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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Antilles-Guyane\hspace{1em}correction}}
\rfoot{\small{19 juin 2018}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~  Baccalauréat Sciences et Technologies de la Santé et du Social ~\decofourright \\Antilles-Guyane  19 juin 2018\hspace{1em}Correction}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip
{\footnotesize

Il existe trois types d’eau qui peuvent être conditionnés : les eaux minérales, les eaux de source et
les eaux rendues potables par traitements.

Afin de vérifier le respect des dispositions législatives et réglementaires relatives à la sécurité sanitaire
de ces eaux, des contrôles sanitaires aux points de conditionnement de l’eau sont mis en place et
assurés par les agences régionales de santé. Le bilan, établi par la Direction Générale de la Santé,
révèle qu’en France durant l’année 2014 :

\begin{itemize}
\item[$\bullet$]  37\,\% des prélèvements ont été effectués sur des eaux minérales.

 Parmi eux, 96,5\,\% étaient conformes.
\item[$\bullet$] 61\,\% des prélèvements ont été effectués sur des eaux de source. 

Parmi eux, 99,4\,\% étaient conformes.
\item [$\bullet$] Parmi les prélèvements d’eaux rendues potables par traitements, 96,1\,\% étaient conformes.
\end{itemize}
\begin{flushright}
\footnotesize \emph{Source : Ministère des Solidarités et de la Santé (rapport 2014)}
\end{flushright}

On choisit un prélèvement au hasard dans l’ensemble des prélèvements de l’année 2014. On considère
les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item $M$ : \og le prélèvement a été effectué sur une eau minérale\fg{};
\item $S$ : \og le prélèvement a été effectué sur une eau de source\fg{} ;
\item $R$ : \og le prélèvement a été effectué sur une eau rendue potable par traitements \fg{} ;
\item $C$ : \og le prélèvement est conforme \fg.
\end{itemize}
On note $\overline{C}$ l’évènement contraire de $C$.

\medskip

\emph{Dans cet exercice, on donnera des valeurs approchées au millième près des résultats.}
}
\medskip
\begin{enumerate}
\item  À partir des données de l’énoncé, déterminons :
\begin{enumerate}
\item  la probabilité de l’évènement $S$,  $P (S)=\np{0.61}$ car  61\,\% des prélèvements ont été effectués sur des eaux de source ;
\item la probabilité que le prélèvement soit non conforme sachant qu’il a été effectué sur une
eau minérale, est notée $P_M (\overline{C})$.   Parmi les prélèvements effectués sur des eaux minérales 96,5\,\% étaient conformes, donc \np{3.5}\,\% étaient non conformes d'où 

$P_M (\overline{C})=\np{0.035}$.
\end{enumerate}
\item Nous avons complété l’arbre de probabilité, donné en \textbf{annexe page \pageref{arbre} à rendre avec la copie}, qui
décrit la situation.
\item \begin{enumerate}
\item  $M \cap C$ est l’évènement : \og le prélèvement a été fait sur une eau minérale et était conforme\fg.

Calculons sa probabilité. $P(M\cap C)= P(M)\times P_{M}(C)=\np{0.37}\times\np{0.965}\approx\np{0.357}$
\item La probabilité que le prélèvement choisi soit conforme et ait été effectué sur
une eau rendue potable par traitements est notée 

$P(R\cap C)$. $P(R\cap C) = P(R) \times P_{R}(C)= \np{0.02}\times\np{0.961}\approx\np{0.019}$. 

Nous retrouvons bien le résultat demandé soit environ égal à 0,019.
\end{enumerate}
\item Montrons que la probabilité que le prélèvement choisi soit conforme est d’environ \np{0.982}.

$P(C)=P(M\cap C)+ P(S\cap C)+P(R \cap C)=\np{0.357}+\np{0.61}\times \np{0.994}+\np{0.019}=\np{0.982}$.
\item Sachant qu'on choisit à présent un prélèvement au hasard parmi les prélèvements non conformes de
l’année 2014, la probabilité qu'il ait été effectué sur une eau minérale est notée $P_{\overline{C}}(M)$.

La probabilité que le prélèvement soit non conforme,   notée $P\left(\overline{C}\right)$ vaut  $1 - P(C)$ soit $\np{0.018}$.

