\documentclass[11pt,french,a4paper]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{multirow}
\usepackage[left=3cm, right=3cm, top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\usepackage{diagbox,enumitem}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{lscape}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès 
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat ST2S},
pdftitle = {Antilles-Guyane 4 septembre 2020},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}  
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\frenchbsetup{StandardLists=true}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  ST2S }
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{4 septembre 2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Sciences et Technologies de la Santé et du Social ~\decofourright \\[5pt]Antilles-Guyane  4 septembre 2020}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

%Un groupe hospitalier possède deux maisons de retraite nommées \og Mésange \fg{} et \og Rossignol \fg.
%
%\smallskip
%
% Ces deux maisons comptent $120$ résidents au total dont $80$ à la résidence \og Mésange \fg.
%
%\smallskip
%
%Les soignants de ce groupe hospitalier évaluent la capacité des résidents à s'habiller en autonomie suivant une grille à trois niveaux A, B et C.
%
%\setlength\parindent{9mm}
%45 résidents de la maison \og Mésange\fg{} sont évalués au niveau A ;
%
%50\,\% des résidents de la maison \og Rossignol\fg sont évalués au niveau B ;
%
%20 résidents au total sont évalués au niveau C, dont la moitié réside à la maison \og Mésange \fg.
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
%
%On choisit au hasard un des résidents de ces maisons et on considère les évènements suivants:
%
%\setlength\parindent{9mm}
%
%$M$ : \og la personne est un résident de la maison Mésange\fg ;
%
%$A$ : \og la personne est évaluée au niveau A \fg{};
%
%$B$ : \og la personne est évaluée au niveau B \fg{};
%
%$C$ : \og la personne est évaluée au niveau C \fg.
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Compléter le tableau donné en \textbf{annexe 1, à rendre avec la copie}.
Voir à la fin.
\item \emph{Dans les questions suivantes, les résultats seront arrondis au millième si nécessaire.}
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la probabilité de l'évènement $M$ et la probabilité de l'évènement $C$.
On a $p(M) = \dfrac{80}{120} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3} \approx 0,667$.

$p(C) = \dfrac{20}{120} = \dfrac{1}{6}  \approx 0,167$.
		\item %Décrire par une phrase l'évènement $M \cap A$ et calculer la probabilité de cet évènement.
$M \cap A$ désigne l'évènement : \og le résident est à la maison \og Mésange\fg{} et est au niveau A \fg.

On a $p(M \cap A) = \dfrac{45}{120} = \dfrac{5 \times 9}{5 \times 24} = \frac{9}{24} \dfrac{3 \times 3}{3 \times 8} = \dfrac{3}{8} = 0,375$.
		\item %Calculer la probabilité que la personne choisie au hasard réside dans la maison \og Mésange\fg sachant qu'elle a été évaluée au niveau A.
Il faut trouver $p_A(M) = \dfrac{p(A \cap M)}{p(A)} = \dfrac{p(M \cap A)}{p(A)} = \dfrac{\frac{3}{8}}{\dfrac{55}{120}} = \dfrac{3}{8} \times \dfrac{120}{55} = \dfrac{3}{8} \times \dfrac{24}{11} = \dfrac{3 \times 3 \times 8}{8 \times 11} = \dfrac{9}{11} \approx 0,818$.

On aurait pu lire directement dans le tableau que sur les 55 résidents classés A, 45 sont dans la maison \og Mésange \fg{} : la probabilité est donc : $\dfrac{45}{55}=  \dfrac{5 \times 9}{5 \times 11} = \dfrac{9}{11}$.
		\item %Calculer la probabilité $P_{\overline{M}}(C)$. Interpréter cette probabilité dans le contexte de l'exercice.
Il faut trouver la probabilité de choisir un résident classé C et qui ne réside pas à \og Mésange \fg{}, c'est-à-dire qui réside dans la maison \og Rossignol \fg{} et rangé dans la catégorie C. Dans le tableau on voit qu'il y a 10 personnes sur 120, soit une probabilité de $\dfrac{10}{120} = \dfrac{1}{12} \approx 0,083$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points}

\medskip

%\textbf{Cet exercice comporte trois parties.\\[5pt]
%Les parties A et B sont indépendantes.}
%
%\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

