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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\thispagestyle{empty}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ST2S}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2015}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{.}}}
\begin{center}{\large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S Antilles-Guyane septembre  2015~\decofourright}}

\medskip \textbf{Durée : 2 heures}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip 
{\footnotesize
\textbf{Les parties 1 et 2 sont indépendantes.} 

\medskip

Le tableau ci-dessous indique les dépenses de santé des soins hospitaliers de l'année 2008 à l'année 2013. 

\medskip
\begin{tabularx}{0.95\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année								&2008   &2009   &2010   &2011   &2012   &2013\\ \hline   
Rang de l'année : $x_i$ 			&1   	&2   	&3   	&4   	&5   	&6\\ \hline   
Dépense en milliards d'euros : $y_i$&76   	&79   	&81   	&82   	&84   	&87\\ \hline
\multicolumn{7}{r}{Source : comptes-santé-2013-DREES }
\end{tabularx}
}

\medskip
   
\begin{center}
\textbf{Partie 1} 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Le montant de la CSBM (consommation de soins et de biens médicaux) pour l'année 2013 était de 187~milliards d'euros. 

Calculons la part des dépenses de santé des soins hospitaliers en 2013 par rapport au montant de la CSBM. %On exprimera le résultat en pourcentage arrondi à 0, 1\,\% près. 

$\dfrac{87}{187}\approx \np{0.465}$. Les dépenses de santé représentent  environ \np{46.5}\,\% de la consommation de soins et de biens médicaux.
\item Construisons le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$.% sur la feuille de papier millimétré fournie. 

{\footnotesize\emph{ On prendra \np[cm]{1}  pour 1 unité sur l'axe des abscisses et \np[cm]{1} pour 1 milliard d'euros sur l'axe des ordonnées. On commencera la graduation sur l'axe des ordonnées à 73.}} 
\item Calculons les coordonnées du point moyen $G$ de ce nuage. 
 Les coordonnées de G sont $\left(\overline{x}~;~\overline{y}\right)$.
 
\[
\overline{x_G}=\dfrac{1+2+\dots +5+6}{6}= \np{3.5} \quad \overline{y_G}=\dfrac{76+79+\dots+84+87}{6}=\np{81.5}\]
G $\left( \np{3.5}~;~\np{81.5} \right)$ est placé  sur le graphique précédent.

\item On fait l'hypothèse que l'évolution des dépenses de santé des soins hospitaliers est correctement modélisée par la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 2x + 74,5$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Le point G appartient à la droite $\mathcal{D}$ si ses coordonnées vérifient l'équation de la droite. Calculons l'ordonnée du point de la droite d'abscisse \np{3.5}. $y=  2 \times \np{3.5} + \np{74.5}=\np{81.5}$.

 Cette valeur étant celle de l'ordonnée de G, il en résulte que G appartient à $\mathcal{D}$.

		\item  La droite $\mathcal{D}$  est tracée dans le repère précédent. 
		\item Selon ce modèle, estimons la dépense de santé des soins hospitaliers pour l'année 2014.

 Pour ce faire remplaçons $x$ par le rang de l'année. 
		$y=2\times 7+\np{74.5}=\np{88.5}$.
		
		Une estimation de la dépense de santé des soins hospitaliers pour l'année 2014 est d'environ \np{88.5} milliards d'euros.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\begin{center}
\psset{unit=0.75cm,arrowscale=1.5}
\begin{pspicture}(0,0)(12,15.2)
\psaxes[Ox=0,Oy=73,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(10,15)
 \multido{\n=0+0.5}{21}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,15)}
 \multido{\n=0+0.5}{31}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(10,\n)}
 \psdots[dotstyle=SolidSquare,dotscale=1.2,dotangle=45](1,3)(2,6)(3,8)(4,9)(5,11)(6,14)
 \psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{0}{6.8}{x 2  mul 1.5 add}
  \psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.4,dotangle=45](3.5,8.5)
 \uput[u](3.5,8.5){G}\rput (7,14.3){$\mathcal{D}$}
 \rput(0,15.2){\footnotesize dépense en milliards d'euros}
 \rput(9.7,0.2){\footnotesize rang de l'année}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0.7cm}
\begin{center}
\textbf{Partie 2}\end{center} 

