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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm} 
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ST2S }
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S Antilles--Guyane juin 2009~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 1}\hfill 7 points}

\medskip

%Une entreprise de produits chimiques fabrique un médicament. Le test de contrôle de qualité de ce médicament porte sur deux points : sa masse et sa teneur en potassium.
%
%\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
%On s'intéresse à la quantité de médicaments rejetés, c'est-à-dire ceux dont la masse ou la teneur en potassium n'est pas correcte, sur le premier semestre de l'année 2008. Les résultats sont consignés dans le tableau ci-dessous :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3.4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
%Mois& janvier &février &mars &avril &mai &juin\\ \hline 
%Quantité de médicaments rejetés& 875 &870&&&& 876\\ \hline 
%Taux d'évolution mensuel, en pourcentage &$\times\times$&&+1,2\,\%&$-1,1$\,\%&&+1,9\,\%\\ \hline
%\multicolumn{7}{c}{\emph{\small Variations de la quantité de médicaments rejetés sur le premier semestre de l'année 2008}}\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%Dans tout ce qui suit, on arrondira les taux d'évolution au millième avant de les exprimer en pourcentage, et les quantités de médicaments à l'unité.

\begin{enumerate}
\item %Calculer le taux d'évolution de janvier à février.
De janvier à février le taux d'évolution est égal à $\dfrac{870 - 875}{875}  \approx  - 0,006$ soit  environ $- 6$\,\%.
\item %Déterminer la quantité de médicaments rejetés en mars.
On a $870 \times \left(1 + \dfrac{1,2}{100} \right) = 880,44 \approx 844$. 
\item %Déterminer la quantité de médicaments rejetés en mai.
On part de la quantité rejetée en juin : $876 \times \left(1 - \dfrac{1,9}{100} \right) = 859,356 \approx 859$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
%On s'intéresse maintenant au nombre de médicaments rejetés par cette entreprise ces dernières années.
%
%On sait qu'en 1990 le nombre de médicaments rejetés est de \np{18100}.
% 
%On constate qu'à partir de cette année-là, le nombre de médicaments rejetés diminue régulièrement de 3\,\% chaque année, et on fait l'hypothèse que cette évolution se poursuivra jusqu'en 2015.
% 
%On note alors $u_{0} = \np{18100}$ et $u_{n}$ le nombre de médicaments rejetés pendant l'année $(1990 + n)$.
%
%Dans tout ce qui suit les résultats seront arrondis à l'unité. 

\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$.
On a $u_{1} = u_{0} - \dfrac{3}{100}u_{0} = \np{18100} - 0,03 \times \np{18100} = \np{17757}$.

De m\^eme $u_{2} = u_{1} - \dfrac{3}{100}u_{1} = \np{17757} - 0,03 \times \np{17757} = \np{17030,3} \approx \np{17030}$.
\item %Quelle est la nature de la suite $u$ ? En déduire son sens de variation.
Baisser chaque année de 3\,\%, c'est multiplier par $1 - 0,03 = 0,97$ ; la suite $u$ est une suite géométrique de premier terme $u_{0} = \np{18100}$ et de raison $0,97$

Cette égalité montre que la suite $u$ est une suite géométrique de premier terme $u_{0} = \np{18100}$ et de raison $0,97$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$.
On a pour tout naturel $n,~u_{n+1} = u_{n} - 0,03u_{n} = (1 - 0,03)u_{n} = 0,97u_{n}$.
		\item %Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
On sait que $u_{n} = u_{0}\times q^n = \np{18100}\times 0,97^n$.
	\end{enumerate}		 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Résoudre, pour $x$ réel, l'inéquation $\np{18100} \times  0,97^x \leqslant  \np{9000}$. 
$\np{18100} \times  0,97^x \leqslant  \np{9000}$ donne en simplifiant par \np{18100}, $0,97^x \leqslant \dfrac{90}{181}$ et en prenant le logarithme décimal de chaque membre $x\log 0,97 \leqslant \log \left(\dfrac{90}{181} \right)$ et enfin $x \geqslant \dfrac{\log \left(\frac{90}{181} \right)}{\log 0,97}$.

