\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !
\usepackage{fourier} 
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
% Merci à l'académie de Martinique pour le sujet
% Tapuscrit : Denis Vergès
% Correction : Jean-Claude Souque
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage[dvips]{xcolor}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\frenchbsetup{StandardLists=true}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm} 
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ST2S }
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
 {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ST2S Antilles--Guyane ~\decofourright\\[4pt]septembre 2011}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 1}\hfill 6 points}

\medskip

Le tableau suivant, extrait d'une feuille d'un tableur, donne la répartition du nombre d'élèves de terminale à la rentrée 2008, suivant la filière choisie :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3.15cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|} \hline
	&\centering A					&B		&C		&D		&E		&F		&G		&H\\ \hline%
1	&					&ST2S	&ES		&S		&L		&STG	&Autres	&Total\\ \hline
2	&Nombre de filles	&\np{23107}&\np{62714}&\np{74595}&\np{42392}&\np{47020}&\np{9603}&\np{259431}\\ \hline
3	&Nombre de garçons&\np{1538}&\np{38148}&\np{87682}&\np{11541}&\np{35326}&\np{39738}&\np{213973}\\ \hline
4	&Total				&\np{24645}	&\np{100862}&\np{162277}&\np{53933}&\np{82346}&\np{49341}&\np{473404}\\ \hline
5	&Répartition en pourcentage&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\multicolumn{9}{r}{\footnotesize Champ : France-Enseignement et privé, ministère de l'Éducation Nationale}\\
\multicolumn{9}{r}{\footnotesize Source : Ministère de l'Éducation Nationale, Depp}\\
\end{tabularx}


\begin{center}\textbf{Partie A} \end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Une formule  entrée en B4 et recopiée vers la droite pour obtenir les résultats de la ligne 4 est :

=B\$2+B\$3 ou =somme(B\$2;B\$3)\hspace{2em}{\footnotesize\emph{les \$ ne sont pas obligatoires.}}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item La proportion d'élèves de ST2S parmi ceux de terminale est le quotient de l'effectif d'élèves de ST2S par l'effectif total. \hspace{2em}		
$\dfrac{\np{24645}}{\np{473404}}\approx \np{0.052059}$.

Il y a à 0,1\,\% près \np{5.2}\,\% d'élèves de ST2S parmi les élèves de terminale.
		\item La ligne 5 est au format pourcentage. Une formule que l'on peut entrer en B5 et recopier vers la droite pour compléter la ligne 5 est =B\$4/\$H\$4.
		{\footnotesize \emph{Pour \$H\$4 les \$ sont obligatoires, référence absolue.}}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\begin{center}\textbf{Partie B} \end{center}

On rencontre au hasard un élève en terminale à la rentrée 2008. 
Soient :\begin{description}
\item[]G l'événement : \og L'élève rencontré est un garçon \fg{};
 
\item A l'événement : \og L'élève rencontré est un élève de ST2S \fg.
\end{description}
{\footnotesize \emph{Dans la suite les probabilités demandées seront arrondies au millième.}}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
L'univers est l'ensemble des élèves de terminale à la rentrée 2008. La loi mise sur cet univers est la loi équirépartie.
La probabilité d'un événement A est  $p(\text{A})=\frac{\text{\scriptsize nombre d'éléments de A}}{\text{\scriptsize nombre d'éléments de l'univers}}$

Le nombre d'éléments de l'univers est \np{473404}.
Calculons :
\begin{description}
\item la probabilité de l'événement G ; il y a \np{213973} garçons ; $p(\text{G}) =\dfrac{\np{213973}}{\np{473404}}\approx \np{0.452}$.
\item celle de l'événement A ; il y a \np{24645} élèves de ST2S ; $p(\text{A})=\dfrac{\np{24645}}{\np{473404}}\approx \np{0.052}$.
\end{description}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item L'événement $\text{G}\cap \text{A}$ est l'événement : \og l'élève rencontré est un garçon de ST2S\fg. 
		\item Il y a \np{1538} garçons en terminale ST2S ; $p(\text{G}\cap \text{A})=\dfrac{\np{1538}}{\np{473404}}\approx \np{0.003}$.
	\end{enumerate} 
\item Sachant qu'on a rencontré un garçon, la probabilité qu'il prépare le baccalauréat ST2S est notée $p_{\text{G}}(\text{A})$.

