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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  ST2S }
\lfoot{\small{Antilles-Guyane\hspace{1em} correction}}
\rfoot{\small{10 septembre 2019}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S Antilles-Guyane~\decofourright \\[5pt]  10 septembre 2019}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip
{\footnotesize
L'animatrice d'une maison de retraite propose deux sorties aux $80$ résidents: la visite d'une fromagerie et la visite d'un musée.

Sur les $80$ résidents,

\begin{itemize}
\item $30$ résidents se sont inscrits à la visite de la fromagerie,
\item $25$ résidents se sont inscrits à la visite du musée,
\item $20$ résidents se sont inscrits aux deux visites.
\end{itemize}
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item  Le tableau d'effectifs est  complété sur le tableau situé en annexe 1, à rendre avec la copie. %Aucune justification n'est exigée.
\item  On choisit un résident au hasard.

On note $F$ l'évènement : \og le résident est inscrit à la visite de la fromagerie \fg.

On note $M$ l'évènement: \og le résident est inscrit à la visite du musée \fg.
	\begin{enumerate}
		\item  L'univers est l'ensemble des résidents d'une maison de retraite interrogés. La loi mise sur cet univers est la loi équiprobable. Il en résulte :  la probabilité d'un évènement $A$ est : {\footnotesize $P(A)=\dfrac{\text{ cardinal de A}}{\text{cardinal de l'univers}}$}. \\Le cardinal de l'univers est 80. 

Déterminons  les probabilités:
\begin{description}
\item[]$P(F)=\dfrac{30}{80}=\np{0.375}$ car $30$ résidents se sont inscrits à la visite de la fromagerie,
\item[]$P(M)=\dfrac{25}{80}=\np{0.3125}$ car $25$ résidents se sont inscrits à la visite du musée.
\end{description}

		\item L'évènement $F \cap M$  est l'évènement : \og le résident est inscrit à la visite de la fromagerie et à la visite du musée\fg. La probabilité de cet évènement est $\dfrac{20}{80}=\np{0.25}$.
		\item La probabilité que le résident choisi au hasard soit inscrit à la visite de la fromagerie ou à la visite du musée est notée $P(F\cup M)$. 
		
$P(F\cup M) = P(F) + P(M)- P(F\cap M) = \np{0.375}+\np{0.3125}-\np{0.25}=\np{0.4375}$.
 	\end{enumerate}
\item Déterminons $P_F(M)$. $P_F(M)=\dfrac{P(F\cap M)}{P(F)}=\dfrac{\np{0.25}}{\np{0.375}}=\dfrac{2}{3}\approx \np{0.667}$.

Si le résident a visité la fromagerie  alors la probabilité qu'il visite aussi le musée est de  deux tiers.

 %Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrons que si un résident n'est pas inscrit à la visite du musée, alors il y a plus de $8$ chances sur $10$ pour qu'il ne soit pas inscrit à la visite de la fromagerie. Pour ce faire calculons $P_{\overline{M}}(\overline{F})$.
		
$P_{\overline{M}}(\overline{F})=\dfrac{P\left(\overline{F}\cap \overline{M}\right)}{P\left(\overline{M}\right)}=\dfrac{\frac{45}{80}}{\frac{55}{80}}\approx \np{0.818}$.

La probabilité que le résident ne soit pas inscrit à la visite de la fromagerie sachant qu'il n'est pas inscrit à la visite du musée est supérieure à \np{0.8}.
		\item L'animatrice affirme que si un résident n'est pas inscrit à une des visites, il y a une forte probabilité qu'il ne soit pas inscrit à l'autre.
		 
Nous cherchons donc la probabilité que le résident ne soit pas inscrit à la visite de la fromagerie sachant qu'il n'est pas inscrit à la visite du musée ou que le résident ne soit pas inscrit à la visite du musée  sachant qu'il n'est pas inscrit à la visite  de la fromagerie.

$P\left(\overline{F} \cap M \right) + P\left(\overline{M} \cap F \right)  = \dfrac{5}{80} + \dfrac{10}{80} = \dfrac{15}{80} \approx 0,18$ probabilité très faible comparée à celle de l'évènement contraire.
		