Les réls solutions sont les réels $x$ tels que $x \geqslant \dfrac{\log \left(\frac{90}{181} \right)}{\log 0,97}$
		\item %En déduire l'année à partir de laquelle le nombre de médicaments rejetés cette année~là par l'entreprise sera inférieur à \np{9000}.
Il faut prendre la plus petite solution entière de l'inéquation précécdente. Or 

$\dfrac{\log \left(\frac{90}{181} \right)}{\log 0,97} \approx 22,9$ Il faut prendre $x = 23$.

Le nombre de médicaments rejetés  par l'entreprise sera inférieur à \np{9000} en $1990 + 23 = 2013$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 2}\hfill 7 points}

\medskip

\medskip
 
\textbf{Partie A - Étude de fonction}

\medskip
 
%On considère la fonction $f$, définie et dérivable sur l'intervalle [1~;~15], d'expression
% 
%\[f(t) = \dfrac{\np{1615}}{t} - \dfrac{595}{t^2}\]
%
%Soit $f'$ sa fonction dérivée. On admet que, sur l'intervalle [1~;~15], l'expression de $f'$ est donnée par 
%
%\[f'(t) = \dfrac{\np{1190} - \np{1615}t}{t^3}\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Étudier le signe de $f'(t)$ sur l'intervalle [1~;~15].
Sur [1~;~15], $t > 0$, donc $t^3 > 0$ : le signe de $f'(t)$ est donc celui du numérateur  $\np{1190} - \np{1615}t$.

Or $\np{1190} - \np{1615}t > 0$ si $\np{1190} > \np{1615}t $ ou $t < \dfrac{\np{1190}}{\np{1615}}$. Or $\dfrac{\np{1190}}{\np{1615}} < 1$. Donc sur [1~;~15], $f'(t) < 0$.
		\item %Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle [1~;~15].
Comme $f'(t) < 0$ sur [1~;~15], on en déduit que la fonction $f$ est décroissante de $f(1) = \np{1615} - 595 = \np{1020}$ à $f(15) = \dfrac{\np{1615}}{15} - \dfrac{595}{15^2} = \dfrac{\np{4726}}{45} \approx 105$.		 
%On arrondira les valeurs remarquables à l'unité.
	\end{enumerate} 
\item %Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les résultats à l'unité :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$ 	& 1			&2 		&3 		&4 		&5 	&8 		&10		&12		&15\\ \hline 
$f(t)$	&\np{1020}	&659	&472	&367	&299&193	&156	&130	&105\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip
 
%On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal du plan.
 
%Construire sur la feuille de papier millimétré la courbe $\mathcal{C}$, en prenant comme unités graphiques : 1~cm pour une unité sur l'axe des abscisses, 1~cm pour 100~unités sur l'axe des ordonnées.
Voir à la fin de l'exercice.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B - Application}

\medskip
 
%Un patient s'est vu administrer \np{1200}~mg d'un médicament. On admet que la quantité de médicament en mg présente dans le sang du malade au-delà de la première heure est donnée par $f(t)$, avec $t$ en heures.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Estimer graphiquement la quantité de médicament présente dans le sang du patient au bout de 3~h 30~min.
On trace la droite d'équation $x = 3,5$ (pour 3~h 30~min) qui coupe  la courbe $\mathcal{C}$ en un point dont on trouve l'ordonnée en le projetant sur l'axe des ordonnées. On lit à peu près : 410~(mg).
		
Au bout de 3~h 30~min la quantité de médicament présente dans le sang du patient sera environ de 410~mg.
		\item %Vérifier ce résultat par un calcul.
On calcule $f(3,5) = \dfrac{\np{1615}}{3,5} - \dfrac{595}{3,5^2} \approx 412,857 \approx 413$~(mg). 
	\end{enumerate} 
\item %On estime que ce médicament devient inefficace lorsque la quantité de médicament présente dans le sang est inférieure à 200~mg.
 