$p_{\text{G}}(\text{A})=\dfrac{p(\text{G}\cap \text{A})}{p(\text{G})} =\dfrac{\frac{\np{1538}}{\np{473404}}}{\frac{\np{213973}}{\np{473404}}}=\dfrac{\np{1538}}{\np{213973}}\approx \np{0.007}$.
\item Calculons la probabilité conditionnelle $p_{\text{A}}\left(\overline{\text{G}}\right)$, o\`u $\overline{\text{G}}$ désigne l'événement contraire de G. 

$p_{\text{A}}\left(\overline{\text{G}}\right) = \dfrac{p\left(\overline{\text{G}}\cap \text{A}\right)}{p(\text{A})} = \dfrac{\frac{\np{23107}}{\np{473404}}}{\frac{\np{24645}}{\np{473404}}} = \dfrac{\np{23107}}{\np{24645}}\approx \np{0.938}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 2}\hfill 6 points}

\medskip

Un médecin débutant étudie l'évolution de son nombre de visites à domicile. Voici les résultats qu'il obtient :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Mois&\small  Janvier 2010 &\small  Février 2010 &\small  Mars 2010&\small  Avril 2010&\small  Mai 2010&\small  Juin 2010&\small  Juillet 2010\\ \hline
Rang du mois $x_{i}$& 1& 2 &3 &4&5&6&7\\ \hline 
Nombre de visites $y_{i}$& 5& 8& 10&13&19&18&25\\ \hline
\end{tabularx} 

\medskip
\begin{enumerate}
\item Calculons le pourcentage d'augmentation du nombre de visites entre le mois de janvier et le mois de février 2010. 
Le taux d'évolution $t$ est défini par  $\frac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$. 
$t=\dfrac{8-5}{5}=\np{0.6}$. 

Le taux d'augmentation du nombre de visites entre le mois de janvier et le mois de février 2010 est de $60\,\%$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Sur le graphique donné en annexe 1, le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ a été construit. 
		\item Calculons les coordonnées du point G, point moyen du nuage de points. Les coordonnées de G sont $\left(\overline{x}~;~\overline{y}\right)$.
\[
\overline{x}_G = \frac{1+2+\dots+6+7}{7}=4 \quad \overline{y}_G =\frac{5+8+\dots+18+25}{7}=14\]
G $\left( 4~;~14 \right)$ est placé  sur le graphique précédent.
		 	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Un ajustement affine est envisageable car les points semblent presqu'alignés.
		\item On admet que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 3x + 2$ est une droite d'ajustement du nuage.
		
Le point $G$ appartient à la droite $\mathcal{D}$ si ses coordonnées vérifient l'équation de la droite. Pour ce faire, remplaçons $x$ par sa valeur et calculons l'ordonnée du point de la droite. $y=3\times 4+2=14$. Cette ordonnée est celle de $G$ par conséquent le point $G$ appartient bien à la droite $\mathcal{D}$.

 Cette droite $\mathcal{D}$ est tracée sur le graphique précédent.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

{\footnotesize \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}}

%\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item On suppose que l'évolution constatée se poursuit. En précisant le mois et l'année, déterminons une estimation du mois à partir duquel le nombre de visites à domicile sera supérieur ou égal à 42. Résolvons $3x + 2 \geqslant 42$.

$3x + 2\geqslant 42 \iff 3x\geqslant 42 - 2 \iff x \geqslant \dfrac{40}{3}\quad \dfrac{40}{3}\approx \np{13.33}$.

\`A partir du quatorzième mois c'est-à-dire  du mois de février 2011, le nombre de  visites à domicile sera supérieur ou égal à 42. 