%Le tableau ci-dessous présente l'évolution, en milliers, du nombre de femmes médecins généralistes en France entre les années 2013 et 2018.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.75cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 							&2013 	&2014 	&2015 	&2016 	&2017 	&2018\\ \hline
Rang de l'année $x_i$			&0 		&1		&2 		&3 		&4 		&5\\ \hline
Nombre de femmes médecins
 généralistes en milliers $y_i$	&42,4 	&43,5	&44,6 	&45,4 	&46,4 	&47,7\\ \hline
\multicolumn{7}{r}{\footnotesize \emph{Source www.data.drees.sante.gouv.fr}}\\
\end{tabularx}
\end{center}

%\medskip
%
%Le nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$ correspondant est donné en \textbf{annexe 1, à rendre avec la copie.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer les coordonnées $\left(x_G~;~y_G\right)$ du point moyen $G$ de ce nuage.
On a $x_G = 2,5$ et $y_G = 45$.

%Placer le point $G$ sur le graphique de l'\textbf{annexe 1}.
\item %D'après la forme du nuage de points, on peut envisager un ajustement affine.

%On admet que la droite $\Delta$ d'équation $y = 1,03x+42,4$ réalise un ajustement affine convenable du nuage de points, et que cet ajustement est un modèle que l'on estime valable jusqu'en 2025.
	\begin{enumerate}
		\item %Construire la droite $\Delta$ dans le repère de l'\textbf{annexe 1} en précisant les coordonnées des points utilisés.
On peut utiliser A(0~;~42,4) et B(10~;~52,7) comme points de la droite $(\Delta)$.
		\item %Selon ce modèle, estimer le nombre de femmes médecins généralistes en 2021.
2021 correspond au rang 8, ce qui donne une estimation de 

$1,03 \times 8 + 42,4 = 8,24 + 42,4 = 50,64$.

On peut confirmer ce résultat avec le graphique à la fin.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

%Selon un rapport de l'Ordre National des Médecins de 2018, le nombre de médecins généralistes, femmes et hommes, devrait baisser de $0,9$\,\% chaque année, et ce jusqu'en 2025.
%
%\hfill  \emph{\footnotesize Source www.conseil-national.medecin.fr}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Le nombre total de médecins généralistes en France en 2018 était d'environ $102,5$ milliers. Si on admet que ce nombre a diminué de 0,9\,\% entre 2018 et 2019, montrer que le nombre de médecins généralistes en France en 2019 était d'environ $101,6$ milliers.
Baisser de 0,9\,\% c'est multiplier par $1 - \dfrac{0,9}{100} = 1 - 0,009 = 0,991.$

Le nombre de généralistes en 2019 devrait être de :

$102,5 \times 0,991 = 101,578 \approx 101,6$ au dixième près.
\item ~
%On suppose que le nombre de médecins généralistes diminue de $0,9$\,\% chaque année. On note $v_0$ le nombre de médecins généralistes pour l'année 2018 et $v_n$ l'estimation du nombre de médecins généralistes en milliers, selon ce modèle, pour l'année $(2018 + n)$ où $n$ est un entier positif ou nul.

%On a ainsi $v_0 = 102,5$.
	\begin{enumerate}
		\item %On veut utiliser la feuille de calcul ci-dessous afin d'obtenir les valeurs successives de la suite $\left(v_n\right)$.
		
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%&A&B\\ \hline
%1 &$n$& $v_n$\\ \hline
%2 &0 &102,5\\ \hline
%3 &1 &101,6\\ \hline
%4 &2&\\ \hline
%5&3&\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%Parmi les formules suivantes, laquelle a-t-on entrée dans la cellule B3 de sorte que, recopiée vers le bas, elle permette d'afficher les valeurs de la suite $\left(v_n\right)$ ?
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%= B$2 \times{} 0,009$& = B\$$2 \times 0,009$& = B$2 \times 0,991$&= B\$$2 \times {} 0,991$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
On a entré B2 $\times 0,991$.

