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% tapuscrit : Denis Vergès
% Correction : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ST2S}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{10 juin 2011}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
 {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S Polynésie 10 juin 2011~\decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,75cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 6 points}

\medskip

 {\footnotesize
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte. Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n'ôte pas de point.\\ 
On notera sur la copie le numéro de la question, suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie.}
}
\medskip
 
\textbf{Question 1 :}
 
On considère la suite géométrique $\left(u_{n}\right)$ de premier terme $u_{1} = 32$ et de raison $0,75$.
 
Le terme $u_{11}$ a une valeur proche de :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{39,5} &\textbf{b.}~~\ovalbox{1,80} &\textbf{c.}~~\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{40,25} &\textbf{d.}~~\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{1,35} \\
\end{tabularx}

{\footnotesize $u_{n}=u_1q^{n-1}\quad u_{11}=32\times \np{0.75}^{10}$.}

\medskip
 
\textbf{Question 2 :}

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $[-2~;~2]$ par $f(t) = 3t^2 + 3t - 1$ et $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative sur cet intervalle. La courbe passe par le point M de coordonnées :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~\ovalbox{$(-1~;~-1)$} &\textbf{b.}~~\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$(-1~;~-7)$}  &\textbf{c.}~~\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$(0~;~2)$} &\textbf{d.}~~\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$(1~;~- 1)$} \\
\end{tabularx}

\smallskip

{\footnotesize $f(-1)=3(-1)^2+3(-1)-1=3-3-1=-1$.}

\medskip 
 
\textbf{Question 3 :}

Le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $1$ est égal à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{5} &\textbf{b.}~~\ovalbox{9} &\textbf{c.}~~\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{8} &\textbf{d.}~~\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{4} \\
\end{tabularx}

{\footnotesize $f'(t)=6t+3\quad f'(1)=9$.}

\medskip 
 
\textbf{Question 4 :}

On considère la fonction $f$ définie sur [0~;~8] par $f(t) = 1,5 \times 0,75^t$.
 
Sur [0~;~8], les solutions de l'inéquation $f(t) < 0,3$ sont les réels $t$ tels que:

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$t < \dfrac{\log(0,2)}{\log (0,75)} $ }&\textbf{b.}~~\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$t > \log \left(\dfrac{0,2}{0,75}\right)$} &\textbf{c.}~~\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$t < \log \left(\dfrac{0,2}{0,75}\right)$} &\textbf{d.}~~\ovalbox{$t > \dfrac{\log (0,2)}{\log (0,75)}$} \\
\end{tabularx}

{\footnotesize $1,5 \times 0,75^t <\np{0.3}\iff  0,75^t <\np{0.2}\iff t\log \np{0.75}<\log \np{0.2}\iff t > \dfrac{\log (0,2)}{\log (0,75)}$  car $\log \np{0.75}<0$.}

\medskip 
 
 \emph{\footnotesize Les deux questions suivantes portent sur le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille de calcul représentant le montant, en milliards d'euros, des dépenses de santé en France.}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
&\centering A &B &C &D &E &F\\ \hline 
1 & Année &2009 &2010 &2011 &2012 &2013\\ \hline 
2 &Dépenses de santé en milliards d'euros& 153 &157,6&&&\\ \hline
\end{tabularx} 

\bigskip

\textbf{Question 5 :}
 
Le pourcentage d'augmentation des dépenses entre 2009 et 2010 est proche de :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{0,3\,\% }&\textbf{b.}~~\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{0,03\,\%} &\textbf{c.}~~\ovalbox{3\,\% }&\textbf{d.}~~\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{13\,\% }\\
\end{tabularx}

{\footnotesize Le taux d'évolution $t$ est défini par $t=\dfrac{\text{{\footnotesize valeur finale}}-\text{\footnotesize valeur initiale}}{\text{{\footnotesize valeur initiale}}}$
		  $t=\dfrac{\np{157.6}-153}{153}\approx \np{0.03007}$ soit environ $3\,\%$.}
		  
