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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque 
%Corrigé François Hache
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pdftitle = {Antilles-Guyane 18 juin 2019},
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  ST2S}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{18 juin 2019}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S Antilles-Guyane~\decofourright \\[5pt]18 juin 2019}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Dans le cadre d'une campagne de réduction de la quantité de déchets, une enquête sur les habitudes de compostage est menée auprès des habitants d'une ville.

Les informations recueillies ont permis d'établir que :
\begin{list}{\textbullet}{}
\item  20\,\% des personnes interrogées ont moins de 30 ans et parmi elles 30\,\% pratiquent le compostage ;
\item la moitié des personnes entre 30 et 50 ans pratiquent le compostage ;
\item 35\,\% des personnes interrogées ont plus de 50 ans et parmi elles 70\,\% pratiquent le compostage.
\end{list}

On choisit au hasard une personne parmi celles interrogées. 

On considère les événements suivants :

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
$J$ : \og la personne a moins de 30 ans \fg{} ; &
$M$ : \og la personne a entre 30 ans et 50 ans \fg{} ; \\
$S$ : \og la personne a plus de 50 ans \fg{} ; &
$C$ : \og la personne pratique le compostage \fg.
\end{tabularx}

%On note $\overline{C}$ l'événement contraire de $C$.

\begin{enumerate}
\item  En utilisant les données de l'énoncé, on complète l'arbre de probabilité:

\begin{center}
\bigskip
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=10mm,levelsep=40mm,nrot=:U}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$J$}\naput{$\np{0,2}$}}
	{
	\TR{$C$}\naput{$\blue 0,3$}
	\TR{$\overline{C}$}\nbput{$\blue 1-0,3=0,7$}
	}
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$M$}\naput[npos=0.7]{$\blue 1-0,2-0,35$}\nbput[npos=0.7]{$\blue = 0,45$}}
	{\TR{$ C$}\naput{$\blue 0,5$}
	\TR{$\overline{C}$}\nbput{$\blue 1-0,5=0,5$}
	}
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$S$}\nbput{$\blue 0,35$}}
	{\TR{$C$}\naput{$\blue 0,7$}
	\TR{$\overline{C}$}\nbput{$\blue 1-0,7=0,3$}
	}	
}
\bigskip
\end{center}


\item $J \cap C$ est l'événement \og la personne a moins de 30 ans et pratique le compostage \fg{}.

% , puis calculer sa probabilité.
$p(J \cap C) = p(J) \times p_{J}(C)=0,2\times 0,3 = 0,06$

\item La probabilité de l'événement \og la personne a plus de 50 ans et pratique le compostage \fg{} est

$p(S\cap C)= p(S) \times p_{S}(C)=0,35\times 0,7 = 0,245$

\item  Pour savoir s'il y a plus d'une chance sur deux que la personne choisie pratique le compostage, on calcule $p(C)$.

D'après la formule des probabilités totales\\
$p(C) = p(J\cap C) + p(M\cap C)  + p(S\cap C) = 0,06 + 0,45\times 0,5 + 0,245 = 0,53$.

$p(C)>0,5$ donc il y a plus d'une chance sur deux que la personne choisie pratique le compostage.

%Justifier.

\item Sachant que la personne choisie pratique le compostage, la probabilité qu'elle ait plus de 50 ans est:% \emph{Arrondir au centième.}
$p_{C}(S) = \dfrac{p(S\cap C)}{p(C)}= \dfrac{0,245}{0,53}\approx 0,462$.

\end{enumerate}

\newpage
%\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  8 points}

\medskip

La DREES a étudié l'évolution du nombre de bénéficiaires, en milliers, de l'ACTP (Allocation Compensatrice pour Tierce Personne) et de la PCH (Prestation de Compensation du Handicap), en France, de 2007 à 2016.