{\footnotesize
Ces mêmes dépenses de santé des soins hospitaliers ont été saisies dans une feuille de calcul d'un tableur représentée ci-dessous: 

\begin{center}
\newrgbcolor{gris2}{.41 .49 .59}
\begin{tabularx}{.9\linewidth}{|c|m{3.1cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&   A    &B   &C   &D   &E   &F   &G\\ \hline   
1&   Année   &2008   &2009   &2010   &2011   &2012   &2013\\ \hline    
2&  Dépense en  milliards d'euros& 76   &79   &81   &82   &84   &87\\ \hline    
3&   Taux d'évolution&\cellcolor{gris2}&&&&&\\ \hline                 
\end{tabularx}
\end{center}
}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculons le taux d'évolution de ces dépenses entre les années 2012 et 2013.
 
		Le taux $t$ est défini par  $\dfrac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$. 
$t=\dfrac{87-84}{84}\approx \np{0.0357}$.

Le taux d'augmentation de ces dépenses entre 2012 et 2013 est, arrondi à 0, 1\,\% près, d'environ \np{3.6}\,\%.
 
		\item  Une formule à saisir dans la cellule C3 pour obtenir, après recopie vers la droite, les taux d'évolution en pourcentage de ces dépenses entre deux années consécutives (les cellules de la ligne 3 sont au format pourcentage) est =(C\$2-B\$2)/B\$2. 
	\end{enumerate}
\item On fait l'hypothèse qu'à partir de l'année 2013, les dépenses de santé des soins hospitaliers augmentent de 3\,\% tous les ans. Ces dépenses sont modélisées par la suite géométrique $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0 = 87$ et de raison 1,03. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculons $u_3$. Le terme général d'une suite  géométrique  de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0\times (q)^{n}$. $u_{n}=87\times(\np{1.03})^n$. Il en résulte que  : $u_3=87\times \np{1.03}^3 \approx \np{95}$.
		\item $u_3$ représente,  dans le contexte de l'exercice, les dépenses de santé des soins hospitaliers en 2016 (2013+3).
		\item Chaque année le plafond des dépenses de santé des soins hospitaliers est fixé à 100 milliards d'euros. Selon ce modèle, déterminons  à partir de quelle année les dépenses de santé des soins hospitaliers dépasseront ce plafond. %On justifiera la réponse par un calcul. 
Pour ce faire, résolvons 

$87\times \left(1.03\right)^n>100$
		
\begin{align*}
87\times\np{1.03}^n&>100 \\
 \np{1.03}^n&>\dfrac{100}{87}\hspace{2em} \text{nous prendrons par la suite } \np{1.149425} \\
 \log \np{1.03}^n&>\log\np{ 1.149425}\\
n \log \np{1.03} &>\log \np{1.149425} \\
 n&>\dfrac{\log \np{ 1.149425}}{\log \np{1.03}}		\\
 \dfrac{\log \np{ 1.149425}}{\log \np{1.03}}	&\approx \np{4.71}
\end{align*}
 		
Selon ce modèle, en 2018 (2013+5), les dépenses de santé dépasseront les 100 milliards d'euros.
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip  
{\footnotesize
En 2012, \np{774868}~permis de conduire en catégorie B ont été délivrés, dont \np{181006} via la filière de l'AAC (apprentissage anticipé de la conduite). Le tableau ci-dessous présente les statistiques de réussite à l'examen du permis de conduire de catégorie B pour l'année 2012. 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
CANDIDATS&   Ayant suivi l'AAC&   N'ayant pas suivi l'AAC&   Total\\ \hline   
Reçus à l'examen&\np{181006}   &\np{593862}   &\np{774868}\\ \hline    
Refusés à l'examen&\np{65118}   &\np{484746}   &\np{549864}\\ \hline    
Total &  \np{246124}   &\np{1078608}   &\np{1324732}\\ \hline 
\multicolumn{4}{r}{\emph{Source: Ministère de l'Intérieur}}
\end{tabularx}
\medskip 

On choisit au hasard et de manière équiprobable un candidat parmi tous ceux qui ont passé l'examen du permis de conduire de catégorie B en 2012. 