\medskip 
  
\textbf{Question 6 :}

Le ministère de la santé souhaite limiter l'augmentation des dépenses de santé à 2,5\,\% par an à partir de 2010. Quelle formule écrire en D2 qui, recopiée vers la droite, permettra de calculer le montant maximal des dépenses autorisé de 2011 à 2013 ? 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{=\$C\$2* 1,025 }&\textbf{b.}~~\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{=C2*1,25} &\textbf{c.}~~=\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\$C\$2*1,25} &\textbf{d.}~~\ovalbox{=C2*1,025} \\
\end{tabularx}

{\footnotesize \textbf{a.} résultat constant C2 en référence absolue \hspace{1em} \textbf{b.} coefficient multiplicateur $1+\frac{\np{2.5}}{100}=\np{1.025}$\hspace{1em}\textbf{c.} cumul des raisons précédentes.}

\medskip

\vspace{0,75cm}
%\newpage
\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 7 points}

\medskip

Une enquête a étudié l'évolution du nombre d'infirmiers diplômés d'État dans les départements d'outre-mer depuis l'année 2000.
 
Les résultats de cette enquête ont été transcrits dans le tableau ci-dessous et sont exprimés en milliers. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash \small} X|}}\hline
Année &2000 &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008 &2009\\ \hline 
Rang $x_{i}$ de l'année		&1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 \\ \hline
Nombre $y_{i}$ d'infirmiers 
(en milliers) 					&6,6 &7,0 &7,7 &8,3 &8,7 &9 &9,5 &10 &10,8 &11,5\\ \hline
\multicolumn{11}{r}{\footnotesize \emph{Sources: Drees, Adeli - janvier 2010}}\\
\end{tabularx} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Construire sur la feuille de papier millimétré fournie, 
Le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$  est construit page~\pageref {nuage} dans un repère orthogonal d'unités graphiques :
{\footnotesize 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]sur l'axe des abscisses gradué à partir de $0$ et jusqu'à $15$ : 1~cm pour une année 
\item[$\bullet~~$]sur l'axe des ordonnées gradué à partir de $0$ et jusqu'à $20$ : 1~cm pour mille infirmiers.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}}
 \end{enumerate}
 
{\footnotesize Dans la suite de l'exercice, tous les résultats seront arrondis au dixième.} 

\begin{enumerate}[resume]
\item {\footnotesize Les données étant nombreuses, on décide de diviser le nuage de points en deux sous-nuages.
 
Le premier est constitué des cinq premiers points correspondant aux années allant de 2000 à 2004, et le second par les cinq suivants.} 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons  les coordonnées des points moyens G$_{1}$ et G$_{2}$ de ces sous-nuages. 
		
		Les coordonnées du point moyen G sont ($\overline{x}~;~\overline{y}$)
\[
\overline{x}_{\text{G}_1}=\frac{1+2+3+4+5}{5}=\np{3.0} \qquad \overline{y}_{\text{G}_1}=\frac{\np{6.6}+\np{7.0}+\np{7.7}+\np{8.3}+\np{8.7}}{5}\approx\np{7.7}\]
\[\overline{x}_{\text{G}_2}=\frac{6+7+8+9+10}{5}=\np{8.0} \qquad \overline{y}_{\text{G}_2}=\frac{\np{9}+\np{9.5}+\np{10}+\np{10.8}+\np{11.5}}{5}\approx \np{10.2}\]
		
		\item Ces deux points G$_1$ et G$_2$ sont placés dans le repère et  la droite $D$ passant par les deux points G$_{1}$ et G$_{2}$ a été tracée.
	\end{enumerate} 
\item Déterminons une équation de la droite (G$_1$G$_2$). N'étant pas parallèle à l'axe des ordonnées, son équation est de la forme $y=mx+p$.