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 3}\hfill 8 points}

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie A : Lectures graphiques} \end{center} 

Un laboratoire pharmaceutique fabrique et commercialise un médicament pour injection. Ce laboratoire peut produire entre 0 et 50 litres de ce médicament par mois.
 
Le bénéfice mensuel (en euros) réalisé par le laboratoire en fonction du volume $x$ (en litres) de médicament produit est donné par la courbe en annexe 2 à rendre avec la copie.
 
Par lecture graphique (annexe 2), déterminons :
 
\begin{enumerate}
\item à partir de quel volume mensuel produit, le laboratoire va être bénéficiaire; 

le laboratoire est bénéficiaire lorsque la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses. Avec la précision permise par le graphique, l'abscisse du point d'intersection de la courbe et de l'axe est environ 10. À partir d'environ \np[\ell]{10}, le laboratoire est bénéficiaire.

\item pour quel volume mensuel produit, le bénéfice mensuel est supérieur ou égal à \np{6000}~\euro.

 Le bénéfice mensuel est supérieur ou égal à \np{6000}~\euro{} lorsque la courbe coupe ou est au-dessus de la droite d'équation $y =\np{6000}$. Appelons $\alpha$ et $\beta$ les abscisses des points d'intersection de la courbe et de cette droite. Le bénéfice est supérieur ou égal à \np{6000}~\euro{} lorsque le laboratoire fabrique au moins $\alpha~\ell$ et au plus $\beta~\ell$ où $\alpha \approx \np{31}$ et $\beta \approx \np{47.5}$.

\end{enumerate}
 
\begin{center}\textbf{Partie B : Étude du bénéfice mensuel} \end{center}
 
Ce bénéfice mensuel est modélisé par la fonction $B$ définie pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~50] par : 
 
\[B(x) = - \dfrac{1}{3}x^3 + 22x^2  -160x - 300.\]
  
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons, pour tout $x$ de l'intervalle [0~;~50], $B^{\prime}(x)$ où $B^{\prime}$ désigne la fonction dérivée de $B$. 
		
$B'(x)=-\dfrac{1}{3}(3x^2) + 22(2x) - 160 = - x^2 + 44x - 160$
		\item Développons $(x-4)(40-x)$.
		
$(x - 4)(40 - x) = 40x - x^2 - 160 + 4x = -x^2 + 44x - 160 = B'(x)$

 Pour tout $x$ de l'intervalle [0~;~50], nous avons : $B^{\prime}(x) = (x - 4)(40 - x)$. 
		\item Étudions le signe de $B^{\prime}(x)$ pour tout $x$ dans l'intervalle [0~;~50]. 
		
		Sur $\R,\qquad x-4>0 \iff x>4\  \text{et } 40-x>0 \iff x<40$. Dressons un tableau de signes pour $x\in [0~;~50]$.
		
		\begin{center}
\begin{tabular}{|c|*{7}c|}\hline
$x$		&0	&		&4		&	&40		&	&50\\ \hline
$x-4$	&	&$-$	&0		&+	&\vrule	&+	&\\\hline
$40-x$	&	&+		&\vrule	& +	&0		&$-$&\\\hline
$B'(x)$	&	&$-$	&0		&+	&0		&$-$&\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
		\item étudions le sens de variation de $B$.

Si pour tout $x\in I,\:f'(x) > 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$. $B^\prime(x)>0$ sur ]4~;~40[, par conséquent $B$ est strictement croissante sur cet intervalle.

Si pour tout $x\in I, \,f'(x) < 0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$. $B'(x) < 0$ sur [0~;~4[ ou sur ]40~;~50], par conséquent $B$ est strictement décroissante sur  chacun de ces intervalles.