%Dans le second cas nous avons  $P_{\overline{F}}\left(\overline{M}\right) = \dfrac{P\left(\overline{F}\cap \overline{M}\right)}{P\left(\overline{F}\right)}=\dfrac{\frac{45}{80}}{\frac{50}{80}}= \np{0.9}$.
Cette affirmation est donc correcte.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points}

\medskip
{\footnotesize
En France, nous sommes tous des donneurs potentiels d'organes et de tissus, sauf en cas de refus explicite. Dans un rapport sur l'application de la loi de bioéthique, en date de janvier 2018, l'agence de biomédecine fait état de l'évolution du nombre de donneurs décédés en état de mort encéphalique, et des prélèvements effectifs sur ces donneurs.

\medskip

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.}

\bigskip

\textbf{Partie A : donneurs décédés}

\medskip

Le nombre de donneurs décédés, en état de mort encéphalique, de 2012 à 2016, est donné par le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Année} &2012 &2013 &2014 &2015 &2016\\ \hline
\textbf{Rang de l'année }\boldmath $x_i$\unboldmath &0 &1 &2 &3 &4\\ \hline
\textbf{Nombre de donneurs }\boldmath $y_i$\unboldmath &\np{3301} &\np{3336} &\np{3547} &\np{3579} &\np{3676}\\ \hline
\multicolumn{6}{r}{\scriptsize \emph{Source: fédération des Associations pour le Don d'Organes et Tissus humains}}
\end{tabularx}
\end{center}
}
\smallskip

\begin{enumerate}
\item   Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ associé aux données du tableau précédent  est représenté sur le graphique donné en annexe 1, à rendre avec la copie.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrons que les coordonnées du point moyen G de ce nuage sont G(2~;~3487,8).
		  
 Le point moyen est le point  G de coordonnées $(\overline{x}~;~\overline{y})$.
 
 \[\overline{x}_G=\dfrac{0+1+2+3+4}{5}=2 \quad ;\quad \overline{y}_G=\dfrac{\np{3301}+\np{3336}+\np{3547}+\np{3579}+\np{3676}}{5}=\np{3487.8}\]
 
 G~(2~;~\np{3487.8})
		\item Le point  G  est placé sur le graphique de l'annexe 1.
 	\end{enumerate}
\item  Soit $(D)$ la droite d'équation $ = 99,1x + \np{3289,6}.$
	\begin{enumerate}
		\item Montrons que G appartient à cette droite $(D)$.
		
		 Le point G appartient à la droite $(D)$ si ses coordonnées vérifient l'équation de la droite. Calculons l'ordonnée du point de la droite d'abscisse 2.
$y=\np{99.1} \times  2+ \np{3289.6} =\np{3487.8}$.
		
		
 Cette valeur étant celle de l'ordonnée de G, il en résulte que G appartient à $(D)$.
		
		\item  La droite $(D)$ est tracée sur l'annexe 1. Nous avons pris les points de coordonnées (0~;~\np{3289.6}) et (\np{6.25}~;~\np{3909}).% en précisant les coordonnées des points utilisés.
 	\end{enumerate}
\item  On décide de faire un ajustement affine du nuage de points par la droite $(D)$. On considère que cet ajustement est valable jusqu'en 2025. À l'aide de cet ajustement, estimons :
	\begin{enumerate}
		\item graphiquement, l'année à partir de laquelle le nombre de donneurs dépassera \np{4000} ; nous lisons pour l'abscisse du point de la droite d'ordonnée \np{4000} environ 7,2. Pour le rang de l'année, nous aurions alors $8$, par conséquent nous pouvons estimer que le nombre des donneurs dépassera \np{4000} en 2020.
		\item par le calcul, le nombre de donneurs en 2023. En 2023 $x=11$. En remplaçant $x$  par 11 dans l'équation de la droite nous obtenons $y=\np{99.1} \times  11+ \np{3289.6} =\np{4379.7}$. Selon ce modèle, nous pouvons estimer à \np{4380} le nombre de donneurs en 2023.
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : donneurs prélevés}

\medskip

Les donneurs décédés, en état de mort encéphalique, effectivement prélevés sont donnés par le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Année}& 2012 &2013 &2014 &2015 &2016\\ \hline
\textbf{Nombre de donneurs prélevés}&\np{1589} &\np{1627} &\np{1655} &\np{1769} &\np{1770}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

La tendance de croissance observée sur la période 2012-2016 permet de modéliser l'évolution du nombre de donneurs prélevés chaque année, par une augmentation annuelle de 2,7\,\% à partir de l'année 2016.

On note alors $v_n$ l'estimation, selon ce modèle, du nombre de donneurs prélevés au cours de l'année $(2016+n)$, pour $n$ entier naturel.

Ainsi $v_0 = \np{1770}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À un taux d'évolution de 2,7\,\% correspond un coefficient multiplicateur de \np{1.027}.

