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% Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  Sciences et Technologies de la Santé et du Social (ST2S)}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{6 septembre 2018}}
%\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat  ST2S Antilles-Guyane~\decofourright\\[5pt]6 septembre 2018}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill(9 points)}

{\footnotesize
La Direction de la recherche, des études, de l’évaluation et des statistiques (Drees) collecte des
informations sur les établissements d’accueil des enfants de moins de 6 ans.}
\medskip

\textbf{\large Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip
{\footnotesize
Ces établissements d’accueil se caractérisent notamment par leurs modes d’accueil : l’accueil en multiaccueil, en monoaccueil ou l’accueil familial.

Une enquête de la Drees révèle qu’au 31 décembre 2013, en France métropolitaine :
\begin{itemize}
\item  31,1\,\% des établissements sont des structures monoaccueil dont 58,8\,\% sont gérées par des organismes publics.
\item  63,6\,\% des établissements sont des structures multiaccueil dont 55,6\,\% sont gérées par des organismes publics.
\item Les autres établissements sont des structures d’accueil familial dont 91\,\% sont gérées par des
organismes publics.
\end{itemize}

On choisit un établissement au hasard dans l’ensemble des établissements d’accueil. On considère
les évènements suivants :

\begin{enumerate}
\item [–] $A$ : \og l’établissement est une structure monoaccueil \fg{} ;
\item [–] $B$ : \og l’établissement est une structure multiaccueil \fg{} ;
\item [–] $C$ : \og l’établissement est une structure d’accueil familial{} \fg ;
\item [–] $D$ : \og l’établissement est géré par un organisme public \fg.
\end{enumerate}

On note $\overline{D}$ l’évènement contraire de $D$.
}
\begin{enumerate}
\item  À partir des données de l’énoncé, 
	\begin{enumerate}
	\item  La probabilité de l’évènement $A$ est égale à \np{0.311} car 31,1\,\% des établissements sont des structures monoaccueil .
	\item La probabilité que l’établissement soit géré par un organisme public sachant qu’il s’agit d’une structure multiaccueil est notée $p_{B}(D)$.

	$p_{B}(D)= \np{0.556}$ car  55,6\,\% des structures multiaccueil  sont gérées par des organismes publics.
	\end{enumerate}
\item Sur \textbf{l’annexe 1 page \pageref{arbre}/\pageref{LastPage}, à rendre avec la copie},  l’arbre de probabilité qui
représente la situation, a été complété.
\item \emph{Dans cette question les probabilités calculées seront arrondies au millième.}
	\begin{enumerate}
	\item   $A \cap D$ est l’évènement : \og L'établissement est une structure monoaccueil géré par un organisme public\fg. Calculons la probabilité de cet évènement.

	$p(A\cap D)=p(A)\times p_{A}(D)=\np{0.311}\times \np{0.588}\approx \np{0.183}$.
	\item Montrons que la probabilité que l’établissement soit géré par un organisme public est
	environ égale à 0,585.

	$p(D)=p(A)\times p_{A}(D)+p(B)\times p_{B}(D)+p(C)\times p_{C}(D)=\np{0.183}+\np{0.636}\times\np{0.556}+\np{0.053}\times\np{0.09}$.

	$p(D)=\np{0.183}+\np{0.354}+\np{0.048}=\np{0.585}$
	\end{enumerate}
\item Un journaliste affirme que parmi les établissements gérés par des organismes non publics,
		environ 2 sur 3 sont des structures multiaccueil.

	Calculons la probabilité de l'févènementf :\og l'établissement est une structure multiaccueil\fg{} sachant qu'elle est gérée par des organismes non publics.
 
	$p_{\overline{D}}(B)= \dfrac{p(\overline{D}\cap B}{p(\overline{D})}=\dfrac{\np{0.636}\times\np{0.444}}{1-\np{0.585}}\approx \np{0.680}$.
	Cette affirmation est donc vraie.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

Le tableau suivant recense le nombre total d’établissements multiaccueil entre 2009 et 2013 en France métropolitaine.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.9cm}|*{5}{>{\footnotesize  \centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Année 						&2009		&2010		&2011		&2012		&2013\\\hline
Rang $x_i$ du mois 			&0 			&1			&2			&3 			&4 \\\hline
Nombre $y_i$ d'établissement
 multiaccueil 				&\np{5 720}	&\np{6 250}&\np{6 900}	&\np{7 560}&\np{8 050}\\\hline
\multicolumn{6}{r}{\emph{\small Source : enquête PMI-Drees -- 2009 à 2013, France métropolitaine .}}\\
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Le taux d'évolution $\mathcal{T}$ est défini par  $\dfrac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$. 

