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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
%Corrigé : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  ST2S}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{18 juin 2015}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat  ST2S Antilles-Guyane 18 juin 2015~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\medskip
{\footnotesize
Le tableau suivant indique le nombre de tués sur les routes françaises par année :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 				&2005 	&2006 	&2007 	&2008 	&2009 	&2010 	&2011 	&2012 	&2013\\ \hline
Rang de l'année 
$\left(x_i\right)$ 	&0 		&1 		&2 		&3 		&4 		&5 		&6 		&7 		&8\\ \hline
Nombre de tués 
$\left(y_i\right)$ 	&\np{5318} &\np{4709} &\np{4620} &\np{4433} &\np{4443} &\np{3992} &\np{3963} &\np{3653} &\np{3268}\\ \hline
\multicolumn{10}{r}{\footnotesize \emph{Source: www.preventionroutiere.asso.fr}}\\
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Le nuage de points correspondant à ce tableau est donné en annexe 1  et devra être rendu
avec la copie.}
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Soit $G$ le point moyen du nuage, calculons les coordonnées de $G$.
 Les coordonnées de G sont ($\overline{x}~;~\overline{y}$)
\[
\overline{x_G}=\frac{0+1+2+\dots+7+8}{9}=\np{4} \quad \overline{y_G}=\frac{\np{5318}+\np{4709}+\dots+\np{3268}}{9}=\np{4266.56}\]
G $\left( \np{4}~;~\np{4267} \right)$ 
{\footnotesize  les résultats étant arrondis à l'unité.}
		\item Le point G de coordonnées (4~;~\np{4267}) est placé dans le repère de l'annexe 1 .
	\end{enumerate}
\item On fait l'hypothèse que l'évolution du nombre de tués sur les routes françaises est correctement
modélisée par la droite d'ajustement $\mathcal{D}$ d'équation $y = - 220x + \np{5147}$.
	\begin{enumerate}
		\item Le point $G$ appartient à la droite $\mathcal{D}$  si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation de la droite. Calculons l'ordonnée du point de la droite d'abscisse 4  c'est-à-dire celle de $G$. 

$y=-220\times 4+\np{5147}=\np{4267}$. 

Cette ordonnée étant celle de $G$ par conséquent $G$ appartient à $\mathcal{D}$.

		\item La droite $\mathcal{D}$ est tracée sur le graphique.
		\item Déterminons, selon ce modèle, une estimation du nombre de tués en 2014. En 2014, le rang de l'année est 9. Remplaçons $x$ par 9 dans l'équation de la droite.
		
$y = -220\times 9 +\np{5147} = \np{3167}.$
		
Une estimation du nombre de tués sur les routes françaises en 2014 est d'environ \np{3167} personnes.
	\end{enumerate}
\item On estime que le modèle reste valable jusqu'en 2017.
	
Selon cet ajustement, à partir de quelle année le nombre de tués devient-il inférieur à \np{2800} ?

Pour ce faire, résolvons $- 220x + \np{5147}\leqslant \np{2800}$.

$- 220x + \np{5147}\leqslant \np{2800} \quad x\geqslant \dfrac{\np{5147}-\np{2800}}{\np{220}}$ or $\dfrac{\np{2347}}{220}\approx \np{10.668}$

Selon cet ajustement, à partir de 2016 (2005+11) le nombre de tués devient inférieur à \np{2800}. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  8 points}

\medskip
{\footnotesize
On dispose de deux béchers A et B qui contiennent chacun \np{5000}~bactéries de la même famille.
On souhaite comparer l'efficacité de deux antibiotiques A et B différents sur ces bactéries.
On introduit l'antibiotique A dans le bécher A et, au même instant, l'antibiotique B dans le bécher B.
On mesure alors, à intervalles réguliers, la quantité (en milliers) de bactéries restantes dans les béchers A et B au fur et à mesure de l'action des antibiotiques.
}
\bigskip