$v_1=\np{1770}\times \np{1.027}\approx \np{1818}$ et $v_2=\np{1818}\times\np{1.027}\approx \np{1867}$ %(\emph{arrondir les résultats à l'unité}).

Le résultat trouvé pour $v_2$ dans le contexte de l'exercice est le nombre de donneurs prélevés au cours de l'année 2018.
\item On utilise la feuille de calcul ci-dessous pour calculer l'estimation selon ce modèle du nombre de donneurs prélevés.

Une formule, à recopier vers la droite, que nous pouvons  saisir dans la cellule C2 pour obtenir l'estimation du nombre de donneurs prélevés les années suivantes est  : =B\$2*1,027 ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A &B &C &D &E &F &G &H &I\\ \hline
1 	&\textbf{Année}& 2016 &2017 &2018 &2019 &2020 &2021 &2022 &2023\\ \hline
2 	&Nombre de donneurs prélevés& \np{1770}&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
\item La suite $\left(v_n\right)$  est une suite géométrique de raison \np{1.027}.
\item Le terme général d'une suite géométrique  de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0\times (q)^n$.

Pour tout entier naturel $n$, $u_n=\np{1770}\times \left(\np{1.027}\right)^n$.
\item En 2023,$n=7,\  u_7=\np{1770}\times \left(\np{1.027}\right)^7\approx  \np{2132.879}$.
Selon ce modèle, nous pouvons estimer à \np{2133} le nombre de donneurs prélevés en 2023.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C :}

\medskip

Un analyste affirme que, selon les estimations des parties A et B, la proportion de donneurs décédés en état de mort encéphalique en 2023 qui seront effectivement prélevés ne dépassera pas 50\,\%. Calculons la proportion de donneurs prélevés par rapport aux donneurs décédés : $\dfrac{2133}{\np{4380}}\approx \np{0.4869}$. Cette affirmation est donc correcte.  

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip

Le réseau Sentinelles a recensé en continu le nombre de personnes atteintes de la grippe sur une période de 15 semaines au cours de l'hiver 2017.

Le seuil épidémique étant fixé à $175$ cas pour \np{100000} habitants, le suivi épidémiologique est déclenché après 7 semaines de recensement et s'achève à la fin de la 15\up{e} semaine.

La courbe en \textbf{annexe 2, à rendre avec la copie} représente l'évolution du nombre de cas pour \np{100000} habitants sur la période de suivi épidémiologique.

\bigskip

\textbf{Partie A : Lectures graphiques}

\medskip

On fera apparaître les traits utiles à la lecture.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Après dix semaines de recensement, le pic épidémiologique a été atteint.
		\item le nombre de cas recensés pour \np{100000} habitants au moment de ce pic est de 400. 
 	\end{enumerate}
\item Durant un peu moins de cinq semaines, le nombre de cas de grippe pour \np{100000} habitants a été supérieur à $300$, entre la huitième et la moitié de la treizième semaine.  
\item Après quatorze semaines de recensement le nombre de cas de grippe pour \np{100000} habitants est redevenu inférieur au seuil épidémique.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude de fonction}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle [7~;~15] par:

\[f(x) = 1,3x^3 - 58,5x^2 + 780x - \np{2850}.\]

Cette fonction $f$ permet de modéliser, en fonction du temps $x$ exprimé en semaines, l'évolution du nombre de cas de grippe pour \np{100000} habitants sur la période de suivi épidémiologique.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $f(7)=  \np{189.4}$, $f(10)=400$ et $f(15)=75$.
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout réel $x$ de l'intervalle [7~;~15],

 $f'(x)=1,3(3x^2)-58,5(2x)+780=3,9x^2-117x+780=3,9(x^2-30x+20)$.
		\item Vérifions que $f'(x) = 3,9(x - 10)(x - 20)$. Développons $3,9(x-10)(x-20)$.
		
$3,9(x-10)(x-20)=3,9(x^2-10x-20x+20)=3,9(x^2-30x+20)$. Nous retrouvons bien $f'((x)$.
 	\end{enumerate}
\item Nous avons  complété le tableau figurant en \textbf{annexe 2, à rendre avec la copie}, qui donne le signe de la dérivée $f'$ et les variations de $f$.

Justifions  d'abord le sens de variation de $f$.

Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est  strictement croissante sur $I$. 

Sur $[7~;~10[,\:f'(x)>0$ par conséquent $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.

Si pour tout $x\in I, \:f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$.