$\mathcal{T}=\dfrac{\np{8050}-\np{5720}}{\np{5720}}\approx \np{0.40734}$.

En pourcentage, arrondi à 0,1\,\%, le taux d'évolution du nombre d’établissements multiaccueil entre 2009 et 2013 est  de \np{40.7}\,\%.

\item Le nuage de points de coordonnées $(x_i ; y_i)$ associé aux données du tableau précédent a été représenté sur le graphique donné en \textbf{ annexe 1 page \pageref{arbre}/\pageref{LastPage}}.
\item  Déterminons les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points et  plaçons-le
dans le repère de l'\textbf{annexe 1}.

 Le point moyen est le point  G de coordonnées $(\overline{x}~;~\overline{y})$.
 
 \[\overline{x}_G=\frac{0+1+2+3+4}{5}=2 \quad \overline{y}_G=\frac{\np{5720}+\np{6250}+\np{6900}+\np{7560}+\np{8050}}{5}=\np{6896}\]
 
 G~(2~;~\np{6896})
\item On admet que la droite $\Delta$ d’équation $y = 597x + \np{5 702}$ réalise un bon ajustement affine du nuage de points et que cet ajustement reste valable jusqu’en 2018.
\begin{enumerate}
\item  Le point G appartient à cette droite $\Delta$ si les coordonnées de ce point vérifient l'équation de la droite. Calculons l'ordonnée du point G d'abscisse 2.

$y=597\times 2+\np{5702}=\np{1194}+\np{5702}=\np{6896}$. Cette valeur correspondant à l'ordonnée de G par conséquent G appartient à la droite $\Delta$.
\item La droite $\Delta$ est tracée sur le graphique de l’\textbf{annexe 1}.
\item Selon ce modèle, déterminons une prévision du nombre d’établissements multiaccueil en 2018. 
En 2018 le rang de l'année est 9. Remplaçons $x$ par 9 dans l'équation de la droite, 
$y=597\times 9+\np{5072}=\np{11075}$.

Selon ce modèle, une prévision du nombre d’établissements multiaccueil en 2018 est de \np{11075}.
%Indiquer la méthode utilisée.

{\footnotesize \emph{remarque :} Une autre possibilité, lisons sur le graphique l'ordonnée du point d'abscisse 9 appartenant à la droite.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill(6 points)}

\vspace{0.5cm}

{\footnotesize
Dans une usine pharmaceutique, une unité de production fabrique un médicament qu’elle vend par lots. Sa capacité de production est limitée à 60 lots par mois.
}
\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

{\footnotesize Sur le graphique de l’\textbf{annexe 2, à rendre avec la copie}, est représenté le bénéfice, en euros, en
fonction du nombre de lots fabriqués et vendus en un mois.

\begin{enumerate}
\item  Avec la précision permise par le graphique de l’\textbf{annexe 2  page \pageref{courbe}/\pageref{LastPage}} et en faisant apparaître
les traits utiles à la lecture :
\begin{enumerate}
\item   Le bénéfice, en euros, correspondant à la fabrication et à la vente en un mois
de 10 lots de ce médicament est d'environ \np{3600}\,\euro. Nous lisons l'ordonnée du point d'abscisse 10 appartenant à la courbe $C_f$.
\item  Le nombre de lots que l’usine pharmaceutique doit fabriquer et vendre en un
mois pour obtenir un bénéfice de \np{6000} euros est d'environ 14. Nous lisons l'abscisse du point de la courbe d'ordonnée \np{6000}.
\item   L’usine pharmaceutique réalise  un bénéfice supérieur ou égal à \np{14000} euros pour un nombre de lots fabriqués et vendus en un mois appartenant à [36~;~50]. Nous lisons les abscisses des points de la courbe d'ordonnée \np{14000}. Entre ces deux abscisses, la courbe est au dessus de la droite d'équation $y= \np{14000}$, nous prenons l'intervalle ayant ces valeurs pour bornes.
\end{enumerate}
\item La production est rentable pour un nombre de lots fabriqués et vendus en un mois supérieur à 5. Nous lisons l'abscisse du point d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses.Comme à partir de cette valeur, la courbe est au dessus de l'axe des abscisses, l'usine réalise un bénéfice. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B :}

\medskip
{\footnotesize
On admet que le bénéfice en fonction du nombre de lots fabriqués et vendus en un mois est modélisé
par la fonction $f$ définie sur l’intervalle [0~;~60] par $f(x) = -10x^2 + 860x - \np{4000}$.}

\begin{enumerate}
\item  La fonction $f'$ est la fonction dérivée de la fonction $f$. $f'(x)=-10(2x)+860=-20x+860$ pour tout réel $x$
appartenant à l’intervalle [0~;~60].
\item  Étudions le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle [0~;~60].

