017$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B: évolution du prix des trottinettes électriques en fonction du temps}  

\medskip

On s’intéresse maintenant au prix moyen des trottinettes électriques sur ces dernières
années. Les prix sont donnés dans le tableau ci-dessous.

\smallskip
\begin{center}
\begin{tabular}[]{|m{3.9cm}|*{5}{c|}}\hline
Année &2015& 2016& 2017& 2018& 2019\\\hline
Rang de l’année : $x_i$& 1 &2& 3& 4& 5\\\hline
Prix moyen en euro : $y_i$& 870& 767& 618& 477& 399\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\smallskip

%\textbf{En annexe, à rendre avec la copie}, on a représenté, dans un repère orthogonal, le nuage de points de coordonnées $(x_i; y_i)$ associé à la série statistique de l’énoncé.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points.
On a $\dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = \dfrac{\frac{5 \times 6}{2}}{5} = 3$.

Et de même $\dfrac{870 + 767 + 618 + 47 + 399}{5} = \dfrac{3131}{5} =626,2$. Donc G(5~;~626,2).
		\item %Placer le point G dans le repère précédent.
		Voir la figure à la fin.
	\end{enumerate}
\item On décide d’ajuster ce nuage de points par la droite D d’équation $y =-123,2x + 995,8$.

%On admet que cet ajustement reste valable jusqu’en 2022.
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que le point G appartient à la droite D.
G $\in \text{D} $ si et seulement si $626,2 = - 123,2 \times 3 + 995,8$ soit $626,2 = 995,8 - 369,6$ ce qui est vrai.
\item %Tracer la droite D dans le repère \textbf{en annexe}. Indiquer les coordonnées des points utilisés.
Voir à la fin. On peut utiliser le point G et le point de coordonnées A(5~;~379,8)
\end{enumerate}
\item %En utilisant cet ajustement, calculer le prix moyen d’une trottinette électrique en 2020.
2020 correspond à $x = 6$, donc avec l'ajustement : $y = 995,8 - 123,2 \times 6 = 
995,8 -  739,2 = 256,60$~(\euro).
\item %Déterminer, selon le modèle proposé, l’année au cours de laquelle le prix moyen d’une trottinette électrique sera inférieur à 130 \euro. Préciser la méthode utilisée.
Il faut résoudre l'inéquation :

$995,8 - 123,2x < 130$ soit $865,8 < 123,2x$ ou $\dfrac{865,8}{123,2} < x$.

Or $\dfrac{865,8}{123,2} \approx 7,02$.

La plus petite valeur vérifiant l'inéquation est $x = 8$, soit en 2022.

\emph{Remarque} : on peut aussi tracer la droite d'équation $y = 130$ ; elle coupe la droite d'ajustement en un point d'abscisse un peu plus grande que 7 : on trouve donc $x = 8$, soit 2022.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}  

\medskip


\textbf{Les parties A et B sont indépendantes.}

\bigskip

\textbf{Partie A : premier modèle}  

\medskip

%En 1985, la population de la France métropolitaine était de \np{55284000} habitants. Des études statistiques permettent de supposer que cette population a continué d’augmenter tous les ans de 0,51\,\% jusqu’en 2020.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer le nombre d’habitants en France métropolitaine en 1986.
Augmenter de 0,51\,\% revient à multiplier par $1 + \dfrac{0,51}{100} = 1 + \np{0,0051} = \np{1,0051}$.

La population en 1986 devait être égale à : $\np{55284000} \times \np{1,0051} = \np{55565948,4}$ soit \np{55565948} à l'unité près.
\item %On modélise le nombre d’habitants de cette population par une suite $(u_n)$  de 1\up{er} terme

%$u_0 = \np{55 284 000}$ . Ainsi  $u_0$ représente la population de la France métropolitaine en 1985 et $u_n$ représente la population de la France métropolitaine en $1985 + n$ , où $n$ est un entier naturel.
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ? Préciser sa raison.
On passe de la population d'une année à celle de l'année suivante en la multipliant par \np{1,0051}. On a donc pour tout naturel $n,\: u_{n+1} = \np{1,0051}u_n$ : cette égalité montre que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison \np{1,0051}.
		\item %Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
On sait qu'alors quel que soit l'entier $n,\: u_n = \np{55284000} \times \np{1,0051}^n$.
		\item %À l’aide de ce modèle, estimer, au millier près, le nombre d’habitants de la France métropolitaine en 2020.
2020 correspond au rang $n = 35$ et $u_{35} = \np{55284000} \times \np{1,0051}^{35} \approx \np{66057785,8}$ ; d'après ce modèle il y aura en 2020, \np{66057786} habitants en France.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip
    
