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% Tapuscrit Denis Vergès
% Sujet aimablement fourni par l'académie de la Martinique
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  ST2S}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{14 septembre 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S Antilles-Guyane~\decofourright\\[4pt]}}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}
 
\smallskip

On donne le nombre d'accouchements gémellaires en France de l'année 2000 \`a l'année 2009. Un accouchement gémellaire est un accouchement conduisant \`a la naissance de jumeaux.

\medskip
{\scriptsize
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.2176cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline
Année				&2000&2001&2002&2003&2004&2005&2006&2007&2008&2009\\ \hline
Rang de l'année : $x_{i}$	&0	&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&	8	&9\\ \hline
Nombre d'accouchements gémellaires : $y_{i}$&$\np{11483}$&\np{11479}&\np{11431}&\np{11754}&\np{12058}&\np{12508}&\np{12737}&\np{12578}&\np{12349}&$\np{12837}$\\ \hline
\multicolumn{11}{r}{\emph{Source : INED}}\\
\end{tabularx}
}
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$, est contruit dans un repère orthogonal page \pageref{moindre}.

{\scriptsize 
On prendra pour unités graphiques :

\setlength\parindent{8mm} 
\begin{description}
\item[ ] 1 cm pour une unité sur l'axe des abscisses. 
\item[ ] 1 cm pour 100 accouchements gémellaires sur l'axe des ordonnées, en commençant la graduation à \np{11000} sur cet axe.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}
 
On positionnera l'axe des abscisses en bas de la feuille de papier millimétré. }
\item  Soit $G$ le point moyen du nuage, calculons les coordonnées de $G$.
 Les coordonnées de G sont ($\overline{x}~;~\overline{y}$)
\[
\overline{x}_G=\frac{0+1+2+\dots+8+9}{10}=\np{4.5} \qquad \overline{y}_G=\frac{\np{11483}+\np{11479}+\dots+\np{12837}}{10}\approx\np{12121}\]
G $\left( \np{4.5}~;~\np{12121} \right)$ est placé  sur le graphique.
\item On décide de faire un ajustement affine de ce nuage par la droite $(D)$ d'équation: 

$y = 166x + \np{11374}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Le point $G$ appartient à la droite $(D)$ car en calculant l'ordonnée du point d'abscisse celle de G 

($\np{166}\times \np{4.5}+\np{11374}=\np{12121}$ ) nous retrouvons bien l'ordonnée  de G.
		\item  Cette droite est tracée dans  le repère précédent.
	\end{enumerate} 
\item On admet que cet ajustement est pertinent pour effectuer des estimations au-delà de l'année 2009. 
	\begin{enumerate}
		\item Pour estimer, à l'aide du graphique, le nombre d'accouchements gémellaires durant l'année 2012, lisons l'ordonnée du point d'abscisse 12 appartenant à la droite. Nous trouvons avec la précision permise par le graphique, environ \np{13360}. {\scriptsize\emph{ Les traits sont laissés apparents sur  le graphique}}
		\item Estimons, par le calcul, le nombre d'accouchements gémellaires durant l'année 2012. Pour ce faire, calculons l'ordonnée du point d'abscisse 12 appartenant à la droite.

$166\times 12+\np{11374}=\np{13366}$. Le nombre d'accouchements gémellaires durant l'année 2012 est d'environ \np{13366}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}
 
\smallskip

 En France, en 2008, lors des accidents corporels en voiture, 87\,\% des conducteurs portaient leur ceinture de sécurité. Parmi ceux-ci, 5\,\% conduisaient sous l'emprise de l'alcool. Par ailleurs, 34\,\% des conducteurs non-ceinturés conduisaient sous l'emprise de l'alcool. (Sources: ONISR, fichier des accidents).
 
 On choisit au hasard un conducteur parmi les victimes d'accidents corporels en France en 2008.
  
 On note :
  
 $C$ l'événement \og le conducteur était ceinturé \fg{};
  
$\overline{C}$ l'événement contraire de $C$ ;
  
 $A$ l'événement \og le conducteur était sous l'emprise de l'alcool \fg{};
  
 $\overline{A}$ l'événement contraire de $A$.