Sur $\R,\  -20x + 860 > 0$ est équivalent à $x<43$

si $x\in[0~;~43[,\ f'(x)>0$, si $x\in ]43~;~60[,\ f'(x)<0$.

Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est  strictement croissante sur $I$.
 
Sur $[0~;~43[$, $f'(x)>0$ par conséquent $f$ est strictement croissante sur  cet intervalle.

Si pour tout $x\in I, \:f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$.

Sur $]43~;~60[,\:f'(x)<0$ par conséquent $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.

Dressons le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle [0 ; 60].
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(9.5,3.5)
\psframe(9.2,3)
\psline(0,1.5)(9.2,1.5)\psline(0,2.5)(9.2,2.5)  \psline(3.5,0)(3.5,3)
\uput[u](1.75,2.5){$x$} \uput[u](3.7,2.5){$0$}\uput[u](6.4,2.5){$43$}\uput[u](9,2.5){$60$}
\uput[u](1.3,1.75){Signe de $f'(x)$}\uput[u](1.3,0.5){Variations de $f$}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt](6.4,1.5)(6.4,2.5)
\uput[u](6.4,1.75){$0$}
\uput[u](4.9,1.75){$+$}\uput[u](7.8,1.75){$-$}
\psline{->}(4,0.5)(5.9,1.25)\psline{->}(6.85,1.25)(8.78,0.5)
\uput[u](4,0.){\small $-\np{4000}$} \uput[d](6.4,1.5) {$\np{14490}$}
\uput[ul](9,0){$\np{11600}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item  La fonction $f$ admet un maximum valant \np{14490} pour $x$ valant 43 par conséquent le bénéfice maximal est de \np{14490}~\euro, le nombre de lots fabriqués et vendus correspondant à ce bénéfice maximal est alors de 43.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill(5 points)}

\vspace{0.5cm}
\footnotesize

Lors d’une culture \emph{in vitro} de bactéries \emph{Escherichia coli} on s’intéresse à la phase de croissance
exponentielle lors de laquelle, dans les conditions optimales de température à 37\textcelsius, le nombre de bactéries double toutes les 20 minutes.

Lors de la phase exponentielle, le temps nécessaire pour que le nombre de bactéries double, ici 20 minutes, est appelé temps de génération.

\smallskip

On estime qu’au début de la phase exponentielle, le nombre de bactéries \emph{Eschericha coli} par mL s’élève à 50 millions. Soit $u_0$ le nombre de bactéries exprimé en millions au début de la phase exponentielle et $u_n$ le nombre de bactéries après $n$ temps de génération, c’est-à-dire après $n$ fois 20 minutes.

On a ainsi $u_0 = 50$.}
\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
		\item $u_1=2\times 50=100$ et $u_2=2\times 100=200$.
		\item $u_3 = 2\times u_2=2\times 200=400$.  $u_3$ est le nombre de bactéries exprimé en millions après trois temps  de génération  c'est-à-dire après une heure .
		\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
		\item La suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique  de raison 2 et de premier terme 50 car chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par 2.
		\item Le terme général d'une suite géométrique  de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est 

 $u_n=u_0\times (q)^n$. $u_n=50\times \left(2\right)^n$.

		\item Calculons le nombre de bactéries par mL au bout de 2 heures de phase exponentielle. Cela correspond à six temps de génération.
		
$u_6 = 50\times 2^6 =320$.
		
Le nombre de bactéries par mL au bout de 2 heures de phase exponentielle est de 320 millions.
		\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
		\item  Déterminons la plus petite valeur entière $n$ telle que $50 \times 2^n \geqslant \np{200 000}$.
Pour ce faire , résolvons $50\times 2^{n}\geqslant \np{200000}$.
\begin{align*}
50\times 2^{n}&\geqslant \np{200000}\\
2^n&\geqslant \np{4000}\\
\log 2^n &\geqslant  \log \np{4000}\\
n&\geqslant \dfrac{\log \np{4000}}{\log 2}\\
\end{align*}
$\dfrac{\log\np{4000}}{\log 2}\approx \np{11.96}$
La plus petite valeur entière telle que le nombre de bactéries soit supérieur à 200 milliards  est 12.
		\item Il est vrai qu’après 4 heures de phase exponentielle le nombre de bactéries par mL sera
		supérieur à 200 milliards  puisque l'on a montré  qu'il suffisait d'un peu moins de 12 périodes pour atteindre les 200 milliards.
		\end{enumerate}
\item Une personne affirme qu’après 48 heures de phase exponentielle, le nombre de bactéries par
mL sera supérieur à $10^{45}$.

