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%% Tapuscrit du corrigé : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ST2S}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{18 juin 2014}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}%\textbf{Durée : 2 heures}

%\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat  ST2S Antilles-Guyane~\decofourright\\[4pt]  16 juin 2014}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  6 points}

Le tableau ci-dessous donne le nombre de maladies professionnelles ayant entrainé un arrêt de travail de 2003 à 2010 :
 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\small}m{5cm}|*{8}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Année					&2003	&2004	&2005	&2006	&2007	&2008	&2009	&2010\\\hline
Rang de l'année $(x_i)$	&1		&2		&3		&4		&5		&6		&7		&8\\\hline
\begin{minipage}[]{5cm}
Nombre de maladies professionnelles ayant entrainé un arrêt de travail $(y_i)$(arrondi à la centaine)
\end{minipage}
&\np{34600}&\np{36900}&\np{41300}&\np{42300}&\np{43800}&\np{45400}&\np{49300}&\np{50700}\\\hline
\multicolumn{9}{r}{\footnotesize Source: Caisse Nationale d'assurance Maladie des Travailleurs Salariés}
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 	%Sur une feuille de papier millimétré, \textbf{à remettre avec la copie},
Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ est représenté dans un repère orthogonal {\footnotesize d'unités graphiques : 
\begin{description}
\item \np[cm]{1} pour une unité sur l'axe des abscisses (on commencera la graduation à 0). 
\item \np[cm]{1} pour \np{2000} maladies sur l'axe des ordonnées (on commencera la graduation à \np{32000}). 
\end{description}}

\item \begin{enumerate}
		\item   Calculons les coordonnées  exactes du point moyen G de ce nuage de points.
 Les coordonnées de G sont $\left(\overline{x}~;~\overline{y}\right)$.
 
\[
\overline{x_G}=\frac{1+2+\dots+7+8}{8}=\np{4.5} \qquad \overline{y_G}=\frac{\np{34600}+\np{36900}+\dots+\np{50700}}{8}=\np{43037.5}\]

		\item  Le point G $\left( \np{4.5}~;~\np{43037.5} \right)$ est placé  sur le graphique précédent.
		\end{enumerate}
\item On considère que la droite $\Delta$ d'équation $y=\np{2244}x+\np{32939.5}$,  réalise un ajustement du nuage de points. 
		\begin{enumerate}
		\item  Le point G appartient à la droite (D) si ses coordonnées vérifient l'équation de la droite. Calculons l'ordonnée du point de la droite d'abscisse \np{4.5}.

$y=\np{2244} \times \np{4.5} + \np{32939.5}=\np{43037.5}$.

 Cette valeur étant celle de l'ordonnée de G, il en résulte que G appartient à (D).
  
		\item  La droite $\Delta$ est tracée sur le graphique précédent. 
		\end{enumerate}
\item  Déterminons par le calcul le nombre de maladies professionnelles ayant entrainé un arrêt
de travail prévu par l'ajustement de la question \textbf{3.} en 2014. En 2014, le rang de l'année est 12. Calculons l'ordonnée du point de la droite d'abscisse 12.
 
$y=\np{2244}\times 12+\np{32939.5}=\np{59867.5}$

En 2014, une estimation du nombre de maladies professionnelles ayant entraînées un arrêt de travail, arrondi à la centaine près est  \np{59900}.

\item \begin{enumerate}
		\item En utilisant le graphique, déterminons l'année, à partir de laquelle l'ajustement de la question \textbf{3.} prévoit que l'on dépassera 
		\np{62 000} maladies professionnelles ayant entrainé un arrêt de travail.

 Traçons la droite d'équation $y=\np{62000}$ et lisons l'abscisse du point d'intersection de cette droite avec $\Delta$. 

Avec la précision permise par le graphique, nous obtenons environ 13.

 Par conséquent en 2015, le nombre de maladies professionnelles ayant entraîné un	arrêt de travail dépassera \np{62000}.
		\item Pour retrouver par le calcul, le résultat de la question \textbf{5.a.}, résolvons 
		
$\np{2244}x+\np{32939.5}\geqslant \np{62000}$.
		
$\np{2244}x+\np{32939.5}\geqslant \np{62000} \iff x=\dfrac{\np{62000}-\np{32939.5}}{\np{2244}}\qquad x\approx \np{12.9503}$.
		
