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%% Tapuscrit : Denis Vergès
%% Correction : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ST2S}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane\hspace}}
\rfoot{\small{12 septembre 2014}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat  ST2S Antilles-Guyane ~\decofourright\\[4pt]12 septembre 2014}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  7 points}

\medskip

Les parties A et B sont indépendantes. 

\medskip

\textbf{Partie A :}
{\footnotesize
\medskip
 
L'indice de masse corporelle d'une personne (IMC) se calcule grâce à la formule suivante : 
$\text{IMC} = \dfrac{\text{Masse}}{\text{(Taille)}^2}$

dans laquelle la masse est exprimée en kilogramme et la taille en mètre. 
 
On précise qu'une personne est en surpoids si son IMC est supérieur ou égal à 25.

\medskip
 
On a demandé à un groupe de 10~élèves de donner leur masse et leur taille. Les données ont ensuite été consignées dans une feuille automatisée de calcul reproduite ci-dessous: 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A &B &C &D &E &F &G&H &I &J &K\\ \hline 
1 &Elève numéro: &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline 
2 &Masse (en kg) &54 &65 &64 &70 &72 &61 &64 &76 &45 &78\\ \hline 
3 &Taille (en m) &1,73 &1,84 &1,65 &1,62 &1,70 &1,74 &1,86 &1,57 &1,60 &1,71\\ \hline 
4 &IMC &18,0 &19,2 &23,5 &26,7 &24,9 &20,1 &18,5 &30,8 &17,6 &26,7\\ \hline
\multicolumn{12}{c}{La ligne 4 est au format nombre avec une décimale.}
\end{tabularx}
\end{center}
 }
\begin{enumerate}
\item Une formule qui a pu être saisie dans la cellule B4 puis recopiée vers la droite jusqu'à la cellule K4 pour calculer l'IMC des 10 élèves est : =B\$2/B\$3\verb|^|2. 

\item Déterminons la proportion d'élèves en surpoids dans ce groupe. Il y a trois élèves en surpoids parmi les dix interrogés par conséquent $\frac{3}{10}=30\,\%$.

Le pourcentage d'élèves en surpoids dans ce groupe est 30\,\%.
  % On exprimera le résultat en pourcentage.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B :}

\medskip
 {\footnotesize
En 2012, en France, on comptait une proportion d'hommes d'environ 47,5\,\%.
 
Environ 42\,\% des femmes et 54\,\% des hommes étaient en surpoids. (source : rapport OBEPI 2012)
 
On choisit une personne au hasard dans la population française, chaque personne ayant la même probabilité d'être choisie.
 
On désigne par les lettres $F, H$ et $S$ les événements suivants : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{description}
\item[ ] $F$ : \og la personne choisie est une femme\fg 
\item[ ] $H$ : \og la personne choisie est un homme\fg 
\item[ ] $S$ : \og la personne choisie est en surpoids \fg
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}
 
On désigne par $\overline{S}$ l'événement contraire de l'événement $S$.

\medskip
} 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité $P(F)$ que la personne choisie soit une femme est \np{0.525}. En effet $F=\overline {H}$ d'où 

$P(F)=1-\np{0.475}=\np{0.525}$.
		\item La probabilité notée $P_{H}(S)$ que la personne choisie soit en surpoids sachant que c'est un homme est \np{0.54} car 54\,\% des hommes étaient en surpoids.
	\end{enumerate}  
\item  L'arbre des probabilités donné dans l'annexe, \textbf{à rendre avec la copie} a été complété. 
	\begin{enumerate}
		\item   $H \cap S$ est l'événement : \og La personne choisie est un homme en surpoids\fg.
		\item Calculons sa probabilité. $P(H\cap S)=P(H)\times P_H(S)=\np{0.475}\times \np{0.54}=\np{0.2565}$.
	\end{enumerate} 
\item Calculons $P(S)$.  $P(S) = P(H\cap S)+P(F\cap S)= \np{0.2565}+P(F)\times P_F(S)=\np{0.2565}+\np{0.525}\times \np{0.42}=\np{0.2565}+\np{0.2205}=0,477$. 
\item Les événements $S$ et $H$ sont indépendants si $P(H\cap S)= P(S)\times P(H) $.

$P(H\cap S)=\np{0.2565} \quad P(H)\times P(S)=\np{0.475}\times \np{0.477}=\np{0.226575}$.

Les événements $H$ et $S$ ne sont pas indépendants. %Justifier la réponse. 
\item La probabilité de choisir un homme sachant que la personne choisie est en surpoids est notée $P_S(H)$. %On donnera le résultat arrondi à $0,001$ près 

$P_S(H)=\dfrac{P(H\cap S)}{P(S)}=\dfrac{\np{0.2565}}{\np{0.477}}\approx\np{0.5377}$.