\medskip

 \begin{enumerate}
 \item À partir des éléments du texte, déterminons les valeurs suivantes : 
	\begin{enumerate}
 		\item la probabilité de l'événement $C$; $p(C)=\np{0.87}$ car 87\,\% des conducteurs portaient leur ceinture de sécurité.
		\item $p_{C}(A)$, la probabilité de l'événement $A$ sachant que l'événement $C$ est réalisé, $p_{C}(A)=\np{0.05}$ car parmi les conducteurs portant leur ceinture de sécurité, 5\,\% conduisaient sous l'emprise de l'alcool.
		\item $p_{\overline{C}}(A)$, la probabilité de l'événement $A$ sachant que l'événement $\overline{C}$ est réalisé. $p_{\overline{C}}(A)=\np{0.34}$ car 34\,\% des conducteurs non-ceinturés conduisaient sous l'emprise de l'alcool. 
 	\end{enumerate} 
 \item Complétons l'arbre de probabilité  correspondant à la situation : 

 \begin{center}\psset{}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,labelsep=0.1pt]{\TR{}}
 {
 	\pstree{\TR{~$C$~}\taput{0,87}}
 	  { 
 		  \TR{$A$}\taput{0,05}
 		  \TR{$\overline{A}$}\tbput{\np{0.95}}	   
 	  }
 	\pstree{\TR{~$\overline{C}$~}\tbput{\np{0.13}}}
 	  {
 		  \TR{$A$}\taput{\np{0.34}}
 		  \TR{$\overline{A}$}\tbput{\np{0.66}}	  
	  }	
 }
 \end{center}

\item L'événement $C \cap A$ est définie par : \og Le conducteur avait mis sa ceinture de sécurité et conduisait sous l'emprise de l'alcool\fg. 

$p(C\cap A)= p(C)\times p_{C}(A)=\np{0.87}\times \np{0.05}=\np{0.0435}$
\item Calculons la probabilité $p(A)$ que le conducteur soit sous l'emprise de l'alcool au moment de l'accident. 

$p(A)=p(C\cap A)+ p\left(\overline{C} \cap A\right)b = p(C)\times p_{C}(A) +p\left(\overline{C}\right)\times p_{\overline{C}}(A) = \np{0.0435} + \np{0.13}\times \np{0.34} =\np{0.0877}$.
\item  Suite à un accident corporel un contrôle d'alcoolémie est effectué sur le conducteur qui révèle que celui-ci est sous l'emprise de l'alcool.

La probabilité qu'il porte sa ceinture de sécurité au moment de l'accident est notée $p_{A}(C)$. 

$p_{A}(C)=\dfrac{p(A\cap C)}{p(A)}=\dfrac{\np{0.0435}}{\np{0.0877}}\approx \np{0.496}$.
%On arrondira le résultat à $10^{-3}$ près. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}
 
\medskip
{\scriptsize
Le tableau ci-dessous donne les dépenses de soins hospitaliers pour les années 2008 à 2010 en milliards d'euros en France.

 \begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|m{2.95cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Années &2008 &2009 &2010\\ \hline 
Dépenses de soins hospitaliers en milliards d'euros& 76,2 &79,1 &81,2\\ \hline 
\multicolumn{4}{r}{\emph{Source : DREES, comptes de la santé.}}\\
\end{tabularx}\end{center}
}

 
\begin{enumerate}
\item Calculons le pourcentage d'évolution des dépenses de soins hospitaliers entre 2008 et 2009. 

Le taux d'évolution $t$ est défini par $t=\dfrac{\text{{\footnotesize valeur finale}}-\text{\footnotesize valeur initiale}}{\text{{\footnotesize valeur initiale}}}$.
$t=\dfrac{\np{79.1}-\np{76.2}}{\np{76.2}}\approx\np{0.03806}$ soit \np{3.81}\,\%.
\item {\scriptsize Les prévisions de dépenses font apparaître une augmentation annuelle de 2\,\% des dépenses de soins hospitaliers à partir de l'année 2010.
 