\textbf{Partie B : deuxième modèle}  

\medskip

%On décide, dans cette partie, de modéliser la population de la France métropolitaine de 1985 à 2025 par la fonction $f$ définie sur l’intervalle [0 ; 40] par :

\[f(x) =-0,0003x^3 + 0,0117x^2 + 0,1728x + 55,2\]

où $x$ est le nombre d’années à partir de 1985 et $f(x)$ la population de la France
métropolitaine exprimée en million d’habitants.
\begin{enumerate}
\item %Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l’intervalle [0 ; 40]. Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ de l’intervalle [0~;~40].
La fonction polynôme $f$ est dérivable sur $\R$ et en particulier sur [0~;~40], 

$f'(x) = - \np{0,0009}x^2 + \np{0,0234}x + \np{0,1728}$.
\item %Démontrer que, pour tout $x$ de l’intervalle [0~;~40], $f'(x) = \np{0,0009}(32 - x)(x + 6)$.
On développe : $\np{0,0009}(32 - x)(x + 6) = \np{0,0009}\left(32x + 192 - x^2 - 6x \right) = \np{0,0009}\left(26x + 192 - x^2  \right) = \np{0,0234}x + \np{0,1725} - \np{0,0009}x^2 = f'(x)$.

On a bien la forme factorisée de $f'(x)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item ~
		
		 %Recopier et compléter le tableau de signes suivant :
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,2)
\psframe(10,2)\psline(0,0.5)(10,0.5)
\psline(0,0.5)(10,0.5)
\psline(0,1)(10,1)
\psline(0,1.5)(10,1.5)
\psline(2,0)(2,2)
\uput[u](1,1.4){$x$} \uput[u](2.1,1.4){$0$} \uput[u](6,1.4){$32$} \uput[u](9.8,1.4){$40$}
\uput[u](1,0.9){$32 - x$}
\uput[u](1,0.4){$x + 6$}\uput[u](1,-0.1){$f'(x)$}
\uput[u](4,0.9){+} \uput[u](6,0.9){0} \uput[u](8,0.9){$-$} 
\uput[u](4,0.4){+} \uput[u](8,0.4){+} 
\uput[u](4,-0.1){+} \uput[u](6,-0.1){0}  \uput[u](8,-0.1){$-$}

\end{pspicture}
\end{center}

		\item %En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle 
%[0~;~40]. Préciser $f(0)$, $f(40)$ ainsi que la valeur de l’extremum.
La fonction est donc croissante sur l'intervalle [0~;~32] et décroissante sur l'intervalle [32~;~40]. D'où le tableau de variations :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,2)
\psframe(10,2)\psline(0,1.5)(10,1.5)
\psline(2,0)(2,2)
\uput[u](1,1.4){$x$} \uput[u](2.1,1.4){$0$} \uput[u](6,1.4){$32$} \uput[u](9.8,1.4){$40$}
\rput(1,0.75){$f$}  
\psline{->}(2.5,0.5)(5.5,1)\psline{->}(6.5,1)(9.5,0.5)
\uput[u](2.3,0){55,2}\uput[d](6,1.5){62,88}\uput[u](9.5,0){61,63}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
		\item %Quel est le maximum de la population de la France métropolitaine et en quelle année est-il atteint ?
D'après l'étude précédente le maximum de la population devait être atteint en $1985 + 32 = 2017$ et se monter à peu près à 62,88~millions.
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Partie C}  

\medskip

%En 2019, la population de la France métropolitaine était d’environ 65 millions. Lequel des deux modèles précédents semble le plus adapté ?
Avec le second modèle la population en 2020 devait être environ de 62,7 millions, beaucoup moins que la réalité  ; avec le premier modèle elle devait être de 66 millions donc plus proche de la réalité. C'est donc le modèle le mieux adapté.

\vspace{1.5cm}
\begin{center}
\textbf{ANNEXE}
À rendre avec la copie\\
\bigskip
\textbf{\textsc{Exercice 2} }  
\end{center}

\begin{center}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.01cm,labelFontSize=\scriptstyle,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-0.75,-200)(11.2,1100)
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=gray](\n,0)(\n,1020)}
\multido{\n=0+100}{11}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=gray](0,\n)(10,\n)}
\multido{\n=0+0.2}{51}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,1020)}
\multido{\n=0+20}{51}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](0,\n)(10,\n)} 
\psaxes[linewidth=0.95pt,,Dy=100,]{->}(0,0)(10.25,1050)
\psdots[dotstyle=+,dotscale =1.8,dotangle=45,linecolor=blue](1,870)(2,767)(3,618)(4,477)(5,399)
\psdots[dotstyle=+,dotscale =2.3,dotangle=45,linecolor=red](3,616.2)
\psdots[dotstyle=+,dotscale =1.5,dotangle=45,](5,379.8)\uput[r](5,379.8){A}
\uput[u](3,616.2){\red G}
\uput[ur](0,1000){\footnotesize Prix moyen d'une trottinette ( en euro)}
\uput[d](9,- 35){\footnotesize Rang de l'année}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt]{0.5}{8}{995.6 123.2 x mul sub}
\psline[ArrowInside=->](0,130)(7.02,130)(7.02,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\label{reg}
\end{document}