48 heures de phase exponentielle correspondent à 144 temps de générations. Nous avons $u_{144}=50\times 2^{144}\approx\np{1.15 E 45}$.

Son affirmation est vraie.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\large Annexe 1 \hfill à rendre avec la copie}

\medskip 

\textbf{\textsc{Exercice~} 1 : Partie A}
\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=2.5pt,labelsep=0.1pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$A$}\taput{$\np{0.311}$}}
	  { 
		  \TR{$D$}\taput{$\np{0.588}$}
		  \TR{$\overline{D}$}\tbput{$\np{0.412}$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$B$}\tbput{$\np{0.636}$}}
	  {
		  \TR{$D$}\taput{$\np{0.556}$}
		  \TR{$\overline{D}$}\tbput{$\np{0.444}$}
	  }
	\pstree{\TR{$C$}\tbput{$\np{0.053}$}}
	  {
		  \TR{$D$}\taput{$\np{0.91}$}
		  \TR{$\overline{D}$}\tbput{$\np{0.09}$}
	  }
}
\end{center}
\label{arbre}
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice~} 1 : Partie B}

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.002cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-1,-100)(12,7000)
 \multido{\n=0+1}{12}{\psline[linewidth=1pt,linecolor=darkgray](\n,-50)(\n,6750)}
 \multido{\n=0+50}{136}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(11,\n)}
 \multido{\n=0+500}{14}{\psline[linewidth=1pt,linecolor=darkgray](0,\n)(11,\n)}
 \psaxes[linewidth=0.95pt,Oy=5000,Dy=500,]{->}(0,0)(11.7,7000)
\psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.3,dotangle=45](2,1896)
 \psdots[dotstyle=+,dotscale =1.4,dotangle=45](0,720)(1,1250)(2,1900)(3,2560)(4,3050)
%  \uput[u](2,1640){\footnotesize Nombre de visiteurs par mois}
\uput[d](10,- 150){\footnotesize Rang $x$ du mois}
\psset{arrowscale=2}
 \def\Func{x 597 mul 702 add }
  \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{\Func}
  \psline[linewidth=1.1pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-< ]{<-}(!0 /x 9 def \Func)(!9 /x 9 def \Func)(9,0)
  
 \uput[r](2,1896){\textcolor{red}{G}} 
\end{pspicture}
\end{center}
\newpage

\textbf{\large Annexe 2 \hfill à rendre avec la copie}

\medskip 

\textbf{\textsc{Exercice~} 2}


\begin{center}
\psset{xunit=0.16cm,yunit=0.0009cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-10,-4500)(80,17000)
\multido{\n=0+1}{71}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](\n,-4000)(\n,16000)}
\multido{\n=-4000+100}{200}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](0,\n)(70,\n)}
\multido{\n=0+10}{8}{\psline[linewidth=0.6pt](\n,-4000)(\n,16000)}
\multido{\n=-4000+1000}{21}{\psline[linewidth=0.6pt](0,\n)(70,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=1000,]{->}(0,0)(0,-4500)(70,16000)
\def\Func{x x 10 neg mul 860 add mul 4000 sub}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{60}{\Func}
\uput[u](57,0){\footnotesize Nombre de lots fabriqués et vendus}
\uput[d](58,13200){\blue $\displaystyle C_f$}
\uput[u](-8,13000){\rotatebox{90}{Bénéfice en euros} }
\psset{arrowscale=2}
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-< ]{<-}(!0 /x 10 def \Func)(!10 /x 10 def \Func)(10,0)
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 13.862395 def \Func)(!13.862395 /x 13.862395 def \Func)(13.862395,0)
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=cyan,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 50 def \Func)(!50 /x 50 def \Func)(50,0)
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=cyan,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 36 def \Func)(!36 /x 36 def \Func)(36,0)
\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=green]{<->}(36,-50)(50,-50)
\uput[d](44,70){\scriptsize\textcolor{green}{ bénéfice}=\np{14000}}
\uput[d](36,100){\textcolor{cyan}{\scriptsize $36$}}
 \uput[l](0,3600){ $\approx 3600$}
\end{pspicture}
\end{center}
\label{courbe}
\end{document}