\textbf{Partie A : Étude de l'antibiotique A}

\medskip
{\footnotesize
Les valeurs mesurées dans le bécher A lors de l'expérience conduisent à modéliser l'évolution du
nombre (en milliers) de bactéries dans ce bécher par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0; 9] par :
$f (t) = 0, 05t^2 - t + 5$
où $t$ représente la durée (en heures) écoulée depuis le début de l'expérience.
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  $f(0)=5$. Ce résultat est cohérent avec le nombre de bactéries présentes dans le bécher A au début de l'expérience puisque $f(t) $ exprime le nombre de bactéries en milliers. Nous avons bien 5 milliers ou \np{5000}
		\item Calculons, selon ce modèle, le nombre de bactéries qui seront présentes dans le bécher A au bout de deux heures. Pour ce faire calculons $f(2)$. $f(2)=\np{0.05}\times 2^2-2+5= \np{3.2}$.
	\end{enumerate}
\item On rappelle que $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons, pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle [0~;~9], une expression de $f'(t)$.

 $f'(t)=\np{0.05}(2t)-1=\np{0.1}t-1$.
		\item Étudions  le signe de $f'(t)$ pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle [0~;~9].
		
		Sur $\R$, $\ \np{0.1}t-1>0$ si et seulement si $t>10$. Par conséquent pour tout $t\in [0~;~9]$,
		
		$f'(t) < 0$.				
		\item  Étudions d'abord le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~9].
		
Si pour tout $x\in I, \ f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$. 
 
Pour tout $t\in [0~;~9],\quad f'(t)<0$ par conséquent $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.

Dressons maintenant  le tableau de variation.
		 \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\uput[u](0.5,2.45){$t$}  \uput[u](1.35,2.45){$0$} \uput[u](7.75,2.45){$9$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}(t)$}\uput[u](4.5,2){$-$}
\uput[ul](1.5,1.5){$5$}\uput[dr](7.2,0.55){$\np{0.05} $}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){de $f$}
\psline{->}(1.5,1.6)(7.3,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}	
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Partie B: Étude de l'antibiotique B}

\medskip
{\footnotesize
Les valeurs mesurées dans le bécher B lors de l'expérience conduisent à modéliser l'évo
lution du nombre (en milliers) de bactéries dans ce bécher par la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0~;~9] par :
$g(t) = 5 \times (0,7)^t$
où $t$ représente la durée (en heures) écoulée depuis le début de l'expérience.
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  $g(0)=5\times \np{0.7}^0=5$.   Cette valeur représente le nombre (en milliers) de bactéries introduites dans le bécher B au début de l'expérience.
		\item Déterminons le nombre de bactéries présentes dans le bécher B au bout de deux heures. Calculons $g(2)$. $g(2)= 5\times \np{0.7}^2= \np{2.45}$.
		Dans le bécher B, au bout  de deux heures, le nombre de bactéries présentes  est de \np{2450} bactéries.                                                           
	\end{enumerate}
\item  {\footnotesize On admet que la fonction $g$ a le même sens de variation que la fonction $t \longmapsto  (0,7)^t$ sur l'intervalle [0~;~9].}
	
	Nous savons que si $0<a<1$ la fonction qui à $x$ associe $a^x$ est une fonction strictement décroissante sur $\R$. Ici $a=\np{0.7}$,  c'est-à-dire un nombre strictement inférieur à 1 par conséquent la fonction $t\longmapsto \np{0.7}^t $ est une fonction strictement décroissante sur [0~;~9].

	Il en résulte que la fonction $g$ est strictement décroissante sur l'intervalle [0~;~9].
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Comparaison de l'efficacité des deux antibiotiques}

\medskip

Le graphique en annexe 2  présente les courbes représentatives des deux fonctions $f$ et $g$
étudiées précédemment.