On définit les évènements suivants : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{description}
\item[ ] $A$ : \og le candidat choisi a suivi l'AAC \fg. 
\item[ ] $B$ : \og le candidat choisi a été reçu à l'examen \fg. 
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\emph{Dans cet exercice tous les résultats seront arrondis au centième.}
}

\medskip 

Le tirage étant équiprobable, la probabilité d'un évènement A est  

$p(A)=\dfrac{\text{ nombre d'éléments de A}}{\text{ nombre d'éléments de l'univers}}$

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculons la probabilité que le candidat choisi ait suivi l'AAC. Il y a \np{246124} personnes ayant choisi la conduite accompagnée parmi les \np{1324732} personnes présentant l'examen du permis de conduire. 

$p(A)=\dfrac{\np{246124}}{\np{1324732}}\approx \np{0.19}$.
		\item Calculons la probabilité que le candidat choisi ait été reçu à l'examen. Il y a \np{774868} personnes reçues à l'examen  parmi les \np{1324732} personnes présentant l'examen du permis de conduire. 

$p(B)=\dfrac{\np{774868}}{\np{1324732}}\approx \np{0.58}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item   $A \cap B$ est l'évènement : \og le candidat a suivi l'AAC et a été reçu à l'examen\fg. 
		\item $p(A \cap B)=\dfrac{\np{181006}}{\np{1324732}}\approx \np{0.14}$. 
		\item  $p(A \cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$. Par conséquent $p(A\cup B)=\np{0.19}+\np{0.58}-\np{0.14}=\np{0.63}$.
	\end{enumerate}
\item On note $P_A(B)$ la probabilité que l'évènement $B$ se réalise sachant que l'évènement $A$ est réalisé. 

 $P_A(B)=\dfrac{p(A \cap B)}{p(A)}$. $P_A(B)=\dfrac{\np{0.14}}{\np{0.19}}\approx \np{0.74}$.
 
 {\footnotesize \emph{remarque :} nous aurions pu calculer $\dfrac{\text{nb de personnes reçus à l'examen ayant suivi l'AAC}}{\text{nb personnes ayant suivi l'AAC}}$}
 
\item {\footnotesize \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative même infructueuse, sera prise en compte lors de l'évaluation.}} 

Une personne affirme : \og Un candidat qui a suivi l'AAC a plus de chance d'être reçu au permis de conduire qu'un candidat qui ne l'a pas suivi \fg. 

Calculons la probabilité d'être reçu à l'examen sachant qu'il n'a pas suivi l'AAC 

c'est-à-dire $p_{\overline{A}}(B)=\dfrac{p\left(\overline{A}\cap B\right)}{p\left(\overline {A}\right)}$.

$p\left(\overline{A}\right) =\dfrac{\np{1078608}}{\np{1324732}}\approx \np{0.81}\quad  p(\overline{A}\cap B)=\dfrac{\np{593862}}{\np{1324732}}\approx \np{0.45}\qquad p_{\overline{A}}(B) = \dfrac{\np{0.45}}{\np{0.81}}\approx \np{0.56}$.

Nous pouvons donc en déduire que l'affirmation est vraie. (\np{0.74}>\np{0.56})
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip 

Un laboratoire fabrique et commercialise un médicament. Sa capacité de production lui permet de réaliser entre 0 et \np{7000}~doses de médicament par mois. 

On note $B$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~6] et qui à tout nombre réel $x$ de cet intervalle associe $B(x)$, le bénéfice du laboratoire en milliers d'euros pour une production de $x$ milliers de doses de médicament. 

La courbe représentative de la fonction $B$ est donnée en annexe . Cette annexe n'est pas à rendre avec la copie. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour déterminer graphiquement, avec la précision permise par le graphique, le nombre de doses (en milliers) que le laboratoire doit produire par mois pour réaliser un bénéfice supérieur ou égal à 30 milliers d'euros, traçons la droite d'équation $y=30$ et lisons les abscisses des points d'intersection de cette droite avec la courbe. 