Sur $]10~;~15],\:f'(x)<0$ par conséquent $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.
 

\end{enumerate}
 
\newpage
 \begin{center}
 
\textbf{\large Annexe 1 à rendre avec la copie}
 
\medskip

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 1 : Tableau d'effectifs}
\end{flushleft}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.2cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&Inscrits à la visite de la fromagerie&Non inscrits à la visite de la fromagerie&
\vfill Total\\ \hline
Inscrits à la visite du musée&20&5&25\\ \hline
Non inscrits à la visite du musée&10&45&55\\ \hline
Total &30 &50&80\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 2 : Graphique}\end{flushleft}

\medskip

\psset{xunit=1.25cm,yunit=0.015cm}
\begin{pspicture}(-1,-25)(9,900)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=3250,Dy=50]{->}(0,0)(0,0)(9,850)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=3250,Dy=50](0,0)(0,0)(9,850)
\multido{\n=0.0+0.5}{19}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,850)}
\multido{\n=0+1}{10}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,850)}
\multido{\n=0+10}{86}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(9,\n)}
\multido{\n=0+50}{18}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(9,\n)}
\uput[r](0,880){Nombre de donneurs recensés}
\uput[d](8,-40){Rang de l'année}
\def\Func{x 99.1 mul  39.6 add}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.6](0,51)(1,86)(2,297)(3,329)(4,426)
\psdot[dotstyle=square,dotscale=1.9,fillcolor=red, dotangle=45](2,237.8)
\uput[ul](2,237.8){\textcolor{red}{G}}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{8}{\Func}
\psset{arrowscale=1.8}
%\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-< ]{<-}(10,44.9329)(10,0)
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=->]{->}(!0 /x 7.1685 def \Func)(!7.1685 /x 7.1685 def \Func)(7.1685,0)

\end{pspicture}

\newpage

\textbf{\large Annexe 2 à rendre avec la copie}

\medskip

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 3 : Courbe du nombre de cas de grippe pour \np{100000} habitants}\end{flushleft}

\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.032cm}
\begin{pspicture}(-1,-25)(16,425)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=25]{->}(0,0)(0,0)(16,425)
\multido{\n=0.0+0.5}{31}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,425)}
\multido{\n=0+1}{16}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,425)}
\multido{\n=0+5}{86}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(16,\n)}
\multido{\n=0+25}{18}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(16,\n)}
\uput[r](0,420){Nombre de cas pour \np{100000} habitants}
\def\func{x 3 exp 1.3 mul  x dup mul 58.5 mul sub 780 x mul add 2850 sub}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{7}{15}{\func}
\uput[d](13.7,-12){Temps écoulé en semaines}
\psset{arrowscale=2}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=<- ]{<-}(!0 /x 10 def \func)(!10 /x 10 def \func)(10,0)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=babyblue,linestyle=dashed,ArrowInside=->]{->}(!0 /x 7.880 def \func)(!7.880 /x 7.880 def \func)(7.880,0)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=babyblue,linestyle=dashed,ArrowInside=->]{->}(!0 /x 12.479 def \func)(!12.479 /x 12.479 def \func)(12.479,0)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=awesome,linestyle=dashed,ArrowInside=->]{->}(!0 /x 13.9593 def \func)(!13.9593 /x 13.9593 def \func)(13.9593,0)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=babyblue]{<->}(7.880,75)(12.479,75)
\uput[u](10.15,75){\scriptsize intervalle pendant lequel le nombre}  
\uput[u](10.15,60){\scriptsize de cas de grippe fut supérieur à 300}
\uput[d](7.88,0.2){\scriptsize $\approx \np{7.8}$}
\uput[d](12.479,0.2){\scriptsize $\approx \np{12.5}$}
\end{pspicture}

\bigskip

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 3 : Tableau de variations}\end{flushleft}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c| X c X|}\hline
$x$&7 \hfill& 10&\hfill 15\\ \hline
signe de 3,9&\centering +&& \centering +\tabularnewline \hline
signe de $x - 10$&\centering $-$&0&\centering$+$\tabularnewline \hline
signe de $x - 20$&\centering $-$&&\centering$-$\tabularnewline \hline
signe de $f'(x) = 3,9(x - 10)(x - 20)$&\centering $+$&0&\centering$-$\tabularnewline \hline
~&&400&\\
variations de $f$&\psline{->}(0.5,-2.5)(5.8,11)&\psline{->}(0.5,11)(5.8,-2.5)&\\
~&\np{189.4}&&\hfill 75\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}