\textbf{Cette annexe 2 n'est pas à rendre avec la copie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide des parties A et B et du graphique en annexe 2, nous pouvons indiquer que le numéro de la
courbe associée à la fonction $f$ est 1 et celui de la courbe associée à la fonction $g$ est 2.
\item Déterminons, à l'aide du graphique en annexe 2, à quel(s) instant(s) le nombre de bactéries est
identique dans les deux béchers. Pour ce faire, nous lisons les abscisses des points d'intersection des deux courbes. Nous lisons $t=0$, et avec la précision permise par le graphique  $t=\np{7.2}$.

Au début de l'expérience ($t=0$) et au bout de 7 heures un quart environ, il y a le même nombre de bactéries dans les deux béchers.
\item {\footnotesize \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

On estime qu'un antibiotique est efficace sur un humain s'il parvient à diviser par 5 le nombre de
bactéries initialement présentes dans le bécher en moins de 5 heures.

L'un des deux antibiotiques A ou B est-il efficace pour un humain ?}

Un antibiotique sera efficace pour un humain si au bout de cinq heures, il reste moins de \np{1000} bactéries. Calculons $f(5)$ et $g(5)$. Si   la valeur obtenue est inférieure à 1, nous pourrons affirmer que l'antibiotique est efficace pour un humain.

$f(5)=\np{1.25}$. Par conséquent l'antibiotique A n'est pas efficace.

$g(5)=5\times \np{0.7}^5 =\np{0.840}$. Par conséquent l'antibiotique B est  efficace. 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  7 points}

\medskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip
{\footnotesize
Voici le tableau de la répartition de la population active (en milliers) selon l'âge et le sexe en 2012 en France.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Population active (en milliers)& Femmes &Hommes &Ensemble\\ \hline
15-24 ans &\np{1248} &\np{1506} &\np{2754}\\ \hline
25-49 ans &\np{8672} &\np{9461} &\np{18133}\\ \hline
50-64 ans &\np{3619} &\np{3823} &\np{7442}\\ \hline
65 ans ou plus &100 &138 &238\\ \hline
Total &\np{13639} &\np{14928} &\np{28567}\\ \hline
\multicolumn{4}{r}{\emph{Source : INSEE}}
\end{tabularx}
\end{center}
}
\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminons, en 2012, la proportion de femmes de 15-24 ans parmi les femmes actives. 

En milliers, il y avait  \np{1248} femmes actives entre 15-24 ans  sur une population de femmes actives  de \np{13639} d'où 
$\dfrac{\np{1248}}{\np{13639}}\approx \np{0.09150}$

En 2012, la proportion de femmes de 15-24 ans parmi les femmes actives est d'environ \np{9.2}\,\%. 
%On donnera le résultat sous forme d'un pourcentage arrondi à 0,1\,\% près.
\item En France, en 2012, les fonctionnaires représentaient 24\,\% de la population active.

Déterminons en milliers, le nombre de fonctionnaires cette année là.

Le nombre de fonctionnaires représente cette année là 24\,\% de la population active. Par conséquent $\dfrac{24}{100}\times \np{28567}=\np{6856.08}$

En 2012, il y avait  environ \np{6856} milliers de fonctionnaires.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
{\footnotesize
On choisit au hasard et de manière équiprobable une personne dans la population active.

On considère les évènements suivants :
\begin{center}
$A$ : \og La personne est une femme \fg{}\quad  $B$ : \og La personne a entre 25 et 49 ans \fg
\end{center}

On note $P(E)$ la probabilité d'un évènement $E$.

Pour les calculs de probabilités on donnera les résultats arrondis à $10^{-4}$ près.
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item 
L'univers est l'ensemble de la population active en 2012 et la loi mise sur cet univers est l'équiprobabilité. 