La probabilité de choisir un homme sachant que la personne choisie est en surpoids est $\np{0.578}$ à $\np{0.001}$ près.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

\medskip
 {\footnotesize
Le tableau ci-dessous donne la population française, hors Mayotte, de l'année 2004 à l'année 2013.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année& 
Rang de l'année $\left(x_{i}\right)$ &Population $\left(y_{i}\right)$ (en milliers d'habitants)\\ \hline 
2004 &1 &\np{62251}\\ \hline  
2005 &2 &\np{62731} \\ \hline 
2006 &3 &\np{63186}\\ \hline  
2007 &4 &\np{63601} \\ \hline 
2008 &5 &\np{63962} \\ \hline 
2009 &6 &\np{64305}\\ \hline  
2010 &7 &\np{64613}\\ \hline  
2011 &8 &\np{64949}\\ \hline  
2012 &9 &\np{65281}\\ \hline  
2013 &10&\np{65586}\\ \hline
\multicolumn{3}{r}{Source : INSEE (en 2011, 2012 et 2013, les données sont provisoires)} 
\end{tabularx}
\end{center} 
 
On donne, en annexe, le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$.
}
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Les coordonnées du point moyen $G$ du nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ sont ($\overline{x}~;~\overline{y}$)

\[
\overline{x}_G=\frac{1+2+\dots+9+10}{10}=\np{5.5} \qquad \overline{y}_G=\frac{\np{62251}+\np{62731}+\dots+\np{65586}}{10}\approx\np{64046.5}\]
G $\left( \np{5.5}~;~\np{64046.5}\right)$ est placé  sur le graphique.

		\item On admet que la droite $D$ de coefficient directeur $364$ passant par le point $G$ constitue un ajustement du nuage de point $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$.
		 
Montrons que l'équation réduite de la droite $D$ est : $y = 364x + \np{62044,5}$.

 Pour ce faire, écrivons que la droite passe par G :

$\np{64046.5}=364\times \np{5.5}+p$ d'où  $p=\np{64046.5}-\np{2002}=\np{62044.5}$.

		\item  la droite $D$ a été tracée sur le graphique en annexe, à rendre avec la copie.
	\end{enumerate} 
\item En utilisant l'ajustement précédent, déterminons par le calcul, une estimation de la population française hors Mayotte, en 2015. 

En 2015, le rang de l'année est 12. Remplaçons $x$ par $12$ dans l'équation de la droite :

$y=364\times 12+\np{62044.5}=\np{66412.5}$.

%\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même infructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
\item Selon l'ajustement de la question 1. b., la population française, hors Mayotte, dépasserait \np{67000} milliers d'habitants au cours de l'année 2017.

Résolvons $364x+\np{62044.5}\geqslant \np{67000}$. $x\geqslant \dfrac{\np{67000}-\np{62044.5}}{364}$ or $\dfrac{\np{67000}-\np{62044.5}}{364}\approx \np{13.6}$. 
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  8 points}

\medskip

{\footnotesize Un laboratoire de recherches médicales observe \og in vitro \fg{} la multiplication, par mitose accélérée, d'une cellule cancéreuse. Les chercheurs veulent étudier l'effet du rayonnement d'ondes millimétriques sur les cellules cancéreuses. Après une période de multiplication des cellules, on note $t = 0$, l'instant à partir duquel commence l'exposition au rayonnement d'ondes millimétriques.\\ 
La courbe ci-dessous est la représentation graphique du nombre de cellules cancéreuses depuis le début du rayonnement.}

\medskip

\textbf{Partie A : Étude graphique}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le nombre de cellules cancéreuses au début du rayonnement est environ 70. Nous lisons l'ordonnée du point de la courbe appartenant à l'axe des ordonnées.
\item La durée d'exposition au rayonnement pour que le nombre de cellules cancéreuses redevienne celui qu'il était au début de l'exposition est approximativement de 20 heures. Nous lisons l'autre abscisse du point de la courbe d'ordonnée 70. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Après dix heures d'exposition le nombre de cellules cancéreuses paraît maximum. 
		\item La valeur de ce maximum est alors, avec la précision permise par le graphique de 169 cellules.
	\end{enumerate} 
\item Déterminons pendant quelle durée d'exposition le nombre de cellules cancéreuses est supérieur ou égal à 120. Les abscisses des points d'ordonnée 120 sont 3 et 17. Il en résulte que pendant quatorze heures environ, le nombre de cellules a été d'au moins cent vingt.
\item La durée d'exposition nécessaire pour détruire toutes les cellules cancéreuses est de 23 heures. Nous lisons l'abscisse du point de la courbe d'ordonnée nulle.
\end{enumerate} 
\medskip
\begin{center}
\scalebox{0.7}{
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.06cm}
\begin{pspicture}(-1,-10)(24,190)
\multido{\n=0+1}{25}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,190)}
\multido{\n=0+10}{20}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](0,\n)(24,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=20]{->}(0,0)(24,190)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{23}{20 x mul 69 add x dup mul sub}
\uput[d](22.5,-8){\scriptsize Durée d'exposition en heure}
\uput[ul](5,188){\scriptsize Nombre de cellules cancéreuses}
\psdot[dotstyle=square,fillcolor=gray,dotscale =1.4,dotangle=45](0,70)
\psdot[dotstyle=square,fillcolor=green,dotscale =1.4,dotangle=45](23,0)
\psset{arrowscale=2}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.75pt,linecolor=violet] {<->}(3,120)(17,120)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.75pt,linecolor=violet,ArrowInside=-<] {<-}(3,0)(3,120)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.75pt,linecolor=violet,ArrowInside=-<] {<-}(17,0)(17,120)
\def\Func {20 x mul 69 add x dup mul sub}
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed,ArrowInside=-<]{<-}(!0 /x 10 def \Func)(!10 /x 10 def \Func)(10,0)
\uput[u](10,120){\tiny \textcolor{violet}{temps pendant lequel le nombre de cellules cancéreuses est supérieur à 120}}
\uput[l](0,169){\textcolor{red}{$169$}}\uput[l](0,70){\textcolor{gray}{$\approx 70$}}
\psline[linecolor=gray,linestyle=dashed,ArrowInside=->]{->}(!0 /x 20 def \Func)(!20 /x 20 def \Func)(20,0)
\end{pspicture}
}
\end{center}