$P\left(M\cap \overline{C}\right) = P(M) \times P_{M}\left(\overline{C}\right) = \np{0.37}\times\np{0.035}\approx\np{0.01295}$

$P_{\overline{C}}(M) = \dfrac{P\left(M\cap \overline{C}\right)}{P\left(\overline{C}\right)}=\dfrac{\np{0.01295}}{\np{0.018}}\approx \np{0.719}$.
\end{enumerate}


\vspace{0.75cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 2 \hfill 6 points}

\vspace{0.5cm}
{\footnotesize
L’Allocation Personnalisée d’Autonomie (APA) est une allocation destinée aux personnes âgées de 60 ans et plus en perte d’autonomie.
}
\medskip

\textbf{PARTIE A :}

\medskip

{\footnotesize

Sur une feuille de calcul, le tableau suivant recense les dépenses d’APA en établissement entre 2006
et 2015 en France métropolitaine et dans les départements et régions d’Outre-Mer (hors Mayotte).

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{2.755cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline 
&\centering{A}& B &C& D& E& F& G& H& I& J& K \\
\hline
 1& Année &2006& 2007& 2008& 2009 &2010 &2011 &2012& 2013& 2014& 2015\\\hline
 2& Dépenses (en millions d’euros)&\np{1 462}& \np{1 584}& \np{1 718}& \np{1 834}& \np{1950} & \np{2 028}&\np{2 106} &\np{2 182}& \np{2 257}& \np{2 339}\\\hline
 3&Taux d’évolution entre deux années consécutives(en \%)&\cellcolor{lightgray}&8,3\,\%&&&&&&&&\\\hline
 \multicolumn{12}{r}{\emph{Source : Ministère des Solidarités et de la Santé}}\\
\multicolumn{12}{r}{\emph{Données concernant l’allocation personnalisée d’autonomie (APA)}}\\
 \end{tabularx}
}
\medskip
\begin{enumerate}
\item  

Le taux d'évolution $\mathcal{T}$ est défini par  $\dfrac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$.

$\mathcal{T}=\dfrac{\np{2339}-\np{1462}}{\np{1462}}\approx \np{0.59986}$.

En pourcentage, arrondi à 0,1\,\%, le taux d'augmentation des dépenses d’APA en établissement entre 2006
et 2015 est d'environ 60\,\%. 


\item La ligne 3 est au format pourcentage arrondi à 0,1\,\%. Une formule que nous pouvons  saisir en C3
pour obtenir, par recopie vers la droite, les taux d’évolution entre deux années consécutives est =(C\$2-B\$2)/B\$2

%\emph{On ne demande pas de compléter le tableau.}
\end{enumerate}


\medskip

\textbf{PARTIE B :}

\medskip
{\footnotesize
On reprend les résultats de la partie A sous la forme suivante :

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.755cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 				&2006	& 2007& 2008& 2009 &2010 &2011 &2012& 2013& 2014& 2015\\\hline
rang de l'année : $x_i$	&0		&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\\hline 
Dépenses (en millions d’euros) :$y_i$&\np{1 462}& \np{1 584}& \np{1 718}& \np{1 834}& \np{1950} & \np{2 028}&\np{2 106} &\np{2 182}& \np{2 257}& \np{2 339}\\\hline
\end{tabularx}
}
\smallskip
 
\begin{enumerate}
\item  Dans le repère donné en \textbf{annexe page \pageref{repere} à rendre avec la copie}, on a représenté le nuage de points de coordonnées $(x_i ; y_i)$ associé aux données du tableau précédent.

 Déterminons les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points et  plaçons-le
dans le repère donné en \textbf{Annexe}.

 Le point moyen est le point  G de coordonnées $(\overline{x}~;~\overline{y})$.
 
 \[\overline{x}_G=\frac{0+1+\dots+8+9}{10}=\np{4.5} \qquad \overline{y}_G=\dfrac{\np{1462}+\np{1584}+\dots+\np{2257}+\np{2339}}{10}=\np{1946}\]
 
 G~(4,5~;~\np{1946})
% Calculer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points. Placer G dans le repère.

 \item On admet que la droite $\Delta$ passant par G et de coefficient directeur 96 réalise un ajustement affine convenable du nuage de points, et que cet ajustement est un modèle valable jusqu’en 2020.
\begin{enumerate}
\item Écrivons l’équation réduite de la droite $\Delta$ de coefficient directeur 96 et passant par G.