Par conséquent en 2015,  le nombre de maladies professionnelles ayant entraîné un 	arrêt de travail dépassera \np{62000}.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\vspace{0.5cm}
\newpage
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  6 points}

\medskip

Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille de tableur, donne l'évolution du nombre de 
mariage, en France de 2007 à 2011. 

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|m{4.1cm}|*{5}{c|}}
\hline
&	\centering A &		B &	C &	D& 	E &	F \\\hline
1& 	Année &		2007& 	2008 &	2009 &	2010 &	2011 \\\hline
2&	Nombre de mariages 	&\np{273 669}&\np{265404} &\np{251478}&\np{251654} &\np{236826} \\\hline
3 &	\begin{minipage}{3.9cm}
	Taux d'évolution par 					
	rapport à l'année 						
	précédente\end{minipage} 	 &	\cellcolor{gray}		&	$-3,02\,\%$ &	$-\np{5.25}\,\%$ &	$0,07\,\% $&$-\np{5.89}\,\% $\\\hline
\multicolumn{2}{c}{}&\multicolumn{5}{l}{ \scriptsize Source : INSEE, estimations de population-statistiques de l'état civil}
\end{tabular}
\end{center}
 
 \medskip
 
On précise que les cellules C3 à F3 ont au format pourcentage avec deux décimales.
 
\begin{enumerate}
\item  Une formule a été saisie dans la cellule C3 puis recopiée vers la droite jusqu'à la cellule 
F3 pour calculer le taux d'évolution du nombre de mariages en France entre deux années consécutives de 2007 à 2011. 

Parmi les formules ci-dessous, une et une seule est exacte. 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a)~~} \psCancel{\psframebox{=(C2-B2)/C2}}&\textbf{b)~~} \psCancel{\psframebox{=C2/B2}}&\textbf{c)~~}\psCancel{\psframebox{=(C2-\$ B2)/\$ B2}} &\textbf{d)~~} \ovalbox{\psshadowbox{=(C2-B2)/B2}}.
\end{tabularx}
{\footnotesize Le taux est défini par  $\frac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$ ; ceci élimine les deux premières réponses. La troisième proposition fixe la colonne B par conséquent on ne peut recopier vers la droite, d'où la réponse \textbf{d.}.} 

\medskip

 %Recopier la réponse choisie sur la copie. 
\item Calculons le taux d'évolution  du  nombre de mariages en France entre 2007 et 2011.

Le taux est défini par  $\frac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$. $t=\dfrac{\np{236826}-\np{273669}}{\np{273669}}\approx -\np{0.134626}$.

Le nombre de mariage  a baissé d'environ 13,46\,\% entre 2007 et 2011. 
\item On considère qu'à partir de 2011, le nombre de mariages continue à baisser chaque année de 3,55 \,\%.

 Pour tout entier $n$ positif ou nul, on note $u_n$  le nombre de mariages en France pour l'année (2011+n). 
 
Ainsi $u_0=\np{ 236 826}$. 
\begin{enumerate}
\item  À un taux d'évolution de $- \np{3.55} \,\%$ correspond un coefficient multiplicateur de $1-\frac{\np{3.55}}{100}$ c'est-à-dire \np{0.9645}. 
En 2012 nous avons alors $u_1$. $u_1=\np{0.9645}u_0$ d'où 

$u_1=\np{236826}\times \np{0.9645}=\np{228418.677}$.

À l'aide de ce modèle, nous pouvons estimer le nombre de mariages en France en 2012 à \np{228419}. 
\item   Pour tout entier $n$, nous avons l'égalité  $u_{n+1}=\np{0.9645}\times u_n$ puisque chaque année le nombre de mariage baisse de $\np{3.55}\,\%$. Par conséquent le nombre de mariage l'année suivante est multiplié par \np{0.9645}.
\item 	 La suite $\left(u_n\right)$  est par définition une suite géométrique et sa raison le coefficient multiplicateur  : \np{0.9645}. 
\item Le terme général d'une suite  géométrique  de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est 

$u_n=u_0\times (q)^{n}$. 

$u_{n}=\np{236826}\times(\np{0.9645})^n$.