\medskip

%\emph{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.}
%
%\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne l'évolution du nombre de bénéficiaires (en milliers) de l'ACTP de 2007 à 2016.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\columncolor{lightgray}}c |m{1.95cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\rowcolor{lightgray}&\centering A &B& C&D&E& F& G &H& I&J&K\\\hline
1&\footnotesize{} Année& 2007& 2008& 2009& 2010& 2011 &2012& 2013& 2014 &2015& 2016\\\hline
2&\footnotesize{}Rang de l'année $x_i$&0& 1& 2& 3& 4 &5 &6& 7& 8& 9\\\hline
3&\begin{minipage}[]{1.92cm}
\footnotesize{}Nombre de bénéficiaires de l'ACTP $y_i$(en milliers)\end{minipage}&120& 110& 100& 92 &87 &82 &76& 72& 69& 65\\\hline
4&\begin{minipage}[]{1.92cm}
\footnotesize{}Taux d'évolution entre deux années consécutives (en \,\% )\end{minipage}&\cellcolor{lightgray} &&$-$9,1\,\% &$-$8,0\,\%& $-$5,4\,\%& $-$5,7\,\% &$-$7,3\,\%& $-$5,3\,\% &$-$4,2\,\% &$-$5,8\,\%\\\hline
 \multicolumn{12}{r}{\emph{Source : DREES, direction de la recherche, des études, de l'évaluation et des statistiques}}\\
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Le taux d'évolution du nombre de bénéficiaires de l'ACTP entre 2007 et 2008 est, en pourcentage,\\
$\dfrac{110-120}{120}\times 100 =-\dfrac{1}{12}\times 100 \approx -8,3$.

%\emph{On donnera le résultat en pourcentage arrondi à $0,1$\,\%.}

\item La formule, à recopier vers la droite, que l'on peut saisir en C4 pour obtenir les taux d'évolution entre deux années consécutives du nombre de bénéficiaires de l'ACTP est
\fbox{\verb!= (C3 - B3) / B3!}

\item Sur le graphique donné en \textbf{ annexe 1}, on représente le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ associé aux données du tableau précédent.

\item% Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points et placer ce point G sur le graphique.
$x_{\text{G}}=\overline{x}=\dfrac{0+1+2+3+4+5+6+7+8+9}{10}=4,5$
et

$y_{\text{G}}=\overline{y}= \dfrac{120+110+100+92+87+82+76+72+69+65}{10}=87,3$

Donc le point moyen G a pour coordonnées $(4,5~;\, 87,3)$.

\item  On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite $(D)$ d'équation : $y = - 5,9x + 113,85$.

\begin{enumerate}
\item %Vérifier que le point G appartient à la droite $(D)$.
$- 5,9x_{\text G} + 113,85 = -5,9\times 4,5 +113,85 = 87,3 = y_{\text G}$ donc
$\text{G} \in (D)$.

\item On détermine deux points pour tracer la droite $(D)$:

\begin{center}
$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
x & 0,5 & 10,5\\
\hline
 -5,9 x+113,85 & 110,9 & 51,9\\
 \hline
 \text{points} & \text{A}\,(0,5~;\, 110,9) & \text{B}\,(10,5~; \, 51,9)\\
 \hline
\end{array}$
\end{center}

 On trace la droite $(D)$ sur le graphique de l'\textbf{annexe 1}.
\end{enumerate}

\item On prend cet ajustement comme modèle d'évolution jusqu'en 2019.

L'année 2019 correspond à $x=12$ et $-5,9\times 12 + 113,85= 43,05$.

Donc on peut estimer à \np{43000} le nombre de bénéficiaires de l'ACTP en 2019.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

En ce qui concerne la PCH (Prestation de Compensation du Handicap), le nombre de bénéficiaires
en 2015 était de \np{266000}. On estime que le nombre de bénéficiaires augmente de 6\,\% par an à parti de 2015.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre de bénéficiaires (en milliers) de la PCH, estimé selon ce modèle, pour l'année (2015+$n$). On a ainsi $u_0 = 266$.
\begin{enumerate}
\item $u_1=u_0+u_0\times \dfrac{6}{100} = 266 \left (1+\dfrac{6}{100}\right ) = 281,96$

$u_2 = u_1+u_1\times \dfrac{6}{100} = 281,96 \left (1+\dfrac{6}{100}\right ) = \np{298,8776}$

\item Ajouter 6\,\% c'est multiplier par $1,06$ donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=1,06$ et de premier terme $u_0=266$.
.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  On en déduit que pour tout entier naturel $n$, $u_n=u_0\times q^n = 266\times 1,06^n$.
		\item L'année 2022 correspond à $n=7$ donc une estimation du nombre de bénéficiaires de la PCH en 2022 est
$u_7 = 266\times 1,06^7$ milliers, soit environ \np{400000}.
\end{enumerate}
\item Déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de bénéficiaires de la PCH dépassera \np{500000}, c'est chercher $n$ tel que $u_n>500$.