Nous avons donc $\np{1946}=96\times \np{4.5}+p$ d'où $p= \np{1946}-432=\np{1514}$

$\Delta$ a pour équation  $y = 96x + \np{1514}$.
\item Selon ce modèle, calculons une prévision des dépenses d’APA en établissement en 2018.

En 2018, le rang de l'année est 12. En remplaçant $x$ par 12 dans l'équation de la droite, nous obtenons $y=96\times 12+\np{1514}=\np{2666}$.

En 2020, nous pouvons estimer à environ \np{2.666} milliards d'euros, les dépenses d'APA en établissement.
\item  La droite $\Delta$ est tracée dans le repère donné en \textbf{annexe}. Pour ce faire,  les coordonnées des points
utilisés sont (1~;~\np{1610}) (11~;~\np{2570})
\item Selon ce modèle, déterminons par lecture graphique l’année à partir de laquelle les dépenses
d’APA en établissement dépasseront $2,8$ milliards d’euros ou \np{2800} millions. 

Traçons la droite d'équation $y=\np{2800}$ et lisons l'abscisse du point d'intersection de cette droite avec $\Delta$.

 Avec la précision permise par le graphique, nous obtenons environ \np{13.4}.

 Selon ce modèle, nous pouvons estimer qu'à partir de 2020 les dépenses d’APA en établissement dépasseront $2,8$ milliards d’euros.

%\emph{On fera apparaître les traits utiles à la lecture.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 3 \hfill 9 points}

\vspace{0.5cm}
{\footnotesize
Les maladies cardio-vasculaires sont une cause majeure d’incapacité et de décès prématurés dans le
monde entier. Parmi les examens qui permettent de prévenir ces maladies, on recense la tonométrie
artérielle et la scintigraphie cardiaque.

\medskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{PARTIE A :}

\medskip
La tonométrie artérielle permet d’obtenir une mesure continue de la pression artérielle. L’examen
renseigne sur l’état des artères du patient dans le cadre du développement de l’hypertension artérielle.
Un enregistrement des mesures permet d’apprécier la courbe de pression artérielle.

On note $f$ la fonction qui au temps $t$ en millisecondes (ms) associe la pression artérielle radiale
$f(t)$ en millimètres de mercure (mmHg), mesurée au repos chez un patient suspecté d’insuffisance
cardiaque.

On considère $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ sur l’intervalle [0 ; 650].

Cette courbe $\mathcal{C}f$ admet quatre tangentes horizontales, mises en évidence sur le graphique ci-dessous.



\begin{center}
\psset{xunit=0.02cm,yunit=0.15cm}
\begin{pspicture}(-5,-10)(690,60)
\multido{\n=0+10}{69}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](\n,-5)(\n,56)}
\multido{\n=0+2}{29}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](0,\n)(680,\n)}
\multido{\n=0+50}{13}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=darkgray](\n,-5)(\n,56)}
\multido{\n=0+10}{6}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=darkgray](0,\n)(680,\n)}
\psaxes[xAxis=false,linewidth=0.85pt,Dx=50,Dy=10,Oy=90]{->}(0,0)(690,58.5)
\psaxes[yAxis=false,linewidth=0.85pt,Dx=50]{->}(0,-5)(690,-5)
\pscurve[linewidth=0.9pt,linecolor=blue](0,5)(50,24)(100,46)(120,49)(150,43.6)(200,20)(260,8)(290,10)(400,20)(500,6,2)(585,0)(650,5)
\psline[linewidth=0.6pt,linecolor=red]{<->}(80,49)(160,49)\psline[linewidth=0.6pt,linecolor=red]{<->}(220,8)(300,8)
\psline[linewidth=0.6pt,linecolor=red]{<->}(360,20)(440,20)\psline[linewidth=0.6pt,linecolor=red]{<->}(545,0)(625,0)
\psline[linewidth=0.65pt,linecolor=red]{-}(120,48)(120,50)\psline[linewidth=0.65pt,linecolor=red]{-}(260,7)(260,9)
 \psline[linewidth=0.65pt,linecolor=red]{-}(400,19)(400,21)\psline[linewidth=0.65pt,linecolor=red]{-}(585,-1)(585,1)
\psset{arrowscale=1.5}
\uput[ur](0,55){\footnotesize Pression artérielle en mmHg}\uput[u](650,-5.7){\footnotesize Temps en ms}\uput[d](200,32){$\mathcal{C}_f$}
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed]{-}(0,40)(200,40)
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(80,40)(80,-5)
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(160,40)(160,-5)
\uput[d](80,-4.5){\footnotesize $\textcolor{violet}{\approx 80}$}\uput[d](160,-4.5){\footnotesize $\textcolor{violet}{\approx 160}$}
 \end{pspicture}
\end{center} 

Répondons aux questions \textbf{1.}, \textbf{2 .} et \textbf{3.} avec la précision permise par le graphique.
}
\begin{enumerate}
\item  Dressons le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle [0 ; 650].