%Estimer graphiquement le temps au bout duquel il devient inefficace.
On trace la droite d'équation $y = 200$ qui coupe  la courbe $\mathcal{C}$ en un point dont on trouve l'abscisse en le projetant sur l'axe des abscisses. On lit à peu près : 7,7~(h) soit 7 h 42~min.
\end{enumerate}

\medskip
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.007cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(16,1050)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=100]{->}(0,0)(16,1050)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10,Dx=0.1,labels=none]{->}(0,0)(16,1050)
\uput[u](16,0){$t$ en heures}\uput[r](0,1050){$f(t)$ en mg}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{15}{1615 x div 595 x dup mul div sub}
\multido{\n=0+1}{17}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,1050)}
\multido{\n=0+100}{11}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(16,\n)}
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(3.5,0)(3.5,412.86)(0,412.86)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(0,200)(7.69,200)(7.69,0)
\end{pspicture}
\end{center} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 6 points}

\medskip
 
%Une enquête porte sur des enfants ayant développé des allergies alimentaires.
%
%On s'intéresse aux évènements suivants :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[] $F$ : \og l'enfant est allergique aux fruits secs \fg{};
%\item[] $G$ : \og l'enfant est allergique au gluten \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%Les résultats conduisent à l'arbre de probabilités suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1.4cm}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB =3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$F$~}\taput{0,23 }}
	  { 
		  \TR{$G$}\taput{0,2}
		  \TR{$\overline{G}$}\tbput{0,8}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{F}$~}\tbput{0,77}}
	  {
		  \TR{$G$}
		  \TR{$\overline{G}$}	  
	  }
	
}
\end{center}

%Les résultats numériques seront arrondis au millième si nécessaire.

\begin{enumerate}
\item %Donner la probabilité $p\left(\overline{F}\right)$.
On a $p\left(\overline{F}\right) = 1 - 0,23 = 0,77$. 
\item %Définir par une phrase l'évènement $F \cap G$ puis calculer $p(F \cap G)$.
$F \cap G$ désigne l'évènement : \og l'enfant est allergique aux fruits secs \textbf{et} au gluten \fg.

$p(F \cap G) = 0,23 \times 0,2 = 0,046$. 
\item %On sait qu'un quart des enfants est allergique au gluten, c'est-à-dire que $p(G) = 0,25$.

	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que la probabilité que l'enfant ne soit pas allergique aux fruits secs mais au gluten est $0,204$.
On sait que $p(G) = p(F \cap G) + p\left(\overline{F} \cap G\right)$, c'est-à-dire que

 $0,25 = 0,046 + p\left(\overline{F} \cap G\right)$, d'o\`u $p\left(\overline{F} \cap G\right) = 0,25- 0,046 = 0,204$. 
		\item %En déduire la probabilité qu'il soit allergique au gluten sachant qu'il n'est pas allergique aux fruits secs.
		Il faut calculer $p_{\overline{F}}(G) = \dfrac{p\left(G \cap \overline{F}\right)}{p\left(\overline{F}\right)} = \dfrac{0,204}{0,77} \approx 0,265$.
	\end{enumerate} 
\item %L'enquête porte sur un échantillon de \np{8000}~enfants.
 
%Reproduire et compléter le tableau d'effectifs théoriques :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline 
Nombre d'enfants &Allergiques au gluten &Non allergiques au gluten &Total\\ \hline 
\begin{tabular}{c}Allergiques aux\\ fruits secs\\ \end{tabular}&368 &\np{1472}&\np{1840}\\ \hline
\begin{tabular}{c}Non allergiques aux\\ fruits secs\\ \end{tabular}&\np{1632}&\np{4528}&\np{6160}\\ \hline 
Total& \np{2000}&\np{6000}& \np{8000}\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{enumerate}
\end{document}