À la calculatrice, on trouve $u_{10}\approx 476 < 500$ et $u_{11}\approx 505>500$; c'est donc à partir de $2015+11$ soit 2026 que le nombre de bénéficiaires de la PCH dépassera \np{500000}.

%Préciser la démarche employée.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  7 points}

\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~16]$ par :
$f(x) = - 0,16x^3 + 2,22x^2 - \np{3,7848}x + 30$.

\begin{enumerate}
\item % On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
Pour tout réel $x$ de $[0~;~16]$, $f'(x)=-0,16 \times 3x^2 + 2,22\times 2x  - \np{3,7848} 
= -0,48 x^2 + 4,44 x - \np{3,7848}$.

\item $(x -8,3)(- 0,48x + 0,456) = -0,48 x^2 + 8,3\times 0,48 + 0,456x - 8,3\times 0,456\\
\phantom{(x -8,3)(- 0,48x + 0,456)}
= -0,48x^2 + 3,984x + 0,456x - \np{3,7848}
= -0,48x^2 + 4,44x - \np{3,7848} \\
\phantom{(x -8,3)(- 0,48x + 0,456)}
= f'(x)$

\item 
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $x-8,3>0 \iff x>8,3$
\item $- 0,48x + 0,456>0 \iff 0,456 > 0,48x \iff \dfrac{0,456}{0,48}>x \iff x<0,95$
\item $f(0)=30$; $f(0,95)\approx 28,27$; $f(8,3)\approx 60,04$; $f(16)=-117,60$
\end{list}

On complète le tableau de l'\textbf{annexe 2}, qui donne le signe de la dérivée $f'$ et les variations de $f$.

\item L'arrondi à l'unité du maximum de la fonction $f$ sur $[0~;~16]$ est 60, et la valeur pour laquelle il est atteint est $8,3$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

On s'intéresse à l'évolution de la quantité d'antigènes, d'une part, et de la quantité d'anticorps, d'autre part, présents dans le sang d'une personne contaminée par des bactéries pathogènes, dans les jours qui suivent la contamination.

On donne en \textbf{annexe 2}, les courbes représentatives de deux fonctions dans un repère du plan :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $\mathcal{C}_f$ est la courbe représentative de la fonction $f$ étudiée dans la partie A : elle représente la quantité d'antigènes présents dans le sang en UA (Unité Arbitraire) en fonction du temps (en jours) écoulé depuis la contamination.
\item $\mathcal{C}_g$ représente la quantité d'anticorps dans le sang en UA (Unité Arbitraire) en fonction du temps (en jours) écoulé depuis la contamination.
\end{list}

%En s'aidant du graphique de l'\textbf{annexe 2}, et en faisant apparaître les traits utiles à la lecture, répondre aux questions suivantes :

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item La quantité d'antigènes présents dans le sang 6,5 jours après la contamination est d'environ 55~UA (voir graphique).
\item La production d'anticorps commence au bout de 3 jours (voir graphique).
\end{enumerate}
\item La quantité d'antigènes dépasse 50 UA pendant environ 5 jours (voir graphique).

\item La quantité d'antigènes est maximale au bout de $8,3$ jours, soit 8 jours 7 heures et 12 minutes. Cette quantité maximale en UA est d'environ 60.

\item La personne est considérée comme guérie lorsque la quantité d'anticorps présents dans le sang est supérieure à la quantité d'antigènes présents dans le sang.% Au bout de combien de temps cette personne peut-elle être considérée comme guérie ?

D'après le graphique, la personne peut être considérée comme guérie au bout de $12,25$ jours, soit 12 jours et 6 heures.

\end{enumerate}
\newpage 

\textbf {\large Annexe 1\hfill à rendre avec la copie}

Exercice 2 :