Nous trouvons environ $1,3$ et $\np{4.5}$. Il y aura un bénéfice lorsque la courbe se situera au dessus de la droite. La quantité (en milliers) que doit produire le laboratoire pour réaliser un bénéfice  devrait appartenir à l'intervalle $[\np{1.3}~;~\np{4.5}]$.  

{\footnotesize\emph{On donnera le résultat sous la forme d'un intervalle.}} 
\item On admet que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~6], on a : $B (x) = - x^3 - 3x^2 + 45x - 20$.

On rappelle que $B'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $B$. 
	\begin{enumerate}
		\item  $B'(x)=-3x^2-3(2x)+45=-3x^2-6x+45$. 
		\item Vérifions que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~6], nous avons 
		
$B'(x) = (- 3x + 9)(x + 5)$.
 Développons (-3x+9)(x+5). 
 
 $(-3x+9)(x+5)=-3x^2+9x-15x+45=-3x^2-6x+45$
 
 Nous en déduisons que $B'(x)=(-3x+9)(x+5)$
		\item Dressons le tableau du signe de $B'(x)$ sur l'intervalle [0~;~6].
\begin{center}
\begin{tabular}{c|*{5}{c}}
$x$&0&&3&&6\\ \hline
$-3x+9$&&$+$&0&$-$&\\ \hline
$x+5$&&$+$&&$+$&\\\hline
$B'(x)$&&$+$& $0$& $-$&\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

		\item Étudions le sens de variation de $B$.
		
		Si pour tout $x\in I, \,f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$. 

Pour $x\in ]3~;6],\ B'(x)<0$, par conséquent $B$ est strictement décroissante sur cet intervalle.
 
Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$. 

Pour $x \in [0~;~3[,\ B'(x)>0$ par conséquent $B$ est strictement croissante sur cet intervalle.
 
Dressons le tableau de variation de $B$ sur [0~;~6].
 
		 \begin{center}
	\scalebox{0.7}{	 
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5)  \psline(0,2)(8,2) 
\psline[linewidth=0.5pt](1.1,0)(1.1,3)
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$0$} \uput[u](4.5,2.45) {$3$}    \uput[u](7.73,2.45){$6$}
\uput[u](0.5,1.9){$B^{\prime}(x)$}\uput[u](2.76,2){$+$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$-$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){de $B$}
 \uput[d](1.37,0.45){$-20$}\uput[d](7.32,0.45){$-74$}
\psline{->}(1.7,0.55)(4,1.55)\psline{->}(5,1.5)(7.3,0.55)
\uput[u](4.5,1.5){$61$}
\end{pspicture}
}
\end{center}

$B(3)=-3^3-3\times 3^2+45\times 3-20=-27-27+135-20=61$

	\end{enumerate}
\item  Le montant du bénéfice maximal est de \np{61000}~euros. 
\end{enumerate} 

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\bigskip 

\textbf{N'est pas à rendre avec la copie}
\bigskip
 
\textbf{EXERCICE 3}

\bigskip

\psset{xunit=2cm,yunit=0.08cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-90)(7,80) 
\multido{\n=0.0+0.1}{71}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,-90)(\n,80)}
\multido{\n=0.0+0.5}{15}{\psline[linewidth=0.4pt](\n,-90)(\n,80)}
\multido{\n=-90.0+2}{86}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(7,\n)}
\multido{\n=-90.0+10}{17}{\psline[linewidth=0.4pt](0,\n)(7,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10](0,0)(-0.2,-90)(7,80)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10](0,0)(0,-90)(7,80)
\uput[u](6.2,0){milliers de doses}
\uput[r](0,75){bénéfice en milliers d’euros}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6}{45 x mul x 3 exp sub x dup mul 3 mul sub 20 sub}
\def\Func{45 x mul x 3 exp sub x dup mul 3 mul sub 20 sub}
\psset{arrowscale=2}
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed,ArrowInside=->]{->}(!0 /x 1.261934 def \Func)(!1.261934 /x 1.261934 def \Func)(1.261934,0)
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 4.514538 def \Func)(!4.514538 /x 4.514538 def \Func)(4.514538,0)
\uput[d](1.26,0){\textcolor{red}{$\approx \np{1.3}$}}\uput[d](4.51,0){\textcolor{red}{$\approx \np{4.5}$}}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}