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(10,3)
 \psframe(12,3)
 \psline(0,2.5)(12,2.5) %\psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\psline[linewidth=0.5pt](1.65,0)(1.65,3)
 \uput[u](1,2.45){$t$}  \uput[ul](2,2.45){$0$} \uput[ul](4,2.45) {$120$} \uput[ul](6,2.45){$260$}\uput[ul](8,2.45){$400$}\uput[ul](10,2.45){$585$}\uput[ul](12,2.45){$650$}
\uput[d](0.75,1.5){\scriptsize Variation de $f$}

\uput[ul](4,2){$139$}\uput[ul](8,2){$110$}\uput[ul](12,2){$93$}\uput[ul](2.2,0.25){$95$}\uput[ul](6,0.25){$98$}\uput[ul](10,0.25){$90$}
 \psline{->}(2.2,0.55)(3.6,1.85)\psline{->}(6.2,0.55)(7.6,1.85)\psline{->}(10.2,0.55)(11.6,1.85)
\psline{->}(3.8,1.85)(5.5,0.55)
\psline{->}(7.8,1.85)(9.5,0.55)


\end{pspicture}
\end{center}
\item La pression artérielle est  supérieure à \np[mmHg]{130} sur l'intervalle [80~;~160].
\item \begin{enumerate}
 \item  La valeur systolique mesurée, c’est-à-dire la valeur maximale de la pression
artérielle est d'environ 139.
\item La valeur diastolique mesurée, c’est-à-dire la valeur minimale de la pression
artérielle est 90.
\item Un patient est en hypertension artérielle lorsque la pression systolique est supérieure ou
égale à \np[mmHg]{140} ou que la pression diastolique est supérieure ou égale à \np[mmHg]{90}.
 
Ce patient est en hypertension puisque sur l'intervalle la pression diastolique est supérieure à \np[mmHg]{90}.
\end{enumerate}
\item La fonction $f$ a été représentée sur l’intervalle de temps [0 ; 650] ; la durée 650 millisecondes
correspond à celle d’un battement de c\oe ur du patient. On parle de tachycardie lorsque, au
repos, le nombre de battements du c\oe ur est supérieur à 100 par minute. D’après cet examen,
nous pouvons estimer que le patient ne souffre pas  de tachycardie. 

Un battement dure \np[s]{0.650}, par conséquent dans \np[s]{60} il y aura $\dfrac{60}{\np{0.650}}$ battements soit environ 92 battements par minute. Il y en a donc strictement moins de 100.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B :}

\medskip
{\footnotesize
La scintigraphie cardiaque est une technique d’imagerie qui permet d’examiner la qualité de l’irrigation
du c\oe ur par les artères coronaires.

Lors de cet examen, on injecte au patient un échantillon d’un isotope de Thallium d’activité radioactive
\np[MBq]{60} (Méga Becquerel).

On appelle demi-vie le temps mis par une substance radioactive pour perdre la moitié de son activité.

Ainsi, après une demi-vie, l’activité radioactive de cet échantillon de Thallium est de \np[MBq]{30}  et après
deux demi-vies, l’activité radioactive de cet échantillon est de \np[MBq]{15}.

On note $u_0$ l’activité radioactive de cet échantillon (en MBq) à l’injection et $u_n$ l’activité radioactive
de cet échantillon (en MBq) après $n$ demi-vies avec $n$ entier naturel.}

\begin{enumerate}
\item   $u_0=60$, $u_1=\dfrac{60}{2}=30$, $u_2=\dfrac{30}{2}=15$ et $u_3=\dfrac{15}{2}=\np{7.5}$.
\item  $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\times u_n$. Passant d'un terme au suivant en le divisant par 2 la suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$
 et de premier terme 60.
\item \begin{enumerate}
\item  Le terme général d'une suite géométrique  de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est

 $u_n=u_0\times (q)^n$. $u_n=60\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.

\item Déterminons l’activité radioactive de cet échantillon après 5 demi-vies. 