On note, pour tout entier naturel $n, u_{n}$ le montant des dépenses de soins hospitaliers en milliards d'euros pour l'année $(2010 + n)$. On a donc $u_{0} = 81,2$. }

À un taux d'évolution $t$ correspond un coefficient  multiplicateur $1+t$. Pour une hausse de 2\,\%, soit  $t=\np{0.02}$, le coefficient multiplicateur  est \np{1.02}.
	\begin{enumerate}
		\item  $u_{1}=\np{81.2}\times \np{1.02}\approx\np{82.82}$.

 $u_{2}=\np{82.82}\times \np{1.02}\approx\np{84.48}$.   
		\item  Chaque terme $u_{n+1}$ se  déduisant du précédent $u_n$  en le multipliant par  un même nombre appelé la raison, la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison est \np{1.02} et de premier terme \np{81.2}.
		\item Déterminons pour tout entier naturel $n$, $u_{n}$ en fonction de $n$. Le terme général d'une suite  géométrique de  premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0q^n$, par conséquent pour tout entier naturel $n$, $ u_n=\np{81.2}\times (\np{1.02})^n  $.	

	\end{enumerate}
\item  L'estimation du montant des dépenses de soins hospitaliers pour l'année 2015 est $u_{5}$. 

$u_5=\np{81.2}\times (\np{1.02})^5 \approx \np{89.65} $
\item On utilise un tableur pour calculer le montant des dépenses de soins hospitaliers. Une copie d'écran est présentée ci -dessous : 

\medskip
 {\scriptsize
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{14}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A &B &C &D &E &F &G &H &I& J &K &L &M &N\\ \hline
1 & $n$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\ \hline 
2&$u_{n}$&\footnotesize 81,2&&&&&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

Quatre formules sont proposées à saisir en C2 puis à recopier vers la droite. Une seule est exacte. Indiquer, sur la copie, la réponse choisie.
}
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}} 
\textbf{a.} \psCancel[linewidth=0.2pt]{=B2$*1,02\hat{~}$C1}& \textbf{b.} \ovalbox{=B2$*1,02$}& \textbf{c.} \psCancel[linewidth=0.2pt]{=B2$*0,02$}&\textbf{d.} \psCancel[linewidth=0.2pt]{=\$B\$ $2*1,02$}\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résolvons, pour $t$ réel, l'équation $81,2 \times 1,02^t \geqslant 100.$
		
$81,2 \times 1,02^t \geqslant 100\quad \np{1.02}^t\geqslant \dfrac{100}{\np{81.2}}\quad \np{1.02}^t\geqslant \np{1.231527}\quad t \log \np{1.02}\geqslant \log \np{1.231527}\quad t\geqslant \dfrac{\log\np{1.231527}}{\log\np{1.02}}\approx \np{10.52} $
L'ensemble des solutions de l'inéquation est $\left[\np{10.52}~;~+\infty\right[$.
		\item L'année à partir de laquelle les dépenses de soins hospitaliers dépasseront 100~milliards d'euros est 2021 (2010+\np{10.52}). 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\newpage

\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm, yunit=0.009cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.75,-0.3)(13,2400)
\psaxes[Ox=0,Oy=11000,Dx=1,Dy=100]{->}(13,2400)
 \multido{\n=0+0.5}{27}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-0.1)(\n,2400)}
 \multido{\n=0+50}{49}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(13,\n)}
  \psdots[dotstyle=SolidSquare,dotscale=1.2,dotangle=45](0,483)(1,479)(2,431)(3,754)(4,1058)(5,1508)(6,1737)(7,1578)(8,1349)(9,1837)
  \psset{arrowscale=1.7}
\def\F{x 166 mul 374 add}
 \psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{0}{12.16}{x 166  mul 374 add}
 \psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.4,dotangle=45](4.5,1121.4)
 \uput[ul](4.5,1121.4){G}\rput (12.5,2890){($D$)}
 \rput(0.7,2430){\footnotesize nombre d'accouchements gémellaires}
 \rput(12.7,30){\footnotesize rang de l'année}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed,ArrowInside=-<]{<-}(!0 /x 12 def \F)(!12 /x 12 def \F)(12,0)
  \rput(-0.75,2366){$\approx \np{13360}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\label{moindre}
\end{document}