$m=\dfrac{y_{\text{G}_2}-y_{\text{G}_1}}{x_{\text{G}_2}-x_{\text{G}_1}};\quad m=\dfrac{\np{10.2}-\np{7.7}}{8-3}=\np{0.5}$. 

\'Ecrivons maintenant que la droite passe par G$_1$ $\np{7.7}=\np{0.5}\times 3+p$ d'où $p=\np{7.7}-\np{1.5}=\np{6.2}$. 

Nous avons montré qu'une équation de $D$ est $y = O,5x + 6,2$. 
\item On admettra que, pour le nuage de points, la droite $D$ réalise un bon ajustement affine qui restera valable une dizaine d'années encore. 
	\begin{enumerate}
		\item Graphiquement, pour déterminer le nombre d'infirmiers diplômés d'État, dans les départements d'outre-mer en 2013, lisons l'ordonnée du point de la droite d'abscisse 14
		puisque le rang de l'année 2013 est 14. Avec la précision permise par le graphique, nous obtenons \np{13.2}. Nous pouvons estimer le nombre d'infirmiers diplômés d'État, dans les départements d'outre-mer en 2013 à \np{13200}.
		 
%\emph{On laissera apparents tous les traits de construction utiles.} 
		\item  Par le calcul, remplaçons $x$ par 14 dans l'équation de la droite. $y=\np{0.5}\times14+\np{6.2}=7+\np{6.2}=\np{13.2}$. Nous trouvons ainsi le même résultat.
		\item Par le calcul, déterminons en quelle année on comptera \np{15200}infirmiers soit \np{15.2} milliers d'infirmiers dans les départements d'outre-mer.

 Pour ce faire, résolvons l'équation $\np{0.5}x+\np{6.2}=\np{15.2}$.

$\np{0.5}x+\np{6.2}=\np{15.2}\iff \np{0.5}x=\np{15.2}-\np{6.2}=9 \iff x=9\times 2 =18.$

En utilisant ce modèle, nous pouvons estimer qu'en 2017,on comptera \np{15200} infirmiers dans les départements d'outre-mer.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 7 points}

\medskip
{\footnotesize
Pendant leur année de terminale, des élèves de ST2S d'un lycée ont passé des concours d'entrée dans différentes écoles spécialisées. Chacun de ces élèves n'a présenté qu'un seul concours.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] La moitié d'entre eux ont passé le concours d'entrée dans un institut de formation en soins infirmiers (I. F. S. I.). 
\item[$\bullet~~$] Un cinquième d'entre eux ont passé le concours d'entrée dans une école de préparation au diplôme d'éducateur de jeunes enfants (D. E. E. J. E). 
\item[$\bullet~~$] Le reste des élèves ont passé le concours d'entrée dans une école de préparation au diplôme d'éducateur spécialisé (D. E. E. S.).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Voici les résultats à l'issue de ces concours :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] I. F. S. I. : trois cinquièmes des candidats ont été admis. 
\item[$\bullet~~$] D. E. E. J. E. : un quart des candidats ont été admis. 
\item[$\bullet~~$] D. E. E. S. : un tiers des candidats ont été admis.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On choisit au hasard un élève qui a passé l'un des trois concours. On considère les événements suivants :

%\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]  $A$ : \og l'élève a passé le concours d'entrée dans un I. F. S. I. \fg 
\item[$\bullet~~$]  $B$ : \og l'élève a passé le concours d'entrée dans une école préparant le D. E. E. J. E.\fg 
\item[$\bullet~~$]  $C$ : \og l'élève a passé le concours d'entrée dans une école préparant le D. E. E. S. \fg 
\item[$\bullet~~$]  $R$ : \og l'élève a été reçu à un concours \fg 
\item[$\bullet~~$]  $\overline{R}$ est l'événement contraire de $R$. 
\end{itemize}}
\setlength\parindent{0mm}

%{\footnotesize \emph{Pour toutes les questions, les probabilités demandées seront données sous forme d'une fraction irréductible.}} 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Les deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles car chacun de ces élèves n'a présenté qu'un seul concours.
		\item Déterminons la probabilité de l'événement : \og l'élève a passé le concours d'entrée dans un I. F. S. I. ou dans une école préparant le D. E. E. J. E. \fg
		
		$p(A\cup B)=p(A)+p(B)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{7}{10}$.
	\end{enumerate} 
\item Complétons  l'arbre de probabilités ci-dessous décrivant la situation.