		\item %Indiquer la nature de la suite $\left(v_n\right)$. Donner sa raison.
Le nombre de généralistes est d'une année à la suivante multiplié par 0,991 ; on a donc pour tout naturel $n$, \: $v_{n+1} = 0,991v_n$ : la suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de premier terme $v_0 = 102,5$ et de raison $r = 0,991$.
		\item %Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
		On sait qu'alors pour tout naturel $n$, \: $v_n = v_0 \times r^n$, soit :
		
		\[v_n = 102,5 \times 0,991^n.\]
		
		\item %Déterminer une estimation du nombre de médecins généralistes en France en 2023 selon ce modèle.
2023 correspond à $n = 5$, et $v_5 = 102,5 \times 0,991^5 \approx 97,969 \approx 98,0$ au dixième près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C :}

\medskip

%Déterminer, selon les modèles d'évolution proposés dans les parties A et B, à partir de quelle année on peut estimer qu'il y aura plus de médecins femmes que de médecins hommes parmi les médecins généralistes.
En estimant que la progression du nombre de généralistes femmes suive le modèle linéaire $1,03n + 42,4$ $n$ étant le nombre d'années après 2018 et en tablant sur le fait que le nombre total de généralistes baisse de 0,9\,\% chaque année, on peut obtenir par différence le nombre de généralistes hommes :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{||l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}|}\hline
Année 				&2018	&2019	&2020	&2021\\ \hline
Généralistes		&102,5	&101,6	&100,7	&99,8\\ \hline
Généralistes femmes	&47,7	&48,6	&49,6	&50,6\\ \hline
Généralistes hommes	&54,8	&53		&51,1	&49,2\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

C'est donc en 2021 que les femmes seront plus nombreuses que les hommes.

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points}

%\medskip
%Dans cet exercice, on s'intéresse au taux de glycémie postprandiale (c'est-à-dire après un repas) d'un
%patient.

\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

%Le graphique fourni dans l'\textbf{annexe 2} représente le taux de glycémie de ce patient, exprimé en g/L, en fonction du temps écoulé depuis son repas, exprimé en heures.
%
%Répondre aux questions suivantes par lecture graphique, en faisant apparaître les traits utiles à la lecture.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer le taux de glycémie en g/L un quart d'heure après le début du repas. 
On lit sur le graphique un taux approximatif de 1,36~g/L.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer à quels moments le taux de glycémie a été égal à $1,4$~g/L.
La droite d'équation $y = 1,4$ coupe la courbe en deux point dont les abscisses sont à peu près 0,28 soit à peu près 17 minutes et 1,85, soit 1~h 51~min.
		\item %Chez une personne en bonne santé, la glycémie après un repas doit rester inférieure à $1,4$~g/L.

%Estimer la durée en minutes pendant laquelle le taux de glycémie de ce patient a dépassé cette valeur.
D'après la question précédente, le taux a dépassé 1,4~g/L de 17~min à 1~h~51~min après le repas soit pendant 1~h~34~min.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

%Chez ce patient, l'évolution du taux de glycémie (en g/L) en fonction du temps $t$ (en heures) peut
%être modélisée par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~2] par : 

\[f(t) = 0,14t^3 - 1,05t^2 + 1,68t + 1.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer $f'(t)$ pour tout $t$ de l'intervalle [0~;~2].
La fonction polynomiale $f$ est dérivable sur [0~;~2] et sur cet intervalle :

$f'(t) = 3 \times 0,14t^2 - 2\times 1,05t + 1,68 = 0,42t^2 - 2,1t + 1,68$.
\item %Vérifier que $f'(t) = 0,42(t - 1)(t - 4)$ pour tout t de l'intervalle [0~;~2].
On a $(t - 1)(t - 4) = t^2 - 4t - t + 4 =  t^2 - 5t + 4$, puis $0,42(t - 1)(t - 4) = 0,42\left(t^2 - 5t + 4 \right) =$

$ 0,42t^2 - 2,1t + 1,68 = f'(t)$.
\item %Compléter le tableau situé en \textbf{annexe 2, à rendre avec la copie}, afin d'étudier le signe de $f'(t)$ et les variations de $f$ pour $t$ dans l'intervalle [0~;~2].
Voir l'annexe.
\item %En déduire la valeur maximale, selon ce modèle, du taux de glycémie de ce patient.
Le tableau de variations montre que le taux maximal est obtenu (quand la dérivée s'annule) à $t = 1$~(h) et ce taux est égal à 1,77~g/L. Ce résultat est visible sur la courbe représentative de $f$.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}