%Pour tout entier $n$, exprimer $u_n$ en  fonction de $n$.
\end{enumerate} 
{\footnotesize\emph {Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative même 
infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} }
\begin{enumerate}[resume]
\item 	Selon ce modèle, à partir de quelle année le nombre de mariages en France deviendrait-il inférieur à \np{200 000} ? Pour la déterminer, résolvons $u_n\leqslant \np{200000}$.
\[\begin{array}{rll}
 \np{236826} \times \np{0.9645})^{n}&\leqslant \np{200000}                     &\\
\np{0.9645})^{n}                    &\leqslant \dfrac{\np{200000}}{\np{236826}}&\\
\np{0.9645})^{n}                    &\leqslant \np{0.8445}                      &\\
n\log \np{0.9645}                   &\leqslant \log \np{0.8445}              & \text{\footnotesize la fonction $\log$ est strictement croissante sur $]0~;~+\infty[ $ }\\
n                                   &\geqslant \dfrac{\log \np{0.8445}}{\log \np{0.9645}} &  \text{car } \log \np{0.9645}<0\\
n                                   &\geqslant \np{4.676}                      & \\
\end{array}\]

Selon ce modèle, à partir de  n=5 c'est-à-dire à partir de  2016, le nombre de mariage deviendrait inférieur à \np{200000}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  4 points}

\medskip
{\footnotesize 

Un magasin d'informatique propose différents produits tels que des ordinateurs, du matériel 
d'impression ou des logiciels. 

\smallskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}

\smallskip

\textbf{Partie A}

 \medskip
80 clients ont acheté dans ce magasin un seul produit parmi ceux proposés ci-dessus. Ils ont 
réglé soit en espèces soit en utilisant une carte bancaire. 

Parmi ces clients : 

\begin{itemize}
\item [\textbullet] 70\,\% ont payé en utilisant une carte bancaire, les autres ayant payé en espèces ;
\item [\textbullet] 	48 clients ont acheté du matériel d'impression ; 
\item [\textbullet]  aucun ordinateur n'a été payé en espèces ; 
\item [\textbullet] 	le quart de ceux qui ont payé en utilisant une carte bancaire a acheté un logiciel ; 
\item [\textbullet] 	parmi les clients ayant payé en espèces, il y en a autant qui ont acheté un logiciel que 
du matériel d'impression. 
\end{itemize}
}
\begin{enumerate}
\item  Complétons le tableau des effectifs ci-dessous, représentant la répartition des achats et des modes de paiement des 80 clients :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|>\centering m{1.95cm}|c|c|c|}
\hline
&Matériel d'impression& Logiciels&Ordinateurs&Total\\\hline
Espèces &12&\color{violet}{12}&0&\color{violet}{24}\\\hline
Carte bancaire &\color{violet}{36}&14&\color{violet}{6}&\color{violet}{56}\\\hline
Total&48&\color{violet}{26}&\color{violet}{6}&80\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\item 	{\footnotesize On choisit au hasard un des 80 clients. Chaque client a la même probabilité d'être choisi. 

On considère les évènements suivants : 

\begin{description}
\item[] A : \og le client a acheté du matériel d'impression\fg 
\item[] B : \og le client a payé par carte bancaire\fg. 
\end{description}
}
 L'univers est l'ensemble des clients d'un magasin informatique et la loi mise sur cet univers est l'équiprobabilité. 

La probabilité d'un évènement $A$ est  $p(A) = \frac{\text{\scriptsize nombre d'éléments de }A}{\text{\scriptsize nombre d'éléments de l'univers}}$.

Le nombre d'éléments de l'univers est $80$.
 \begin{enumerate}
\item Calculons la probabilité de l'évènement $A$.

$48$ personnes ont acheté du matériel d'impression $p(A)=\dfrac{48}{80}=\np{0.6}$.
\item Calculons la probabilité de l'évènement B. 56 personnes ont payé par carte bancaire $p(B)=\dfrac{56}{80} = \np{0.7}$.
\item  $A\cap B$ est l'évènement : \og le client a acheté du matériel d'impression et a payé par carte bancaire \fg.
\item Calculons la probabilité de l'évènement  $A \cap B$. Trente six personnes le firent 

$p(A \cap B)= \dfrac{36}{80}= \np{0.45}$.
\item   $A \cup B$ est l'évènement \og le client a acheté du matériel d'impression ou a payé par carte bancaire\fg.
\item Calculons la probabilité de l'évènement $A \cup B$. 