\medskip

\begin{center}

\pstree[treemode=R,treesep=1cm,levelsep=3cm,treenodesize=5pt,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,labelsep=1pt]{\TR{}}{
\pstree{\TR{$A$~}\taput{$\frac{1}{2}$}}
	{
	\TR{$R$}\taput{$\frac{3}{5}$}
	\TR{$\overline{R}$}\tbput{$\frac{2}{5}$}
	}
\pstree{\TR{$B$~}\taput{$\frac{1}{5}$}}
	{
	\TR{$R$}\taput{$\frac{1}{4}$}
	\TR{$\overline{R}$}\tbput{$\frac{3}{4}$}
	}
\pstree{\TR{$C$~}\taput{$\frac{3}{10}$}}
	{
	\TR{$R$}\taput{$\frac{1}{3}$}
	\TR{$\overline{R}$}\tbput{$\frac{2}{3}$}
	}	
}
\end{center} 

\item La probabilité de l'événement: \og l'élève a passé le concours d'entrée dans une école préparant le D. E. E. S. et a été reçu \fg{} est notée $p (C \cap R)$. 

$p(C\cap R)=p(C)\times p_{C}(R)=\dfrac{3}{10}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{10}$.
\item Calculons la probabilité de l'événement $R$. $p(R)= p(A)\times p_{A}(R)+p(B)\times p_{B}(R)+p(C)\times p_{C}(R)$.

 $p(R)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{5}\times \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{10}= \dfrac{3}{10}+\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{10}=\dfrac{9}{20}$.

%Nous obtenons bien le résultat attendu : $\dfrac{9}{20}$
\item Sachant que l'on rencontre un élève qui n'a pas été admis, la probabilité qu'il ait passé le concours d'entrée dans une école préparant le D. E. E. J. E est notée $p_{\overline{R}}{B}$. 

$p_{\overline{R}}(B)=\dfrac{p(\overline{R}\cap B)}{p(\overline{R})}=\dfrac{\frac{1}{5}\times\frac{3}{4}}{1-\frac{9}{20}}=\dfrac{3}{11}$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm,arrowscale=1.25,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-1,0)(16,21)
\multido{\n=0+0.5}{31}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,20)}
\multido{\n=0+0.5}{41}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(15,\n)}
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=1,Dy=1,linewidth=1pt](0,0)(15.4,20.4)
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=1,Dy=1,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psdots[dotstyle=SolidSquare,dotscale=1.2,dotangle=45](1,6.6)(2,7.0)(3,7.7)(4,8.3)(5,8.7)(6,9)(7,9.5)(8,10)(9,10.8)(10,11.5)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{0}{15}{x 0.5  mul 6.2 add }
\uput[d] (14.3,13.15){D}
\psdots[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.4,dotangle=45](3,7.7)(8,10.2)
\uput[ul](3,7.7){\textcolor{red}{$G_1$}}\uput[ul](8,10.2){\textcolor{red}{$G_2$}}\uput[l](0,13.2){\scriptsize\textcolor{violet}{\np{13.2}}}
 \def\Func{x 0.5 mul 6.2 add}
\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-<]{<-}(!0 /x 14 def \Func)(!14 /x 14 def \Func)(14,0)
\rput(0.7,20.8){\footnotesize Nombre d'infirmiers}
\rput(0.8,20.4){\footnotesize   en milliers }
\rput(15.1,0.17){\footnotesize rang de l'année}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\label{nuage}
\end{document}