Dressons maintenant  le tableau de variation de la fonction $B$ sur l'intervalle [0~;~50]. 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$0$} \uput[u](3.15,2.45){$4$} \uput[u](5.75,2.45){$40$} \uput[u](7.75,2.45){$50$}
\uput[u](0.5,1.9){$B^{\prime}(x)$} \uput[u](3.15,1.97){$0$} \uput[u](4.55,1.97){$+$} \uput[u](6.75,1.97){$-$} \uput[u](2.05,1.97){$-$} \uput[u](5.75,1.97){$0$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variations}\rput(0.4,1){de $B$}
 \uput[ur](1,1.5){$-300$}\uput[d](3.115,0.55){$-609$}\uput[u](5.75,1.5){$\np{7167}$}\uput[d](7.42,0.55){$\np{5033}$}
\psline{->}(1.35,1.485)(3.1,0.5) \psline{->}(5.75,1.485)(7.3,0.5)\psline{->}(3.22,0.5)(5.65,1.485)
\rput(2.35,-0.2){\footnotesize\emph {les valeurs sont arrondies à l'euro près.}}
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate} 
\item La fonction $B$ étant strictement croissante sur ]4~;~40[ et strictement décroissante sur ]40~;~50] admet par conséquent un maximum en 40. Il en résulte que le volume mensuel à produire pour obtenir un bénéfice maximal est de \np[\ell]{40}.
 
Le montant du bénéfice mensuel maximal arrondi à l'euro près est alors de \np{7167}\euro.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 2}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}

\textbf{Annexe 1 (à rendre avec la copie)}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.725cm,yunit=0.145cm}
\begin{pspicture}(-1,-3)(15.5,54)
\uput[d](14.5,-3){rang du mois}\uput[u](2,53){nombre de visites à domicile}

\uput[dl](0,0){O}
\multido{\n=0+1}{16}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,50)}
\multido{\n=0+1}{51}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(15,\n)}
\multido{\n=0+5}{11}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](0,\n)(15,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(15.5,54)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=5](0,0)(0,0)(15.5,54)
\psdots[dotstyle=SolidSquare,dotscale=1.2,dotangle=45](1,5)(2,8)(3,10)(4,13)(5,19)(6,18)(7,25)
 \psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{0}{15}{x 3  mul 2 add}
 \psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.4,dotangle=45](4,14)
\def\Func{x 3 mul 2 add}
\psline[linecolor=purple,arrowscale=2,linestyle=dashed,ArrowInside=->]{->}(!0 /x 13.333 def \Func)(!13.333 /x 13.333 def \Func)(13.333,0)
\uput[ul](4,14){\textcolor{red}{G}}\uput[ur](14,45){$\mathcal{D}$}
\end{pspicture}
\end{center}

%\newpage
\vfill
\textbf{Exercice 3}

\vspace{1cm}

\begin{center}

\textbf{Annexe 2 }

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.1935cm,yunit=0.000775cm}
\begin{pspicture}(-4,-2000)(58,7800)
\uput[d](52,-500){Volume en litres}\uput[u](7.5,7800){Bénéfice mensuel en euros}
\uput[dl](0,0){O}
\multido{\n=0+1}{59}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-2000)(\n,7800)}
\multido{\n=-2000+200}{50}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(58,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=1000]{->}(0,0)(0,-2000)(58,7800)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=1000](0,0)(0,-2000)(58,7800)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{50}{x dup mul 22 mul 160 x mul sub 300 sub x 3 exp 3 div sub}
\def\Func{x dup mul 22 mul 160 x mul sub 300 sub x 3 exp 3 div sub}
\psline[linecolor=purple,arrowscale=2,linestyle=dashed,ArrowInside=->]{->}(!0 /x 31.200 def \Func)(!31.200 /x 31.200 def \Func)(31.200,0)
\psline[linecolor=purple,arrowscale=2,linestyle=dashed,ArrowInside=->]{->}(!0 /x 47.541 def \Func)(!47.541 /x 47.541 def \Func)(47.541,0)
\psdot[dotstyle=Add,linecolor=purple,dotscale =3.4,dotangle=45](10.183,0)
\uput[d](31.2,0){$\alpha$}\uput[d](47.54,0){$\beta$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}