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%tapuscrit : Denis Vergès
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pdftitle = {Antilles--Guyane  juin 2010},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm} 
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ST2S}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
 {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S Antilles--Guyane juin 2010\decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 6 points}

\medskip

%Selon une étude, en France, le nombre de diabétiques traités en 2007 s'élève à 2,5~millions ; \np{800000} d'entre eux ont moins de 20~ans.
% 
%Il existe deux types de diabète :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item Le diabète de type 1 : diabète insulinodépendant, qui nécessite un traitement à l'insuline.
% 
%Il touche 10\,\% des diabétiques.
% 
%50\,\% des diabétiques traités à l'insuline ont moins de 20 ans.
%\item Le diabète de type 2 : diabète non-insulinodépendant.
% 
%Il se retrouve généralement chez les sujets âgés.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item ~
%Reproduire et compléter le tableau d'effectifs suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{~ }&Nombre de malades de type 1 &Nombre de malades de type 2& Total\\ \hline   
\begin{tabular}{c}Nombre de\\ malades de moins\\ de 20 ans\\\end{tabular}&\np{125000}	&\np{675000}	&\np{800000}\\ \hline
\begin{tabular}{c}Nombre de\\ malades de plus\\ de 20 ans\\ \end{tabular}	&\np{125000}	&\np{1575000}	&\np{1700000}\\ \hline 
Total								&\np{250000}	&\np{2250000}	&\np{2500000}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item ~
%On choisit la fiche d'un diabétique au hasard. Chaque fiche a la même probabilité d'être choisie.
 
%Soient les évènements  :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[] A : \og la fiche est celle d'un malade qui n'est pas traité à l'insuline \fg 
%\item[] B : \og la fiche est celle d'un malade qui a moins de 20 ans \fg{}
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer les probabilités des évènements A et B.
$p(A) =  \dfrac{\np{2250000}}{\np{2500000}} = 0,9$.

$p(B) =  \dfrac{\np{800000}}{\np{2500000}} = \dfrac{8}{25} =  0,32$. 
		\item %Définir par une phrase l'évènement A $~\cap~$ B et calculer sa probabilité.
$A ~\cap~ B$ : \og  la fiche est celle d'un malade qui a moins de 20 ans et qui n'est pas traité à l'insuline \fg.

$p(A \cap B) = \dfrac{\np{675000}}{\np{2500000}} = \dfrac{675}{\np{2500}} = \dfrac{27}{100} = 0,27$. 
		\item %Écrire à l'aide des évènements A et B l'évènement \og la fiche est celle d'un malade qui a plus de 20 ans et est atteint du diabète de type 1 \fg. Calculer sa probabilité.
Évènement : $\overline{\text{A}} \cap \overline{\text{B}}$.

$p\left(\overline{A} \cap \overline{B} \right) = \dfrac{\np{125000}}{\np{2500000}} = \dfrac{1}{20} = 0,05$.
		\item %Calculer la probabilité de l'évènement \og la fiche est celle d'un malade ayant moins de 20 ans sachant qu'il est atteint d'un diabète de type 2 \fg.
Sur les \np{2250000} malades de type 2, \np{675000} ont moins de 20 ans ; la probabilité est donc égale à : $\dfrac{\np{675000}}{\np{2250000}} = \dfrac{3}{10} = 0,3$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 2}\hfill 6 points}

\medskip 

%Les volumes des ventes (en milliers de boîtes) d'un médicament mis sur le marché en 2005 sont donnés par l'extrait de feuille de calcul ci-dessous. 
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|>{\centering \arraybackslash}X|c|>{\centering \arraybackslash}X|c|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
%	&A 				&B &C &D &E &F\\ \hline 
%1 	&année 			&2005 &2006 &2007 &2008 &2009\\ \hline 
%2 	&rang de l'année : $x$& 1 &2 &3 &4 &5\\ \hline 
%3 	&volume des ventes (en milliers) : $y$& 11,8 &13,8 &16,7 &18,5 &21,3\\ \hline 
%4 	&taux d'évolution (en \%)&	& +16,9\,\% &	&+10,8\,\%	&\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip 
%
%Une représentation du nuage de points est donnée en annexe. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer le pourcentage d'évolution entre 2006 et 2007. On arrondira le résultat à l'unité.