\bigskip

\textbf{Partie B : Étude théorique}

\medskip
 
Après observation, les chercheurs conviennent de modéliser l'évolution du nombre de cellules cancéreuses exposées à ce rayonnement par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~23] par 

$f(t) = - t^2 + 20t + 69$

où $t$ est la durée d'exposition et $f(t)$ le nombre de cellules cancéreuses après $t$ heures d'exposition à ce rayonnement.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  $f(15)=-(15)^2+20\times 15+69=144$.  Ce résultat est le nombre de cellules cancéreuses après 15 heures d'exposition. 
\item  $f'(t)=-(2t)+20$ pour $t$ appartenant à l'intervalle [0~;~23].%, où $f'$ est la fonction dérivée de la fonction $f$. 
\item Étudions le signe de $f'(t)$ sur l'intervalle [0~;~23]. 
Sur $\R$, $-2t+20> 0 \iff t<10$. 

Par conséquent si $t\in [0~;~10[,\quad f'(t)>0$, si $t\in]10~;~23],\quad f'(t)<0$.

\item Étudions les variations de $f$.

 Si pour tout $x\in I, \,f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$.

 Sur$]20~;~23], f'(x)<0$, par conséquent, $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.  

Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$.

 Sur $[0~;~10[,\ f'(x)>0$, par conséquent $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.

 Dressons le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~23].

\begin{center}\scalebox{0.8}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2)
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$0$} \uput[u](4.5,2.45) {$10$}    \uput[u](7.73,2.45){$23$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}(x)$}\uput[u](2.76,2){$+$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$-$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){de $f$}
\uput[d](1.37,0.45){$69$}\uput[dr](7.32,0.45){$0$}
\psline{->}(1.7,0.55)(4,1.55)\psline{->}(5,1.5)(7.3,0.55)
\uput[u](4.5,1.5){$169$}
\end{pspicture}}
\end{center}
\item Le tableau de variations précédent nous permet de montrer que le maximum de la fonction $f$ est atteint pour 10 et que ce maximum vaut 169.

 Après 10 heures d'exposition, le nombre maximal de cellules cancéreuses est  169.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe (\`a rendre avec la copie)}

\bigskip
\begin{flushleft}
\textbf{Exercice 1 : question B 2.}
\end{flushleft}

\medskip

\pstree[linecolor=blue,treemode=R,labelsep=0.1pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$H$}\taput{\np{0.475}}}
	  { 
		  \TR{$S$}\taput{0,54}
		  \TR{$\overline{S}$}\tbput{\np{0.46}}	   
	  }
	\pstree{\TR{$F$}\tbput{0,525}}
	  {
		  \TR{$S$}\taput{\np{0.42}}
		  \TR{$\overline{S}$}\tbput{\np{0.58}}	  
	  }
}

\bigskip

\begin{flushleft}
\textbf{Exercice 2 : question 1.}
\end{flushleft}

\medskip

\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.0008cm}
\begin{pspicture}(-1,-500)(13.5,13500)
\multido{\n=0.0+0.5}{28}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,13500)}
\multido{\n=0+500}{28}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(13.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=58000,Dy=2000]{->}(0,0)(13.5,13500)
\psdots(1,4251)(2,4731)(3,5186)(4,5601)(5,5962)(6,6305)(7,6613)(8,6949)(9,7281)(10,7586)
\uput[d](12,-700){\footnotesize Rang de l'année}
\uput[u](2.4,13500){\footnotesize Population en milliers d'habitants}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.5pt,plotpoints=1000]{0}{13.5}{x 364 mul 4044.5 add}
\psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.4,dotangle=45](5.5,6046.5)
\uput[u](5.5,6046.5){G}\uput[u] (12.5,8500){$D$}

\end{pspicture}

\end{center}
\end{document}