\textbf{\Large Annexe 1 à rendre avec la copie}

\bigskip
\end{center}

\textbf{Exercice 1 :}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{~}		&A &B 	&C 	&Total\\ \hline
Résidents \og Mésange\fg	&45	&25	&10	&80\\ \hline
Résidents\og Rossignol \fg	&10	&20	&10	&40\\ \hline
Total						&55	&45	&20 &120\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 :}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm,arrowsize = 2pt 4}
\begin{pspicture}(-1,-1)(14,14)
\multido{\n=0+1}{15}{\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,14)}
\multido{\n=0.0+0.2}{71}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=lightgray](0,\n)(14,\n)}
\multido{\n=0+1}{15}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=lightgray](0,\n)(14,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=40]{->}(0,0)(0,0)(14,14)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=40](0,0)(0,0)(14,14)
\uput[r](0,13.8){\footnotesize Nombre de femmes médecins généralistes en milliers}
\uput[d](12.8,-0.5){\footnotesize Rang de l'année}
\psdots(0,2.4)(1,3.5)(2,4.6)(3,5.4)(4,6.4)(5,7.5)
\psdots[linecolor=red](2.5,5)(0,2.4)(10,12.7)
\uput[ul](2.5,5){\red $G$}\uput[ul](0,2.4){\red $A$}
\uput[ul](10,12.7){\red $B$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{10.5}{1.03 x mul 2.4 add}
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed,ArrowInside=->]{->}(8,0)(8,10.64)(0,10.64)
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\Large Annexe 2 à rendre avec la copie}

\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 3 : partie A}

\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=6cm,yunit=7cm,comma=true,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(-0.125,-0.05)(2.1,1.1)
\multido{\n=0.00+0.05}{41}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,1)}
\multido{\n=0.00+0.25}{9}{\psline[linewidth=0.8pt](\n,0)(\n,1)}
\multido{\n=0.00+0.02}{51}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(2,\n)}
\multido{\n=0.0+0.1}{11}{\psline[linewidth=0.8pt](0,\n)(2,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=0.8,Dx=0.25,Dy=0.1]{->}(0,0)(0,0)(2,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=0.8,Dx=0.25,Dy=0.1](0,0)(0,0)(2,1.01)
\uput[d](1.75,-0.09){\small Temps en heures}
\uput[r](0,1.05){\small Taux de glycémie en g/L}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{2}{x 3 exp 0.14 mul x dup mul 1.05 mul sub 1.68 x mul add 0.2 add}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=2pt,ArrowInside=->](0.25,0)(0.25,0.56)(0,0.56)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=2pt,ArrowInside=->,linecolor=blue](0,0.6)(0.28,0.6)(0.28,0)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=2pt,ArrowInside=->,linecolor=blue](0,0.6)(1.85,0.6)(1.85,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 : partie B}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8.4,4.5)
\psframe(8.4,4.5)\psline(0,2)(8.4,2)\psline(0,2.5)(8.4,2.5)\psline(0,3)(8.4,3)\psline(0,3.5)(8.4,3.5)\psline(0,4)(8.4,4)\psline(2.4,0)(2.4,4.5)
\uput[u](1,3.9){$t$} \uput[u](2.55,3.9){$0$} \uput[u](5.4,3.9){$1$} \uput[u](8.25,3.9){$2$}
\rput(1.2,3.75){\small signe de $0,42$}\rput(4,3.75){+}\rput(7,3.75){+}
\rput(1.2,3.25){\small signe de $t- 1$}\rput(4,3.25){$-$}\rput(7,3.25){$+$}\rput(5.45,3.25){$0$}
\rput(1.2,2.75){\small signe de $t - 4$}\rput(4,2.75){$-$}\rput(7,2.75){$-$}
\rput(1.2,2.25){\small signe de $f'(t)$}\rput(4,2.25){$+$}\rput(5.45,2.25){$0$}\rput(7,2.25){$-$}
\rput(1.2,1){\small Variations de $f$}\psline{->}(3,0.5)(5,1.5)\psline{->}(6,1.5)(7.9,0.5)
\uput[u](2.6,0){1}\uput[d](5.45,2){1,77}\uput[u](8.05,0){1,28}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}