$\dfrac{16,7 - 13,8}{13,8} = \dfrac{2,9}{13,8}\approx 21$~\,\%. 
		\item %Donner une formule qui, entrée dans la cellule C4, permet, par recopie vers la droite, d'obtenir les pourcentages d'évolution voulus dans la plage C4 : F4.
Formule : \fbox{=(C3-B3)/B3*100}
		 
%On envisage de modéliser par un ajustement affine l'évolution du volume des ventes de ce produit.

%On se propose d'ajuster le nuage par la droite passant par les points A(1~;~11,8) et B(5~;~21,3).
 
%On suppose que cet ajustement est valable au-delà de l'année 2009.
	\end{enumerate} 
\item %Montrer que l'équation réduite de la droite (AB) s'écrit $y = 2, 375x + 9,425$. Tracer la droite (AB) sur le graphique donné en annexe.
L'équation de la droite est de la forme $y = ax + b$. On écrit que les coordonnées de A et de B vérifient cette équation, soit :

$\left\{\begin{array}{l c l}
11,8&=&a + b\\
21,3&=&5a + b
\end{array}\right. \Rightarrow $ (par différence) $9,5 = 4a$ soit $a = 2,375$, puis 

$b = 11,8 - a = 11,8 - 2,375 = 9,425$.

Une équation de la droite (AB) est donc $y = 2,375x + 9,425$.  Tracé à la fin.
\item %En utilisant cet ajustement: 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer graphiquement une estimation du nombre de boîtes de ce médicament que l'on vendra en 2010. On fera apparaître les tracés nécessaires à cette lecture graphique.
2010 correspond à $x = 6$. On trace donc la droite d'équation $x = 6$ qui coupe la droite (AB) en un point dont on lit l'ordonnée en le projetant sur l'axe des ordonnées. On lit à peu près $y \approx  23,5$, soit \np{23500}~boîtes.
		\item %Calculer une estimation du nombre de boîtes que l'on vendra en 2013.
2013 correspond à $x = 9$, d'où $y = 2,375 \times 9 + 9,425 = 21,375 + 9,425 = 30,8$.

On peut estimer qu'en 2013 on vendra \np{30800} boîtes.
	\end{enumerate} 
\item %On suppose que le taux annuel moyen d'évolution du volume des ventes sur la période 2005-2013 vaut 12,5\,\%. Sous cette hypothèse, donner une estimation du nombre de boîtes vendues en 2013 en partant du volume des ventes en 2009.
De 2009 à 2013, il y a quatre années. Sous l'hypothèse, le nombre de boîtes vendues en 2013 sera égal à $21,3 \times 1,125^4 \approx 34,1$ soit à peu près \np{34100}~boîtes.
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 8 points}

\medskip

%On s'intéresse à l'évolution d'une culture de bactéries de la salmonellose pendant deux heures.
% 
%Une étude expérimentale permet d'estimer que le nombre de ces bactéries, en fonction du temps $t$ exprimé en minutes, est donné par :
% 
%\[N(t) = 100 \times (1,02)^t\]
 
\begin{enumerate}
\item %On admet que la fonction $N$ a le même sens de variation que la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~120] par $f(t) = (1,02)^t$.
 