La probabilité d'un événement $A$ est  $p(A)=\frac{\text{\scriptsize nombre d'éléments de A}}{\text{\scriptsize nombre d'éléments de l'univers}}$.


	\begin{enumerate}
		\item Calculons $P(A)$. Il y a en milliers \np{13639} femmes actives parmi une population de \np{28567} d'où $p(A)=\dfrac{\np{13639}}{\np{28567}}\approx \np{0.4774}$

 Calculons  $P(B)$. Il y a en milliers \np{18133} personnes actives entre 25 et 49 ans  parmi une population de \np{28567}  d'où $p(B)=\dfrac{\np{18133}}{\np{28567}}\approx \np{0.6348}$

		\item  $A \cup B$ est l'évènement : \og la personne choisie est une femme ou cette personne a entre 25 et 49 ans\fg.
		\item  $P(A \cup B) =p(A)+ p(B)-p(A\cap B)$. 
		Déterminons d'abord $p(A\cap B)$.
		
Il y a en milliers \np{8672} femmes actives âgées entre 25 et 49 ans parmi une population de \np{28567} d'où
 $p(A\cap B)=\dfrac{\np{8672}}{\np{28567}}\approx \np{0.3036}$. 
 
 Il en résulte $p(A\cup B)=\np{0.4774}+\np{0.6348}-\np{0.3036}=\np{0.8086}$.


Nous avons bien montré que $p(A \cup B)$ valait approximativement \np{0,8086}.
	\end{enumerate}
\item Sachant que la personne choisie est une femme,  la probabilité que cette personne ait entre 25 et 49 ans est notée $p_{A}(B)$.

$p_{A}(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}=\dfrac{\np{0.3036}}{\np{0,4774}}\approx \np{0.6359}$.
\item  Les événements $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A \cap B)=P(A)\times P(B)$
\[P(A\cap B)=\np{0.3036}\hspace{1cm} P(A)\times P(B)=\np{0.4774}\times \np{0.6348}=\np{0.1927}\]
Par conséquent, les événements ne sont indépendants.



\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{\large ANNEXE 1}

\vspace{0,5cm}

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{0,5cm}

\begin{flushleft}\textbf{EXERCICE 1}\end{flushleft}

\bigskip

\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.0045cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-50)(15,3800)
\multido{\n=0.0+0.2}{76}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,3750)}
\multido{\n=0+50}{76}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(15,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=2000,Dy=250]{->}(0,0)(0,0)(15,3800)
\uput[u](13,0){Rang de l'année}\uput[r](0,3780){Nombre de tués}
\psdots(0,3318)(1,2709)(2,2620)(3,2433)(5,1992)(6,1963)(7,1653)(8,1268)
\psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.4,dotangle=45](4,2267)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{12}{x 220 neg mul 3147 add}
\uput[dr](11,800){$\mathcal{D}$}
\def\Func {x 220 neg mul 3147 add}
\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 10.668 def \Func)(!10.668 /x 10.668 def \Func)(10.668,0)
\uput[l](0,800){\scriptsize \textcolor{violet}{2800}}
\uput[r](4,2267){\textcolor{red}{$G$}}
\end{pspicture}
\newpage

\textbf{\large ANNEXE 2}

\vspace{0,5cm}

\textbf{N'est pas à rendre avec la copie}

\vspace{0,5cm}

\begin{flushleft}\textbf{EXERCICE 2}\end{flushleft}

\bigskip

\psset{xunit=0.9cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(13,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5](0,0)(13,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(13,6)
\uput[u](11,0){Durée (en heures)}\uput[r](0,6.15){Nombre de bactéries (en milliers)}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{9}{x dup mul 0.05 mul x sub 5 add}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{0}{9}{0.7 x exp 5 mul}
\uput[ur](3,2.4){Courbe 1,$\mathcal{C}_f$}\uput[dl](3,1.6){Courbe 2,$\mathcal{C}_g$}
\psset{PointSymbol=*}
\pstInterFF{x dup mul 0.05 mul x sub 5 add}{0.7 x exp 5 mul}{0}{M_1}
\pstInterFF{x dup mul 0.05 mul x sub 5 add}{0.7 x exp 5 mul}{7.26055}{M_0}
\def\Func{x dup mul 0.05 mul x sub 5 add}
\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 7.26055 def \Func)(!7.26055 /x 7.26055 def \Func)(7.26055,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}