$p(A\cup B) = p(A) + p(B)-p(A\cap B) = \np{0.6}+\np{0.7} - \np{0.45} = \np{0.85}$.
 \end{enumerate}
\item Sachant qu'un client a acheté du matériel d'impression,  la probabilité qu'il ait payé en espèces est notée $p_{A}(\overline{B})$. 

$p_{A}\left(\overline{B}\right)=\dfrac{p\left(A \cap\overline{B}\right)}{p(A)} = \dfrac{\frac{12}{80}}{\frac{48}{80}}=\dfrac{12}{48}=\np{0.25}$.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}
 
\begin{enumerate}
\item  Soit $f$ la fonction définie sur l' intervalle [1~;~10] : 

\[f(x)= x^2-12x+96 \]

	\begin{enumerate}
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Déterminons  $f'(x)$ pour tout $x$ 
appartenant à l'intervalle [1~;~10]. $f'(x) = 2x - 12$.
		\item Étudions le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle [1~;~10]. 

$2x - 12 > 0\iff x - 6 > 0\iff x > 6$.

Par conséquent si $x$ appartient à [1~;~6[ alors $f'(x) < 0$ et si $x$ appartient à ]6~;~10] alors $f'(x)>0$.
		\item Dressons le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~10]. 

Si pour tout $x\in I, \ f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$.

 Sur $[1~;~6[,\ f'(x)<0$, donc $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle. 
		
Si pour tout $x\in I,\ f'(x)> 0$ alors $f$ est  strictement croissante sur $I$. Sur $]6~;~10]$,\
		
$f'(x) > 0$ donc $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.
				
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$1$} \uput[u](4.5,2.45) {$6$}    \uput[u](7.73,2.45){$10$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}(x)$}\uput[u](2.76,2){$-$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$+$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variations}\rput(0.4,1){de $f$}
 \uput[u](1.37,1.45){$85$}\uput[ur](7.32,1.49){$76$}
\psline{->}(1.7,1.55)(4,0.55)\psline{->}(5,0.5)(7.3,1.55)
\uput[u](4.5,0.1){$60$}
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item Le magasin d'informatique se fournit en ordinateurs auprès d'une entreprise locale qui 
peut fabriquer au maximum 10 ordinateurs par semaine. 

On note $x$ le nombre d'ordinateurs produits en une semaine. 

On admet que, pour tout $x$ entier appartenant à l'intervalle [1~;~10], le coût total de 
fabrication, exprimé en dizaines d'euros, est égal à $ f(x)$. 
	\begin{enumerate}
		\item  $f$ étant strictement décroissante sur [1~;~6[ et strictement croissante sur ]6~;~10] admet donc un minimum en 6.

 Le nombre d'ordinateurs fabriqués par semaine qui permet un coût total de fabrication minimal est 6. 
		\item $f(6) = 60$. La valeur de ce coût minimal est par conséquent de 600~\euro. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\vspace*{2cm}
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.0005cm,arrowscale=1.8}%
\begin{pspicture}(-1.5,-2000)(16,32000)
\psaxes[labels=x,Ox=0,Oy=32000,Dx=1,Dy=2000]{->}(0,0)(15.5,31700)
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\multido{\n=0+1000}{32}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(15,\n)}
\newcounter{x}  \setcounter{x}{32000}
\multido{\n=0+2000}{16}{\uput[l](0,\n){\thex}\addtocounter{x}{2000}}
\psdots[dotstyle=SolidSquare,dotscale=1.2,dotangle=45](1,2600)(2,4900)(3,9200)(4,10300)(5,11800)(6,13400)(7,17300)(8,18700)
\psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.4,dotangle=45](4.5,11037.5)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{0}{13.4}{x 2244  mul 939.5 add}
\uput[d] (13.5,31000){$\Delta$}\uput[u](4.5,11037.5){G}
\def\Func{x 2244 mul 939.5 add}
\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=->]{->}(!0 /x 12.9503 def \Func)(!12.9503 /x 12.9503 def \Func)(12.9503,0)
\rput(1.3,32600){\footnotesize Nombre de maladies professionnelles}
\rput(1.3,32000){\footnotesize ayant entraîné un arrêt de travail }
\rput(14.1,650){\footnotesize rang de l'année}
\end{pspicture}\end{center}
\end{document}