%Préciser le sens de variation de $f$ puis celui de $N$ sur l'intervalle [0~;~120].
La fonction qui à $t$ associe $(1,02)^t$  est croissante car $1,02 > 1$, donc la fonction $N$ l'est aussi.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item ~%Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant, en arrondissant les valeurs à l'unité :
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$t$		&0 		&20 	&40 	&60 	&80 	&100 	&120\\ \hline
$N(t)$	&100	&149	&221	&328	&488	&724	&\np{1077}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
		\item %Construire sur du papier millimétré, la courbe représentative de $N$ dans un repère orthogonal d'unités graphiques :
Voir à la fin.		
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[] 1 cm pour 10~min sur l'axe des abscisses, 
%\item[] 1 cm pour 100~bactéries sur l'axe des ordonnées.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Préciser le nombre initial de bactéries.
Pour $t = 0$, $N(0) = 100$. 
		\item %Calculer le nombre de bactéries au bout de 1~h 10~min. Vérifier ce résultat graphiquement. On laissera apparentes les constructions nécessaires.
1~h 10~min correspond 70 minutes, donc $N(70) = 100 \times 1,02^{70} \approx 400$.

Graphiquement : on trace la droite verticale d'équation $x = 70$ qui coupe la courbe représentative de $N$ en un point dont on lit l'ordonnée en le projetant sur l'axe des ordonnées. On lit à peu près 400.
	\end{enumerate} 
\item %Résoudre algébriquement l'équation $N(t) = 800$. Interpréter ce résultat.
On trace la droite horizontale d'équation $y =  800$ qui coupe la courbe représentative de $N$ en un point dont on lit l'abscisse en le projetant sur l'axe des abscisses. On lit à peu près 105.
\item %Soit $N'(t)$ la dérivée de $N$ sur l'intervalle [0~;~120].
 
%On admet que la vitesse d'augmentation de cette population à l'instant $t$ est donnée en bactéries par minutes par $N'(t)$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Construire \og  au jugé \fg{} la tangente à la courbe représentative de $N$ au point d'abscisse $70$.
Voir à la fin. 
		\item %Par lecture graphique, estimer le coefficient directeur de cette tangente.
On lit à peu près $\dfrac{400}{50} = 8$.
		\item %En déduire une valeur approchée de la vitesse d'augmentation de la population de bactéries au bout de 1~h 10~min.
Puisqu'on admet que la vitesse d'augmentation de cette population à l'instant $70$ est donnée en bactéries par minutes par $N'(70)$, on a vu que $N'(70) \approx 8$.

Vérification sur les 10 minutes suivantes il y aura à peu près $10 \times 8 = 80$~bactéries de plus soit $400 + 80 \approx 480 = N(80)$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Annexe à rendre avec la copie (exercice 2)}

\vspace{2cm}

\psset{xunit=1.cm,yunit=0.55cm}

\begin{pspicture}(-1,-2)(10,28)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(10,28)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2,Dx=1]{->}(0,0)(0,0)(10,28)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2,Dx=1](0,0)(0,0)(10,28)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](1,11.8)(2,13.8)(3,16.7)(4,18.5)(5,21.3)
\psdots(1,11.89)(5,21.3)
\rput{90}(-0.85,24.5){volume des ventes (en milliers)}
\psplot[linecolor=blue]{0}{7.2}{2.375 x mul 9.425 add}
\uput[d](8.5,-0.7){rang de l'année}\uput[dl](0,0){O}
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(7,0)(7,26.05)(0,26.05)
\end{pspicture}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.1cm,yunit=0.01cm}
\begin{pspicture}(120,1200)
\multido{\n=0+20}{7}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,1200)}
\multido{\n=0+100}{13}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(120,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=100]{->}(0,0)(120,1200)
\uput[d](120,0){$x$}\uput[l](0,1200){$y$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{0}{120}{100 1.02 x exp mul}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt,arrowsize=2pt 3]{->}(70,0)(70,400)(0,400)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt,arrowsize=2pt 3]{->}(0,800)(105,800)(105,0)
\psplot{20}{120}{8 x mul 160 sub}
\uput[r](70,200){400}\uput[u](45,0){50}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}