Calculons $u_5$. $u_5=60\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^5=\np{1.875}$.
\end{enumerate}
\item Déterminons le plus petit entier $n$ à partir duquel $u_n < 0,25$.
 
Pour ce faire, résolvons $60\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n<\np{0.25}$.

\begin{minipage}[]{4.7cm}
\begin{align*}
60\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n&<\dfrac{1}{4}\\
 \left(\dfrac{1}{2}\right)^n&<\dfrac{1}{240}\\
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}[]{4.7cm}
\begin{align*}
2^n&>240\\
\log 2^n&>\log 240\\
n\log 2&>\log 240\\
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}[]{4.7cm}
\begin{align*}
n&>\dfrac{\log 240}{\log 2}\\
  \dfrac{\log 240}{\log 2}&\approx \np{7.91}\\
    \end{align*}
  \end{minipage}  
    
    Le plus petit entier à partir duquel $u_n$ est strictement inférieur à \np{0.25} est 8.
\item Sachant que la demi-vie de cet isotope de Thallium est d’environ 3 jours,  déterminons le nombre
de jours au bout desquels on est certain que l’activité radioactive de cet échantillon est strictement inférieure à \np[MBq]{0.25}.  

Il faut environ 8 demi-vies pour que l'activité radioactive de cet échantillon soit strictement inférieure à \np[MBq]{0.25} et la durée de cette demi-vie est 3 jours. Par conséquent, il faudra 24 jours pour être certain que l’activité radioactive de cet échantillon est strictement inférieure à \np[MBq]{0.25}.
\end{enumerate}


\newpage

\textbf{\large Annexe  \hfill à rendre avec la copie}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice} 1 :}

\begin{center}
\psset{nodesep=0.1,treesep=0.75,labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$M$}\taput{$\np{0.37}$}}
	{
	\TR{$C$}\taput{$\np{0.965}$}
	\TR{$\overline{C}$}\tbput{$\np{0.035}$}
	}
\pstree{\TR{$S$}\tbput{$\np{0.61}$}}
	{\TR{$C$}\taput{$\np{0.994}$}
	\TR{$\overline{ C}$}\tbput{$\np{0.006}$}
	}
\pstree{\TR{$R$}\tbput{$\np{0.02}$}}
	{\TR{$C$}\taput{$\np{0.961}$}
	\TR{$\overline{ C}$}\tbput{$\np{0.039}$}
	}	

}
\end{center} 
\label{arbre}

\textbf{\textsc{Exercice} 2 : Partie B}



\psset{xunit=0.85cm,yunit=0.009cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-50)(17,1700)
 \multido{\n=0+1}{16}{\psline[linewidth=0.55pt,linecolor=darkgray](\n,-50)(\n,1600)}
\multido{\n=0+20}{81}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](0,\n)(15,\n)}
% \multido{\n=0+100}{13}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=darkgray](\n,-5)(\n,56)}
\multido{\n=0+100}{17}{\psline[linewidth=0.55pt,linecolor=darkgray](0,\n)(15,\n)}
\psaxes[xAxis=false,linewidth=0.85pt,,Dy=100,Oy=1400]{->}(0,0)(16,1650)
\psaxes[yAxis=false,linewidth=0.85pt,Dx=1]{->}(0,-50)(15.7,-50)
\psdots[dotstyle=Bullet,dotscale =1.3](0,62)(1,184)(2,318)(3,434)(4,550)(5,628)(6,706)(7,782)(8,857)(9,939)
 \psdots[dotstyle=square,dotscale =1.1,dotangle=45,fillcolor=blue](11,1170)(1,210)
  \psdot[dotstyle=square,dotscale =1.8,dotangle=45,fillcolor=red](4.5,546)
  \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{15}{x 96 mul 114 add}
\uput[ur](0,1600){\footnotesize Dépenses d’APA en établissement en millions d’euros}\uput[ul](15,-157){\footnotesize Rang $x$ de l’année}
\uput[dr](4.5,546){\textcolor{red}{G}}
  \psset{arrowscale=2}
 \def\Func{x 96 mul 114 add}
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 13.3958 def \Func)(!13.3958 /x 13.3958 def \Func)(13.3958,-50)
 \uput[d](13.4,-50){$\textcolor{violet}{\scriptstyle\approx \np{13.4}}$}
\end{pspicture}
 \label{repere}
\end{document}