\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.08cm,labelFontSize=\scriptstyle,arrowsize=3pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-1)(14.5,135)
 \multido{\n=0+1}{14}{\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray](\n,0)(\n,132)}
 \multido{\n=0+2}{67}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](0,\n)(14,\n)}
% \multido{\n=0+10}{8}{\psline[linewidth=0.6pt](\n,-4000)(\n,16000)}
 \multido{\n=0+10}{14}{\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray](0,\n)(14,\n)}
 \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10]{->}(0,0)(14,134)
\uput[d](13.5,-5){\footnotesize Rang de l'année}
\uput[r](0,135){\footnotesize Nombre de bénéficiaires de l'ACTP en milliers} 
%%% Corrigé
\psdots[linecolor=red](0.5,110.9)(10.5,51.9)%%% points A et B
\uput[60](0.5,110.9){\red A} \uput[60](10.5,51.9){\red B} 
\psset{linecolor=blue,dotstyle=x,dotscale=1.5}
\psdots(0,120)(1,110)(2,100)(3,92)(4,87)(5,82)(6,76)(7,72)(8,69)(9,65)% nuage de points
\psplot{0}{13.5}{-5.9 x mul 113.85 add}% droite D
\psdots[linecolor=red,dotstyle=+](4.5,87.3) \uput[ur](4.5,87.3){\red G}% point moyen
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=2](12,0)(12,43)
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3](12,43)(0,43)
\uput*{9pt}[d](12,0){$\scriptstyle \blue 12$} \uput[l](0,43){$\scriptstyle \blue 43$}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\textbf{\large Annexe 2 \hfill à rendre avec la copie}

\textbf{\textsc{Exercice 3 :} Partie A}
%\begin{center}
%\psset{unit=0.7cm}
%\begin{pspicture}(-1,-0.5)(16,6.5)
%\psframe(15,6)
%\psline(4.5,0)(4.5,6)\psline(0,5)(15,5)
%\psline(0,4)(15,4)\psline(0,3)(15,3)\psline(0,2)(15,2)
%\uput[r](2,5.5){$x$}\uput[r](4.5,5.5){$0$}\uput[l](15,5.5){$16$}
%\uput[r](0,4.5){\footnotesize signe de $x-\np{8.3}$}
%\uput[r](0,3.5){ \footnotesize signe de $-\np{0.48}x+\np{0.456}$}
%\uput[r](0,2.5){\footnotesize signe de $f'(x)$}
%\uput[r](0,1){\footnotesize variations de $f$}
%\end{pspicture}
%\end{center}

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{1cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{10pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|l| *6{c} c|}
\hline
 \hfill{}x\hfill{} & 0 & \esp & 0,95 & \esp & 8,3 & \esp & 16 \\
 \hline
\text{signe de } x-8,3 &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
\text{signe de } -0,48x + 0,456 &  &  \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{-} & \\  
\hline
\text{signe de }f'(x) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\  
\hline
  &   \Rnode{max1}{30} & &  & & \Rnode{max2}{\approx 60,04} & & \\
\text{variations de } f  & &  & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\
 & & & \Rnode{min1}{\approx 28,27} & & & & \Rnode{min2}{\approx -117,60}  \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min1} 
\ncline{->}{min1}{max2}
\ncline{->}{max2}{min2} \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 :} Partie B}

\begin{center}
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.1cm,labelFontSize=\scriptstyle,arrowsize=3pt 3}
\begin{pspicture}(1,0)(17,115)
 \multido{\n=0+0.5}{33}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,108)}
 \multido{\n=0+5}{22}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray](0,\n)(16.8,\n)}
 \multido{\n=0+1}{17}{\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray](\n,0)(\n,108)}
 \multido{\n=0+10}{11}{\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=gray](0,\n)(16.8,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10]{->}(0,0)(17,110)
\def\Func{x x x 0.16 neg mul 2.22 add mul 3.7848 sub mul 30 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{13.15}{\Func}
 \pscurve[linecolor=red](3,0)(6,2.5)(9,5)(10.5,10)(12,20.15)(13,33)(14,50)(15,71)(16,100)
\uput[d](16,-5){\scriptsize Temps écoulé en jours}
\uput[ul](8,60){\blue $\mathcal{C}_f$} 
\uput[dr](14,50){\red $\mathcal{C}_g$}
\uput[u](0,110){UA}
%%% Corrigé
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=2](6.5,0)(6.5,55.2538)(0,55.2538)
\uput[d](6.5,0){$\blue \scriptstyle 6,5$} \uput[l](0,55.2538){$\blue \scriptstyle 55$}
\psdots[linecolor=red](3,0) \uput*{9pt}[d](3,0){$\red \scriptstyle 3$}
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed](4,50)(12,50)
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=2](5.55,50)(5.55,0)
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=2](10.48,50)(10.48,0)
\psline[linecolor=red,linewidth=2pt]{[-]}(5.55,0)(10.48,0)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=2pt](8.3,0)(8.3,60)(0,60)
 \uput[d](8.3,0){$\scriptstyle 8,3$} 
 \psline[linestyle=dashed,linewidth=2pt](12.25,0)(12.25,22.65)
 \uput*[d](12.25,0){$\scriptstyle 12,25$} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}