\documentclass[10pt,a4paper,french]{article} \usepackage{babel} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage{xspace} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp}%,enumitem} \usepackage[table]{xcolor} \usepackage{graphicx} % Tapuscrit : Denis Vergès %correction : Jean-Claude Souque \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat ST2S}, pdftitle = {Antilles-Guyane - 16 juin 2017}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[np]{numprint} \renewcommand\arraystretch{1.4} \newcommand{\e}{\text{e}} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat ST2S} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{16 juin 2017}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S Antilles-Guyane 16 juin 2017~\decofourright\\[4pt] }} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \medskip {\footnotesize Le tableau suivant provient de données statistiques sur les accidents cyclistes en France métropolitaine en 2008 : \begin{center} \begin{tabularx}{0.55\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Âge &Blessés hospitalisés& Blessés non hospitalisés\\ \hline 0-14 ans& 275& 383\\ \hline 15-24 ans& 245& 611\\ \hline 25-44 ans& 337& 965\\ \hline 45-64 ans& 458& 669\\ \hline 65 ans ou +& 224& 219\\ \hline Total &1539& 2847\\ \hline \multicolumn{3}{r}{\emph{Source : fubicy.org}}\\ \end{tabularx} \end{center} } \textbf{Partie A :} \emph{on arrondira les résultats à }0,1\,\% \medskip \begin{enumerate} \item Parmi les blessés suite à un accident de vélo en France métropolitaine en 2008, déterminons le pourcentage de personnes hospitalisées c'est-à-dire le quotient du nombre de personnes hospitalisées par le nombre de personnes blessées. $\dfrac{\np{1539}}{\np{4386}}\approx \np{0.35088}$, c'est-à-dire à 0,1\,\% près \np{35.1}\,\%. \item Parmi les blessés hospitalisés suite à un accident de vélo en France métropolitaine en 2008, déterminons le pourcentage de personnes âgées de 45 à 64 ans c'est-à-dire le quotient du nombre de personnes hospitalisées âgées de 45 à 64 ans par le nombre de personnes hospitalisées. $\dfrac{458}{\np{1539}}\approx \np{0.2976}$, c'est-à-dire à 0,1\,\% près \np{29.8}\,\%. \item Parmi les 15 à 24 ans blessés suite à un accident de vélo en France métropolitaine en 2008, déterminons le pourcentage de blessés non hospitalisés c'est-à-dire le quotient du nombre de personnes âgées de 15 à 24 ans non hospitalisées par le nombre de personnes de 15 à 24 ans.$\dfrac{611}{245+611}\approx \np{0.7138}$, c'est-à-dire à 0,1\,\% près \np{71.4}\,\%. \item Les accidents sont considérés comme graves lorsque les blessés sont hospitalisés. Un article affirme : \og À partir de 25 ans, la gravité des accidents cyclistes augmente avec l'âge\fg. Cette affirmation semble vraie au vu des données de l'énoncé. Si nous considérons la proportion de personnes blessées hospitalisées parmi les personnes blessées de la même tranche d'âge, nous obtenons \np{0.2588} pour les 25-44 ans, \np{0.4064} pour les 45-64 ans et \np{0.5056} pour les plus de 65 ans. Nous ne pouvons que constater un accroissement du nombre d'hospitalisation selon le vieillissement des tranches d'âge. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B :} \emph{on arrondira les résultats à $0,01$ près} \medskip {\footnotesize On contacte au hasard une personne blessée suite à un accident de vélo en France métropolitaine en 2008. On définit les évènements suivants : $H$ : \og La personne contactée a été hospitalisée\fg $A$ : \og La personne contactée a entre 25 et 44 ans\fg $B$ : \og La personne contactée a 45 ans ou plus\fg } \medskip \begin{enumerate} \item Calculons la probabilité des évènements $H$, $A$ et $B$. L'univers est l'ensemble des personnes blessées suite à un accident de vélocipède. La loi de probabilité mise sur cet univers est la loi équiprobable. La probabilité d'un évènement $A$ est $p(A)=\frac{\text{\scriptsize nombre d'éléments de A}}{\text{\scriptsize nombre d'éléments de l'univers}}$ Le nombre d'éléments de l'univers est \np{4386}. \begin{description} \item[]$p(H)=\dfrac{\np{1539}}{\np{4386}}\approx \np{0.35}$ \item[]$p(A)=\dfrac{\np{1302}}{\np{4386}}\approx \np{0.30}$ \item[]$p(B)=\dfrac{\np{1570}}{\np{4386}}\approx \np{0.36}$ \end{description} \item $H \cap A$ l'évènement : \og la personne contactée a été hospitalisée et est âgée entre 25 et 44 ans\fg. $p(H\cap A)=\dfrac{337}{\np{4386}} \approx \np{0.08}$. \item La probabilité que la personne contactée soit âgée de 45 ans ou plus sachant qu'elle a été hospitalisée est notée $p_{H}(B)$. $p_{H}(B)=\dfrac{p(H\cap B)}{p(H)}=\dfrac{\frac{458+224}{\np{4386}}}{\frac{\np{1539}}{\np{4386}}}\approx\np{0.44}$ \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points} \medskip {\footnotesize Les tableaux ci-dessous donnent, pour certaines années, l'espérance de vie, en années, des femmes et des hommes à divers âges en France (hors Mayotte). \medskip \parbox{0.55\linewidth}{ \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &\multicolumn{3}{c|}{Espérance de vie des femmes}\\ \hline Année & à 0 an &à 20 ans &à 60 ans\\ \hline 1995 & 81,9 &62,5 &24,9\\ \hline 2000 & 82,8 &63,4 &25,6\\ \hline 2005 & 83,8 &64,3 &26,4\\ \hline 2010 & 84,6 &65,1 &27,1\\\hline \end{tabularx}}\hfill \parbox{0.4\linewidth}{Par exemple, en 1995, une femme de 20 ans vivant en France (hors Mayotte) avait une espérance de vie restante de 62,5 années. Cela signifie qu'il était estimé en 1995 que les femmes de 20 ans vivraient, en moyenne, jusqu'à 82,5 ans.} \medskip \parbox{0.55\linewidth}{ \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &\multicolumn{3}{c|}{Espérance de vie des hommes}\\ \hline Année &à 0 an &à 20 ans &à 60 ans\\ \hline 1995 &73,8 &54,7 &19,7\\ \hline 2000 &75,2 &56,0 &20,4\\ \hline 2005 &76,7 &57,4 &21,4\\ \hline 2010 &78,0 &58,6 &22,4\\ \hline \end{tabularx} {\scriptsize \emph{Source : Insee, statistiques de l'état civil et estimations de population - Juin $2015$}} }\hfill \parbox{0.4\linewidth}{} \medskip \textbf{Cet exercice porte sur les femmes et les hommes vivant en France (hors Mayotte).} } \bigskip \textbf{Partie A :} Étude de l'espérance de vie des hommes de 60 ans. \medskip \begin{enumerate} \item D'après les indications du tableau, en 2010, l'espérance de vie restante d'un homme de $60$~ans était de \np{22.4} années. \item \begin{enumerate} \item Calculons le pourcentage d'évolution, à 0,1\,\% près, entre l'espérance de vie restante en 1995 d'un homme de 60 ans et l'espérance de vie restante en 2010 d'un homme de $60$~ans. Le taux d'évolution $\mathcal{T}$ est défini par $\dfrac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$. $\mathcal{T}_{H}=\dfrac{\np{22.4}-\np{19.7}}{\np{19.7}}\approx \np{0.1371}$ soit en pourcentage à 0,1\,\% près \np{13.7}\,\%. \item Pour comparer ce pourcentage d'évolution de l'espérance de vie restante des hommes de $60$~ans à celui des femmes de $60$~ans, sur la même période, calculons d'abord le pourcentage d'augmentation de l'espérance de vie des femmes âgées de 60 ans . $\mathcal{T}_{F}=\dfrac{\np{27.1}-\np{24.9}}{\np{24.9}}\approx \np{0.08835}$ soit en pourcentage \np{8.8}\,\%. L'espérance de vie des hommes de 60 ans s'est accru, durant cette période, beaucoup plus rapidement que celui des femmes. \end{enumerate} \item L'espérance de vie restante des hommes de $60$~ans a augmenté de 5\,\% entre 2010 et 2015. En apprenant cette bonne nouvelle, Jacques, un homme de $60$~ans en 2015 affirme : \og les hommes de ma génération peuvent légitimement espérer vivre jusqu'à 83 ans et demi ! \fg À un taux d'évolution de 5\,\% correspond un coefficient multiplicateur de 1,05. L'espérance de vie pour un homme de 60 ans s'élèvera à $\np{22.4}\times \np{1.05}$ soit $\np{23.52}$. Ainsi, en 2015, un homme de 60 ans peut espérer vivre jusqu'à \np{83.5} ans. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B :} Étude de l'espérance de vie à la naissance \medskip L'espérance de vie à 0 an est aussi appelée espérance de vie à la naissance. \medskip \begin{enumerate} \item Espérance de vie à la naissance des femmes \begin{enumerate} \item Le nuage de points de coordonnées $(x~;~y)$ où $x$ représente l'année de naissance et $y$ représente l'espérance de vie des femmes à la naissance, selon le tableau de l'Insee est représenté sur le graphique de l'annexe 1, à rendre avec la copie. \item Les coordonnées du point moyen, G, sont ($\overline{x}~;~\overline{y}$) \[ \overline{x}_G=\dfrac{\np{1995}+\np{2000}+\np{2005}+\np{2010}}{4}=\np{2002.5} \qquad \overline{y}_G=\dfrac{\np{81.9}+\np{82.8}+\np{83.8}+\np{84.6}}{4}=\np{83.275}\] G $\left( \np{2002.5}~;~\np{83.275} \right)$ est placé sur le graphique. \item La forme du nuage de points montre qu'un ajustement affine est pertinent. Un logiciel donne $y = 0,182x - 281,18$ comme équation de la droite qui réalise au mieux cet ajustement. Cette droite est tracée sur le graphique. \item D'après cet ajustement, lisons sur le graphique avec la précision permise par celui-ci l'espérance de vie prévisible à la naissance des femmes qui naîtront en 2020. En lisant l'ordonnée du point de la droite d'abscisse 2020, nous trouvons environ \np{86.5}. \end{enumerate} \item Comparaison de l'espérance de vie des femmes et de celle des hommes à la naissance {\footnotesize De manière similaire, un ajustement affine est pertinent pour le nuage de points $(x~;~y)$ où $x$ représente l'année de naissance et $y$ représente l'espérance de vie à la naissance des hommes, selon le tableau de l'Insee. Un logiciel donne $y = 0,282x - 488,78$ comme équation de la droite qui réalise au mieux cet ajustement. Pour cette dernière question, on estime que les ajustements affines proposés dans cet exercice sont fiables jusqu'en 2050. } À partir de cette hypothèse, nous ne pouvons pas déduire qu'en 2050, l'espérance de vie à la naissance des hommes dépassera celle des femmes. Graphiquement, il n'y a aucun point commun entre ces deux droites d'ajustement, celle des hommes restant \og en dessous\fg{} de celle des femmes. Par le calcul résolvons $0,282x - 488,78 \geqslant 0,182x - 281,18$. $0,282x - 488,78 \geqslant 0,182x - 281,18 \ ;\ 0,282x - 0,182x \geqslant 488,78 - 281,18\ ;\ \np{0.1}x \geqslant \np{207.6}\ ;\ x\geqslant 2076$ Selon ce modèle, l'espérance des hommes à la naissance rejoindrait celle des femmes qu'en 2076 or à cette époque le modèle n'est plus pertinent. \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} \medskip \textbf{Partie A :} \medskip {\footnotesize Une dose d'un médicament est injectée dans le sang par piqûre intraveineuse. On suppose que le médicament se répartit instantanément dans le sang et que sa concentration initiale dans le sang est égale à 85 mg/L. On admet que le corps élimine chaque heure 25\,\% du médicament. On considère la suite $\left(C_n\right)$ où $C_n$ désigne la concentration en mg/L de médicament dans le sang $n$ heures après l'injection avec n désignant un entier naturel. On a ainsi $C_0 = 85$~mg/L. } \medskip \begin{enumerate} \item À une baisse de 25\,\% correspond un coefficient multiplicateur de 0,75. $C_1=85\times 0,75=\np{63.75}\ ,\ C_2=\np{63.75}\times \np{0.75}\approx \np{47.81}$, résultats arrondis à $0,01$. $C_1$ désigne la concentration dans le sang une heure après l'injection, $C_2$ deux heures après. \item Passant d'un terme au suivant en le multipliant par un même nombre, la suite $\left(C_n\right)$ est une suite géométrique de raison \np{0.75} et de premier terme $C_0 = 85$. \item Pour calculer à chaque heure la concentration de médicament présente dans le sang, on utilise un tableur. La feuille de calcul est reproduite en annexe 2, à rendre avec la copie. Une formule à recopier vers le bas, que nous pouvons saisir dans la cellule B3 pour obtenir les premières valeurs de la suite $\left(C_n\right)$ est = \$B2*0,75 \item Exprimons $C_n$ en fonction de $n$. Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0q^n$. $C_n = 85\times(\np{0.75})^n$. La concentration de médicament dans le sang au bout de $14$ heures est $C_{14}$. $C_{14}=85\times(\np{0.75})^{14}\approx \np{1.51}$ valeur arrondie à $0,01$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B :} \medskip {\footnotesize Pour avoir des résultats plus précis, on admet que la concentration en mg/L de médicament dans le sang $t$ heures après l'injection peut être modélisée par la fonction $G$ définie sur [0~;~19] par :$G(t) = 85 \times 0,75^t$. La courbe représentative de la fonction $G$ est tracée en annexe 2. } \medskip \begin{enumerate} \item Par lecture graphique, avec la précision permise par celui-ci, déterminons: \begin{enumerate} \item La concentration de médicament présente dans le sang au bout de $4$ heures et $30$~minutes. Nous lisons l'ordonnée de la courbe d'abscisse \np{4.5} soit environ \np{23.3} \item Le temps à partir duquel la concentration de médicament dans le sang est inférieure à 50\,\% de la concentration initiale. Nous traçons la droite d'équation y=\np{42.5} et nous lisons l'abscisse du point d'intersection de cette droite avec la courbe. Nous trouvons environ \np{2.4}. La concentration de médicament dans le sang est inférieure à 50\,\% de la concentration initiale à partir de 2 heures 24 minutes. \end{enumerate} \item Déterminons par le calcul une valeur approchée à $0,1$~heure près du temps $t_0$ à partir duquel la concentration de médicament dans le sang est inférieure à 20\,\% de la concentration initiale. Pour ce faire,résolvons $85\times 0,75^t<85\times \np{0.2}$. $0,75^t<\np{0.2}\ ;\ t\log \np{0.75}<\log \np{0.2}\ ;\ t>\dfrac{\log\np{0.2}}{\log \np{0.75}}$ $t_0 = \dfrac{\log\np{0.2}}{\log\np{0.75}}\approx \np{5.6}$ soit cinq heures et 36 minutes. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\Large Annexe 1\\ à rendre avec la copie} \bigskip \textbf{Exercice 2} \medskip \psset{xunit=0.2cm,yunit=0.7cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(60,22.5) \multido{\n=0+5}{13}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,22)} \multido{\n=0.0+0.1}{221}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=lightgray](0,\n)(60,\n)} \multido{\n=0+1}{23}{\psline[linewidth=0.4pt](0,\n)(60,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=1995,Dx=5,Oy=70]{->}(0,0)(0,0)(60,22.5) \uput[d](30,-1){Année de naissance} \rput{90}(-5,11){Espérance de vie en années} \psdots[dotstyle=+,dotscale =1.4,dotangle=45](0,11.9)(5,12.8)(10,13.8)(15,14.6) \psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.4,dotangle=45](7.5,13.275) \uput[ul](7.5,13.275){\textcolor{red}{$G$}} \psset{arrowscale=2} \def\Func{x 0.182 mul 11.91 add} \psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-< ]{<-}(!0 /x 25 def \Func)(!25 /x 25 def \Func)(25,0) \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{55}{x 0.182 mul 11.91 add} \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0}{55}{x 0.282 mul 3.84 add} \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{\Large Annexe 2\\ à rendre avec la copie} \bigskip \textbf{\Large Exercice 3} \medskip \begin{flushleft} \textbf{Partie A} \end{flushleft} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B\\ \hline 1 &$n$ &$C_n$\\ \hline 2 &0 &85,00\\ \hline 3 &1 &\\ \hline 4 &2 &\\ \hline 5 &3 &35,86\\ \hline 6 &4 &26,89\\ \hline 7 &5 &20,17\\ \hline 8 &6 &15,13\\ \hline 9 &7 &11,35\\ \hline 10 &8 &8,51\\ \hline 11 &9 &6,38\\ \hline 12 &10 &4,79\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \begin{flushleft} \textbf{Partie B} \end{flushleft} \bigskip \psset{xunit=0.6cm,yunit=0.08cm} \begin{pspicture}(-1,-10)(19,100) \multido{\n=0.0+0.1}{191}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,100)} \multido{\n=0+1}{19}{\psline[linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,100)} \multido{\n=0+1}{101}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=lightgray](0,\n)(19,\n)} \multido{\n=0+10}{11}{\psline[linewidth=0.4pt](0,\n)(19,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10](0,0)(0,0)(19,100) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{19}{85 0.75 x exp mul} \uput[ur](3.6,30){\blue $\mathcal{C}_{G}$} \uput[d](17.5,-5){$t$ en heures} \uput[r](0,103){mg/L} \psset{arrowscale=1.5} \def\Func{85 0.75 x exp mul} \psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-< ]{<-}(!0 /x 4.5 def \Func)(!4.5 /x 4.5 def \Func)(4.5,0) \psline[linewidth=0.95pt,linecolor=cyan,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 2.40942 def \Func)(!2.40942 /x 2.40942 def \Func)(2.40942,0) \end{pspicture} \end{center} \end{document}